ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Тема 3. Тригонометричні функції

•
•
Ю
Юра Марчук

Тема 3. Тригонометричні функції

1 of 12
Downloaded 52 times
Ю.Марчук Курс лекцій з математики СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС КУТА З геометрії відомо основні співвідношення в прямокутному трикутнику. Пригадаємо їх. Розглянемо коло радіуса R у прямокутній системі координат. Положення деякої точки А кола можна задати через координати цієї точки, або кутом φ, на який повернеться радіус кола ОА=R від деякого початкового положення OR до точки А. Використовуючи співвідношення у прямокутному трикутнику, можна встановити зв'язок між координатами точки А і кутом повороту радіуса кола. Одержимо: R y =ϕsin ; R x =ϕcos ; x y tg =ϕ ; y x ctg =ϕ Синусом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола. Косинусом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола. Тангенсом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до абсциси цієї точки. Котангенсом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до ординати цієї точки. Поняття градуса: - Кутовий градус – це 180 1 частина розгорнутого кута; - Дуговий градус – це 180 1 частина дуги розгорнутого кута. Загальноприйнятим є відкладання додатних кутів проти ходу стрілки годинника, а від'ємних – за ходом годинникової стрілки. Радіанна міра кута Крім градусної міри кута в математиці використовують ще одну одиницю вимірювання кута – радіан. Розглянемо два концентричних кола з радіусами R1 і R2 та два центральні кути α і β (α < β). Встановлено, що для одного і того ж центрального кута відношення дуг концентричних кіл до їх радіусів є величиною сталою. Це відношення залежить тільки від величини кута. Отже, n R l R l == 2 2 1 1 і m R l R l == 2 ' 2 1 ' 1 Якщо α < β, то n < m. Дане відношення взято за міру кута: a R l = , де а – число. Число а характеризує величину даного центрального кута. В радіанній системі за одиницю вимірювання кутів і дуг взято величину центрального кута, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса. c b=ϕsin c a=ϕcos a btg =ϕ b actg =ϕ
Тема: Тригонометричні функції При l = R a = 1 рад (радіан) Градусна міра розгорнутого кута – 180о . Радіанна міра розгорнутого кута – π рад. Перехід від градусної міри кута до радіанної: o o a α π ⋅= 180 . Перехід від радіанної міри кута до градусної: a o o ⋅= π α 180 . ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ Розглянемо одиничне коло (R=1) у системі координат. Позначимо на цьому колі точки Р, положення яких визначається кутами 0 рад (0о ), 6 π рад (30о ), 4 π рад (45о ), 3 π рад (60о ), 2 π рад (90о ). При побудові точок дугу кола ділимо на відповідну кількість рівних частин. Зверніть увагу, що кожному з цих кутів відповідає певна дуга одиничного кола. При R = 1 а = l (величина кута дорівнює відповідній дузі одиничного кола). Отже, кожному дійсному числу а на одиничному колі відповідає певна точка, положення якої визначається відповідною абсцисою і ординатою. Таким чином, між дійсним числом а і координатами точки одиничного кола існує залежність(відповідність), яку назвали тригонометричною функцією числового аргументу. Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан. sin a = y Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан. cos a = x Тангенсом числа а називається відношення a a cos sin . a a a cos sin tg = Котангенсом числа а називається відношення a a sin cos . a a a sin cos ctg = Знаки тригонометричних функцій Синус Косинус Тангенс, котангенс
Ю.Марчук Курс лекцій з математики ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТУ Основна тригонометрична тотожність: sin2 α + cos2 α = 1 Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу: α α α cos sin =tg , cos α ≠ 0 α α α sin cos =ctg , sin α ≠ 0 1=⋅ αα ctgtg α α tg ctg 1 = α α ctg tg 1 = α α 2 2 cos 1 1 =+ tg α α 2 sin 1 1 =+ ctg ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о ± α), (180о ± α), (270о ± α), (360о ± α) у тригонометричні функції гострого кута α. Правило зведення: - У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична функція, що зводиться; - При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о ± α), (360о ± α) їх назви не змінюються, а кутів (90о ± α), (270о ± α) назви функцій змінюються: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Формули зведення sin (90о – α) = cos α sin (90о + α) = cos α cos (90о – α) = sin α cos (90о + α) = –sin α tg (90о – α) = ctg α tg (90о + α) = –ctg α ctg (90о – α) = tg α ctg (90о + α) = –tg α sin (180о – α) = sin α sin (180о + α) = –sin α cos (180о – α) = –cos α cos (180о + α) = –cos α tg (180о – α) = –tg α tg (180о + α) = tg α ctg (180о – α) = –ctg α ctg (180о + α) = ctg α sin (270о – α) = –cos α sin (270о + α) = –cos α cos (270о – α) = –sin α cos (270о + α) = sin α tg (270о – α) = ctg α tg (270о + α) = –ctg α ctg (270о – α) = tg α ctg (270о + α) = –tg α sin (360о – α) = –sin α sin (360о + α) = sin α cos (360о – α) = cos α cos (360о + α) = cos α tg (360о – α) = –tg α tg (360о + α) = tg α ctg (360о – α) = –ctg α ctg (360о + α) = ctg α ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ Функція y = f(x) називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується умова f (x) = f(x – T) = f(x + T) Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число 2π, а тангенса і котангенса – число π. Отже,
Тема: Тригонометричні функції sin(α + 2πk) = sin α, k ϵ Z cos(α + 2πk) = cos α, k ϵ Z tg(α + πk) = tg α, k ϵ Z ctg(α + πk) = ctg α, k ϵ Z Приклад визначення періоду тригонометричної функції, заданої формулою y = sin(kx + b) і y = tg(kx + b). Для ( ) k Tbkxy π2 sin =⇒+= ( ) k Tbkxtgy π =⇒+= ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій важливу роль відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять періодичні процеси, які відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні функції використовуються до моделювання закономірностей коливального руху, а саме моделювання рівномірного обертального руху. Саме з цим походженням тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх особливостей – періодичність. Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім «читаючи» графік, визначимо і запишемо властивості функції. Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами: геометричним і аналітичним. Геометричний спосіб побудови описано у підручнику. / Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 / Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом. Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік лише на проміжку [-π; π]. х -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π у 0 - 2 2 -1 - 2 2 0 2 2 1 2 2 0 Побудова графіка функції. Графік функції y = sin x називається синусоїдою. Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.
Ю.Марчук Курс лекцій з математики Побудова графіка функції y = cos x. Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення       += xx 2 sincos π і геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна дістати з графіка функції y = sin x паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох на 2 π одиниць. Графік функції y = cos x називається косинусоїдою. Оскільки функція y = cos x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = cos x.
Тема: Тригонометричні функції А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в одній системі координат. Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом. Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від       − 2 ; 2 ππ . Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).
Ю.Марчук Курс лекцій з математики Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення       +−= xtgxctg 2 π . Згідно цієї формули застосовують до тангенсоїди таке перетворення: тангенсоїду переносять вліво на 2 π одиниць вздовж осі ОХ та будують симетричний відносно осі ОХ графік котангенсоїду. На рисунку графік функції y = сtg x зображено синім кольором на інтервалі (- π; 0).
Тема: Тригонометричні функції Властивості тригонометричних функцій Функція Властивість y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x 1.Область визначення D(y) ∈ R D(y) ∈ R D(y) ∈ R, x ≠ π/2 + π·n D(y) ∈ R, x ≠ π·n 2.Область значень E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R 3.Парність (непарність) Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а Н е п а р н а 4.Періодичність T = 2πn, n ∈ Z T = 2πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z 5.Набуває нульових значень sin x = 0, при x = πn, n ∈ Z cos x = 0, при x = π/2 + πn, n∈Z tg x = 0, при x = πn, n ∈ Z ctg x = 0, при x = π/2 + πn, n∈Z 6.Проміжки зростання [ - π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ] [ - π + 2πn; 0 + 2πn ] [ - π/2 + πn; π/2 + πn ] Н е м а є 7.Проміжки спадання [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ] [ 0 + 2πn; π + 2πn ] Н е м а є [ 0 + πn; π + 2πn ] 8.Набуває додатних значень sin x > 0, ( 2πn; π + 2πn) cos x > 0, ( - π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ) tg x > 0, ( 0 + πn; π/2 + πn ) ctg x > 0, (0 + πn; π/2 + πn) 9.Набуває від’ємних значень sin x < 0, (π +2πn; 2π +2πn) cos x < 0, ( π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ) tg x < 0, ( - π/2 + πn; 0 + πn) ctg x < 0, (- π/2 +πn; 0+πn) 10.Найбільше значення sin x = 1, при x = π/2 + 2πn, n ∈ Z cos x = 1, при x = 2 πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є 11.Найменше значення sin x = -1, при x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z cos x = -1, при x = π + 2πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є
Ю.Марчук Курс лекцій з математики ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ Величини, що змінюються за законом f(t) = A cos (ωt + φ) ( 1 ) або f(t) = A sin (ωt + φ) ( 2 ) відіграють важливу роль у фізиці. За таким законом змінюється, наприклад, координата кульки, прикріпленої до пружини (див. мал. 1). Говорять, що кулька здійснює гармонічні коливання. Функцію (2) також можна записати у вигляді (1): A sin (ωt + φ) = A cos (ωt + φ - 2 π ) Параметри А, ω і φ, які повністю визначають коливання (1), мають спеціальні назви: А називають амплітудою коливання, (ω — циклічною (або круговою) частотою коливання, φ — початковою фазою коливання (звичайно беруть φϵ[0; 2π)). Період функцій A cos (ωt + φ) і A sin (ωt + φ),що дорівнює ω π2 називають періодом гармонічного коливання. Властивості функцій (1) і (2) зручно проілюструвати на такому прикладі з механіки. Нехай точка М рухається рівномірно по колу радіуса R = А з кутовою швидкістю ω, якщо ω > 0, обертання проти годинникової стрілки, а якщо ω < 0 — за годинниковою стрілкою), причому в початковий момент часу t = 0 вектор ОМ утворює кут φ з додатним напрямом осі абсцис (мал. 2). Розглянемо дві функції від t — координати проекцій точки на осі абсцис і ординат — функції x(t) і y(t). У момент часу t вектор ОМ утворює з додатним напрямом осі Ох кут φ (t), при цьому φ (t)= φ + ωt за законом рівномірного руху по колу. За означенням функцій синус і косинус x(t) = A cos φ(t), тобто x(t) = А соs (ωt + φ), y(t) = A sin φ(t), тобто у(t) = A sin (ωt + φ). Вивчимо властивості цих функцій, спираючись на кінематичні міркування. Їх період дорівнює, очевидно, часу Т, за який точка здійснює один оберт. Довжина кола дорівнює 2πА, а лінійна швидкість v точки дорівнює ωA, тому . 22 ω π υ π == А Т Розглянемо один з моментів часу to, в який точка М займає крайнє праве положення. Тоді x(to) = A, y(to) = 0. Починаючи з цього моменту часу, функція x(t) буде навперемінно спадати від А до -А на першій половині періоду і зростати від -А до А на другій половині періоду. При цьому точки максимуму функції x(t) — це ті моменти часу, коли точка займає крайнє праве положення; точки мінімуму відповідають крайньому лівому положенню, а нулі — верхньому і нижньому положенням. Аналогічні властивості має і функція y(t); її точки максимуму і мінімуму відповідають верхньому і нижньому положенням точки на колі, а нулі — правому і лівому положенням. Мал.1 Мал. 2
Тема: Тригонометричні функції ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ Теорема. Які б не були кути, або числа, α і β, завжди cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β Наслідки теореми додавання: cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅− + =+ βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅+ − =− Тригонометричні формули подвійних кутів: sin 2α = 2sin α · cos α cos 2α = cos2 α – sin2 α cos 2α = 1 – 2sin2 α cos 2α = 2cos2 α – 1 α α α 2 tg1 2tg 2tg − = Тригонометричні формули половинних кутів: 2 cos1 2 sin αα − = 2 cos1 2 cos αα + = α αα cos1 cos1 2 + − =tg Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій: 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα − ⋅ + =+ 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα + ⋅ − =− 2 cos 2 cos2coscos βαβα βα − ⋅ + =+ 2 sin 2 sin2coscos βαβα βα − ⋅ + −=− βα βα βα coscos )sin( ⋅ + =+ tgtg βα βα βα coscos )sin( ⋅ − =− tgtg
Ю.Марчук Курс лекцій з математики Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму: 2 )cos()cos( coscos βαβα βα ++− =⋅ 2 )cos()cos( sinsin βαβα βα +−− =⋅ 2 )sin()sin( cossin βαβα βα −++ =⋅ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ Тригонометрична функція Обернена тригонометрична функція y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x y = arcsin x y = arcos x y = arctg x y = arcctg x Для тригонометричних функцій і обернених для їх функцій виконуються такі рівності: sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tg(arctg x) = x ctg(arcctg x) = x arcsin(sin x) = x arccos(cos x) = x arctg(tg x) = x arcctg(ctg x) = x Тригонометричними рівняннями називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є аргументом тригонометричної функції. Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції періодичні). Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує. Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь: Тригонометричне рівняння Розв'язок sin x = a cos x = a tg x = a x = (–1)k ·arcsin a + kπ, k ϵ Z x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z x = arctg a + kπ, k ϵ Z Окремі випадки: sin x = 1, Zkkx ∈+= ,2 2 π π sin x = 0, Zkkx ∈= ,π sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,2 2 π π cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π cos x = 0, Zkkx ∈+= , 2 π π cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ
Тема: Тригонометричні функції Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь: sin kx = a, ( ) k na x n π+⋅− = arcsin1 Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями. cos (kx + c) = a, k cna x −+± = π2arccos Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей виду: sin x ≥ a cos x ≥ a tg x ≥ a ctg x ≥ a sin x > a cos x > a tg x > a ctg x > a sin x ≤ a cos x ≤ a tg x ≤ a ctg x ≤ a sin x < a cos x < a tg x < a ctg x < a Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.

More Related Content

Тема 3. Тригонометричні функції

  • 1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС КУТА З геометрії відомо основні співвідношення в прямокутному трикутнику. Пригадаємо їх. Розглянемо коло радіуса R у прямокутній системі координат. Положення деякої точки А кола можна задати через координати цієї точки, або кутом φ, на який повернеться радіус кола ОА=R від деякого початкового положення OR до точки А. Використовуючи співвідношення у прямокутному трикутнику, можна встановити зв'язок між координатами точки А і кутом повороту радіуса кола. Одержимо: R y =ϕsin ; R x =ϕcos ; x y tg =ϕ ; y x ctg =ϕ Синусом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола. Косинусом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола. Тангенсом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до абсциси цієї точки. Котангенсом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до ординати цієї точки. Поняття градуса: - Кутовий градус – це 180 1 частина розгорнутого кута; - Дуговий градус – це 180 1 частина дуги розгорнутого кута. Загальноприйнятим є відкладання додатних кутів проти ходу стрілки годинника, а від'ємних – за ходом годинникової стрілки. Радіанна міра кута Крім градусної міри кута в математиці використовують ще одну одиницю вимірювання кута – радіан. Розглянемо два концентричних кола з радіусами R1 і R2 та два центральні кути α і β (α < β). Встановлено, що для одного і того ж центрального кута відношення дуг концентричних кіл до їх радіусів є величиною сталою. Це відношення залежить тільки від величини кута. Отже, n R l R l == 2 2 1 1 і m R l R l == 2 ' 2 1 ' 1 Якщо α < β, то n < m. Дане відношення взято за міру кута: a R l = , де а – число. Число а характеризує величину даного центрального кута. В радіанній системі за одиницю вимірювання кутів і дуг взято величину центрального кута, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса. c b=ϕsin c a=ϕcos a btg =ϕ b actg =ϕ
  • 2. Тема: Тригонометричні функції При l = R a = 1 рад (радіан) Градусна міра розгорнутого кута – 180о . Радіанна міра розгорнутого кута – π рад. Перехід від градусної міри кута до радіанної: o o a α π ⋅= 180 . Перехід від радіанної міри кута до градусної: a o o ⋅= π α 180 . ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ Розглянемо одиничне коло (R=1) у системі координат. Позначимо на цьому колі точки Р, положення яких визначається кутами 0 рад (0о ), 6 π рад (30о ), 4 π рад (45о ), 3 π рад (60о ), 2 π рад (90о ). При побудові точок дугу кола ділимо на відповідну кількість рівних частин. Зверніть увагу, що кожному з цих кутів відповідає певна дуга одиничного кола. При R = 1 а = l (величина кута дорівнює відповідній дузі одиничного кола). Отже, кожному дійсному числу а на одиничному колі відповідає певна точка, положення якої визначається відповідною абсцисою і ординатою. Таким чином, між дійсним числом а і координатами точки одиничного кола існує залежність(відповідність), яку назвали тригонометричною функцією числового аргументу. Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан. sin a = y Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан. cos a = x Тангенсом числа а називається відношення a a cos sin . a a a cos sin tg = Котангенсом числа а називається відношення a a sin cos . a a a sin cos ctg = Знаки тригонометричних функцій Синус Косинус Тангенс, котангенс
  • 3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТУ Основна тригонометрична тотожність: sin2 α + cos2 α = 1 Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу: α α α cos sin =tg , cos α ≠ 0 α α α sin cos =ctg , sin α ≠ 0 1=⋅ αα ctgtg α α tg ctg 1 = α α ctg tg 1 = α α 2 2 cos 1 1 =+ tg α α 2 sin 1 1 =+ ctg ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о ± α), (180о ± α), (270о ± α), (360о ± α) у тригонометричні функції гострого кута α. Правило зведення: - У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична функція, що зводиться; - При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о ± α), (360о ± α) їх назви не змінюються, а кутів (90о ± α), (270о ± α) назви функцій змінюються: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Формули зведення sin (90о – α) = cos α sin (90о + α) = cos α cos (90о – α) = sin α cos (90о + α) = –sin α tg (90о – α) = ctg α tg (90о + α) = –ctg α ctg (90о – α) = tg α ctg (90о + α) = –tg α sin (180о – α) = sin α sin (180о + α) = –sin α cos (180о – α) = –cos α cos (180о + α) = –cos α tg (180о – α) = –tg α tg (180о + α) = tg α ctg (180о – α) = –ctg α ctg (180о + α) = ctg α sin (270о – α) = –cos α sin (270о + α) = –cos α cos (270о – α) = –sin α cos (270о + α) = sin α tg (270о – α) = ctg α tg (270о + α) = –ctg α ctg (270о – α) = tg α ctg (270о + α) = –tg α sin (360о – α) = –sin α sin (360о + α) = sin α cos (360о – α) = cos α cos (360о + α) = cos α tg (360о – α) = –tg α tg (360о + α) = tg α ctg (360о – α) = –ctg α ctg (360о + α) = ctg α ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ Функція y = f(x) називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується умова f (x) = f(x – T) = f(x + T) Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число 2π, а тангенса і котангенса – число π. Отже,
  • 4. Тема: Тригонометричні функції sin(α + 2πk) = sin α, k ϵ Z cos(α + 2πk) = cos α, k ϵ Z tg(α + πk) = tg α, k ϵ Z ctg(α + πk) = ctg α, k ϵ Z Приклад визначення періоду тригонометричної функції, заданої формулою y = sin(kx + b) і y = tg(kx + b). Для ( ) k Tbkxy π2 sin =⇒+= ( ) k Tbkxtgy π =⇒+= ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій важливу роль відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять періодичні процеси, які відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні функції використовуються до моделювання закономірностей коливального руху, а саме моделювання рівномірного обертального руху. Саме з цим походженням тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх особливостей – періодичність. Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім «читаючи» графік, визначимо і запишемо властивості функції. Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами: геометричним і аналітичним. Геометричний спосіб побудови описано у підручнику. / Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 / Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом. Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік лише на проміжку [-π; π]. х -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π у 0 - 2 2 -1 - 2 2 0 2 2 1 2 2 0 Побудова графіка функції. Графік функції y = sin x називається синусоїдою. Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.
  • 5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Побудова графіка функції y = cos x. Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення       += xx 2 sincos π і геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна дістати з графіка функції y = sin x паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох на 2 π одиниць. Графік функції y = cos x називається косинусоїдою. Оскільки функція y = cos x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = cos x.
  • 6. Тема: Тригонометричні функції А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в одній системі координат. Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом. Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від       − 2 ; 2 ππ . Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).
  • 7. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення       +−= xtgxctg 2 π . Згідно цієї формули застосовують до тангенсоїди таке перетворення: тангенсоїду переносять вліво на 2 π одиниць вздовж осі ОХ та будують симетричний відносно осі ОХ графік котангенсоїду. На рисунку графік функції y = сtg x зображено синім кольором на інтервалі (- π; 0).
  • 8. Тема: Тригонометричні функції Властивості тригонометричних функцій Функція Властивість y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x 1.Область визначення D(y) ∈ R D(y) ∈ R D(y) ∈ R, x ≠ π/2 + π·n D(y) ∈ R, x ≠ π·n 2.Область значень E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R 3.Парність (непарність) Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а Н е п а р н а 4.Періодичність T = 2πn, n ∈ Z T = 2πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z 5.Набуває нульових значень sin x = 0, при x = πn, n ∈ Z cos x = 0, при x = π/2 + πn, n∈Z tg x = 0, при x = πn, n ∈ Z ctg x = 0, при x = π/2 + πn, n∈Z 6.Проміжки зростання [ - π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ] [ - π + 2πn; 0 + 2πn ] [ - π/2 + πn; π/2 + πn ] Н е м а є 7.Проміжки спадання [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ] [ 0 + 2πn; π + 2πn ] Н е м а є [ 0 + πn; π + 2πn ] 8.Набуває додатних значень sin x > 0, ( 2πn; π + 2πn) cos x > 0, ( - π/2 + 2πn; π/2 + 2πn ) tg x > 0, ( 0 + πn; π/2 + πn ) ctg x > 0, (0 + πn; π/2 + πn) 9.Набуває від’ємних значень sin x < 0, (π +2πn; 2π +2πn) cos x < 0, ( π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn ) tg x < 0, ( - π/2 + πn; 0 + πn) ctg x < 0, (- π/2 +πn; 0+πn) 10.Найбільше значення sin x = 1, при x = π/2 + 2πn, n ∈ Z cos x = 1, при x = 2 πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є 11.Найменше значення sin x = -1, при x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z cos x = -1, при x = π + 2πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є
  • 9. Ю.Марчук Курс лекцій з математики ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ Величини, що змінюються за законом f(t) = A cos (ωt + φ) ( 1 ) або f(t) = A sin (ωt + φ) ( 2 ) відіграють важливу роль у фізиці. За таким законом змінюється, наприклад, координата кульки, прикріпленої до пружини (див. мал. 1). Говорять, що кулька здійснює гармонічні коливання. Функцію (2) також можна записати у вигляді (1): A sin (ωt + φ) = A cos (ωt + φ - 2 π ) Параметри А, ω і φ, які повністю визначають коливання (1), мають спеціальні назви: А називають амплітудою коливання, (ω — циклічною (або круговою) частотою коливання, φ — початковою фазою коливання (звичайно беруть φϵ[0; 2π)). Період функцій A cos (ωt + φ) і A sin (ωt + φ),що дорівнює ω π2 називають періодом гармонічного коливання. Властивості функцій (1) і (2) зручно проілюструвати на такому прикладі з механіки. Нехай точка М рухається рівномірно по колу радіуса R = А з кутовою швидкістю ω, якщо ω > 0, обертання проти годинникової стрілки, а якщо ω < 0 — за годинниковою стрілкою), причому в початковий момент часу t = 0 вектор ОМ утворює кут φ з додатним напрямом осі абсцис (мал. 2). Розглянемо дві функції від t — координати проекцій точки на осі абсцис і ординат — функції x(t) і y(t). У момент часу t вектор ОМ утворює з додатним напрямом осі Ох кут φ (t), при цьому φ (t)= φ + ωt за законом рівномірного руху по колу. За означенням функцій синус і косинус x(t) = A cos φ(t), тобто x(t) = А соs (ωt + φ), y(t) = A sin φ(t), тобто у(t) = A sin (ωt + φ). Вивчимо властивості цих функцій, спираючись на кінематичні міркування. Їх період дорівнює, очевидно, часу Т, за який точка здійснює один оберт. Довжина кола дорівнює 2πА, а лінійна швидкість v точки дорівнює ωA, тому . 22 ω π υ π == А Т Розглянемо один з моментів часу to, в який точка М займає крайнє праве положення. Тоді x(to) = A, y(to) = 0. Починаючи з цього моменту часу, функція x(t) буде навперемінно спадати від А до -А на першій половині періоду і зростати від -А до А на другій половині періоду. При цьому точки максимуму функції x(t) — це ті моменти часу, коли точка займає крайнє праве положення; точки мінімуму відповідають крайньому лівому положенню, а нулі — верхньому і нижньому положенням. Аналогічні властивості має і функція y(t); її точки максимуму і мінімуму відповідають верхньому і нижньому положенням точки на колі, а нулі — правому і лівому положенням. Мал.1 Мал. 2
  • 10. Тема: Тригонометричні функції ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ Теорема. Які б не були кути, або числа, α і β, завжди cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β Наслідки теореми додавання: cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅− + =+ βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅+ − =− Тригонометричні формули подвійних кутів: sin 2α = 2sin α · cos α cos 2α = cos2 α – sin2 α cos 2α = 1 – 2sin2 α cos 2α = 2cos2 α – 1 α α α 2 tg1 2tg 2tg − = Тригонометричні формули половинних кутів: 2 cos1 2 sin αα − = 2 cos1 2 cos αα + = α αα cos1 cos1 2 + − =tg Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій: 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα − ⋅ + =+ 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα + ⋅ − =− 2 cos 2 cos2coscos βαβα βα − ⋅ + =+ 2 sin 2 sin2coscos βαβα βα − ⋅ + −=− βα βα βα coscos )sin( ⋅ + =+ tgtg βα βα βα coscos )sin( ⋅ − =− tgtg
  • 11. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму: 2 )cos()cos( coscos βαβα βα ++− =⋅ 2 )cos()cos( sinsin βαβα βα +−− =⋅ 2 )sin()sin( cossin βαβα βα −++ =⋅ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ Тригонометрична функція Обернена тригонометрична функція y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x y = arcsin x y = arcos x y = arctg x y = arcctg x Для тригонометричних функцій і обернених для їх функцій виконуються такі рівності: sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tg(arctg x) = x ctg(arcctg x) = x arcsin(sin x) = x arccos(cos x) = x arctg(tg x) = x arcctg(ctg x) = x Тригонометричними рівняннями називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є аргументом тригонометричної функції. Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції періодичні). Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує. Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь: Тригонометричне рівняння Розв'язок sin x = a cos x = a tg x = a x = (–1)k ·arcsin a + kπ, k ϵ Z x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z x = arctg a + kπ, k ϵ Z Окремі випадки: sin x = 1, Zkkx ∈+= ,2 2 π π sin x = 0, Zkkx ∈= ,π sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,2 2 π π cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π cos x = 0, Zkkx ∈+= , 2 π π cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ
  • 12. Тема: Тригонометричні функції Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь: sin kx = a, ( ) k na x n π+⋅− = arcsin1 Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями. cos (kx + c) = a, k cna x −+± = π2arccos Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей виду: sin x ≥ a cos x ≥ a tg x ≥ a ctg x ≥ a sin x > a cos x > a tg x > a ctg x > a sin x ≤ a cos x ≤ a tg x ≤ a ctg x ≤ a sin x < a cos x < a tg x < a ctg x < a Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.