1. Unitat 4: Potències i arrels
1. Definició de potència
a) Quan la base és un enter
b) Quan la base és una fracció
2. Producte i quocient de potències de base igual
3. Potència d'una potència
4. La notació científica
5. Arrels quadrades
2. 1.Definició de potència
Exponent
a · a · a · a · ...=a
n
n vegades
ex:
7·7·7·7=7
4
-La base és el factor que es multiplica
-L'exponent és el nombre de vegades que es repeteix
-Si no hi ha valor, vol dir que l'exponent és 1
-Si l'exponent és 2, diem "al quadrat", si és 3, diem "al cub"
-Si és 4 "a la quatre", si és 5 "a la cinc", etc.
Base
3. a) Quan la base és un enter
-Si la base és positiva, el resultat sempre serà positiu.
35 = 3·3·3·3·3 = 243
-Si la base és negativa (la tenim entre parèntesi), i l'exponent és
parell, el resultat sempre serà positiu.
(-3)2 = (-3)·(-3) = 9
(-2)6 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 64
-Si la base és negativa (la tenim entre parèntesi), i l'exponent és
senar, el resultat sempre serà negatiu.
(-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27
e
Ex
ici
rc
7
g.7
à
4p
4. b) Quan la base és una fracció
Si apliquem la mateixa definició de potència:
()
n
n
a
a a a
a
= · · · ...= n
b
b b b
b
.77
g
pà
3
,2, g.77
1,8 pà
is
cic is 6,7
xer cic
E er
Ex
n vegades
Veiem que la potència de base fraccionària equival a elevar a
l'exponent indicat tant el numerador com el denominador.
()
3
3
2
2 2 2 2
8
= · · = 3=
3
3 3 3 3 27
2
5
52 25
= 2=
2
4
2
()
5. 2. Producte i quocient de potències de base igual
-Quan multipliquem potències de la mateixa base, el resultat
serà una potència de base igual que tindrà com a exponent la
suma dels exponents.
23·24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27
23
24
Exercici 9 pàg.79
-Quan dividim potències de la mateixa base, el resultat serà una
potència de base igual que tindrà com a exponent la resta dels
exponents.
5
(5-3=2)
3 3 · 3 · 3 ·3 · 3 3 ·3 2
3 :3 = 3 =
=
=3 Exercici 10 pàg.79
3 · 3 ·3
1
3
Exercici 11 i 13 pàg.79
5
3
6. 3. Potència d'una potència
-Quan tenim una potència d'una potència, obtenim una nova
potència de base igual que tindrà com a exponent el producte
dels exponents.
(3·2=6)
(53)2 = 53 · 53 = 56
Exercici 16 pàg.81
-Si tenim la potència d'un producte de nombres, podem
expressar-la com a producte de les potències d'aquests
nombres.
(6 · 5)3 = (6 · 5)·(6 · 5)·(6 · 5)= 6 · 5 · 6 · 5 · 6 · 5 = 63 · 53
Exercici 17 i 18 pàg.81
Exercici 19, 20 i 21 pàg.81
7. RESUM DE LES PROPIETATS DE LES POTÈNCIES
-Multiplicació
-Divisió
-Potència
-Potència de
producte
-Potència de
fracció
m
n
m+ n
m
n
m−n
a · a =a
a : a =a
m n
(a ) =a
n
n
()
n
a
a
= n
b
b
3 5 : 33 = 3 2
m· n
(a · b) =a · b
n
2 3 · 24 = 27
(53)2 = 56
n
(6 · 5)3 = 63 · 53
()
2
2
5
5 25
= 2=
2
4
2
8. 4. La notació científica
Físics, astrònoms, enginyers, geòlegs...
Els científics utilitzen
nombres enormement
grans, i també nombres
enormement petits:
Distància de la terra al sol: 150.000.000.000 metres
Diàmetre d'un virus: 0,00000015 metres
Facilitem la feina utilitzant la Notació científica:
1,5 · 1011 m
Químics, biòlegs, nanofísics,...
1,5 · 10-7 m
9. 4. La notació científica
En la notació científica els nombres s'expressen com a producte entre
un nombre decimal entre l'1 i el 9 i una potència de base 10.
1,5 · 1011
3,27 · 10-21
-Si l'exponent és positiu, es tracta d'un nombre molt gran; si és
negatiu, tenim al davant un nombre molt petit.
Anem a la fitxa de n.c.
-Per passar a notació científica seguirem 2 passos:
1r) Farem córrer la coma fins just després de la primera xifra
diferent de zero.
2n) L'exponent de la potència tindrà un valor igual al nombre de
posicions que s'ha mogut. Si hem anat cap a l'esquerra, serà positiu; si
hem anat cap a la dreta, serà negatiu.
Tornem a la fitxa de n.c.
10. 5. Arrels quadrades
L'arrel quadrada és la operació inversa d'elevar al quadrat:
2
√ a=b ⇔ b =a
√ 25=5
ja que 52=5·5=25
√ 25=−5
ja que (-5)2=(-5)·(-5)=25
Totes les arrels quadrades ténen dues solucions: la positiva i la
negativa
√ −25=∅
ja que un nombre parell multiplicat per ell
mateix mai pot donar negatiu
(- · - = +)
Repassar arrels quadrades exactes
11. 5. Arrels quadrades
-Aplicació: càlcul del costat d'un quadrat coneixent-ne la superfície.
Sabem que: costat · costat = superfície
c?
√ 9=3 cm
c?
-Propietats:
√ a · √ b= √ a · b
√
√ a= a
√b b
√ 8 · √ 2=√ 8 · 2= √ 16=±4
√
√ 6 = 6 = √ 3 nova p.5
a
ar c
√ 2 2 xercicis B
E
i
34
5
