�ݺ�ߣ

เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556
ตอนที่ 1 แบบระบายตัวเลขที่เป็นคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1.

ตอบ 4

หลักในการแก้ อสมการพหุนาม
( x  1)( x  3)
 0
x(2 x  1)

2.

3.




-1




0

-

แยกตัวประกอบ
เขียนเส้ นจานวน

1.

สามารถเขียนเส้นจานวนได้ดังรูป


ทาให้ ข้างใดข้ างหนึงเป็ น 0
่
ทาให้ สมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกาลังมากสุดเป็ น 
ั

4.

จากอสมการ

** ระวัง ค่า x

ที่ทาให้ สวนเป็ น 0 ต้ องเป็ นช่วงเปิ ด
่

3

ดังนั้นจานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวมี 4 จานวนคือ -1 , 1 , 2 , 3 นั่นเอง
2.

ตอบ 25
จากที่เรารู้ว่า


2i

เนื่องจาก

2i

เป็นคาตอบของสมการ

จะเป็นคาตอบของสมการ
P( x)

P( x )  0

P( x )  0

ด้วย

เป็นพหุนามกาลัง 3 ดังนั้นจะต้อง

มีคาตอบของสมการ

P( x )  0

อีกคาตอบหนึ่งด้วย

สมมติให้ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งคือ

ทฤษฎีท่ เกี่ยวกับรากของสมการพหุนาม
ี
เป็ นพหุนามที่มีสมประสิทธิ์
ั

กาหนดให้

เป็ นจานวนเต็ม หากเรารู้วาจานวนเชิงซ้ อน
่
คาตอบของสมการ
จะเป็ นคาตอบของสมการ

mx  n

นั่นคือ

แล้ ว เราจะได้ วา
่
ด้ วย ^^

P( x)  ( x  2i)( x  2i)(mx  n)

ดังนั้น

เป็ น

P( x)  2 x3  ax2  bx  12  ( x2  4i 2 )(mx  n)  ( x2  4)(mx  n)

 เมือเทียบสัมประสิทธิ์ของ
่

x3

เลยทาให้เราได้ว่า

m2

 เมือเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ค่าคงที่พจน์สุดท้าย เลยทาให้เราได้ว่า
่
สรุป :

P( x)  ( x  2i)( x  2i)(2 x  3)  ( x 2  4)(2 x  3)


n3

P(1)  (1  4)(2  3)  25

เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุมคณิตมัธยมปลาย หน้ า 2
่
http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้น
้
้

3.

ตอบ 0.75
จาก

3
a
2
sin A sin B

a
b

จะได้ว่า

2b  3a

จากกฎของไซน์
sin A sin 2 A
 3
a
2a

b



sin A 

sin 2 A
3
2

กฎของไซน์ สาหรับสามเหลี่ยมทั่วไป
สามเหลียม ABC ที่มี
่
ความยาวด้ านตรงข้ าม

c

b

มุม A , B, C คือ a , b ,c

แต่จาก

sin 2 A  2sin A cos A

3
sin A  2sin A cos A
2
3
cos A   0.75 นั่นเอง
4

B

ตามลาดับ เราจะได้ วา
่


C

กฎของไซน์ คือ

4.

A

หมายเหตุ

a

นะครับ :))

:

ตอบ 8

v  u   w   w v  u
จะได้ว่า  v  u   w   v  w  u
  i  2 j  4k    2i  j  3k 
จาก

 (1)(2)  (2)(1)  (4)(3)

ความสัมพันธ์ ระหว่ างการ dot และการ cross
สาหรับเวกเตอร์

ใดๆ เราจะได้ วา
่

(นันคือ เวกเตอร์ สามารถเลือนไปทางขวาได้ 1 ตาแหน่ง
่
่
ทัง้ 3 เวกเตอร์ ในทางเดียวกันในทานองว่าเป็ น loop

 8

โดยที่เครื่ องหมาย  และเครื่ องหมาย  ยังต้ องอยูทเี่ ดิม)
่

หมายเหตุ
1. สาหรับเวกเตอร์
2. ถ้า

u

และ v ใดๆ เราจะได้ว่า

u  ai  b j  ck

ความรู้เพิ่มเติม

1

และ

u  v  v  u

v  di  e j  f k


u  v  ad  be  cf

: ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการดาเนินการตามแถว

การดาเนินการตามแถว (Row Operation) คือกระบวนการที่เราจะปรับรู ปแบบของเมทริ กซ์เพื่อให้ได้
่ ้
เมทริ กซ์ใหม่ที่สะดวกต่อการคานวณมากขึ้น มีอยูดวยกัน 3 ลักษณะคือ
1. คูณแถวที่
2. สลับแถวที่
3. คูณแถวที่

ด้วยค่าคงที่

i
i
i

k

(เมื่อ k  0 ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

กับแถวที่

j

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ด้วยค่าคงที่

k

(เมื่อ k  0 ) แล้วนาไปบวกกับแถวที่

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
โดยเราจะใช้เครื่ องหมาย

~

kRi

Rij

j

(แถวที่ j จะเปลี่ยนแปลง)

kRi  R j

แทนการดาเนินการตามแถวในแต่ละขั้นตอน และเขียนกากับไว้ทุกขั้นตอน

่
้
้

เช่น กาหนดให้

1 4 2 
A   2 1 0 


0 3 4 



 ถ้าเมทริ กซ์


จากระบบสมการ

โดยการดาเนินการ

B~C


ความรู้เพิ่มเติม


A~ B

C~D

2


2R3


2R1  R2



R23

1 4 2 
B   2 1 0 


 0 6 8 2 R3



1 4 2 
C   4 7 4  2 R1  R2


 0 6 8



1 4 2 
D   0 6 8


 4 7 4  R23



: การแก้ระบบสมการกับการดาเนินการตามแถว

a11 x  a12 y  a13 z  b1
a21 x  a22 y  a23 z  b 2
a31 x  a32 y  a33 z  b 3

เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ได้เป็น

 a11

 a21
 a31


a12
a22
a32

a13 b1 
a23 b 2 

a33 b3 


ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้การดาเนินการตามแถวทั้ง 3 แบบที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น กับเมทริกซ์แต่งเติมนี้
อย่างไรก็ตาม เราจะได้วา คาตอบของระบบสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง
่
5.

ตอบ 17
จากระบบอสมการที่โจทย์กาหนดให้

แต่โจทย์กาหนดให้

1 2 3 a 
1 2 3 9 
1 3 0 b  ~ 0 1 3 5 




 2 5 5 c 
0 0 1 2





ซึ่งจาก

1 2 3 9 
0 1 3 5 


0 0 1 2 




x  1 , y  1

ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า

x  2 y  3z  a
x  3y
 b
2 x  5 y  5z  c

จะทาให้เราได้ว่า

และ

z2

,

เขียนเป็นเมทริกซ์ได้เป็น

1 2 3 a 
1 3 0 b 


 2 5 5 c 



แสดงว่าระบบสมการจะไม่เปลี่ยนไป

y  3z  5

และ

x  2 y  3z  9

z2

c  2 x  5 y  5z  2(1)  5(1)  5(2)  17

่
้
้

6.

ตอบ 12
 log7 625 log5 343


สมบัติของ
และ

log 5 log 7

log 7 log 5

1.



4log 5 3log 7

 12
log 7
log 5

2.

เมื่อ

คือฐาน log ใหม่ที่ต้องการ

ตอบ 0.20
จากตารางที่กาหนดให้ ต้องหาความถี่
จากความถี่สะสมก่อน ดังตาราง
ดังนั้นนักเรียนทั้งหมดมี 200 คน
และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วง
50-59 คะแนนทั้งหมด 40 คน
ดังนั้น เมื่อสุ่มนักเรียนมา 1 คน
ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้
คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนน เท่ากับ

8.

เป็ นจานวนจริงใดๆ

3



7.

สาหรับข้ อนี ้

กาหนดให้

log 625 log 343

log 7
log 5
4

log

คะแนนสอบ
10 - 19
20 - 29
30 - 39
40 - 49
50 - 59
60 - 69
70 ขึ้นไป

ความถี่สะสม (คน)
10
35
80
145
185
195
200

ความถี่
10
25
45
65
40
10
5

40
 0.20
200

ตอบ 720
โจทย์กาหนดให้เลข 3 ทั้งสองตัวต้องอยู่ติดกัน
เราจึงต้องมัดเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไว้ด้วยกัน ดังนี้
1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6

ดังนั้นการสร้างจานวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด

หลักการพืนฐานของการเรียงของติดกัน
้
หากเราต้ องการให้ สงของใดอยูตดกัน ให้ มดรวมของเหล่านัน
ิ่
่ ิ
ั
้
อยูด้วยกัน แล้ วนับว่าเป็ นของเพียง 1 ชิ ้น และอย่าลืมคิด
่
ด้ วยว่า ของทีเ่ รามัดอยูติดกันนันสามารถสลับตาแหน่งกัน
่
้

7 ตัว ดังกล่าว ก็คือการสลับของที่แตกต่างกัน

ได้ ด้วย ยกเว้ น!!! ของที่เรามัดติดกันนันมันเหมือนกัน
้

ทั้งหมด 6 ชิ้นนั้นเอง ซึ่งสามารถทาได้

เพราะของเหมือนกันสลับที่กนไม่ทาให้ เกิดวิธีใหม่นะครับ^^
ั

6!  720

วิธี นั่นเอง

่
้
้

9.

ตอบ 3

หลักการพืนฐานของการหาลิมิตของลาดับ
้

 n3
n2 
lim an  lim  2


n 
n  n  2
n3


ให้ ดดกรี ที่มากที่สดของเศษและส่วน
ูี
ุ

 n3 (n  3)  n 2 (n 2  2) 
 lim 

n 
(n2  2)(n  3)


 n4  3n3  n4  2n2 
 lim  3

2
n 
 n  3n  2n  6 







หมายเหตุ : ถ้ าเป็ น ไม่มีคา  ไม่มีคา จะยังสรุปไม่ได้
่
่
ต้ องจัดรูปใหม่ก่อนเสมอ แล้ วจึงหาค่าของลิมิตใหม่อกครัง
ี ้

ให้

ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ

f ( x)  3x  6 x  9

f ( x)  0


2

2



หลักการพืนฐานของการหาสุดขีดสัมบูรณ์
้

f ( x)  x  3 x  9 x  1
3


เพื่อหาค่าวิกฤต

ได้ จาก

ขันที่ 3 : หาค่าของฟั งก์ชนทีตาแหน่ง
้
ั ่
ค่าที่มากที่สด = ค่าสูงสุดสัมบูรณ์
ุ

กาหนดให้เราพิจารณาในช่วง  1, 2
f (1)  4

,

ค่าที่น้อยที่สด = ค่าตาสุดสัมบูรณ์
ุ
่

x 1

f (1)  12

ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน

และ

ขันที่ 4 : เปรี ยบเทียบค่าที่ได้ จากขันที่ 2 และขันที่ 3
้
้
้

แต่ต้องระวัง  เพราะข้อนี้โจทย์

เพราะว่า

เท่านันนะครับ
้

ขันที่ 2 : หาค่าของฟั งก์ชนทีตาแหน่งค่าวิกฤต
้
ั ่

x 1

ดังนันค่าวิกฤตจึงคิดเฉพาะ
้

โดยหา

แต่จะพิจารณาเฉพาะ

ค่าวิกฤตที่อยูในช่วง
่

( x  3)( x  1)  0

หรือ

บนช่วง

ขันที่ 1 : หาค่าวิกฤตทังหมดของฟั งก์ชน
้
้
ั

3( x 2  2 x  3)  0

x  3

ไม่มีคา
่

เช่น

ตอบ 12
จาก

2. ถ้ า เศษ > ส่วน : ลิมิตจะตอบไม่มีคา(เป็ นจานวนจริง)
่

3. ถ้ า เศษ = ส่วน : ลิมิตจะตอบค่าส.ป.ส. เศษ  ส่วน

 3

10.

เช่น

เช่น



3n3  2n 2
 lim  3

2
n  n  3n  2n  6



2

3

n
 lim 
n 
3 2 6
 1  2  3
n n n


1. ถ้ า เศษ < ส่วน : ลิมิตจะตอบ 0

และ

f (2)  3

f ( x)  x 3  3 x 2  9 x  1

บนช่วง  1, 2 มีค่าเท่ากับ 12

่
้
้

�ݺ�ߣ

4339

More Related Content

4339