2. Viendojumus, kas satur nezinmo funkciju y
= y(x), sauc par funkcionlviendojumiem.
Par diferencilviendojumu sauc tdu
funkcionlviendojumu, kas satur nezinms
funkcijas atvasinjumus vai diferenci勅us.
dy
f x
dx
y F x C
3. Pirms krtas diferencilviendojuma
vispr朝gais veids ir
F x, y , y 0
T normlforma ir
dy
f x, y jeb y f x, y
dx
5. 禽庄韓艶姻艶稼界庄偵鉛厩庄艶ndojuma ietilpsto邸
nezinms funkcijas augstk atvasinjuma
krtu sauc par diferencilviendojuma krtu.
N-ts krtas diferencilviendojuma
vispr朝gais veids ir
n
F x, y, y , y ,..., y 0
T normlforma ir
n n 1
y f x, y, y , y ,..., y
7. Pirms krtas diferencilviendojuma
vispr朝gais veids ir
x arguments
F x, y , y 0
y mekljam funkcija
y mekljams funkcijas atvasinjums
T normlforma ir
dy
f x, y jeb y f x, y
dx
8. 禽庄韓艶姻艶稼界庄偵鉛厩庄艶ndojumu var prveidot
diferencil form
P x, y dx Q x, y dy 0
x
y xdx ydy
y
2 2
dy x x y C
dx y
9. Pirms krtas diferencilviendojuma
atrisinjums jebkura funkcija y = (x), kuru
l朝dz ar ts atvasinjumu ievietojot dotaj
viendojum, ieg笛st identitti.
禽庄韓艶姻艶稼界庄偵鉛厩庄艶ndojuma atrisin邸ana
diferencilviendojuma integr邸ana.
10. Ja viendojuma y = f(x, y) labs puses
funkcija f(x, y) un ts parcilais atrisinjums
fy(x, y) ir neprtrauktas funkcijas kd Oxy
plaknes apgabal D, tad, lai kds b笛tu 邸朝
apgabala punkts (x0; y0), eksist viens vien朝gs
atrisinjums y = (x), kas apmierina
nosac朝jumu y0 = (x0).
Skuma nosac朝jums y(x0) = y0.
y = (x,C) diferencilviendojuma
vispr朝gais atrisinjums apgabal D.
11. Defin朝cija
Uzdevumu
dx dy
f (t , x ) f ( x, y )
dt dx
x (t 0 ) x 0 y ( x0 ) y0
sauc par Ko邸朝 jeb skuma vrt朝bu problmu.
Katras Ko邸朝 problmas atrisinjumu ar noteiktu konstantes C
vrt朝bu sauc par viendojuma partikulro atrisinjumu
Visu viendojuma partikulro atrisinjumu saimi sauc par
邸朝 viendojuma vispr朝go atrisinjumu.
12. 永庄艶馨擢姻庄
y 1 y ( x) x C
2
y 2x y ( x) x C
1
y y ( x) ln x C, t 0
x
y y y ( x) ?
13. Defin朝cija
L朝niju, kuras punktos y=c, sauc par viendojuma izokl朝nu.
Viendojuma (1.2) izokl朝nas var atrast no viendojuma
f(x, y)=c
f(x, y)=k
14. y
x xdx ydy
y
dy x x 2
y 2
C
dx y
x
Izokl朝nas ir taisnes k
y
Integrll朝nijas ir koncentriskas l朝nijas
16. 1 y2
dy y 0
f1 x f 2 y 1 x
dx 2
dy 1 y
dy dx
f1 x dx 1 x
f2 y dy dx
2
1 y 1 x
dy
f1 x dx C arcsin y 2 1 x C
f2 y
y sin 2 1 x C
17. Pirmskrtas diferencilviendojumu
y=f(x,y) sauc par homognu attiec朝b pret
main朝gajiem, ja 邸o viendojumu var
prveidot
y = (y/x)
x3 2 y3
y 2
3 xy
18. x3 2 y 3 Substit笛cija
y x3 x3 y
3xy 2 z y xz
x
x3 ar funkciju
3
y z zx
1 2
x
y 2 dy dz
y z x
3 dx dx
x
19. 3
xz
1 2 xdz 1 2z 3
dz x z
z x 2 dx 3z 2
dx xz
3
x
xdz 1 2 z 3 3z 3
dx 3z 2
dz 1 2z3
z x
dx 3z 2 xdz 1 5z 3
2
dx 3z
20. 3
x 1 5z 1
dx 3 z 2 dz
2
dx 3 z dz
3
x 1 5z
2
3z dz
ln x 3
C d 1 5z 3 15 z 2 dz
1 5z
21. 3
1 d 1 5z
ln x 3
C
15 1 5 z
1 3
ln x ln 1 5 z C
15
3
1 y
ln x ln 1 5 C
15 x
22. 2 2 Substit笛cija
2 xyy x y 0
y
2 2 2 2 z y xz
2x z z xz x x z 0 x
ar funkciju
2
2z z xz 1 z 0
z zx
2 2
2z 2 xzz 1 z 0
dy dz
2 z x
z 2 xzz 1 0 dx dx
23. 2 2
z 2 xzz 1 0 d z 1 dx
2
2 xzz z 2
1 z 1 x
2 xzdz 2
ln z 2 1 ln x ln C
z 1
dx C
2
z 1
2 zdz dx 2
x
2 y C
z 1 x 1
x x
24. 2x y 1 x p x a p
y
x 2y 1 y q y b q
db 2a 2 p b q 1
da a p 2b 2q 1
1
2p q 1 0 p
3
p 2q 1 0 1
q
3
25. 1 1
x x a
3 3
1 1
y y b
3 3
db 2a 2 p b q 1 1
p
da a p 2b 2q 1 3
1
q
3
1 1
2a 2 b 1
db 3 3
da 1 1
a 2b 2 1
3 3
27. Pirms krtas diferencilviendojumu sauc
par lineru diferencilviendojumu, ja
nezinmo funkciju y un ts atvasinjumu y
邸is viendojums satur tikai pirmaj pakp
ax y bx y cx 0
ax y bx y cx
0
ax ax ax
y px y f x
28. Jaf(x) = 0, tad pirms krtas lineru
diferencilviendojumu sauc par lineru
homognu viendojumu.
y px y 0
29. dy
px y
dx
dy
p x dx ln y p x dx ln C
y
p x dx
y Ce
30. y u v
y px y f x
y u v uv
u v uv p x uv f x
v u p x u uv f x
p x dx
u pxu 0 u e
31. uv f x
f x
v
u
p x dx p x dx
u e v f xe dx C
p x dx p x dx
y uv e f xe dx C
32. x
y xy x 1e
u xu 0
2 x2
x 2
ln u u e
2
x2 2
2
x
2
x x
2
x dv e d x
v x 1e 2
x2
x
2
v e C
x2 x2 x2
x
2 2 x 2
y u v e e C e Ce
33. y px y f x yn
Saucpar Bernulli diferencilviendojumu, ja
p(x) un f(x) ir neprtrauktas argumenta x
funkcijas, bet n ir jebkur邸 rels skaitlis,
izemot 0 vai 1.
y px y f x yn
yn yn yn
y ny p x y1 n
f x
34. n 1 n 1 n
y y px y f x y z
n
z 1 n y y
n z
y y
1 n
z
pxz f x
1 n
y px y f x
35. Viendojumu
dU(x, y) = 0
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0)
sauc par eksaktu jeb totlu
diferencilviendojumu ar nosac朝jumu, ka
jb笛t spk
P Q
y x
36. 4 xy 15 x 2 3 y 2 dx 2 x 2 9 xy 2 dy 0
2 2 2 2
P 4 xy 15 x 3y Q 2x 9 xy
P 2 Q
4x 9 y 4x 9 y2
y x
U 4 xy 15x 2 3 y 2 dx y 2 x 2 y 5x3 3xy 3 y
37. U
Q
y
2 x 2 y 5x3 3xy 3 y y 2 x 2 9 xy 2
2 x 2 9 xy 2 y 2 x 2 9 xy 2
y 0
y C
U 2 x 2 y 5 x 3 3xy 3 C
40. 禽庄韓艶姻艶稼界庄偵鉛厩庄艶ndojuma ietilpsto邸
nezinms funkcijas augstk atvasinjuma
krtu sauc par diferencilviendojuma krtu.
N-ts krtas diferencilviendojuma
vispr朝gais veids ir
n
F x, y, y , y ,..., y 0
T normlforma ir
n n 1
y f x, y, y , y ,..., y
41. Ja diferencilviendojuma
y = f(x, y, y)
labs puses funkcija f(x, y, y) un ts parcilie
atvasinjumi
f f
y y
ir neprtrauktas funkcijas kd apgabal ,
kas satur punktu (x0; y0; y0), tad eksist
viens vien朝gs diferencilviendojuma
atrisinjums, kas apmierina
y x x y0 y x x y0
0 0
43. Ja diferencilviendojums nesatur nezinmo
funkciju y un ts atvasinjumus l朝dz (k 1)-
ms krtas atvasinjumam
F(x, y(k), y(k + 1), , y(n)) = 0,
Tad 邸朝 viendojuma krtu var pazemint par
k vien朝bm, izmantojot substit笛ciju
Y(k) = z
F(x, z, z, z(n-k)) = 0
44. y y z
y
x y z
z dz dx
z
x z x
dz z ln z ln x ln C1
dx x
45. y C1 x
2
y C1 xdx C1 x C2
2 3
y C1 x C2 dx C1 x C2 x C3
46. Rakstur朝g viendojuma uzrakst朝邸ana
Rakstur朝g viendojuma saku atra邸ana
Atkar朝b no atrastajm saknm dot
diferencilviendojuma vispr朝g
atrisinjuma uzrakst朝邸ana
47. 禽庄韓艶姻艶稼界庄偵鉛厩庄艶 ay + by +cy = 0
ndojums
Rakstur朝gais a 2 + b +c = 0
viendojums
Rakstur朝g 1 2 1 = 2 = 1, 2 = i
viendojuma
saknes
Atrisinjuma e 1x, e 2x e x, xe x e x cos x
fundamentlsis e x sin x
tma
Vispr朝gais y = C1e 1x + y = e x (C1 + y = e x (cos x
atrisinjums C2e 2x C2x) + sin x)
48. y 4y 13 y 0
2
4 13 0
1, 2 2 3i
2x
y e C1 cos 3x C2 sin 3x
49. Linera nehomogna otrs krtas
diferencilviendojuma
y ' ' a1 ( x) y ' a0 ( x) y f ( x)
vispr朝gais atrisinjums ir
y y hom y*
kur y hom C1 y1 C 2 y 2
ir atbilsto邸 homogn diferencilviendojuma
y ' ' a1 ( x) y ' a0 ( x) y 0
atrisinjums un ir dot nehomogn
diferencilviendojuma partikulrais
atrisinjums.
50. Uzrakst朝t atbilsto邸o homogno viendojumu un
atrod t vispr朝go risinjumu.
Atkar朝b no labs puses funkcijas f(x) un
rakstur朝g viendojuma saknm uzraksta
nehomogn viendojuma partikulro
atrisinjumu ar nenoteiktiem koeficientiem.
Apr跳ina nenoteiktos koeficientus t, lai 邸is
atrisinjums apmierintu doto
diferencilviendojumu.
Uzraksta dot viendojuma vispr朝go
atrisinjumu k homogn viendojuma vispr朝g
atrisinjuma un nehomogn viendojuma
partikulr atrisinjuma summu.
51. f(x) 1,2 y*
Pn(x) 1,2 0 Qn(x)
1 = 0, 2 0 xQn(x)
Ae x
1,2 Me x
1 = , 2 Mxe x
1,2 = Mx2e x
A cos x + B sin x 1,2 i M cos x + Nsin x
1,2 = i x(M cos x + Nsin x)
52. y 2y 3y 3
Homognais viendojums un t saknes
2
2 3 0 Y C1e 3x
C2 e x
1 3 2 1
y* 3 y* 0 y* 0
3A 3
3x x
A 1 y C1e C2 e 1
53. 2
y y 3x 4
Homognais viendojums un t saknes
2
0 Y C1 C2 e x
1 0 2 1
2
y* 2
Ax Bx C x y* 3 Ax 2 Bx C
y* Ax 3 2
Bx Cx y* 6 Ax 2 B
54. 2 2
6 Ax 2B 3 Ax 2Bx C 3x 4
3A 3 A 1
6 A 2B 0 B 3
2B C 4 C 2
x 3 2
Y C1 C2 e x 3x 2x
55. y 4y 4y 2e 2 x
Homognais viendojums un t saknes
2
4 4 0 2x
Y C1 C2 x e
1, 2 2
y* Mx 2 e 2 x y* 2Mxe 2 x 2Mx 2 e 2 x
y* 2Me 2 x 4Mxe 2 x 4Mxe 2 x 4Mx 2 e 2 x
56. 2x 2x 2x 2 2x
2Me 4Mxe 4Mxe 4Mx e
2x 2 2x 2 2x 2x
2Mxe 2Mx e Mx e 2e
2x 2x
2Me 2e
M 1
2x 2 2x
Y C1 C2 x e xe
