พื้นที่ใต้ส้Ȩค้งปกติม.6
- 1. 1 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 โค้งปกติ x x Med Mo Med Mo แทน ค่าเฉลียเลขคณิต ่ แทน มัธยฐาน แทน ฐานนิยม 1. สมบัตของเส้ นโค้งปกติ ิ เส้นโค้งปกติ มีลกษณะคล้ายรู ประฆัง ไม่มีการเบ้ และเส้นโค้งทั้งสองข้างจะต้อง ั สมมาตรกับแกนตั้งที่ลากผ่าน x ซึ่งเส้นโค้งปกติ มีสมบัติ ดังนี้ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต มัธยฐาน และฐานนิ ยมจะมีค่าเท่ากัน และจะอยู่ ณ จุดที่ เส้นตรงลากผ่านจุดโด่งสุด ของเส้นโค้งนั้นตั้งฉากกับแกนนอน 2. เส้นโค้งจะมีเส้นตรงตั้งฉากที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต เป็ นแกนสมมาตร 3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกนนอน เมื่อต่อปลายเส้นโค้งทั้งสองข้าง ให้ห่างจากค่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตออกไป แต่ไม่ตดแกนนอน ั 4. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ (พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ คือ ความถี่ ของข้อมูลทั้งหมด) 2. การหาพืนทีใต้ เส้ นโค้ งปกติ ้ ่ 2.1 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งปกติ ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็ น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 1 เรี ยกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน (Standard normal cueve) ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ระหว่าง Z = 0 และ Z ใด ๆ จะใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ซึ่งแสดงพื้นที่ ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z = 0.01 , 0.02 , … , 3.89 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน เป็ นดังนี้ เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 2. 2 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 –3 –2 –1 0 68.27% 1 2 3 95.45% 97.73% เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 หรื อ 100% เส้นสมมาตรที่ Z = 0 จะแบ่ง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติออกเป็ น 2 ส่วน คือ 0.5 หรื อ 50% ดังนี้ .50 2.2 .50 Z= 0 ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 2.2.1 ลักษณะของตาราง ลักษณะของตาราง สาหรับการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของ สสวท. จะเป็ นดังนี้ Z A เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 3. 3 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 0.00 .01 0.0000 .0041 .09 .0359 3.89 .5000 การหาพื้นที่จาตาราง จากตารางในข้อ 2.2.1 ถ้าของอยากทราบว่า Z = 0.09 จะมีพ้ืนที่เท่าใด เราก็ไปดูในตารางช่อง Z แถวที่ 0.09 ให้ตรงกับช่อง A ก็จะได้พ้ืนที่ ตามต้องการ คือ 0.0359 2.3 การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง x = x1 และ x = x2 มีวิธีการหา ดังนี้ 2.2.2 2.3.1 x1 และ x2 เปลี่ยนให้เป็ นค่ามาตรฐาน Z1 และ Z2 ตามลาดับ โดย ใช้สูตร Z1 = Z2 = 2.3.2 x1 x s x2 x s นาค่า Z1 และ Z2 ที่ได้ไปหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน จากตาราง หาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ดังรู ป Z1 0 Z2 จะได้ว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง x1 และ x2 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มาตรฐานระหว่าง Z1 และ Z2 ต่อไปนี้ เป็ นการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในลักษณะต่าง ๆ เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 4. 4 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของข้อมูลที่มี ซึ่งอยูทางขวามือ x = 4 ่ วิธีทา ให้ Z เป็ นค่ามาตรฐานของ x = 4 Z = = = x = 1 และ S = 1.5 x x s 4 1 1.5 2 โค้งปกติมาตรฐาน โค้งปกติ –3.5 –2.0 –0.5 1.0 2.5 x=4 x –3 –2 –1 0 1 2 3 พื้นที่ที่ตองการ จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = 2 ้ ซึ่งเท่ากับ 0.5 – ( พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2 ) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228 ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติต่อไปนี้ 1. พื้นที่ระหว่าง Z = 1.25 และ Z = 2.10 2. พื้นที่ทางขวามือ Z = 1.5 3. พื้นที่ทางขวามือ Z = – 1.2 4. พื้นที่ทางขวามือ Z = 1.66 5. พื้นที่ระหว่าง Z = – 0.57 และ Z = 1.05 วิธีทา 1) เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั Z
- 5. 5 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 0 1.25 2.10 พื้นที่ระหว่าง Z = 1.25 และ Z = 2.10 = (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2.10) – (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2.10) = 0.4821 – 0.3944 = 0.0877 2) 0 1.5 พื้นที่ทางขวา Z = 1.5 = (พื้นที่ทางขวาของ Z = 0 ) – (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0688 3) –1.2 0 พื้นที่ทางซ้ายของ Z = –1.2 = (พื้นที่ระหว่าง Z = –1.2 และ Z = 0) + (พื้นที่ทางขวาของ Z = 0) = (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.2 ) + (พื้นที่ทางขวาของ Z = 0) = 0.33849 + 0.5 = 0.8849 4) เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 6. 6 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 0 1.66 พื้นที่ทางซ้ายของ Z = 1.66 = (พื้นที่ทางซ้ายของ Z = 0 ) + (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.66) = 0.5 – 0.4515 = 0.9515 5) –0.57 0 1.05 พื้นที่ระหว่าง Z = –0.57 และ Z = 1.05 = (พื้นที่ระหว่าง Z = –0.57 และ Z = 0) + (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.05) = (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 0.57 ) + (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.05) = 0.2157 + 0.3531 = 0.5688 แบบฝึ กทักษะ เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 7. 7 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 คาชี้แจง จากตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ในหนังสือเรี ยน หน้า 153 – 155 ให้นกเรี ยนเติมคาตอบที่ถกต้องลงในช่องว่างในตารางต่อไปนี้ ให้สมบูรณ์ ั ู 1. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.35 เท่ากับ …………………………………… 2. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z = –1.35 เท่ากับ …………………………………… 3. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z = 2.45 เท่ากับ …………………………………… 4. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0.65 และ Z = 1.25 เท่ากับ ………………………………… 5. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = –1.25 และ Z = 1.39 เท่ากับ ……………………………….. 6. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = –1.65 และ Z = 2.15 เท่ากับ ……………………………….. 7. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางซ้ายมือของ Z = 1.25 เท่ากับ …………………………………………… 8. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางซ้ายมือของ Z = –3.45 เท่ากับ …………………………………………... 9. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวามือของ Z = –1.75 เท่ากับ ………..………………….…….………… 10. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวามือของ Z = 2.65 เท่ากับ …………..………………..……………… การนาความรู้เกียวกับพืนทีใต้เส้ นโค้งปกติไปใช้ ่ ้ ่ เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 8. 8 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 ความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงปกติ และพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ สามารถนามาใช้แก้ปัญหาโจทย์ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเป็ น 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเป็ น 10 คะแนน จงหาว่ามีเปอร์เซ็นต์ของค่าของข้อมูล ซึ่งมีค่า 1. ระหว่าง 50 และ 80 2. มากกว่า 70 3. น้อยกว่า 40 วิธีทา 1) ข้อมูลระหว่าง 50 และ 80 หมายถึง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง 50 และ 80 เปลี่ยนคะแนน 50 และ 80 ให้เป็ นค่ามาตรฐาน ได้ดงนี้ ั Z = x x S Z = จาก 50 60 10 80 60 10 Z = –1 0 = –1 = 2 2 พื้นที่ระหว่าง Z = – 1 และ Z = 2 = (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1) + (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2) = 0.3413 + 0.4773 = 0.8186 จะมี 81.86% ของค่าของข้อมูล ซึ่งมีค่าระหว่าง 50 และ 80 2) เปลี่ยนคะแนน 70 ให้เป็ นค่ามาตรฐาน ได้ดงนี้ ั จาก Z = x x S เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 9. 9 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 Z = 0 70 60 10 = 1 1 พื้นที่ทางขวา Z = 1 = (พื้นที่ทางขวาของ Z = 0 ) – (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587 = 15.87% จะมี 15.87 % ของค่าของข้อมูล ซึ่งมีค่ามากกว่า 70 3) เปลี่ยนคะแนน 40 ให้เป็ นค่ามาตรฐาน ได้ดงนี้ ั Z = –2 x x S Z = จาก 40 60 10 = –2 0 พื้นที่ทางขวา Z = – 2 = (พื้นที่ทางซ้ายของ Z = 0 ) – (พื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2) = 0.5 – 0.4773 = 0.0227 = 2.27 % จะมี 2.27 % ของค่าของข้อมูล ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 40 ตัวอย่างที่ 2 ในการสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ นาย ก. สอบได้54.4 คะแนน โดยที่ผลการสอบ ครั้งนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 45 และ 5 คะแนน ตามลาดับ ถ้าคะแนนการสอบมีลกษณะการแจกแจงแบบปกติ ั เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 10. 10 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 จงหา นาย ก. สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด วิธีทา ให้ X แทนคะแนนที่ นาย ก. สอบได้ จากโจทย์จะได้ X = 54.4 , x = 45 และ S = 5 เนื่องจากข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ดังนั้น เราจะเปลี่ยนค่า X ให้เป็ น ค่ามาตรฐาน Z โดยใช้สูตร Z = จาก x x S Z = 54 . 4 45 5 = 1.88 นาค่า Z = 1.88 ไปหาพื้นที่จากตาราง จะได้พ้นที่เท่ากับ 0.4700 ื 0 1.88 จากรู ป จะเห็นว่าพื้นที่ใต้เส้นปกติซ่ึง Z 1.88 = 0.5000 + 0.4700 = 0.9700 แสดงว่า มีจานวนข้อมูลอยูประมาณ 97 % ที่มีคะแนนน้อยกว่า 54.4 คะแนน ่ หรื อ มีค่ามาตรฐานน้อยกว่า 1.88 ดังนั้น ถ้ามีผเู้ ข้าสอบ 100 คน จะมี คนที่ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนของ นาย ก. อยู่ 97 ส่วนจาก 100 คน นาย ก. สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97 ตัวอย่างที่ 3 ค่าจ้างรายวันของบริ ษทแห่งหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเท่ากับ 70 บาท ั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 บาท และมีการแจกแจงปกติ นายวิมล ได้รับค่าจ้างตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จงหาว่า นายวิมล ได้รับค่าจ้าง วันละเท่าไร วิธีทา นายวิมล ได้รับค่าจ้างตรงกับ P80 หมายความว่า มีคนงาน 80 % ได้รับ ค่าจ้างต่ากว่า นายวิมล เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 11. 11 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 X X = P50 P80 จากรู ป P80 อยูทางขวามือของ X ่ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง X ถึง P80 เท่ากับ 80 % – 50 % = 30 % จากตาราง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.3000 อยูระหว่าง Z = 0.84 และ Z = 0.85 ่ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 0.84 เท่ากับ 0.2996 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 0.85 เท่ากับ 0.3023 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติต่างกัน (0.3023 – 0.2996) = 0.0027 ค่ามาตรฐานต่างกัน 0.01 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติต่างกัน (0.3000 – 0.2996) = 0.0004 ค่ามาตรฐานต่างกัน 0 . 01 0 . 0004 = 0.00148 0 . 0027 ค่ามาตรฐานที่ตรงกับ P80 เท่ากับ 0.84 + 0.00148 = 0.84148 จากสูตร แทนค่าจะได้ 0.84148 Z = x x S = x 70 6 0.84148 6 = X – 70 5.04888 = X – 70 X = 75.04888 นายวิมล ได้รับค่าจ้างวันละ 75 บาท ตัวอย่างที่ 4 ในการสอบวิชา ค014 มีนกเรี ยนเข้าสอบ 150 คน ปรากฎว่า คะแนนสอบ ั มีการแจกแจงปกติ และการตัดสินผลการสอบ จะตัดสินจากค่ามาตรฐาน ถ้านักเรี ยนคนใดสอบได้ค่ามาตรฐานต่ากว่า –2 ถือว่าสอบตก จาหาว่า ในการสอบครั้งนี้มีผสอบได้ท้งหมดกี่คน ู้ ั วิธีทา นักเรี ยนที่สอบได้ จะต้องได้ค่ามาตรฐานมากกว่า –2 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 ถึง Z = –2 เท่ากับ 0.4773 เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 12. 12 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 สอบตก สอบได้ 0.4773 .5000 –2 0 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่นกเรี ยนสอบได้ = 0.4773 + 0.5000 ั = 0.9773 จานวนนักเรี ยนที่สอบได้ = 0.9773 150 = 146.59 147 ในการสอบครั้งนี้ มีผสอบได้ประมาณ 147 คน ู้ ตัวอย่างที่ 5 ค่าที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็ นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ Z A 1.2 1.3 1.4 0.33849 0.4032 0.4192 1.5 0.4332 1.6 0.4452 ในการสอบครั้งนี้ ถ้าคะแนนสอบแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต 15 คะแนน และผูที่ได้คะแนนมากกว่า 18 คะแนน มี 6.68 % จงหา ้ ความแปรปรวนของการสอบครั้งนี้ วิธีทา มีผที่ได้คะแนนมากกว่า 18 คะแนน มี 6.68 % หรื อ 0.0668 ู้ .4332 0.0668 0 จากสูตร Z แทนค่าจะได้ 1.5 S S2 1.5 = x x S = 18 15 S = = 2 4 เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 13. 13 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 ดังนั้น ในการสอบครั้งนี้ มีความแปรปรวนเท่ากับ 4 แบบฝึ กทักษะ คาชี้แจง ให้นกเรี ยนเติมคาตอบที่ถกต้องลงในช่องว่างในตารางต่อไปนี้ ให้สมบูรณ์ ั ู เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 14. 14 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 1. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเป็ น 60 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 10 คะแนน จะมี …………เปอร์เซ็นต์ของค่าของข้อมูล ซึ่งมีค่าระหว่าง 60 และ 70 …………………………………………………………………………………………………………… 2. ในการสอบคัดเลือกนักเรี ยนเข้าเรี ยนชั้น ม.4 มีผสมัค 3,000 คน ปรากฏว่าคะแนนสอบมี ู้ การแจกแจงปกติ ถ้าตัดสินผูได้ค่ามาตรฐานสูงกว่า 1 เข้าเรี ยนได้ จะมีนกเรี ยนสอบเข้าได้ ้ ั ทั้งหมด…………. คน …………………………………………………………………………………………………………… 3. คะแนนสอบของนักเรี ยนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของคะแนนสอบเป็ น 68 และ 10 คะแนน ตามลาดับ ถ้านายธงชัยสอบได้ 84 คะแนน แล้วเข้าจามีตาแหน่งตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่………………………………………………. (กาหนดพื้นที่ใต้เส้นปกติระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 1.6 เท่ากับ 0.4452) …………………………………………………………………………………………………………… 4. ข้อมูลชุดหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเท่ากับ 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 10 ถ้าพื้นที่ใต้เส้นปกติ Z = 0 ถึง Z = 0.842 เป็ น 0.3000 ดังนั้นเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 80 มีค่าเท่ากับ ………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 5. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ปรากฎว่า มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตคะแนนสอบเท่ากับ 84 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 คะแนน ถ้าให้เกรดตามเส้นโค้งปกติ ปรากฏว่ามีนกเรี ยน ั ได้เกรด A จานวน 10.20 % ดังนั้นคะแนนต่าสุดของเกรด A มีค่าเท่ากับ ………………………. (กาหนดพื้นที่ใต้เส้นปกติระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 1.25 เท่ากับ 0.3980) …………………………………………………………………………………………………………… 6. ในการสอบครั้งหนึ่ง คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวน ของคะแนนสอบเป็ น 25 คะแนน และ 25 (คะแนน)2 ตามลาดับ ถ้า นาย ก. สอบได้ คะแนนตรงตาม Q1 และ นาย ข. สอบได้คะแนนตรงตาม D8 แล้วคะแนนสอบของทั้งสองคน ต่างกันมีค่าเท่ากับ ……………………………… (ประมาณเป็ นจานวนเต็ม) …………………………………………………………………………………………………………… 7. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรี ยน 550 คน มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต และส่วนเบี่ยงเบน เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั
- 15. 15 เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่ อง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระดับชั้นม.6 มาตรฐานของคะแนนสอบเป็ น 75 และ 12 คะแนน ตามลาดับ ถ้าตัดสินว่านักเรี ยนที่ได้ระดับ คะแนน 4 จะต้องได้คะแนนตั้งแต่ 88 คะแนนขึ้นไป แล้วจะมีผได้ระดับคะแนน 4 จานวน ……. ู้ ……………. คน (กาหนดพื้นที่ใต้เส้นปกติ เมื่อ Z = 1.08 , A = 0.3599) …………………………………………………………………………………………………………… 8. นักเรี ยนชั้น ม.5 จานวน 800 คน สอบวิชาสถิติ ปรากฎว่า ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 คะแนน ถ้านายสุวฒน์สอบได้ 68 คะแนน และนายสุวิทย์สอบ ั ได้ 52 คะแนน ถ้าผลสอบครั้งนี้ คะแนนกระจายเป็ นโค้งปกติ จะมีนกเรี ยนที่สอบได้คะแนนมากกว่า ั นายสุวิทย์ แต่นอยกว่านายสุวิทย์ จานวน ………………….…….. คน (กาหนดพื้นที่ใต้เส้นปกติ ้ ระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 1 เท่ากับ 0.34) …………………………………………………………………………………………………………… เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา ั