ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

6 Matrius 2n Batxillerat

•Download as ODP, PDF•
•
Albert Sola
Albert Sola

Tema de matrius per a 2n de Batxillerat

1 of 11
Downloaded 21 times
Tema 6.1 (1): Matrius 1. Nomenclatura i classificació 2. Operacions amb matrius 3. El rang d'una matriu 4. Matrius inverses 5. Equacions matricials
1. Nomenclatura i classificació p10 1,2,3,4,5 element Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents. ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Dimensió: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I). p12 6,7,8,9 Matriu transposada At : S'obté de canviar les files per les columnes. Si A = (aij ), aleshores At = (aji ) p13 E6,10 Només en les matrius quadrades: -Matrius simètriques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisimètriques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n −m b v −n −v c)p13 E7 i 11
2. Operacions amb matrius p14 E8, E9, 12, 13 i 14 Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij = k · aij Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )· ( b11 b21 ... bn1 )=a11·b11+ a12·b21+ ...+ a1n ·bn1 p15E10,E11,15i16 ( b11 b21 ... bm1 )·(a11 a12 ... a1n )= ( b11·a11 b11·a12 ... b11·a1n b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n ... ... ... ... bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n ) “El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)â€
2. Operacions amb matrius Multiplicació de dues matrius: p16 17, 18, 19, E12, 20 full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61 (c11 c12 c21 c22 ) -Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 −3 4 0 1 2)· ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5· 4+ (−3)·0+ 4·1=24 c21=0·4+ 1·0+ 2·1=2 c12=5· 2+ (−3)·5+ 4·3=7 c22=0·2+ 1·5+ 2·3=11 =(24 7 2 11)
3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 −3 4 10 −6 8) Exemples: B=(−4 −4 0 0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 −4 3 −5 2 3 8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les. Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 −2 2 4 2 −1 −1 1 2 −2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 – F1( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 2 −2 0 3) ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 −1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 0 0 0)2F3 – F2 Rang(A) = 22 files no nul·les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
4. Matrius inverses Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A· A−1 =In -Propietats: A−1 · A=I n (A−1 )−1 =A (A· B)−1 =B−1 · A−1 (At )−1 =(A−1 )t p20 E16, 25!, 26, 27
4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan. A= ( 2 −1 2 4 −3 −1 −6 4 −2) ( 2 −1 2 1 0 0 4 −3 −1 0 1 0 −6 4 −2 0 0 1) ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 −1 −1 −1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A −1 · AX =A −1 · B X =A −1 · B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA· A −1 =B· A −1 X =B· A −1 c) Tipus AX + B = C AX + B=C Identitat A −1 · AX =A −1 ·(C−B) X =A −1 ·(C−B) AX =C−B p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10

More Related Content

6 Matrius 2n Batxillerat

  • 1. Tema 6.1 (1): Matrius 1. Nomenclatura i classificació 2. Operacions amb matrius 3. El rang d'una matriu 4. Matrius inverses 5. Equacions matricials
  • 2. 1. Nomenclatura i classificació p10 1,2,3,4,5 element Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents. ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Dimensió: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
  • 3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I). p12 6,7,8,9 Matriu transposada At : S'obté de canviar les files per les columnes. Si A = (aij ), aleshores At = (aji ) p13 E6,10 Només en les matrius quadrades: -Matrius simètriques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisimètriques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n −m b v −n −v c)p13 E7 i 11
  • 4. 2. Operacions amb matrius p14 E8, E9, 12, 13 i 14 Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij = k · aij Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )· ( b11 b21 ... bn1 )=a11·b11+ a12·b21+ ...+ a1n ·bn1 p15E10,E11,15i16 ( b11 b21 ... bm1 )·(a11 a12 ... a1n )= ( b11·a11 b11·a12 ... b11·a1n b21 ·a11 b21 ·a12 ... b21 ·a1n ... ... ... ... bm1·a11 bm1·a12 ... bm1·a1n ) “El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)â€
  • 5. 2. Operacions amb matrius Multiplicació de dues matrius: p16 17, 18, 19, E12, 20 full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61 (c11 c12 c21 c22 ) -Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 −3 4 0 1 2)· ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5· 4+ (−3)·0+ 4·1=24 c21=0·4+ 1·0+ 2·1=2 c12=5· 2+ (−3)·5+ 4·3=7 c22=0·2+ 1·5+ 2·3=11 =(24 7 2 11)
  • 6. 3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 −3 4 10 −6 8) Exemples: B=(−4 −4 0 0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 −4 3 −5 2 3 8 −10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
  • 7. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les. Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 −2 2 4 2 −1 −1 1 2 −2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 – F1( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 2 −2 0 3) ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 −1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 −1 −1 1 0 −2 2 4 0 0 0 0)2F3 – F2 Rang(A) = 22 files no nul·les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
  • 8. 4. Matrius inverses Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A· A−1 =In -Propietats: A−1 · A=I n (A−1 )−1 =A (A· B)−1 =B−1 · A−1 (At )−1 =(A−1 )t p20 E16, 25!, 26, 27
  • 9. 4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan. A= ( 2 −1 2 4 −3 −1 −6 4 −2) ( 2 −1 2 1 0 0 4 −3 −1 0 1 0 −6 4 −2 0 0 1) ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
  • 10. ( 2 −1 2 1 0 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 – 2F1 ( 2 0 7 3 −1 0 0 −1 −5 −2 1 0 0 0 −1 1 1 1)F3 + F2 F1 – F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 −1 0 −7 −4 −5 0 0 −1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 −1 −1 −1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
  • 11. 5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A −1 · AX =A −1 · B X =A −1 · B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA· A −1 =B· A −1 X =B· A −1 c) Tipus AX + B = C AX + B=C Identitat A −1 · AX =A −1 ·(C−B) X =A −1 ·(C−B) AX =C−B p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10