ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

7วิชาสามัญ คณิต เฉลย

•
•
Woraprom Hinmani
Woraprom Hinmani
1 of 5
Download to read offline
เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 2 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น หลักในการแก้อสมการพหุนาม 1. ทาให้ข้างใดข้างหนึ่งเป็น 0 2. ทาให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกาลังมากสุดเป็น  3. แยกตัวประกอบ 4. เขียนเส้นจานวน ** ระวัง ค่า x ที่ทาให้ส่วนเป็น 0 ต้องเป็นช่วงเปิด เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 ตอนที่ 1 แบบระบายตัวเลขที่เป็นคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. ตอบ 4 จากอสมการ ( 1)( 3) 0 (2 1) x x x x     สามารถเขียนเส้นจานวนได้ดังรูป ดังนั้นจานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวมี 4 จานวนคือ -1 , 1 , 2 , 3 นั่นเอง 2. ตอบ 25 จากที่เรารู้ว่า 2i เป็นคาตอบของสมการ ( ) 0P x   2i จะเป็นคาตอบของสมการ ( ) 0P x  ด้วย เนื่องจาก ( )P x เป็นพหุนามกาลัง 3 ดังนั้นจะต้อง มีคาตอบของสมการ ( ) 0P x  อีกคาตอบหนึ่งด้วย สมมติให้ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งคือ mx n นั่นคือ ( ) ( 2 )( 2 )( )P x x i x i mx n    ดังนั้น 3 2 2 2 2 ( ) 2 12 ( 4 )( ) ( 4)( )P x x ax bx x i mx n x mx n           เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของ 3 x เลยทาให้เราได้ว่า 2m   เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ค่าคงที่พจน์สุดท้าย เลยทาให้เราได้ว่า 3n  สรุป : 2 ( ) ( 2 )( 2 )(2 3) ( 4)(2 3)P x x i x i x x x       ดังนั้น (1) (1 4)(2 3) 25P     ทฤษฎีที่เกี่ยวกับรากของสมการพหุนาม กาหนดให้ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ เป็นจานวนเต็ม หากเรารู้ว่าจานวนเชิงซ้อน เป็น คาตอบของสมการ แล้ว เราจะได้ว่า จะเป็นคาตอบของสมการ ด้วย ^^ -1 0 3-  
เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 3 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น ความสัมพันธ์ระหว่างการ dot และการ cross สาหรับเวกเตอร์ ใดๆ เราจะได้ว่า (นั่นคือ เวกเตอร์สามารถเลื่อนไปทางขวาได้ 1 ตาแหน่ง ทั้ง 3 เวกเตอร์ในทางเดียวกันในทานองว่าเป็น loop โดยที่เครื่องหมาย  และเครื่องหมาย  ยังต้องอยู่ที่เดิม) 3. ตอบ 0.75 จาก 2 3b a จะได้ว่า 3 2 b a จากกฎของไซน์ sin sinA B a b  จะได้ว่า 3 2 sin sin 2A A a a  นั่นคือ 3 2 sin 2 sin A A  แต่จาก sin2 2sin cosA A A ดังนั้น 3 sin 2sin cos 2 A A A นั่นคือ 3 cos 0.75 4 A   นั่นเอง 4. ตอบ 8 จาก    v u w w v u     จะได้ว่า    v u w v w u         2 4 2 3i j k i j k       ( 1)(2) ( 2)(1) ( 4)( 3)       8 หมายเหตุ 1. สาหรับเวกเตอร์ u และ v ใดๆ เราจะได้ว่า u v v u    2. ถ้า u ai b j ck   และ v di e j f k   จะได้ว่า u v ad be cf    ความรู้เพิ่มเติม 1 : ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการดาเนินการตามแถว การดาเนินการตามแถว (Row Operation) คือกระบวนการที่เราจะปรับรูปแบบของเมทริกซ์เพื่อให้ได้ เมทริกซ์ใหม่ที่สะดวกต่อการคานวณมากขึ้น มีอยู่ด้วยกัน 3 ลักษณะคือ 1. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงที่ k (เมื่อ 0k  ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ikR 2. สลับแถวที่ i กับแถวที่ j เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ijR 3. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงที่ k (เมื่อ 0k  ) แล้วนาไปบวกกับแถวที่ j (แถวที่ j จะเปลี่ยนแปลง) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i jkR R โดยเราจะใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดาเนินการตามแถวในแต่ละขั้นตอน และเขียนกากับไว้ทุกขั้นตอน กฎของไซน์สาหรับสามเหลี่ยมทั่วไป สามเหลี่ยม ABC ที่มี ความยาวด้านตรงข้าม มุม A , B, C คือ a , b ,c ตามลาดับ เราจะได้ว่า กฎของไซน์ คือ หมายเหตุ : นะครับ :)) A B Ca bc
เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 4 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น เช่น กาหนดให้ 1 4 2 2 1 0 0 3 4 A           ถ้าเมทริกซ์ ~A B โดยการดาเนินการ 32R จะได้ว่า 3 1 4 2 2 1 0 0 6 8 2 B R             ถ้าเมทริกซ์ ~B C โดยการดาเนินการ 1 22R R จะได้ว่า 1 2 1 4 2 4 7 4 2 0 6 8 C R R             ถ้าเมทริกซ์ ~C D โดยการดาเนินการ 23R จะได้ว่า 23 1 4 2 0 6 8 4 7 4 D R           ความรู้เพิ่มเติม 2 : การแก้ระบบสมการกับการดาเนินการตามแถว จากระบบสมการ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a x a y a z a x a y a z a x a y a z          1 2 3 b b b เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ได้เป็น 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a a a a a a a         b b b ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้การดาเนินการตามแถวทั้ง 3 แบบที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น กับเมทริกซ์แต่งเติมนี้ อย่างไรก็ตาม เราจะได้ว่า คาตอบของระบบสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง 5. ตอบ 17 จากระบบอสมการที่โจทย์กาหนดให้ 2 3 3 2 5 5 x y z a x y b x y z c         เขียนเป็นเมทริกซ์ได้เป็น 1 2 3 1 3 0 2 5 5 a b c         แต่โจทย์กาหนดให้ 1 2 3 1 2 3 9 1 3 0 ~ 0 1 3 5 2 5 5 0 0 1 2 a b c                    แสดงว่าระบบสมการจะไม่เปลี่ยนไป ซึ่งจาก 1 2 3 9 0 1 3 5 0 0 1 2          จะทาให้เราได้ว่า 2z  , 3 5y z  และ 2 3 9x y z   นั่นคือ 1x  , 1y   และ 2z  ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า 2 5 5 2(1) 5( 1) 5(2) 17c x y z       
เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 5 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น 6. ตอบ 12   7 5log 625 log 343 log625 log343 log7 log5   4 3 log5 log7 log7 log5   4log5 3log7 12 log7 log5    7. ตอบ 0.20 จากตารางที่กาหนดให้ ต้องหาความถี่ จากความถี่สะสมก่อน ดังตาราง ดังนั้นนักเรียนทั้งหมดมี 200 คน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนนทั้งหมด 40 คน ดังนั้น เมื่อสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้ คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนน เท่ากับ 40 0.20 200  8. ตอบ 720 โจทย์กาหนดให้เลข 3 ทั้งสองตัวต้องอยู่ติดกัน เราจึงต้องมัดเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไว้ด้วยกัน ดังนี้ 1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6 ดังนั้นการสร้างจานวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว ดังกล่าว ก็คือการสลับของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด 6 ชิ้นนั้นเอง ซึ่งสามารถทาได้ 6! 720 วิธี นั่นเอง คะแนนสอบ ความถี่สะสม (คน) ความถี่ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 ขึ้นไป 10 35 80 145 185 195 200 10 25 45 65 40 10 5 สมบัติของ log สาหรับข้อนี้ กาหนดให้ และ เป็นจานวนจริงใดๆ 1. เมื่อ คือฐาน log ใหม่ที่ต้องการ 2. หลักการพื้นฐานของการเรียงของติดกัน หากเราต้องการให้สิ่งของใดอยู่ติดกัน ให้มัดรวมของเหล่านั้น อยู่ด้วยกัน แล้วนับว่าเป็นของเพียง 1 ชิ้น และอย่าลืมคิด ด้วยว่า ของที่เรามัดอยู่ติดกันนั้นสามารถสลับตาแหน่งกัน ได้ด้วย ยกเว้น!!! ของที่เรามัดติดกันนั้นมันเหมือนกัน เพราะของเหมือนกันสลับที่กันไม่ทาให้เกิดวิธีใหม่นะครับ^^
เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 6 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น 9. ตอบ 3 3 2 2 lim lim 2 3 n n n n n a n n          3 2 2 2 ( 3) ( 2) lim ( 2)( 3)n n n n n n n           4 3 4 2 3 2 3 2 lim 3 2 6n n n n n n n n            3 2 3 2 3 2 lim 3 2 6n n n n n n          2 3 2 3 lim 3 2 6 1 n n n n n               3 10. ตอบ 12 จาก 3 2 ( ) 3 9 1f x x x x    จะได้ว่า 2 ( ) 3 6 9f x x x    ให้ ( ) 0f x  เพื่อหาค่าวิกฤต จะได้ว่า 2 3( 2 3) 0x x   นั่นคือ ( 3)( 1) 0x x    3x   หรือ 1x  แต่ต้องระวัง  เพราะข้อนี้โจทย์ กาหนดให้เราพิจารณาในช่วง  1,2 ดังนั้นค่าวิกฤตจึงคิดเฉพาะ 1x  เพราะว่า (1) 4f   , ( 1) 12f   และ (2) 3f  ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน 3 2 ( ) 3 9 1f x x x x    บนช่วง  1,2 มีค่าเท่ากับ 12 หลักการพื้นฐานของการหาลิมิตของลาดับ ให้ดูดีกรีที่มากที่สุดของเศษและส่วน 1. ถ้า เศษ < ส่วน : ลิมิตจะตอบ 0 เช่น 2. ถ้า เศษ > ส่วน : ลิมิตจะตอบไม่มีค่า(เป็นจานวนจริง) เช่น ไม่มีค่า 3. ถ้า เศษ = ส่วน : ลิมิตจะตอบค่าส.ป.ส. เศษ  ส่วน เช่น หมายเหตุ : ถ้าเป็น ไม่มีค่า  ไม่มีค่า จะยังสรุปไม่ได้ ต้องจัดรูปใหม่ก่อนเสมอ แล้วจึงหาค่าของลิมิตใหม่อีกครั้ง หลักการพื้นฐานของการหาสุดขีดสัมบูรณ์ ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ บนช่วง ขั้นที่ 1 : หาค่าวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชัน โดยหา ได้จาก แต่จะพิจารณาเฉพาะ ค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง เท่านั้นนะครับ ขั้นที่ 2 : หาค่าของฟังก์ชันที่ตาแหน่งค่าวิกฤต ขั้นที่ 3 : หาค่าของฟังก์ชันที่ตาแหน่ง และ ขั้นที่ 4 : เปรียบเทียบค่าที่ได้จากขั้นที่ 2 และขั้นที่ 3 ค่าที่มากที่สุด = ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าที่น้อยที่สุด = ค่าต่าสุดสัมบูรณ์

More Related Content

7วิชาสามัญ คณิต เฉลย

  • 1. เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 2 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น หลักในการแก้อสมการพหุนาม 1. ทาให้ข้างใดข้างหนึ่งเป็น 0 2. ทาให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกาลังมากสุดเป็น  3. แยกตัวประกอบ 4. เขียนเส้นจานวน ** ระวัง ค่า x ที่ทาให้ส่วนเป็น 0 ต้องเป็นช่วงเปิด เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 ตอนที่ 1 แบบระบายตัวเลขที่เป็นคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. ตอบ 4 จากอสมการ ( 1)( 3) 0 (2 1) x x x x     สามารถเขียนเส้นจานวนได้ดังรูป ดังนั้นจานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวมี 4 จานวนคือ -1 , 1 , 2 , 3 นั่นเอง 2. ตอบ 25 จากที่เรารู้ว่า 2i เป็นคาตอบของสมการ ( ) 0P x   2i จะเป็นคาตอบของสมการ ( ) 0P x  ด้วย เนื่องจาก ( )P x เป็นพหุนามกาลัง 3 ดังนั้นจะต้อง มีคาตอบของสมการ ( ) 0P x  อีกคาตอบหนึ่งด้วย สมมติให้ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งคือ mx n นั่นคือ ( ) ( 2 )( 2 )( )P x x i x i mx n    ดังนั้น 3 2 2 2 2 ( ) 2 12 ( 4 )( ) ( 4)( )P x x ax bx x i mx n x mx n           เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของ 3 x เลยทาให้เราได้ว่า 2m   เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ค่าคงที่พจน์สุดท้าย เลยทาให้เราได้ว่า 3n  สรุป : 2 ( ) ( 2 )( 2 )(2 3) ( 4)(2 3)P x x i x i x x x       ดังนั้น (1) (1 4)(2 3) 25P     ทฤษฎีที่เกี่ยวกับรากของสมการพหุนาม กาหนดให้ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ เป็นจานวนเต็ม หากเรารู้ว่าจานวนเชิงซ้อน เป็น คาตอบของสมการ แล้ว เราจะได้ว่า จะเป็นคาตอบของสมการ ด้วย ^^ -1 0 3-  
  • 2. เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 3 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น ความสัมพันธ์ระหว่างการ dot และการ cross สาหรับเวกเตอร์ ใดๆ เราจะได้ว่า (นั่นคือ เวกเตอร์สามารถเลื่อนไปทางขวาได้ 1 ตาแหน่ง ทั้ง 3 เวกเตอร์ในทางเดียวกันในทานองว่าเป็น loop โดยที่เครื่องหมาย  และเครื่องหมาย  ยังต้องอยู่ที่เดิม) 3. ตอบ 0.75 จาก 2 3b a จะได้ว่า 3 2 b a จากกฎของไซน์ sin sinA B a b  จะได้ว่า 3 2 sin sin 2A A a a  นั่นคือ 3 2 sin 2 sin A A  แต่จาก sin2 2sin cosA A A ดังนั้น 3 sin 2sin cos 2 A A A นั่นคือ 3 cos 0.75 4 A   นั่นเอง 4. ตอบ 8 จาก    v u w w v u     จะได้ว่า    v u w v w u         2 4 2 3i j k i j k       ( 1)(2) ( 2)(1) ( 4)( 3)       8 หมายเหตุ 1. สาหรับเวกเตอร์ u และ v ใดๆ เราจะได้ว่า u v v u    2. ถ้า u ai b j ck   และ v di e j f k   จะได้ว่า u v ad be cf    ความรู้เพิ่มเติม 1 : ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการดาเนินการตามแถว การดาเนินการตามแถว (Row Operation) คือกระบวนการที่เราจะปรับรูปแบบของเมทริกซ์เพื่อให้ได้ เมทริกซ์ใหม่ที่สะดวกต่อการคานวณมากขึ้น มีอยู่ด้วยกัน 3 ลักษณะคือ 1. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงที่ k (เมื่อ 0k  ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ikR 2. สลับแถวที่ i กับแถวที่ j เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ijR 3. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงที่ k (เมื่อ 0k  ) แล้วนาไปบวกกับแถวที่ j (แถวที่ j จะเปลี่ยนแปลง) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i jkR R โดยเราจะใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดาเนินการตามแถวในแต่ละขั้นตอน และเขียนกากับไว้ทุกขั้นตอน กฎของไซน์สาหรับสามเหลี่ยมทั่วไป สามเหลี่ยม ABC ที่มี ความยาวด้านตรงข้าม มุม A , B, C คือ a , b ,c ตามลาดับ เราจะได้ว่า กฎของไซน์ คือ หมายเหตุ : นะครับ :)) A B Ca bc
  • 3. เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 4 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น เช่น กาหนดให้ 1 4 2 2 1 0 0 3 4 A           ถ้าเมทริกซ์ ~A B โดยการดาเนินการ 32R จะได้ว่า 3 1 4 2 2 1 0 0 6 8 2 B R             ถ้าเมทริกซ์ ~B C โดยการดาเนินการ 1 22R R จะได้ว่า 1 2 1 4 2 4 7 4 2 0 6 8 C R R             ถ้าเมทริกซ์ ~C D โดยการดาเนินการ 23R จะได้ว่า 23 1 4 2 0 6 8 4 7 4 D R           ความรู้เพิ่มเติม 2 : การแก้ระบบสมการกับการดาเนินการตามแถว จากระบบสมการ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a x a y a z a x a y a z a x a y a z          1 2 3 b b b เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ได้เป็น 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a a a a a a a         b b b ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้การดาเนินการตามแถวทั้ง 3 แบบที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น กับเมทริกซ์แต่งเติมนี้ อย่างไรก็ตาม เราจะได้ว่า คาตอบของระบบสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง 5. ตอบ 17 จากระบบอสมการที่โจทย์กาหนดให้ 2 3 3 2 5 5 x y z a x y b x y z c         เขียนเป็นเมทริกซ์ได้เป็น 1 2 3 1 3 0 2 5 5 a b c         แต่โจทย์กาหนดให้ 1 2 3 1 2 3 9 1 3 0 ~ 0 1 3 5 2 5 5 0 0 1 2 a b c                    แสดงว่าระบบสมการจะไม่เปลี่ยนไป ซึ่งจาก 1 2 3 9 0 1 3 5 0 0 1 2          จะทาให้เราได้ว่า 2z  , 3 5y z  และ 2 3 9x y z   นั่นคือ 1x  , 1y   และ 2z  ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า 2 5 5 2(1) 5( 1) 5(2) 17c x y z       
  • 4. เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 5 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น 6. ตอบ 12   7 5log 625 log 343 log625 log343 log7 log5   4 3 log5 log7 log7 log5   4log5 3log7 12 log7 log5    7. ตอบ 0.20 จากตารางที่กาหนดให้ ต้องหาความถี่ จากความถี่สะสมก่อน ดังตาราง ดังนั้นนักเรียนทั้งหมดมี 200 คน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนนทั้งหมด 40 คน ดังนั้น เมื่อสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้ คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนน เท่ากับ 40 0.20 200  8. ตอบ 720 โจทย์กาหนดให้เลข 3 ทั้งสองตัวต้องอยู่ติดกัน เราจึงต้องมัดเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไว้ด้วยกัน ดังนี้ 1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6 ดังนั้นการสร้างจานวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว ดังกล่าว ก็คือการสลับของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด 6 ชิ้นนั้นเอง ซึ่งสามารถทาได้ 6! 720 วิธี นั่นเอง คะแนนสอบ ความถี่สะสม (คน) ความถี่ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 ขึ้นไป 10 35 80 145 185 195 200 10 25 45 65 40 10 5 สมบัติของ log สาหรับข้อนี้ กาหนดให้ และ เป็นจานวนจริงใดๆ 1. เมื่อ คือฐาน log ใหม่ที่ต้องการ 2. หลักการพื้นฐานของการเรียงของติดกัน หากเราต้องการให้สิ่งของใดอยู่ติดกัน ให้มัดรวมของเหล่านั้น อยู่ด้วยกัน แล้วนับว่าเป็นของเพียง 1 ชิ้น และอย่าลืมคิด ด้วยว่า ของที่เรามัดอยู่ติดกันนั้นสามารถสลับตาแหน่งกัน ได้ด้วย ยกเว้น!!! ของที่เรามัดติดกันนั้นมันเหมือนกัน เพราะของเหมือนกันสลับที่กันไม่ทาให้เกิดวิธีใหม่นะครับ^^
  • 5. เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย หน้า 6 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านั้น และไม่เกี่ยวข้องกับเชิงธุรกิจใดๆทั้งสิ้น 9. ตอบ 3 3 2 2 lim lim 2 3 n n n n n a n n          3 2 2 2 ( 3) ( 2) lim ( 2)( 3)n n n n n n n           4 3 4 2 3 2 3 2 lim 3 2 6n n n n n n n n            3 2 3 2 3 2 lim 3 2 6n n n n n n          2 3 2 3 lim 3 2 6 1 n n n n n               3 10. ตอบ 12 จาก 3 2 ( ) 3 9 1f x x x x    จะได้ว่า 2 ( ) 3 6 9f x x x    ให้ ( ) 0f x  เพื่อหาค่าวิกฤต จะได้ว่า 2 3( 2 3) 0x x   นั่นคือ ( 3)( 1) 0x x    3x   หรือ 1x  แต่ต้องระวัง  เพราะข้อนี้โจทย์ กาหนดให้เราพิจารณาในช่วง  1,2 ดังนั้นค่าวิกฤตจึงคิดเฉพาะ 1x  เพราะว่า (1) 4f   , ( 1) 12f   และ (2) 3f  ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน 3 2 ( ) 3 9 1f x x x x    บนช่วง  1,2 มีค่าเท่ากับ 12 หลักการพื้นฐานของการหาลิมิตของลาดับ ให้ดูดีกรีที่มากที่สุดของเศษและส่วน 1. ถ้า เศษ < ส่วน : ลิมิตจะตอบ 0 เช่น 2. ถ้า เศษ > ส่วน : ลิมิตจะตอบไม่มีค่า(เป็นจานวนจริง) เช่น ไม่มีค่า 3. ถ้า เศษ = ส่วน : ลิมิตจะตอบค่าส.ป.ส. เศษ  ส่วน เช่น หมายเหตุ : ถ้าเป็น ไม่มีค่า  ไม่มีค่า จะยังสรุปไม่ได้ ต้องจัดรูปใหม่ก่อนเสมอ แล้วจึงหาค่าของลิมิตใหม่อีกครั้ง หลักการพื้นฐานของการหาสุดขีดสัมบูรณ์ ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ บนช่วง ขั้นที่ 1 : หาค่าวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชัน โดยหา ได้จาก แต่จะพิจารณาเฉพาะ ค่าวิกฤตที่อยู่ในช่วง เท่านั้นนะครับ ขั้นที่ 2 : หาค่าของฟังก์ชันที่ตาแหน่งค่าวิกฤต ขั้นที่ 3 : หาค่าของฟังก์ชันที่ตาแหน่ง และ ขั้นที่ 4 : เปรียบเทียบค่าที่ได้จากขั้นที่ 2 และขั้นที่ 3 ค่าที่มากที่สุด = ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าที่น้อยที่สุด = ค่าต่าสุดสัมบูรณ์