ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

7 สามัญ คณิต เฉลย

•
•
Pop Nattakarn
Pop Nattakarn
1 of 18
Download to read offline
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 1 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา พิจารณาแบงยานคาของ x จาก 3 7 3 2 0 , 3 7 0 2 3 x x x x− = → = − = → = เปน 3 ยาน 1. 3 : | 3 2 | | 3 7 | 0 3 2 (3 7) 0 4 2 x x x x x x< − − − ≥ → − + − ≥ → ≥ ยานคานี้แยงกันจงใชไมได 2. 3 7 7 : | 3 2 | | 3 7 | 0 (3 2 ) (3 7) 0 2 2 2 3 3 x x x x x x x≤ < − − − ≥ → − − + − ≥ → ≥ → ≤ < 3. 7 7 : | 3 2 | | 3 7 | 0 2 3 (3 7) 0 4 4 3 3 x x x x x x x≥ − − − ≥ → − − − ≥ → ≤ → ≤ ≤ จากยาน 2. และ 3. ไดผลรวมของคา x โดยการ union กันไดยานตอเนื่องเปน [2,4] ดังนั้น [ , ] [2,4] 2 4 6a b a b= + = + = ตอบ 6 วิธีทํา ค.ร.น. ของเลข 2 จํานวน n และ 720 = 10800 4 3 2 1080 8 1350 8 25 54 8 25 2 27 2 3 5= × = × × = × × × = × × 2 4 4 2 720 9 80 9 16 5 3 2 5 2 3 5= × = × × = × × = × × ดังนั้น 3 2 2 3 5 3 15 3 225 675n = × = × = × = ตอบ 675 ( ) 2 22 2 1 2 1 22 2tan 2 2 2 2 sec (2tan 2) 1 tan (2tan 2) 1 1 1 1 8 9 1 tan 1 21 2 θ θ − −       = + = + = + = + = + =     − −     −   ตอบ 9
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 2 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / เนื่องจาก C เปนจุดบน OB ดังนั้น OC มี vector ทิศทางเดียวกัน แตขนาดตางกัน และสามารถกําหนดจุด C =(3m,-6m,2m) ได OC ตั้งฉากกับ AC ดังนั้นจะได 2 2 2 2 0 . (3 6 2 ) [(3 1) ( 6 4) (2 2) ] 3 (3 1) ( 6 )( 6 4) (2 )(2 3) (9 3 ) (36 24 ) (4 6 ) 49 21 7 (7 3) OC AC m OB AC mi mj mk m i m j m k m m m m m m m m m m m m m m m m = • = • = − + • − + − + + − = − + − − + + + = − + − + + = − = − ดังนั้น 3 7 m = . ดังนั้น 2 2 23 3 | | | | 3 ( 6) 2 9 36 4 3 7 7 OC m OB= = + − + = + += 2 2 2 2 1 3 2 2 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 9 0 (3 3 3)(3 3) 0 3 3,3 3 3 ,3 x x x x x x x x x − + = → + = × → − × + = − − = → = = 1 3 , 2 2 x = ตอบ 1 3 2 2 2 + = วิธีทํา 33log 2 log 23 31 33 3log 2 log 2 log( 27 10 27 3 3 2 8 2) 1 log10x x x x x x x+ → = + = + = + = + = + → == = ตอบ 2
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 3 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา พจนที่ r+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 1 10 2 2 2 2 3 3 3 10 2 20 5 4 3 102 2 2 10 .. 10 10 102 10 9 8 7 2 20 5 0 4 2 16 3360 4 24 r r r r r r x x x x rx x x x x r r r rx − − − −        + = + + +                     × × ×  = → − = → = → = × =              นั่นคือพจนที่ 5 จะมี 0 x และมีคา 3360 ตอบ 3360 ถาการสอบครั้งที่ 5 ตองได x % เปอรเซ็นตสอบเฉลี่ย 86% 4 2 % 540 344 90% 90 6 540 344 2 98% 4 2 2 x x x × + − = → × = = + → = = + ตอบ 98% ความชันของเสนตรง = 4 3 = 8 2 3 dy x dx = − 2 4 8 8 73 3 2 (2) 2 (2) 1 2 3 3 x y + ∴ = = → = − + = ดังนั้นจุดสัมผัสคือที่(2,1) ระยะหางระหวางจุดสัมผัส กับ เสนตรงที่กําหนด 2 2 2 2 8 3 10| | | 4(2) 3(1) 10 | 3 54 3 ax by c d a b − ++ + − + = = = = + + ตอบ 3 หนวย 2 2 2 2 3 2 00 0 6 | 2 | (12 6 ) 6 2 | 6(4) 2(8) 8x x dx x x dx x x− = − = − = − =∫ ∫
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 4 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) 1 ( 1)( 2)( 3) ( 6 11 6) ( ) ( 6 11 6) 1 1 (4) 0 4 6 4 11 4 6 1 (64 96 44 6) 1 6 1 6 1 1 24 ( ) ( 6 11 6) 1 (5) (125 150 55 6) 1 1 3 6 6 6 p x A x x x A x x x p x A x x x p A A A A p x x x x p −= − − − = − + − = − + − +   = = − × + × − + = − + − + = + → =−    =− − + − + → =− − + − + =− + =− ตอบขอ 1 2 3 1 3 1 2 4 2 2 z z i   + =− → + =±     แตจากโจทย Im( ) 0Z > ดังนั้น 3 1 5 1 2 2 6 z i π =− + =∠ 8 40 2 1 3 1 1 6 6 3 2 2 z i π π π=∠ =∠ + =− + ตอบขอ 5.
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 5 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา 5 เปน ห.ร.ม. ของเลข 2 จํานวน a,b ฉะนั้นให 5 , 5a k b l= = จะได 1575 25 25 25 125 125 63 5 5 ( 5)( 5) 25ab a b kl k l kl k l k l= − − = − − → = − − = − − − → ( 5)( 5) 63 25 88 11 8 16, 13 80, 65k l k l a b− − = + = = × → = = → = = เช็คคําตอบ 25 25 80 65 25 80 25 65 1575ab a b ok− − = × − × − × = 80 65 15a b− = − = ตอบขอ 1 23 4 | | | || | sin 1 5sin 5sin 3 sin cos 1 sin 5 5 u v u v θ θ θ θ θ θ× = =× = =→ = → =− − =−   มุมปานคา cosθ เปนลบ 2 2 2 24 (2 ) ( ) 2 . . . 2 | | | || | cos | | 2(1) 1(5) 5 2 4 25 19 5 u v u v u v u v v v u u v vθ   + ⋅ − = − − = − − = − − − = + − =−                  ตอบขอ 2
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 6 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 72 16 32 16 9( 8 16) 16( 2 1) 16 9 16 16 1 16 144 16 ( 4) ( 1) 9( 4) 16( 1) 144 1 4 3 x x y y x x y y x y x y − − − = − + − + + = + × − × = + − − + − − + = → − = ดังนั้น H=Hyperbola มีศูนยกลางอยูที่ (4,-1) แกนสมมาตรอยูบนแกน X มีความยาว a=4, และ b=3 ความยาวโพกัส 2 2 2 2 4 3 5c a b= + = + = E เปนวงรี มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสของ H ดังนั้น 5a = และมีศูนยกลางอยูที่เดียวกัน ที่จุด (4,-1) รูปสมการ E: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) ( 1) ( 4) ( 1) 1 5 x y x y a b b − + − + + = + = ความเยื้องศูนย ของ E คือ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 1 4 5 5 55 c a b a b b e e a a a a − − − = = = → = = → = = 2 2 24 4 5 20 5 5 b a= = = ดังนั้นสมการของ E: 2 2 ( 4) ( 1) 1 25 20 x y− + + =ตอบขอ 3
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 7 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา 2 2 2 2 2 2 2 cos2 3cos2 (2cos 1) 3(2cos 1) (4cos 1) 6cos 3) 10cos 4 1 2 10cos 2 0 cos cos 2 cos 55 cos cos[180 ( )] cos( ) cos cos sin sin A B A B B B B B B A B C A B A B A B A B −= + = − + −= − + −= − → − =→ = → = = = − + =− + =− + 2 1 5 2 5 1 2 2 3 5 5 5 5 55 − − =− + =− + ตอบขอ 3
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 8 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 1 2 24 2 2 4 (4 4 4 ) (4 8 2 ) 12 6 2 1 2 1 1 1 3 2 2 2 1 2 | | 1 1 1 ( 4 3 4) ( 6 4 2) 3 3 2 2 2 4c a b a b c b c a b c x a AX B y b z A b c c − −   = = − − + − + =− + →                == − =           −      = − = − − + + − + = + + = − − − จะหาเฉพาะคา x ใชการแทนที่ column แรกของ A จะงายสุด 1 2 1 1 2 2 2 4 ( 2 2 2 ) 6 3 | | 4 3 3 2 a b c a c b c a b c b b c x A − − − − + + − + + − = = − − += = − ตอบขอ 5
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 9 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 1 1 1 0 0 1 0 1 0 | | | | | | 0 0 1 AX B AX I A X A X X − − =    = = → = → = =     1 1 1 1 1 1 0 2 3 2 15 0 ( 10 15 0) 8 | | | | | | 8 5 5 1 X A X X − = = + + + − − + =− → = = =− ตอบขอ 2 2 2 1 1 1 1 11 2 4 2 2 22 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 log ( 1) 2log ( 2) log (9 3) log ( 1) log ( 2) log (9 3) ( 1)( 2) 1 log ( 1) log ( 2) log (9 3) log 0 log 9 3 2 x x x x x x x x x x x x       ≥ + + + − −= + + + − − + +   = + + + − −= ≤=   −   ดังนั้น ( 1)( 2) 1 9 3 x x x + + ≥ − จะได 2 2( 1)( 2) 1 3 2 9 3 6 5 ( 1)( 5) 0 9 3 x x x x x x x x x x + + ≥ + + ≥ − → − + = − − ≥ − ดังนั้น 1 ( ,1] [5, )S = −∞ ∞ แตเรามีเงื่อนไข log y ที่ 0y > นั่นคือ 1 0, 2 0, 9 3 0x x x+ > + > − > สรุปคือ 1 3 x > ดังนั้น ภายใตเงื่อนไขเพิ่มเติมนี้ 1 1 ( ,1] [5, ) 3 S= ∞ จะได 1 2 {1,5,6,7,8,9,10}S S∩ = มีสมาชิก 7 จํานวน ตอบขอ 3
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 10 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา เริ่มจาก เด็กอายุ 7 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 6 หรือ 7 ได รวม 2 วิธี เด็กอายุ 6 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 6 หรือ 7 โดนยึดไป 1 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 5 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 5 - 7 โดนยึดไป 2 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 4 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 4 - 7 โดนยึดไป 3 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 3 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 3 - 7 โดนยึดไป 4 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 2 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 2 - 7 โดนยึดไป 5 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 1 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 1 - 7 โดนยึดไป 6 ตัว จึงเหลือ เพียง 1 วิธี ดังนั้นจํานวนวิธีทั้งหมดที่เด็กทั้ง 7 คนจะนั่งได 6 2 1 64= × = วิธี ตอบ ขอ3
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 11 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 1. สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 1 1 1 1 ( 3) ( 3) n n i i i i X X X X n n= = = + − += −∑ ∑ เทาเดิม ผิด 2. สัมประสิทธิ์พิสัยใหม = _ max _ min max min max min max min _ max _ min max min max min max min ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 6 new new new new X X X X X X X X X X X X X X X X − + − + − − = = < + + + + + + + ถูก 3. คาเฉลี่ย 1 1 1 1 ( 3) 3 3 n n new i i i i X X X X n n= = = + = + = +∑ ∑ เพิ่มขึ้น ผิด 4. มัธยฐาน และตําแหนงตางๆเรียงตามเดิมเพราะเพิ่มเทาๆกันหมด ไมเปลี่ยน ผิด 5. 2 2 2 2 1 1 1 1 [( 3) ( 3)] ( ) n n new i i i i S X X X X S n n= = + − += −=∑ ∑ S→ คงเดิม ผิด ตอบขอ 2.
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 12 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 117.8 0.44 (1) 126.7 1.34 (2) 126.7 117.8 1.78 (2) (1) 8.9 (2) 5 126.7 1.34 5 120 1.78 X S X S S S X − = − − = − = − → = = → = − × = ตําแหนงขอมูล 125 คํานวณจาก 125 125 120 1 5 X S − − = = =Z จากจุดกึ่งกลางได พื้นที่ 0.3413 คิดรวมจากครึ่งแรกจะได 0.5 0.3413 0.8413 84.13%+ = = ตอบขอ 1
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 13 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / จากรูปสมการทั่วไปของ พาราโบลาที่แกนสมมาตรขนานกับแกน Y คือ 2 2 2 ( ) 4 ( ) ( 3) 4 ( 9)x h p y k x p y− = − = − = − แทนคาจุดผาน(1,5)จะได 2 1 (1 3) 4 (5 9) 4 4 ( 4) 4 p p p− = − = = − → =− ดังนั้นสมการคือ 2 ( 3) ( 9)x y− =− − จัดรูปแบบเปน 2 6y x x=− + เมื่อ 0y = ได 0,6x = และเปนจุดตัดบนแกน x ของพาราโบลารูปคว่ํา ดังนั้น 6 6 2 3 2 6 3 2 00 0 1 1 ( 6 ) 3 | 6 3(6 ) 36 3 3 ydx x x dx x x= − + =− + =− + =∫ ∫ ตอบขอ 4.
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 14 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 ( ) 2 ( ( ) ( ) (2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4 d d f x cx g x cx g x dx dx d d f c g c g c c c dx dx = + = + = − + =− คํานวณหาคา C ที่จะทําให ( )f x มีความตอเนื่องที่จุด x=1 จาก 2 ( ) 2 ( ( ) ( ) d d f x cx g x cx g x dx dx = + 2 (2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4 d d f c g c g c c c dx dx = + = − + =− 2 12 (1) ( (1) 1) (1) 2(1) 10 ( 1)4 12 1 2 4 f c g c c= + = + = + = → = − = (2) 4 4(2) 8 d f c dx =− =− =− ตอบขอ 1 40 1 (1 3 5 .. 39) 2(2 4 6 .. 40)n n a = = + + + + + + + + +∑ 1 39 2 40 20 2 20 2 2 + + = × + × × ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต = จํานวนพจน x คาเฉลี่ยของพจนแรกกับพจนสุดทาย 20 20 40 21 400 840 1240= × + × = + = ตอบขอ 4
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 15 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 [(2 ) ( 1)][(3 ) ( 1)][(5 ) ( 1)][(7 ) ( 1)] A I A I A I A I a a a a a a a a − − − − = − + − − + − − + − − + − 1 2 4 6 48= × × × = ตอบ ขอ5 วิธีทํา 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2, 1 2 2 1 3 3 3 3 ( 3) 3 2 4 2 3 1 1 2 2 4 4(2 3) 2 3 ... 2 4(2 3) 2 1 1 1 4 33 2 3 1 2 n i i a a b a c a b a c a b r r a a r r r ∞∞ = = = = = = − = − =   = = − = − = − =     − − + = + + + = × = × = = = = = + − − − −− − ∑ ตอบขอ 2
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 16 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ), '( ) 1. ( 1), 2 1 ( 1), 2 1 1 1 2. , , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3. ( 1), 2 1 ( 1), 2 1 4. ( 1) ( ), ' , 3 2 ( 1), ( ) '(0 ) ' 3 2 1 1 1 0 0 (0 ) 1 1 1 0 0 5. , 2 , 2 x x oo f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x f x x x − = − + = + = + += + −= = = + + + + + += − + − −= + += − + − −= = − − = = − จากตารางการคํานวณอนุพันธของขอตางๆขางบนนี้จะเห็นไดวา '(0 )f + และ '(0 )f − มีคาตางกันเฉพาะขอ 3 คือ 1 และ-1 จึงถือวาไม สามารถมีคาอนุพันธที่จุด 0x = ตอบขอ 3
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 17 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา จากการทดลองพบวาเริ่มจํานวนพจนเทากับ 7 ซึ่งเปนเลขคี่ซึ่งได มัธยฐานเปนพจนที่ 1 ซึ่งมีคา 3 4 1 7= + × = (ตัวอยางการจัดเรียงตําแหนงพจนกรณี 7 พจน 2,4,6,1,3,5,7 ซึ่งมีคา 2,4,6,7,15,31 ตามลําดับ) และพบวาจํานวนพจนที่เพิ่มขึ้นทุกๆ 10 มัธยฐานจะเปนพจนคี่ ในลําดับถัดไป เปนพจนที่ 3, 5,7,.. ตามลําดับ ดังนั้นถาจํานวนพจนเปน 7 10 8 87+ × = มัธยฐานจะเปนพจนที่ 1 8 2 17+ × = ซึ่งมีคา 3 4 17 71= + × = ถาเพิ่มจํานวนพจนอีก 2, หรือ 4 เปน 87 2 89+ = หรือ 87 4 91+ = ซึ่งเปนตามที่โจทยตองการ ก็ตองเพิ่มพจนที่ 88,89 หรือ ,88,89,90 และ 91 ซึ่งมีคาเปน 88, 3+4x89, 90, 3+4x91ลวนมีคามากกวา พจนที่ 17(71) ซึ่งทําใหตําแหนงของมัธยฐานก็จะเลื่อนขึ้นไปเปนลําดับของการจัดเรียงคาลดหรือเพิ่มขึ้น ครึ่งหนึ่งของจํานวนพจนที่ลดหรือเพิ่มขึ้น สําหรับคาใกลเคียงกับพจนที่ 17(71) ลวนเปนพจนคู โดยมีลําดับพจนเปน 70,17,72,74 ดังนั้นถา จํานวนพจนเปน 85,89,และ 91 ตําแหนงมัธยฐานจะอยูที่ พจนที่ 70 มีคาเปน 70,72, และ 74 ตามลําดับ ดังนั้นสําหรับ 1 2 91, ,..,a a a มัธยฐานคือ 74a ตอบขอ 4
กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 18 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / ตัวแปร 4 ตัว คือ a,b,c,d แตละตัวมีคาได 3 คา ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด =3x3x3x3 = 81 วิธี คา 0M ad bc= − = ที่จะทําใหหาคา อินเวอรส ไมได มี 3 กรณี คือ เมื่อ 1,0,1ad bc= = − กรณี 1ad bc= = − คือกรณีแตละคูเปน -1,1 หรือ 1,-1 เปน 2 วิธี นั่นคือรวม 2 2 4= × = วิธี กรณี 0ad bc= = คือกรณีแตละคูเปน 0,0 0,-1 หรือ 0,1 -1,0 1,0 เปน 5วิธี นั่นคือ รวม 5 5 25× = วิธี กรณี 1ad bc= = − คือกรณีแตละคูเปน 1,1 หรือ -1,-1 เปน 2 วิธี นั่นคือรวม 2 2 4= × = วิธี รวม 3 กรณีที่ 0M ad bc= − = ได 4 25 4 33+ + = วิธี ดังนั้น 0M ad bc= − ≠ จะมี 81 33 48− = วิธี ความนาจะเปนที่ M สามามารถหา inverse ได คือเมื่อ 0M ad bc= − ≠ ไดเทากับ 48 81 ตอบขอ 4.

More Related Content

7 สามัญ คณิต เฉลย

  • 1. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 1 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา พิจารณาแบงยานคาของ x จาก 3 7 3 2 0 , 3 7 0 2 3 x x x x− = → = − = → = เปน 3 ยาน 1. 3 : | 3 2 | | 3 7 | 0 3 2 (3 7) 0 4 2 x x x x x x< − − − ≥ → − + − ≥ → ≥ ยานคานี้แยงกันจงใชไมได 2. 3 7 7 : | 3 2 | | 3 7 | 0 (3 2 ) (3 7) 0 2 2 2 3 3 x x x x x x x≤ < − − − ≥ → − − + − ≥ → ≥ → ≤ < 3. 7 7 : | 3 2 | | 3 7 | 0 2 3 (3 7) 0 4 4 3 3 x x x x x x x≥ − − − ≥ → − − − ≥ → ≤ → ≤ ≤ จากยาน 2. และ 3. ไดผลรวมของคา x โดยการ union กันไดยานตอเนื่องเปน [2,4] ดังนั้น [ , ] [2,4] 2 4 6a b a b= + = + = ตอบ 6 วิธีทํา ค.ร.น. ของเลข 2 จํานวน n และ 720 = 10800 4 3 2 1080 8 1350 8 25 54 8 25 2 27 2 3 5= × = × × = × × × = × × 2 4 4 2 720 9 80 9 16 5 3 2 5 2 3 5= × = × × = × × = × × ดังนั้น 3 2 2 3 5 3 15 3 225 675n = × = × = × = ตอบ 675 ( ) 2 22 2 1 2 1 22 2tan 2 2 2 2 sec (2tan 2) 1 tan (2tan 2) 1 1 1 1 8 9 1 tan 1 21 2 θ θ − −       = + = + = + = + = + =     − −     −   ตอบ 9
  • 2. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 2 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / เนื่องจาก C เปนจุดบน OB ดังนั้น OC มี vector ทิศทางเดียวกัน แตขนาดตางกัน และสามารถกําหนดจุด C =(3m,-6m,2m) ได OC ตั้งฉากกับ AC ดังนั้นจะได 2 2 2 2 0 . (3 6 2 ) [(3 1) ( 6 4) (2 2) ] 3 (3 1) ( 6 )( 6 4) (2 )(2 3) (9 3 ) (36 24 ) (4 6 ) 49 21 7 (7 3) OC AC m OB AC mi mj mk m i m j m k m m m m m m m m m m m m m m m m = • = • = − + • − + − + + − = − + − − + + + = − + − + + = − = − ดังนั้น 3 7 m = . ดังนั้น 2 2 23 3 | | | | 3 ( 6) 2 9 36 4 3 7 7 OC m OB= = + − + = + += 2 2 2 2 1 3 2 2 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 9 0 (3 3 3)(3 3) 0 3 3,3 3 3 ,3 x x x x x x x x x − + = → + = × → − × + = − − = → = = 1 3 , 2 2 x = ตอบ 1 3 2 2 2 + = วิธีทํา 33log 2 log 23 31 33 3log 2 log 2 log( 27 10 27 3 3 2 8 2) 1 log10x x x x x x x+ → = + = + = + = + = + → == = ตอบ 2
  • 3. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 3 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา พจนที่ r+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 1 10 2 2 2 2 3 3 3 10 2 20 5 4 3 102 2 2 10 .. 10 10 102 10 9 8 7 2 20 5 0 4 2 16 3360 4 24 r r r r r r x x x x rx x x x x r r r rx − − − −        + = + + +                     × × ×  = → − = → = → = × =              นั่นคือพจนที่ 5 จะมี 0 x และมีคา 3360 ตอบ 3360 ถาการสอบครั้งที่ 5 ตองได x % เปอรเซ็นตสอบเฉลี่ย 86% 4 2 % 540 344 90% 90 6 540 344 2 98% 4 2 2 x x x × + − = → × = = + → = = + ตอบ 98% ความชันของเสนตรง = 4 3 = 8 2 3 dy x dx = − 2 4 8 8 73 3 2 (2) 2 (2) 1 2 3 3 x y + ∴ = = → = − + = ดังนั้นจุดสัมผัสคือที่(2,1) ระยะหางระหวางจุดสัมผัส กับ เสนตรงที่กําหนด 2 2 2 2 8 3 10| | | 4(2) 3(1) 10 | 3 54 3 ax by c d a b − ++ + − + = = = = + + ตอบ 3 หนวย 2 2 2 2 3 2 00 0 6 | 2 | (12 6 ) 6 2 | 6(4) 2(8) 8x x dx x x dx x x− = − = − = − =∫ ∫
  • 4. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 4 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) 1 ( 1)( 2)( 3) ( 6 11 6) ( ) ( 6 11 6) 1 1 (4) 0 4 6 4 11 4 6 1 (64 96 44 6) 1 6 1 6 1 1 24 ( ) ( 6 11 6) 1 (5) (125 150 55 6) 1 1 3 6 6 6 p x A x x x A x x x p x A x x x p A A A A p x x x x p −= − − − = − + − = − + − +   = = − × + × − + = − + − + = + → =−    =− − + − + → =− − + − + =− + =− ตอบขอ 1 2 3 1 3 1 2 4 2 2 z z i   + =− → + =±     แตจากโจทย Im( ) 0Z > ดังนั้น 3 1 5 1 2 2 6 z i π =− + =∠ 8 40 2 1 3 1 1 6 6 3 2 2 z i π π π=∠ =∠ + =− + ตอบขอ 5.
  • 5. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 5 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา 5 เปน ห.ร.ม. ของเลข 2 จํานวน a,b ฉะนั้นให 5 , 5a k b l= = จะได 1575 25 25 25 125 125 63 5 5 ( 5)( 5) 25ab a b kl k l kl k l k l= − − = − − → = − − = − − − → ( 5)( 5) 63 25 88 11 8 16, 13 80, 65k l k l a b− − = + = = × → = = → = = เช็คคําตอบ 25 25 80 65 25 80 25 65 1575ab a b ok− − = × − × − × = 80 65 15a b− = − = ตอบขอ 1 23 4 | | | || | sin 1 5sin 5sin 3 sin cos 1 sin 5 5 u v u v θ θ θ θ θ θ× = =× = =→ = → =− − =−   มุมปานคา cosθ เปนลบ 2 2 2 24 (2 ) ( ) 2 . . . 2 | | | || | cos | | 2(1) 1(5) 5 2 4 25 19 5 u v u v u v u v v v u u v vθ   + ⋅ − = − − = − − = − − − = + − =−                  ตอบขอ 2
  • 6. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 6 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 72 16 32 16 9( 8 16) 16( 2 1) 16 9 16 16 1 16 144 16 ( 4) ( 1) 9( 4) 16( 1) 144 1 4 3 x x y y x x y y x y x y − − − = − + − + + = + × − × = + − − + − − + = → − = ดังนั้น H=Hyperbola มีศูนยกลางอยูที่ (4,-1) แกนสมมาตรอยูบนแกน X มีความยาว a=4, และ b=3 ความยาวโพกัส 2 2 2 2 4 3 5c a b= + = + = E เปนวงรี มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสของ H ดังนั้น 5a = และมีศูนยกลางอยูที่เดียวกัน ที่จุด (4,-1) รูปสมการ E: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) ( 1) ( 4) ( 1) 1 5 x y x y a b b − + − + + = + = ความเยื้องศูนย ของ E คือ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 1 4 5 5 55 c a b a b b e e a a a a − − − = = = → = = → = = 2 2 24 4 5 20 5 5 b a= = = ดังนั้นสมการของ E: 2 2 ( 4) ( 1) 1 25 20 x y− + + =ตอบขอ 3
  • 7. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 7 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา 2 2 2 2 2 2 2 cos2 3cos2 (2cos 1) 3(2cos 1) (4cos 1) 6cos 3) 10cos 4 1 2 10cos 2 0 cos cos 2 cos 55 cos cos[180 ( )] cos( ) cos cos sin sin A B A B B B B B B A B C A B A B A B A B −= + = − + −= − + −= − → − =→ = → = = = − + =− + =− + 2 1 5 2 5 1 2 2 3 5 5 5 5 55 − − =− + =− + ตอบขอ 3
  • 8. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 8 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 1 2 24 2 2 4 (4 4 4 ) (4 8 2 ) 12 6 2 1 2 1 1 1 3 2 2 2 1 2 | | 1 1 1 ( 4 3 4) ( 6 4 2) 3 3 2 2 2 4c a b a b c b c a b c x a AX B y b z A b c c − −   = = − − + − + =− + →                == − =           −      = − = − − + + − + = + + = − − − จะหาเฉพาะคา x ใชการแทนที่ column แรกของ A จะงายสุด 1 2 1 1 2 2 2 4 ( 2 2 2 ) 6 3 | | 4 3 3 2 a b c a c b c a b c b b c x A − − − − + + − + + − = = − − += = − ตอบขอ 5
  • 9. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 9 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 1 1 1 0 0 1 0 1 0 | | | | | | 0 0 1 AX B AX I A X A X X − − =    = = → = → = =     1 1 1 1 1 1 0 2 3 2 15 0 ( 10 15 0) 8 | | | | | | 8 5 5 1 X A X X − = = + + + − − + =− → = = =− ตอบขอ 2 2 2 1 1 1 1 11 2 4 2 2 22 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 log ( 1) 2log ( 2) log (9 3) log ( 1) log ( 2) log (9 3) ( 1)( 2) 1 log ( 1) log ( 2) log (9 3) log 0 log 9 3 2 x x x x x x x x x x x x       ≥ + + + − −= + + + − − + +   = + + + − −= ≤=   −   ดังนั้น ( 1)( 2) 1 9 3 x x x + + ≥ − จะได 2 2( 1)( 2) 1 3 2 9 3 6 5 ( 1)( 5) 0 9 3 x x x x x x x x x x + + ≥ + + ≥ − → − + = − − ≥ − ดังนั้น 1 ( ,1] [5, )S = −∞ ∞ แตเรามีเงื่อนไข log y ที่ 0y > นั่นคือ 1 0, 2 0, 9 3 0x x x+ > + > − > สรุปคือ 1 3 x > ดังนั้น ภายใตเงื่อนไขเพิ่มเติมนี้ 1 1 ( ,1] [5, ) 3 S= ∞ จะได 1 2 {1,5,6,7,8,9,10}S S∩ = มีสมาชิก 7 จํานวน ตอบขอ 3
  • 10. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 10 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา เริ่มจาก เด็กอายุ 7 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 6 หรือ 7 ได รวม 2 วิธี เด็กอายุ 6 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 6 หรือ 7 โดนยึดไป 1 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 5 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 5 - 7 โดนยึดไป 2 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 4 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 4 - 7 โดนยึดไป 3 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 3 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 3 - 7 โดนยึดไป 4 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 2 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 2 - 7 โดนยึดไป 5 ตัว จึงเหลือ เพียง 2 วิธี เด็กอายุ 1 ป จะนั่งเกาอี้ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรือ 7 ได แตหมายเลข 1 - 7 โดนยึดไป 6 ตัว จึงเหลือ เพียง 1 วิธี ดังนั้นจํานวนวิธีทั้งหมดที่เด็กทั้ง 7 คนจะนั่งได 6 2 1 64= × = วิธี ตอบ ขอ3
  • 11. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 11 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 1. สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 1 1 1 1 ( 3) ( 3) n n i i i i X X X X n n= = = + − += −∑ ∑ เทาเดิม ผิด 2. สัมประสิทธิ์พิสัยใหม = _ max _ min max min max min max min _ max _ min max min max min max min ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 6 new new new new X X X X X X X X X X X X X X X X − + − + − − = = < + + + + + + + ถูก 3. คาเฉลี่ย 1 1 1 1 ( 3) 3 3 n n new i i i i X X X X n n= = = + = + = +∑ ∑ เพิ่มขึ้น ผิด 4. มัธยฐาน และตําแหนงตางๆเรียงตามเดิมเพราะเพิ่มเทาๆกันหมด ไมเปลี่ยน ผิด 5. 2 2 2 2 1 1 1 1 [( 3) ( 3)] ( ) n n new i i i i S X X X X S n n= = + − += −=∑ ∑ S→ คงเดิม ผิด ตอบขอ 2.
  • 12. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 12 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 117.8 0.44 (1) 126.7 1.34 (2) 126.7 117.8 1.78 (2) (1) 8.9 (2) 5 126.7 1.34 5 120 1.78 X S X S S S X − = − − = − = − → = = → = − × = ตําแหนงขอมูล 125 คํานวณจาก 125 125 120 1 5 X S − − = = =Z จากจุดกึ่งกลางได พื้นที่ 0.3413 คิดรวมจากครึ่งแรกจะได 0.5 0.3413 0.8413 84.13%+ = = ตอบขอ 1
  • 13. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 13 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / จากรูปสมการทั่วไปของ พาราโบลาที่แกนสมมาตรขนานกับแกน Y คือ 2 2 2 ( ) 4 ( ) ( 3) 4 ( 9)x h p y k x p y− = − = − = − แทนคาจุดผาน(1,5)จะได 2 1 (1 3) 4 (5 9) 4 4 ( 4) 4 p p p− = − = = − → =− ดังนั้นสมการคือ 2 ( 3) ( 9)x y− =− − จัดรูปแบบเปน 2 6y x x=− + เมื่อ 0y = ได 0,6x = และเปนจุดตัดบนแกน x ของพาราโบลารูปคว่ํา ดังนั้น 6 6 2 3 2 6 3 2 00 0 1 1 ( 6 ) 3 | 6 3(6 ) 36 3 3 ydx x x dx x x= − + =− + =− + =∫ ∫ ตอบขอ 4.
  • 14. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 14 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 ( ) 2 ( ( ) ( ) (2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4 d d f x cx g x cx g x dx dx d d f c g c g c c c dx dx = + = + = − + =− คํานวณหาคา C ที่จะทําให ( )f x มีความตอเนื่องที่จุด x=1 จาก 2 ( ) 2 ( ( ) ( ) d d f x cx g x cx g x dx dx = + 2 (2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4 d d f c g c g c c c dx dx = + = − + =− 2 12 (1) ( (1) 1) (1) 2(1) 10 ( 1)4 12 1 2 4 f c g c c= + = + = + = → = − = (2) 4 4(2) 8 d f c dx =− =− =− ตอบขอ 1 40 1 (1 3 5 .. 39) 2(2 4 6 .. 40)n n a = = + + + + + + + + +∑ 1 39 2 40 20 2 20 2 2 + + = × + × × ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต = จํานวนพจน x คาเฉลี่ยของพจนแรกกับพจนสุดทาย 20 20 40 21 400 840 1240= × + × = + = ตอบขอ 4
  • 15. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 15 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 [(2 ) ( 1)][(3 ) ( 1)][(5 ) ( 1)][(7 ) ( 1)] A I A I A I A I a a a a a a a a − − − − = − + − − + − − + − − + − 1 2 4 6 48= × × × = ตอบ ขอ5 วิธีทํา 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2, 1 2 2 1 3 3 3 3 ( 3) 3 2 4 2 3 1 1 2 2 4 4(2 3) 2 3 ... 2 4(2 3) 2 1 1 1 4 33 2 3 1 2 n i i a a b a c a b a c a b r r a a r r r ∞∞ = = = = = = − = − =   = = − = − = − =     − − + = + + + = × = × = = = = = + − − − −− − ∑ ตอบขอ 2
  • 16. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 16 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ), '( ) 1. ( 1), 2 1 ( 1), 2 1 1 1 2. , , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3. ( 1), 2 1 ( 1), 2 1 4. ( 1) ( ), ' , 3 2 ( 1), ( ) '(0 ) ' 3 2 1 1 1 0 0 (0 ) 1 1 1 0 0 5. , 2 , 2 x x oo f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x f x x x − = − + = + = + += + −= = = + + + + + += − + − −= + += − + − −= = − − = = − จากตารางการคํานวณอนุพันธของขอตางๆขางบนนี้จะเห็นไดวา '(0 )f + และ '(0 )f − มีคาตางกันเฉพาะขอ 3 คือ 1 และ-1 จึงถือวาไม สามารถมีคาอนุพันธที่จุด 0x = ตอบขอ 3
  • 17. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 17 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / วิธีทํา จากการทดลองพบวาเริ่มจํานวนพจนเทากับ 7 ซึ่งเปนเลขคี่ซึ่งได มัธยฐานเปนพจนที่ 1 ซึ่งมีคา 3 4 1 7= + × = (ตัวอยางการจัดเรียงตําแหนงพจนกรณี 7 พจน 2,4,6,1,3,5,7 ซึ่งมีคา 2,4,6,7,15,31 ตามลําดับ) และพบวาจํานวนพจนที่เพิ่มขึ้นทุกๆ 10 มัธยฐานจะเปนพจนคี่ ในลําดับถัดไป เปนพจนที่ 3, 5,7,.. ตามลําดับ ดังนั้นถาจํานวนพจนเปน 7 10 8 87+ × = มัธยฐานจะเปนพจนที่ 1 8 2 17+ × = ซึ่งมีคา 3 4 17 71= + × = ถาเพิ่มจํานวนพจนอีก 2, หรือ 4 เปน 87 2 89+ = หรือ 87 4 91+ = ซึ่งเปนตามที่โจทยตองการ ก็ตองเพิ่มพจนที่ 88,89 หรือ ,88,89,90 และ 91 ซึ่งมีคาเปน 88, 3+4x89, 90, 3+4x91ลวนมีคามากกวา พจนที่ 17(71) ซึ่งทําใหตําแหนงของมัธยฐานก็จะเลื่อนขึ้นไปเปนลําดับของการจัดเรียงคาลดหรือเพิ่มขึ้น ครึ่งหนึ่งของจํานวนพจนที่ลดหรือเพิ่มขึ้น สําหรับคาใกลเคียงกับพจนที่ 17(71) ลวนเปนพจนคู โดยมีลําดับพจนเปน 70,17,72,74 ดังนั้นถา จํานวนพจนเปน 85,89,และ 91 ตําแหนงมัธยฐานจะอยูที่ พจนที่ 70 มีคาเปน 70,72, และ 74 ตามลําดับ ดังนั้นสําหรับ 1 2 91, ,..,a a a มัธยฐานคือ 74a ตอบขอ 4
  • 18. กสพท 2555 (คณิต ในกลุมสามัญ 7 วิชา มค 55) เครดิต ตรวจทานแกไขคําตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 18 จาก 18 เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานารี, แสงอรุณ ,ทวีธาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath / ตัวแปร 4 ตัว คือ a,b,c,d แตละตัวมีคาได 3 คา ดังนั้น จํานวนวิธีทั้งหมด =3x3x3x3 = 81 วิธี คา 0M ad bc= − = ที่จะทําใหหาคา อินเวอรส ไมได มี 3 กรณี คือ เมื่อ 1,0,1ad bc= = − กรณี 1ad bc= = − คือกรณีแตละคูเปน -1,1 หรือ 1,-1 เปน 2 วิธี นั่นคือรวม 2 2 4= × = วิธี กรณี 0ad bc= = คือกรณีแตละคูเปน 0,0 0,-1 หรือ 0,1 -1,0 1,0 เปน 5วิธี นั่นคือ รวม 5 5 25× = วิธี กรณี 1ad bc= = − คือกรณีแตละคูเปน 1,1 หรือ -1,-1 เปน 2 วิธี นั่นคือรวม 2 2 4= × = วิธี รวม 3 กรณีที่ 0M ad bc= − = ได 4 25 4 33+ + = วิธี ดังนั้น 0M ad bc= − ≠ จะมี 81 33 48− = วิธี ความนาจะเปนที่ M สามามารถหา inverse ได คือเมื่อ 0M ad bc= − ≠ ไดเทากับ 48 81 ตอบขอ 4.