ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

persamaan diferensial

•
•
IKHTIAR SETIAWAN
IKHTIAR SETIAWAN

persamaan diferensial

1 of 20
Downloaded 87 times
PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 1 / 20
Topik Bahasan 1 Konsep dan Istilah Dasar 2 PDB Orde-1 Terpisahkan 3 Terapan PDB (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 2 / 20
Konsep dan Istilah Dasar Istilah-istilah Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yang melibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunan fungsi, atau peubah bebas fungsi. F x, y, y0 , y00 , . . . , y(n) = 0 (1) dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubah bebas, y0, y00, . . . y(n): turunan-turunan fungsi. Contoh: dy dx + xy = 1 atau y0 + xy = 1 d2y dx2 + y 1 = 0 atau y00 + y 1 = 0 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 3 / 20
Konsep dan Istilah Dasar Terapan PDB dy dt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahan radioakif) dR dS = k S (model respons R terhadap stimulus S) dx dt = ax (N x) (model penyebaran inovasi teknologi) dS dt + rA M + λ S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan A) dk dt = f (k) λk c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik) d2x dt2 + kdx dt + ω2x = 0 (model osilasi mekanik) dT dt = s + rT 1 T Tmax µT (model infeksi HIV) 8 < : dx dt = a1x + b1y + c1 dy dt = a2x + b2y + c2 (model perlombaan senjata dua negara) (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 4 / 20
Konsep dan Istilah Dasar Orde Persamaan Diferensial Orde suatu persamaan diferensial adalah derajat (pangkat tertinggi) turunan persamaan tersebut. Contoh: dy dx = y ) orde-1 d2y dx2 + x dy dx + 2y = 0 ) orde-2 1 + dy dx 2 ! y = 0 ) orde-1 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 5 / 20
Konsep dan Istilah Dasar Solusi Persamaan Diferensial Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) dan turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut. Solusi umum suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) mengandung konstanta C. Solusi khusus suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) dengan kondisi awal y (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C. Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensial dengan kondisi awal disebut masalah nilai awal. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 6 / 20
Konsep dan Istilah Dasar Soal Tunjukkan bahwa 1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensial dy dx = 2y. 2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awal y0 = x/y, y (0) = 1. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 7 / 20
PDB Orde-1 Terpisahkan PDB Orde-1 Terpisahkan PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalam bentuk dy dx = f (x) g (y) (2) Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-suku dengan peubah yang sama, lalu integralkan. Z dy g (y) = Z f (x) dx Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh solusi eksplisit: y = y (x), atau solusi implisit: F (x, y) = 0. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 8 / 20
PDB Orde-1 Terpisahkan Soal (PDB Terpisahkan) Tentukan solusi PDB berikut: 1 dy dx + x y = 0 , y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1 SOLUSI 2 dy dt = y, y (0) = 1, y > 0, jawab: y = e t 3 dy dx = 1 + x xy , x > 0, y (1) = 4, jawab: y2 = 2 ln x + 2x + 14 4 dy dt = t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2 ln 3 t2 , jtj < p 3. SOLUSI 5 y0 = x ey x, y (0) = 1, jawab: y = ln xe x + e x + 1 e e (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 9 / 20
Terapan PDB Terapan PDB Model Eksponensial (Malthus) - 1 Cocok untuk masalah pertumbuhan tanpa adanya keterbatasan ruang, sumber daya, persaingan. Sederhana, baik untuk prediksi jangka pendek, kurang realistik untuk prediksi jangka panjang. Terapan: pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.), peluruhan bahan radioaktif, tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 10 / 20
Terapan PDB Terapan PDB Model Eksponensial (Malthus) - 2 Asumsi: laju perubahan y sebanding dengan besaran y dy dt = ky, y (0) = y0 (3) Konstanta kesebandingan k disebut laju pertumbuhan (per kapita) (satuan: /[y][t], [y] = satuan y, [t] = satuan waktu t). Solusi (3) adalah y (t) = y0ek t (4) SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 11 / 20
Terapan PDB Gra…k Model Eksponensial Dalam jangka panjang, y (t) ! ∞ untuk pertumbuhan, y (t) ! 0 untuk peluruhan. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 12 / 20
Terapan PDB Terapan Model Eksponensial Prediksi Penduduk Dunia dengan Model Eksponensial Contoh Sebuah koran memberitakan bahwa pada tahun 1990, banyaknya penduduk dunia tercatat 5.3 miliar. Dengan laju pertumbuhan 0.017 (per orang per tahun) dan dengan asumsi laju pertumbuhan sebanding dengan banyaknya penduduk, maka populasi penduduk dunia diprediksi akan berlipat ganda dalam 40 tahun. Artinya, pada tahun 2030, penduduk dunia akan mencapai 10.6 miliar. Bagaimana prediksi semacam ini dilakukan? SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 13 / 20
Terapan PDB Terapan Model Eksponensial Usia Benda Purbakala Soal Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel) benda peninggalan purbakala, diperoleh hasil C-14 yang tersisa sebesar 10% dari massa semula. Bila waktu paruh C-14: 5730 tahun (diperlukan 5730 tahun untuk meluruh separuhnya), a Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun. Jawab: y (t) = y0e ln 2 5730 t . b Berapakah usia benda tersebut? Jawab: 5730 ln 10/ ln 2 19 000 tahun (dibulatkan ke ratusan terdekat). (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 14 / 20
Terapan PDB Terapan Perluasan Model Eksponensial Orang Pintar Berhenti Merokok Soal Jika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah pada sebuah bank dengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu, serta sejumlah d rupiah ditabung secara reguler setiap tahun, maka besarnya tabungan pada waktu t, S (t), akan memenuhi masalah nilai awal dS dt = rS + d , S (0) = S0. a Tentukan S (t). Jawab: S (t) = S0 + d r ert d r . b Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaan merokoknya dan membuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,- dengan bunga 8% per tahun yang dihitung secara kontinu. Ia pun secara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesar Rp 10 000,- per hari dan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwa pada saat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabungan lebih dari 1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untuk berhenti merokok). SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 15 / 20
Terapan PDB Terapan PDB Model Logistik (Verhulst) - 1 Cocok untuk masalah pertumbuhan dengan adanya keterbatasan ruang, sumber daya, persaingan. Realistik untuk prediksi jangka panjang, sifat jangka pendek menyerupai model eksponensial. Terapan: pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.), penyebaran inovasi, informasi, penyakit, dsb. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 16 / 20
Terapan PDB Terapan PDB Model Logistik - 2 Asumsi: ada batas maksimum M (disebut daya dukung lingkungan) yang dapat "dicapai" suatu besaran y, laju perubahan y sebanding dengan besaran y dan kapasitas ruang sisa M y dy dt = ky (M y), y (0) = y0 (5) Solusi (5) adalah y (t) = M 1 + be Mkt (6) dengan b = M y0 1. SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 17 / 20
Terapan PDB Gra…k Model Logistik t y0 0 y M ( ) ( )01 / 1 M kt M y t M y e− = + − ( )limt y t M→∞ = Di awal, laju pertumbuhan meningkat, lalu perlahan menurun. Dalam jangka panjang, y (t) ! M (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 18 / 20
Terapan PDB Terapan Model Logistik Penyebaran Inovasi Soal Suatu inovasi "weed spray" dikenalkan kepada "kelompencapir" (Kelompok Pendengar, Pembaca, dan Pemirsa) petani yang berjumlah 5000 orang. Andaikan laju penyebaran inovasi berbanding langsung dengan banyaknya petani yang sudah mengenal inovasi dan sisanya yang belum mengenalnya. Di awal program, 50 petani telah mengenalnya, dua minggu kemudian 500 petani mengenalnya. a Formulasikan model diferensial yang dimaksud. Jawab: dy dt = ky (5000 y) . b Tentukan konstanta kesebandingan model. Jawab: k = ln 11 10000 c Berapa lama waktu yang dibutuhkan sampai 50% petani mengenal inovasi tersebut? Jawab: hampir 1 bulan SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 19 / 20
Terapan PDB Tentang ºÝºÝߣ Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX) (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 20 / 20

More Related Content

persamaan diferensial

  • 1. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 1 / 20
  • 2. Topik Bahasan 1 Konsep dan Istilah Dasar 2 PDB Orde-1 Terpisahkan 3 Terapan PDB (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 2 / 20
  • 3. Konsep dan Istilah Dasar Istilah-istilah Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yang melibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunan fungsi, atau peubah bebas fungsi. F x, y, y0 , y00 , . . . , y(n) = 0 (1) dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubah bebas, y0, y00, . . . y(n): turunan-turunan fungsi. Contoh: dy dx + xy = 1 atau y0 + xy = 1 d2y dx2 + y 1 = 0 atau y00 + y 1 = 0 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 3 / 20
  • 4. Konsep dan Istilah Dasar Terapan PDB dy dt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahan radioakif) dR dS = k S (model respons R terhadap stimulus S) dx dt = ax (N x) (model penyebaran inovasi teknologi) dS dt + rA M + λ S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan A) dk dt = f (k) λk c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik) d2x dt2 + kdx dt + ω2x = 0 (model osilasi mekanik) dT dt = s + rT 1 T Tmax µT (model infeksi HIV) 8 < : dx dt = a1x + b1y + c1 dy dt = a2x + b2y + c2 (model perlombaan senjata dua negara) (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 4 / 20
  • 5. Konsep dan Istilah Dasar Orde Persamaan Diferensial Orde suatu persamaan diferensial adalah derajat (pangkat tertinggi) turunan persamaan tersebut. Contoh: dy dx = y ) orde-1 d2y dx2 + x dy dx + 2y = 0 ) orde-2 1 + dy dx 2 ! y = 0 ) orde-1 (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 5 / 20
  • 6. Konsep dan Istilah Dasar Solusi Persamaan Diferensial Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) dan turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut. Solusi umum suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) mengandung konstanta C. Solusi khusus suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) dengan kondisi awal y (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C. Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensial dengan kondisi awal disebut masalah nilai awal. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 6 / 20
  • 7. Konsep dan Istilah Dasar Soal Tunjukkan bahwa 1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensial dy dx = 2y. 2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awal y0 = x/y, y (0) = 1. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 7 / 20
  • 8. PDB Orde-1 Terpisahkan PDB Orde-1 Terpisahkan PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalam bentuk dy dx = f (x) g (y) (2) Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-suku dengan peubah yang sama, lalu integralkan. Z dy g (y) = Z f (x) dx Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh solusi eksplisit: y = y (x), atau solusi implisit: F (x, y) = 0. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 8 / 20
  • 9. PDB Orde-1 Terpisahkan Soal (PDB Terpisahkan) Tentukan solusi PDB berikut: 1 dy dx + x y = 0 , y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1 SOLUSI 2 dy dt = y, y (0) = 1, y > 0, jawab: y = e t 3 dy dx = 1 + x xy , x > 0, y (1) = 4, jawab: y2 = 2 ln x + 2x + 14 4 dy dt = t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2 ln 3 t2 , jtj < p 3. SOLUSI 5 y0 = x ey x, y (0) = 1, jawab: y = ln xe x + e x + 1 e e (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 9 / 20
  • 10. Terapan PDB Terapan PDB Model Eksponensial (Malthus) - 1 Cocok untuk masalah pertumbuhan tanpa adanya keterbatasan ruang, sumber daya, persaingan. Sederhana, baik untuk prediksi jangka pendek, kurang realistik untuk prediksi jangka panjang. Terapan: pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.), peluruhan bahan radioaktif, tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 10 / 20
  • 11. Terapan PDB Terapan PDB Model Eksponensial (Malthus) - 2 Asumsi: laju perubahan y sebanding dengan besaran y dy dt = ky, y (0) = y0 (3) Konstanta kesebandingan k disebut laju pertumbuhan (per kapita) (satuan: /[y][t], [y] = satuan y, [t] = satuan waktu t). Solusi (3) adalah y (t) = y0ek t (4) SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 11 / 20
  • 12. Terapan PDB Gra…k Model Eksponensial Dalam jangka panjang, y (t) ! ∞ untuk pertumbuhan, y (t) ! 0 untuk peluruhan. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 12 / 20
  • 13. Terapan PDB Terapan Model Eksponensial Prediksi Penduduk Dunia dengan Model Eksponensial Contoh Sebuah koran memberitakan bahwa pada tahun 1990, banyaknya penduduk dunia tercatat 5.3 miliar. Dengan laju pertumbuhan 0.017 (per orang per tahun) dan dengan asumsi laju pertumbuhan sebanding dengan banyaknya penduduk, maka populasi penduduk dunia diprediksi akan berlipat ganda dalam 40 tahun. Artinya, pada tahun 2030, penduduk dunia akan mencapai 10.6 miliar. Bagaimana prediksi semacam ini dilakukan? SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 13 / 20
  • 14. Terapan PDB Terapan Model Eksponensial Usia Benda Purbakala Soal Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel) benda peninggalan purbakala, diperoleh hasil C-14 yang tersisa sebesar 10% dari massa semula. Bila waktu paruh C-14: 5730 tahun (diperlukan 5730 tahun untuk meluruh separuhnya), a Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun. Jawab: y (t) = y0e ln 2 5730 t . b Berapakah usia benda tersebut? Jawab: 5730 ln 10/ ln 2 19 000 tahun (dibulatkan ke ratusan terdekat). (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 14 / 20
  • 15. Terapan PDB Terapan Perluasan Model Eksponensial Orang Pintar Berhenti Merokok Soal Jika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah pada sebuah bank dengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu, serta sejumlah d rupiah ditabung secara reguler setiap tahun, maka besarnya tabungan pada waktu t, S (t), akan memenuhi masalah nilai awal dS dt = rS + d , S (0) = S0. a Tentukan S (t). Jawab: S (t) = S0 + d r ert d r . b Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaan merokoknya dan membuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,- dengan bunga 8% per tahun yang dihitung secara kontinu. Ia pun secara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesar Rp 10 000,- per hari dan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwa pada saat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabungan lebih dari 1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untuk berhenti merokok). SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 15 / 20
  • 16. Terapan PDB Terapan PDB Model Logistik (Verhulst) - 1 Cocok untuk masalah pertumbuhan dengan adanya keterbatasan ruang, sumber daya, persaingan. Realistik untuk prediksi jangka panjang, sifat jangka pendek menyerupai model eksponensial. Terapan: pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.), penyebaran inovasi, informasi, penyakit, dsb. (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 16 / 20
  • 17. Terapan PDB Terapan PDB Model Logistik - 2 Asumsi: ada batas maksimum M (disebut daya dukung lingkungan) yang dapat "dicapai" suatu besaran y, laju perubahan y sebanding dengan besaran y dan kapasitas ruang sisa M y dy dt = ky (M y), y (0) = y0 (5) Solusi (5) adalah y (t) = M 1 + be Mkt (6) dengan b = M y0 1. SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 17 / 20
  • 18. Terapan PDB Gra…k Model Logistik t y0 0 y M ( ) ( )01 / 1 M kt M y t M y e− = + − ( )limt y t M→∞ = Di awal, laju pertumbuhan meningkat, lalu perlahan menurun. Dalam jangka panjang, y (t) ! M (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 18 / 20
  • 19. Terapan PDB Terapan Model Logistik Penyebaran Inovasi Soal Suatu inovasi "weed spray" dikenalkan kepada "kelompencapir" (Kelompok Pendengar, Pembaca, dan Pemirsa) petani yang berjumlah 5000 orang. Andaikan laju penyebaran inovasi berbanding langsung dengan banyaknya petani yang sudah mengenal inovasi dan sisanya yang belum mengenalnya. Di awal program, 50 petani telah mengenalnya, dua minggu kemudian 500 petani mengenalnya. a Formulasikan model diferensial yang dimaksud. Jawab: dy dt = ky (5000 y) . b Tentukan konstanta kesebandingan model. Jawab: k = ln 11 10000 c Berapa lama waktu yang dibutuhkan sampai 50% petani mengenal inovasi tersebut? Jawab: hampir 1 bulan SOLUSI (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 19 / 20
  • 20. Terapan PDB Tentang ºÝºÝߣ Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX) (Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 20 / 20