�ݺ�ߣ

UNIVERZITET U SARAJEVU
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
PRIMJENA KRON REDUKCIJE MATRICA
[L] i [G] POSTUPAK KOD Y-MATRIČNE
METODE ZA PRORAČUNE TOKOVA SNAGA
ANALIZA ELEKTROENERGETSKI SISTEMA
šifra predmeta: ETF EEO AEES 4770
– Projekat –
Nastavni ansambl Prezime i ime studenata Broj indexa
Nastavnik:
Doc.dr Selma Hanjalić
Saradnici:
V.ass. mr Vedad Bečirović
1.Zejneba Muminović
2.Emina Deljanin
3.Muamera Boškailo
4.Fadil Bećirović
5.Faris Karić
1097/16310
1071/16420
1036/16035
1025/16389
998/16479
Kontakt e-mail: becirovic_f@live.com
09.02.2016., Sarajevo

ELEKTROENERGETSKI SISTEMI - ETF EEO EES 3570
- 2 -
1. OPIS PROJEKTNOG ZADATKA
Analize tokova snaga provode se u okviru planiranja, projektiranja i eksploatacije
elektroenergetskih sistema. Obično se odnose na analizu sistema koji se nalaze u
stacionarnom stanju, pri čemu se pretpostavlja da su elementi sistema simetični. Pored toga,
usvaja se da su i potrošači simetrični, tj. da oni uzimaju istu vrijednost snage po pojedinim
fazama. Ovakav pristup, koji se u najvećem broju slučajeva odnosi na realna stanja
elektronegergetskih sistema, omogućuje formuliranje problema samo na direktnoj shemi.
Najveći broj metoda i računarskih programa za analize tokova snaga baziran je na
prethodnim pretpostavkama.
U slučaju nesimetričnih elemenata sistema i nesimetričnih potrošača, potrebno je problem
formulisati kao trofazni, što bitno usložnjava problem.
Osnovna karakteristika problema tokova snaga je u tome što je problem, odnosno rezultirajući
sistem jednadžbi nelinearan, pa je za njegovo rješavanje potrebno primjeniti neki od
iteracijskih postupaka (Jacobijev postupak, Gauss-Seidelov postupak, metoda sukcesivne
nadrelaksacije, Newton-Raphsonov postupak).
Do danas je uložen ogroman istraživački rad na području iznalaženja efikasnih metoda i
modela za analizu tokova snaga. U okviru ovog projekta obrazloženo je proširenje
programskog koda u Matlab*.m file okruženju za primjenu Kron redukcije matrica [L] i [G]
postupak kod Y-matrične metode za proračune tokova snaga. Ispitana je efikasnost primjene
na određenom broju primjera. Analizu ovih metoda urađena je pomoću softvera koji je
nadograđen u sklopu ovog projekta, koristeći programski paket Matlab. Softver ima zadatak
da nasumično generira zadani broj mreža , zatim za svaku od tih nasumično generiranih
mreža vrši proračun Y-matričnom metodom na koju je primjenjena Kron redukcija i kao
rezultat vraća informaciju o vremenu izvršavanja proračuna. Programski kod je modifikovan
da vrši Kron redukcije matrica [L] i [G] i vraća podatak o vremenu izvršavanja proračuna
kao i podatke o konvergenciji obje metode. Grafički su interpretirani rezultati proračuna.
Nakon obrade dobijenih podataka tj. analize vrijednosti koje funkcija vraća kao što su: broj
iteracija, potrebno vrijeme za računanje, vrijednosti dobijenih napona, izveden je konačan
zaključak o razlikama dvije primjene Kron redukcije matrica. U zaključku su navedene
prednosti, mane i mogućnosti poboljšanja ovog projekta.
U budućnosti, korišteni softver se može nadograditi sa opcijom da korisnik unese podatke za
svoju mrežu, te da na osnovu tih podataka program vrši proračun i da nakon provedenog
proračuna za zadanu mrežu, poredi dobijene rezultate, a zatim korisniku ispiše koja Kron
redukcija je povoljnija. Također, u planu poboljšanja programa je ugradnja opcije koje će na
zahtjev korisnika prikazati riješenja pojedinačnih proračuna, kako bi korisnik imao uvid u
rezultate.
Student Opis aktivnosti
1. Muminović Zejneba Pisanje izvještaja i lektorisanje.
Obrada dobijenih rezultata.
2. Deljanin Emina Rad na teoretskim osnovima L-matrične metode
3. Karić Faris Razvoj softvera, grafička obrada dobijenih rezultata.
4. Boškailo Muamera Rad na teoretskim osnovima G-matrične metode
5. Bećirović Fadil Idejni projekat i razvoj sofvera
Izvođenje zaključka.
Tabela 1. Tabela aktivnosti studenata na projektu

- 3 -
2. TEORIJSKA PODLOGA ZA IZRADU PROJEKTNOG
ZADATKA
2.1 Y-MATRIČNA METODA
Ovaj iteracijski postupak rješavanja problema raspodjele tokova snaga upoznali
smo ranije. On se sporovodi tako što se iteracijska shema primjenjuje direktno na
odgovarajućoj matrici provodnosti. Naime, ako u sistemu jednadžbi, na lijevoj strani
ostavimo samo nepoznate napone, dobit ćemo sistem jednadžbi na koji se direktno
primjenjuje odgovarajući postupak:
(1)
Za rješavanje sistema (1) možemo primjeniti bilo koji od tri ranije navedena
iteracijska postupka (Jakobijev postupak, Gauss-Seidelov postupak, Metoda sukcesivnih
nad-relaksacija). Tako npr., ako upotrijebimo Gauss-Seidelov iteracijski postupak,
odgovarajuća iteracijska shema ima oblik:
(2)
Uz poznate članove matrice [Y] i poznat napon referentne sabirnica (npr. U0 =
1,1+j0), iteracijski postupak započinje usvajanjem početnog vektora napona sabirnica:

- 4 -
(3)
Članovi početnog vektora napona sabirnica mogu biti međusobno jednaki (npr. Ui
0
=
1+j0).
Nakon svakog iteracijskog ciklusa kontrolira se konvergencija rješenja, tj. vrši se
određivanje izraza:
(4)
Iteracijski postupak zaustavlja se u trenutku kada je modul razlike napona svih
sabirnica, između dvije susjedne iteracije manji ili jednak zadatom broju ԑ (npr. ԑ =
0,0001).
Glavna karakteristika Y-matičnog postupka rješavanja problema raspodjele tokova
snaga je jednostavnost, što omogućuje vrlo jednostavno računarsko programiranje. Pored
toga, matrica [Y] je rijetko popunjena matrica (veliki broj članova ravan nuli), tako da su
mnogi članovi na desnoj strani jednadžbe ravni nuli.
Naime svaka jednadžba u sistemu (1) ima na desnoj strani, pored člana za čvornu
struju i člana uslijed zadatog referentnog napona, samo članove koje odgovaraju
sabirnicama koje su direktno povezane s razmatranom sabirnicom. S obzirom na
topologiju realnih EES, to znači da se na desnoj strani jednadžbe (1) nalazi relativno mali
broj članova različitih od nule (najčešće manje od 10 po jednoj sabrinici).
Prema tome potrebno je spremati (i s njima računati) samo članove različite od
nule, tako da je Y-matična metoda poznata po malim memorijskim zahtjevima i malom
broju izračunavanja po jednoj iteraciji.
Međutim, mana ovog metoda je veliki broj iteracija, koje je potrebno načiniti za
dobijanje zadovoljavajućeg rješenja. Razlog za ovo treba tražiti u relativno slaboj
direktnoj povezanosti sabirnica sistema (matrica [Y] je rijetko popunjena matrica).
Naime,promjena napona na jednoj sabrinici utječe samo na, s ovom sabirnicom direktno
povezane sabrinice (a ne na sve sabirnice sistema, što je slučaj s ostalim metodama).
Prethodni postupak odnosio se na slučajeve kod kojih su na sabirnicama bile
zadate aktivne i reaktivne snage ekvivalentnog generatora (PQ tip sabirnice).
Sabrinica koja ima zadatu aktivnu snagu i modul napona (P|U| tip sabirnice),
zahtjeva posebno razmatranje.
Neka je na sabirnici m zadata aktivna snaga Pm i modul napona |Um|. Izdvojimo iz
sistema jednadžbi (1) jednadžbu koja odgovara sabirnici m :

- 5 -
Jednadžbu (5) možemo preurediti na sljedeći oblik:
,odnosno na oblik:
Iz ove jednažbe dobijamo izraz za reaktivnu snagu na sabirnici m:
Na osnovu jednadžbe (8) možemo odrediti reaktivnu snagu sabirnice m, ako su
nam poznati naponi svih sabirnica (uključujući i sabirnicu m).
Iteracijski postupak u slučaju P|U| sabirnica sprovodi se na sljedeći način:
 na osnovu pozantih napona svih sabirnica u k-tom iteracijskog ciklusu,
određuje se reaktivna snaga sabirnice m:
 dobijena vrijednost reaktivne snage omogućuje određivanje svih napona u k +
1 iteracijskom postupku (1). Na ovaj način dobijemo i napon sabirnice m.
Izrazimo dobijeni napon ove sabirnice preko njegovog realnog i imaginarnog
dijela:
Odgovarajući ugao napona sabirnice m je:
 s obzirom da sabrinica m ima poznat modul napona |Um| , novu vrijednost
napona sabirnice m određujemo po izrazu:

- 6 -
tj,. uzimamo zadati modul napona, a za ugao napona usvajamo vrijednost
dobijenu tokom iteracijskog postupka,
 na osnovu ovako korigiranog napona sabirnice m, određuje se prema izrazu
(10) reaktivna snaga, tako da je moguće nastaviti s iteracijskim postupkom.
Uređaji koji proizvode, odnosno konzumiraju reaktivnu snagu imaju organičenja u
kojima se mogu kretati iznosi ovih snaga. Neka se reaktivna snaga sabirnice m može
kretati u opsegu:
U toku prethodno opisanog iteracijskog postupka može se desiti da reaktivna
snaga određena izrazom izađe iz okvira definiranog jednadžbom (14).
U tom slučaju koristimo slijedeća pravila:
 ako je uzima se
 ako je uzima se
Kada se desi jedan od prethodna dva slučaja, ne vrši se korekcija napona sabirnice
m kako bi se osigurao zadati modul napona ove sabirnice. Korekcija napona vrši se
ponovno kada snaga Qm upadne u okvire postavljene relacijom (14).
2.2KRON REDUKCIJA MATRICA
2.2.1 Uvod:
Postupak matrične redukcije uveo je Gabriel Kron prilikom rješavanja određenog
broja složenih problema iz oblasti mašinstva. Ovaj postupak ne podrazumjeva bilo kakave
aproksimacije. Rješenja dobivena ovim postupkom su tačna, odnosno jednaka su onim
koja bi se dobila prilikom rješavanja izvornog sistema.
Matrična redukcija podrazumjeva početno eliminiranje određenog broja nepoznatih iz
izvornog sistema linearnih algebarskih jednačina. Na taj način se reduciraju dimenzije
problema, a samim tim reduciraju se i potrebni memorijski zahtjevi i vrijeme rada
računara.
U određenom broju problema dovoljna su nam samo rješenja dobijena za reducirani
sistem. Međutim, u slučaju da su nam potrebna sva rješenja, njih je moguće dobiti na
osnovu odgovarajućih submatrica i rješenja za reducirani sistem.

- 7 -
2.2.2 Formulacija problema:
Prilikom rješavanja velikog broja složenih problema iz oblasti elektrotehnike, često
puta se konačni rezultat dobije rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina
oblika:
(15)
- kvadratna matrica koeficijenata NxN
- traženi vektor rješenja
- desna strana jednačine
N - ukupan broj nepoznatih
Navedimo samo neke od metoda i postupaka koje rezultiraju sistemom jednačina (15):
- Metod napona čvorova
- Analiza elektromagnetskih tranzijenata u vremneskoj domeni
- Metoda konačnih elemenata
- Metoda konačnih razlika
- Metoda simuliranja naboja
Postupak kron matrične redukcije podrazumjeva početnu eliminaciju određenog broja
nepoznatih iz jednačina (15). Napišimo matričnu jednačinu (15) u sljedećem obliku:
Sa smo označili dio vektora kojeg želimo zadržati, dok će vektor biti
eliminiran. U jednačini (16) su naznačene odgovarajuće submatrice povezane sa
vektorima i . Pretpostavimo da je nesingularna submatrica. Napišimo
jednačinu (16) u razvijenom obliku:
Na osnovu jednačine (17.b) pišemo:
/
,odnosno:

- 8 -
Uvrštavanjem (18) u jednačinu (17.a) dobijamo:
(19)
Označimo sa:
(20)
(21)
Na osnovu jednačine (20), koja uz navedene oznake glasi:
(22)
dobijeni traženi vektor , tj:
(23)
Prethodni postupak je u literaturi poznat kao Kron matrična redukcija, i kao što se
iz prethodnog izlaganja vidi omogućava eliminisanje određenog broja nepoznatih
(subvektora ).Na osnovu poznate matrice koeficijenata i desne strane jednačine
, matrične operacije naznačene u jednačinama (20) i (21) vrlo se lako provode. Ako
je broj članova vektora jednak N1 , onda je matrica reda N1 x N1.
U ovisnosti od broja nepoznatih koje želimo eliminisati (subvektor ), red
matrice može biti znatno manji od reda izvorne matrice . Kod rješavanja
velikog broja praktičnih problema, rješenje će biti dovoljno. Međutim , treba uočiti
da je na osnovu poznatog moguće, primjenom jednačine (18) odrediti i eliminisati
vektor .
Matrica određena jednačinom (20) u potpunosti zadržava osobine izvorne
matrice , tj. ako je na primjer matrica provodnosti onda je i takođe matrica
provodnosti, što predstavlja važnu osobinu.
Određivanje matrice podrazumjeva određivanje inverzije submatrice
(20), što na prvi pogled može predstavljati manu podstupka. Međutim, s obzirom
da se Kron redukcija matrice može primjeniti i na , praktičan postupak određivanja
redukovane matrice provodi se tako da se eliminiše jedan po jedan član vektora
(počev od posljednjeg), što bitno pojednostavljuje odgovarajući računarski algoritam.
Ovaj postupak će biti posebno obrađen u primjeni Kron redukcije u analizi električnih
mreža.

- 9 -
Potpuno analogno prethodnom postupku bilo bi moguće eliminisati vektor iz
sistema jednačine (17), što bi rezultiralo sljedećim izrazima:
(24)
2.2.3 Kron redukcija i metod napona čvorova (L – metoda):
Primjer 1:
Na slici 4 je prikazana jednostavna električna mreža. Primjenom sistematske Kron
matrične redukcije odrediti napone pojedinih čvorova. Sve provodnosti su međusobno
jednake i iznose 1S.
Slika .1 – Električna mreža iz primjera 1
Podaci o mreži:
Matrična jednačina koja odgovara razmatranoj (originalnoj) mreži glasi:
(25)

- 10 -
Pri čemu je matrica provodnosti jednaka:
(26)
a vektor čvornih struja glasi:
(27)
Eliminišemo najprije čvor 4. U matrici provodnosti i vektoru čvornih struja crtkanim
linijama su označene odgovarajuće submatrice:
3
0 (28)
t-označava transpoziciju
0-označava izvorne (neredukovane) veličine
Odredimo najprije odgovarajući redukovani proizvod, tj.:
Redukovana matrica provodnosti glasi:
(29)
a redukovani vektor čvornih struja ima vrijednosti:

- 11 -
0 (30)
Matričnoj jednačini:
(31)
odgovara šema prikazana na slici 5:
Slika 2. – Električna mreža iz Primjera 1 nakon eliminisanja čvora 4.
Na osnovu slike 2 zaključujemo da smo eliminacijom čvora 4 transfigurisali
zvijezdu u odgovarajuću trougao. Strujni izvori pojedinih čvorova se nisu promijenili, jer
na čvoru 4 nije bilo strujnog izvora.
Naredni korak je eliminacija čvora 3. U jednačinama (29) i (30) crtkanim linijama
smo naznačili odgovarajuće submatrice. Redukovana matrica provodnosti ima vrijednost:
(32)
Redukovani vektor čvornih struja je, zbog = 0 ravan vektoru , tj:
(33)
Dobili smo matričnu jednačinu oblika:
(34)

- 12 -
Jednačini (34) odogovara zamjenska šema prikazana na slici 6:
Slika 3 - Električna mreža iz Primjera 1 nakon eliminisanja čvora 3.
Provodnost između čvorova 1 i 2 se dobije kao paralelena kombinacija
provodnosti i serijske veze dvije provodnosti od po (slika 2). I u ovom slučaju
nije bilo korekcije strujnih izvora (čvor 3 također nije imao strujni izvor).
Eliminaciju čvora 2 provodimo potpuno analogno prethodnom postupku, tj.
(35)
(36)
Matričnoj jednačini:
(37)
Odgovara šema data na slici 7:

- 13 -
Slika 4. - Električna mreža iz Primjera 1 nakon eliminisanja čvora 2
Na osnovu jednačine (37) možemo direktno odrediti napon U1 , tj:
(v)
Za određivanje napona U2 koristimo jednačinu (34), koja glasi:
S obzirom da je U1 poznato, izdvajamo drugu jednačinu:
Odnosno:
(V)
Napon U3 određujemo iz treće jednačine matrične jednačine (31):
tj.

- 14 -
Na osnovu poznatih napona U1 , U2 i U3 napon U4 određujemo iz četvrte jednačine
izvorne matrične jednačine (25).
Prema tome, konačno rješenje ovog Primjera glasi:
Primjenom sistematskog postupka Kron matrične redukcije postupno smo sveli
izvorni sistem na samo jednu jednačinu iz koje direktno dobijemo napon U1 . Obrnutim
postupkom, koristeći rezultate prethodnih redukcija dobijemo ostale napone (U2 , nakon
toga U3 i konačno U4). Na ovaj način smo rješili sistem linearnih algebarskih jednačina.
Ovakav postupak je u osnovi, kako će to kasnije biti izloženo, identičan dobro poznatom
postupku Gauss-ove eliminacije za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Radi lakšeg praćenja prethodnog postupka, a u cilju izvođenja određenog broja važnih
zaključaka prikažimo matrice i vektore u Tabeli 1:
Red
redukcije
k
k=0
k=1

- 15 -
k=2
k=3
Tabela 2. - Matrice i vektori iz Primjera 1
Sve matrice su simetrične (što proizilazi iz metode napona čvorova).
Crtkanim linijama u Tabeli 1 naznačeni su redovi i kolone koji odgovaraju eliminisanim
čvorovima. Formirajmo kombinovanu matricu provodnosti , tako što ćemo zadržati
samo redove i kolone ispod i desno od crtkanih linija.
Uvedimo donju trougaonu matricu koja ima članove jednake članovima na
dijagonali i ispod dijagonale matrice , a ostale članove nula, tj:
(39)
Formirajmo također vektor , čiji su članovi ravni vrijednostima čvornih struja
ispod crtkane linije u Tabeli 1 (počev odozdo), tj:
(40)
Lako je pokazati da vrijedi jednačina:
(41)
koja se zbog svoje trougaone forme lako rješava:

- 16 -
Rješenjem sistema jednačina (41) dobije se vektor napona .
Uvođenjem kombinovane matrice uočavamo da je u izvornoj matrici moguće
spremiti sve podatke dobijene postupkom primjene Kron redukcije. Matricu za
razmatrani Primjer možemo formirati na sljedeći način:
-U izvornoj matrici zadržimo četvrti red i četvrtu kolonu.
Formira se trostruki proizvod
u čijem formiranju učestvuju (zbog simetričnosti) samo članovi četvrtog reda matrice
.
-U prethodnom koraku formirani trostruki proizvod se oduzme od matrice
(reda 3x3), tako da sada prva tri reda i tri kolone izvorne matrice sadrže redukovanu
matricu .
-Zadrži se treći red i treća kolona prethodno dobijene matrice. Formira se trostruki
proizvod:
Ovaj proizvod se oduzme od matrice , čime dobijemo . Ova matrica je sadržana
u prva dva reda i dvije kolone izvorne matrice.
- Zadrži se i drugi red i druga kolona. Formira se proizvod:
i ova vrijednost se oduzme od , tako da konačno dobijemo .
Prethodnim postupkom smo dobili matricu smještenu u osnovnoj matrici
.
Rezimirajmo prethodni primjer kroz brojne podatke iz Primjera 1:
a) Postavimo početno da je:

- 17 -
(dato u jednačini (29)) se dobije kada se od članova gornje matrice (prva tri reda i tri
kolone) oduzme trostruki proizvod, tako da sada glasi:
b) Formira se trostruki proizvod
i ova vrijednost se oduzme od gornje submatrice (reda 2x2) iz matrice (dobije se
).
U ovom slučaju je:
c) Zadrži se drugi red i druga kolona, formira se proizvod:
i ova vrijednost se oduzme od prvog člana matrice , čime se konačno dobije (33):

- 18 -
S obzirom da su matrice simetrične, to vrijedi:
Na ovaj način nije potrebno spremati submatrice , nego samo tako da
je moguće direktno formiranje donje trougaone matrice .
U tom slučaju se određuje samo donji dio trostrukog proizvoda:
i oduzima od ogovarajućeg dijela donje trougaone matrice.
Ovim se postupak prevođenja matrice provodnosti na donju trougaonu matricu
može prevesti na polovini (uključujući dijagonalu) izvorne matrice, što omogućava uštede
u memoriji računara.
Donja trougaona matrica se može napisati u obliku (za Primjer 1):
(42)
Vektor se također može lako formirati na osnovu formirane donje trougaone matrice
:
a) Postavimo da su članovi vektora ravni početno članovima vektora , tj:
Formiramo trostruki proizvod
i oduzmemo ga od prva tri člana vektora (od ). Dobijemo:
se nije promijenio jer je .

- 19 -
Za formiranje naprijed navedenog trostrukog proizvoda koristimo submatricu iz
četvrtog reda matrice i vrijednosti čvorne struje iz četvrtog reda vektora .
b) Formira se proizvod:
i ova vrijednost oduzme od prva dva člana vektora . S obzirom da je vektor
se neće promijeniti.
c) Na osnovu podataka iz drugog reda matrice i drugog člana vektora ,
formiramo proizvod
kojeg oduzmemo od provog člana vektora , te konačno dobijemo:
Prema tome, donja trougaona matrica se može neovisno formirati, a na osnovu
nje i početnog vektora lako dobijemo vektor .
Traženi vektor napona dobijemo iz matrične jednačine:
(43)
koja se lako rješava zbog trougaone forme matrice .
Prateći prethodnu proceduru zaključujemo da je za rješavanje ovog problema potrebno
formirati polovinu izvorne matrice (i u nju smjestiti matricu ) i vektor .

- 20 -
2.2.4 Kron matrična redukcija i Gauss-ova eliminacija (G-metoda)
Kroz prethodni primjer ustanovili smo ekvivalenciju sistematske promjene Kron
redukcije i rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina postupkom Gauss-ove
eliminacije. Sistematski smo eliminisali jednu po jednu varijablu, počev od posljednje.
Ovim postupkom je dobijena donja trougaona matrica . Međutim, kod standardnog
izlaganja postupka Gauss-ove eliminacije uobičajeno je formirati gornju trougaonu
matricu, te u navedenom primjeru prikazujemo postupak sistematske Kron redukcije
počevši sa eliminacijom od prve nepoznate. Ovaj postupak je opisan skupom jednačina
(24).
Naredni primjer je identičan Primjeru 1, s tim da smo drugačije numerisai čvorove mreže.
Primjer 2:
Sistematskom eliminacijom, primjenom Kron redukcije, počev od prve nepoznate
formirati gornju trougaonu matricu i rješiti el.mrežu prikazanu na slici 5:
Slika 5. - Električna mreža iz primjera 1 sa drugačijim numeracijama čvorova
Podaci o mreži:
Matrica provodnosti za naznačenu numeraciju čvorova glasi:
(S)
dok je vektor čvornih struja:

- 21 -
(A)
Postupak eliminacije provodimo počev od prvog čvora. Najprije ćemo formirati
gornju trougaonu matricu . Eliminaciju provodimo uz korištenje prve jednačine iz
sistema jednačina (10), koja u opštem slučaju ima oblik:
Najprije određujemo trostruki proizvod iz jednačine (39), te nakon toga , tj:
k=0
k=1
k=2
Gornju trougaonu matricu dobijemo tako što iz svake matrice uzmemo samo prvi red
(desno od dijagonalnog člana), tj:

- 22 -
Za određivanje vektora u matrici imamo sve potrebne veličine. Ovaj
vektor također određujemo postupno, koristeći drugu jednačinu sistema jednačina (10),
koja glasi:
k=0
k=1
k=2
Vektor dobijemo tako što iz svakog vektora uzmemo samo prvi član (broj iznad
crtkane linije), tj:
Postupak formiranja matrice koristeći prostor izvorne matrice i vektora
koriteći prostor vektora je u potpunosti analogan u prethodnom poglavlju
izloženim algoritmima. Formiranjem matrice i vektora u potpunosti odgovara
postupku Gauss-ove eliminacije (svođenje na gornju trougaonu matricu).
Rješenje problema se dobije iz jednačine:
(44)
koje u ovom primjeru glasi:

- 23 -
Iz četvrte jednačine dobijemo:
(v)
Koristeći treću jednačinu dobijemo:
(V)
Iz druge jednačine:
(V)
Konačno, na osnovu prve jednačine imamo:
(V)
Traženi vektor napona glasi:
Kod upoređivanja dobijenog rezultata sa rješenjem Primjera 1 voditi računa da
smo u ovom Primjeru drugačije numerisali čvorove.
Prethodni postupak rješavanja matrične jednačine je u literaturi
poznat pod nazivom povratno uvrštavanje. Na slikama 9a, 9b i 9c su prikazane
ekvivalentne električne mreže koje odgovaraju pojedinim koracima eliminacije čvorova
mreže iz Primjera 2.
a) k=0 eliminacija prvog čvora

- 24 -
Slika 6a. - Redukcija el. mreže iz Primjer 2 - eliminacija prvog čvora
b) k=1 eliminacija drugog čvora
Slika 6b. - Redukcija el. mreže iz Primjer 2 - eliminacija drugog čvora
c) k=2 eliminacija trećeg čvora
Slika 6c. - Redukcija el. mreže iz Primjer 2 - eliminacija trećeg čvora
Zanimljivo je pratiti postupak eliminacije na šemama prikazanim na slikama 6a,
6b i 6c. Eliminacija čvora 1 znači raspodjelu čvorne struje od 2A na čvor 4 proprcionalno
provodnosti između čvora 1 i čvora 4 tj:

- 25 -
(A)
S obzirom da čvor 1 nema veze sa čvorovima 2 i 3 odgovarajuće struje su
ravne nuli. Provodnost koja se dodaje između čvora 4 i referentne sabirnice ravna je
serijskoj vezi dvije provodnosti od po 1S . Čvor 2 nema strujnog izvora i nema
spoja sa referentnom sabirnicom te njegovo prisustvo ne utiče na rješenje, te se
postupkom eliminacije ovog čvora on sa pripadajućom granom izostavlja iz mreže (Slika
6b). Napon čvora 2 u konačnom rješenju mora biti ravan naponu čvora 4.
Konačno eliminacija čvora 3 znači dodjelu čvora 4 dijela strujnog izvora sa ovog
čvora
i dodavanje postojećoj provodnosti serijske veze dvije provodnosti od po 1S.
Ovo razmatranje je naravno imalo cilj samo prevođenje pojedinih koraka u Kron
redukciji, odnosno u Gauss-ovoj eliminaciji uz postupke redukcije el. mreža koji su bliski
elektro iznženjerima.
Ranije smo ustanovili da se gornja trougaona matrica može formirati samo na
osnovu poznate izvorne matrice (odnosno njene polovine). U ovoj matrici su
sadržani svi podaci potrebni za određivanje vektora na osnovu poznatog vektora .
Ovo predstavlja važnu osobinu, posebno u situacijama kod kojih se konfiguracija mreže
ne mjenja nego se mjenjaju samo vektori čvornih struja (npr. kao kod proračuna
tokova snaga). U tom slučaju matrica ostaje nepromijenjena, a samo se (relativno
brzo) na osnovu ove matrice i različitih vektora formiraju odgovarajući vektor i
na osnovu toga dobijaju odgovarajuća rješenja za vektore čvornih napona.

- 26 -
2.3 O PROGRAMU
2.3.1 Algoritam
U ovom dijelu detaljno ćemo opisati strukturu i način na koji program koji smo razvili u
sklopu ovog projekta funkcioniše. U sklopu programa, koristili smo već gotove funkcije za
proračun Y-matričnom metodom sa ili bez kron redukcije pod nazivom
ProracunTokovaSnagaKronNovo. Zatim funkciju dajVod, koja kao rezultat vraća paramtre
voda. Te funkciju randomRaspon, koja kao rezultat vraća proizvoljan broj iz proslijeđenog
joj opsega. Funkcije dajVod i randomRaspon program koristi prilikom generisanja
proizvoljne mreže.
U sklopu programa razvili smo dvije dodatne funkcije L-metoda i G-metoda koje kao
rezultat vraćaju napone i sve vrijednost dobijene iz proračuna tokova snaga proračunate
ovim metodama.
Program zahtjeva ulazni excel fajl, u kojem su upisane minimalne i maksimalne
vrijednosti snaga potrošnje, te ostalih podataka, koje program koristi pri kreiranju
„nasumičnih“ mreža. Primjer ulaznog fajla je dat na slici ispod.
Slika 7. - Primjer ulaznog fajla
Ulazni excel fajl mora imati identičan oblik kao što je prikazano iznad, inače će program
učitati pogrešne podatke što će u konačnici dovesti do pogrešnih rezultata.
Program iz ulaznog fajla učitava podatke, a zatim učitane vrijednost dodeljuje
odgovarajućim varijablama, nad kojim program u nastavku koda izvršava potrebne
operacije.
Nakon učitanja i pridruživanja ulaznih podataka, sljedeće što program radi jeste kreiranje
nasumičnih mreža u ovisnost od broja sabirnica. Program generiše određeni broj mreža, koji
ovisi o korisniku.
Generisanje mreže program provodi u sljedećim koracima:
- generisanje matrice provodnosti;
- generisanje grana;
- pretvaranje iz stvarnog sistema vrijednosti u sistem jediničnih vrijednosti;
- generisanje snaga;

- 27 -
- generisanje globalne matrice admitansi
- generisanje P|U| sabirnica;
- generisanje PQ sabirnica;
Nakon što program kreira nasumičnu mrežu, dobijeni podaci se proslijeđuju funkciji
ProracunTokovaSnagaKron koja u sebi sadrži „L i G metodu“. Na osnovu prosljeđenog
broja metode, funkcija bira postupak rješavanja proračuna tokova snaga. U našem slučaju
posmatramo proračun tokova snaga Y-matričnom bez kron redukcije i Y-matričnom
metodom sa kron redukcijom za svaki od sistema (tj. za svaki broj sabirnica) sto puta, te
proračun pomoću L i G metoda sa i bez kron redukcije.
Program računa vrijeme koje je potrebno za svaku od tih iteracija, te u konačnici kao
rezultat uzima srednju vrijednost dobivenih vremena, kako za Y-matričnu metodu sa i bez
kron redukcije, tako i za L i G metodu sa i bez kron redukcije. Ovim program daje povjerljiv
podatak o utrošenom vremenu.
Također, program vodi evidenciju o broju potrebnih iteracija za Y-matričnu sa i bez kron
redukcije te za L i G metodu sa i bez kron redukcije, za svaki od zadanih sistema (tj. za svaki
broj zadanih sabirnica).
Na osnovu ovih informacija, program daje kao završni rezultat četiri grafika. Na jednom
grafiku je prikazana ovisnost vremena t (ms) o broju sabirnica. Dok je na drugom grafiku
prikazana ovisnost broja iteracija o broju sabirnica. Na trećem grafiku je prikazana greška
proračuna napona i međusobno poređenje ovih metoda na osnovu vrijednosti napona. Na
svim graficima grafika, naznačeno je vrijeme i broj iteracija koje je potrebno za svaku od
metoda.
2.3.2 User interface
Pri pokretanju programa, korisniku se ispisuje pitanje o tome koliko sistema želi da
analizira i uporedi. Nakon što unese broj sistema, korisnik treba da unese broj sabirnica za
svaki od sistema. Po završetku unosa broja sabirnica za svaki od sistema, program
automatski počinje da vrši proceduru opisanu u prethodnom poglavlju.

- 28 -
Program korisnika obavještava o tome koji korak trenutno izvršava, te isto tako ispisuje
obavještenje po završetku određenog zadatka.
Vrijeme trajanja ovisi o zadanom broju sabirnica, generisane mreže te o konfiguraciji
samog računara. Ovisno o ova tri faktora, program može da radi od nekoliko minuta pa do
nekoliko desetina minuta i više.
Nakon što program izvrši proračune za svaki od sistema, prikazuje rezultat u vidu grafika
što će biti prikazano u sljedećem poglavlju, gdje ćemo program testirati na određenim
primjerima.

- 29 -
3. PRIMJER
3.1 Strukturalni blok dijagram Kron redukcije:
Slika 8. - Strukturni blok dijagram Kron redukcije

- 30 -
3.2 Testiranje na pet sistema različitog broja sabirnica
Razmatra se pet sistema, čiji su brojevi sabirnica 5,6,7,8,9 respektivno.
Prvo unosimo broj sistema:
Zatim unosimo broj sabirnica za svaki sistem:
I na kraju kao rezultat, program nam ispisuje grafike, koje smo opisali u prethodnim
poglavljima.
Slika 9. – Proteklo vrijeme u ovisnosti o metodi

- 31 -
Slika 9 – Broj iteracija u ovisnosti o metodi
Slika 10. – Greška G metode u odnosu na Y-matričnu metodu bez primjene KR

- 32 -
Slika 11 – Greška G metode u odnosu na Y-matričnu metodu sa primjenom KR
Slika 12 – Greška L metode u odnosu na Y-matričnu metodu bez primjene KR

- 33 -
Slika 13. – Greška L metode u odnosu na Y-matričnu metodu sa primjenom KR

- 34 -
4. ZAKLJUČAK
Jedna od glavnih karakteristika L-matrične i G-matrične metode rješavanja raspodjele
tokova snaga je njihova jednostavnost, pa nam to omogućava vrlo jednostavno računarsko
programiranje. Matrica [L] se dobije redukcijom matrice [Y] te na taj način dobijamo donju
trougaonu matricu koja je rijetko popunjena matrica u odnosu na [Y] matricu (veliki broj
članova ravan nuli), pa to direktno smanjuje broj članova na desnoj strani jednadžbe, tj.
mnogi članovi su jednaki nuli. Naime, svaka jednadžba su sistemu ima na desnoj strani, pored
člana za čvornu struju i člana uslijed zadatog referentnog napona, samo članove koje
odgovaraju sabirnicama koje su direktno povezane s razmatranom sabirnicom. S obzirom na
topologiju realnih elektroenergetskih sistema, to znači da se na desnoj strani jednadžbe nalazi
relativno mali broj članova različitih od nule (naječešće manje od 10 po jednoj sabirnici). Na
dijagramima koji pokazuju vrijeme potrebno za rješavanje problema raspodjele tokova snaga
za različite sisteme sa različitim brojem sabirnica, vidimo da vrijeme proračuna za L i G
metodu je znatno brže od vremena proračuna bez primjenjene metod. Osnova toga je što su
matrice [L] i [G] rijeđe popunjene u odnosu na matricu [Y]. Također prednost [L] i [G]
matrice je u tome što ima konstantnu matricu provodnosti.
Kada su u pitanju iteracijski postupci, Y-matrična metoda nije pogodna za korištenje, jer
je za rješavanje problema raspodjele tokova snaga kod Y-metode potreban veliki broj
iteracija. Razlog za ovo možemo tražiti u relativno slaboj direktnoj povezanosti sabirnica
sistema (matrica [Y] je rijetko popunjena matrica). Naime, promjena napona na jednoj
sabirnici utječe samo na, s ovom sabirnicom direktno povezane sabirnice (a ne na sve
sabirnice sistema, što je slučaj s ostalim metodama). U slučaju primjene [L] i [G] metode
ubrzana je konvergencija rješenje zbog veće broja nula u samoj matrici i što je vidljivo sa
slika da su ove metode znatno brze i imaju manji broj iteracija. Na slici koja pokazuje broj
iteracija potrebnih za dobivanje zadovoljavajućeg rješenja za svaki sistem u ovisnosti o
metode jasno je uočljivo da su L i G metode brže konvergiraju (u nekim slučajevima broj
iteracija je dvostruko manji).
Ove metode se mogu unaprijediti primjenom najnovijih algoritama koji su zasnovani na
smanjenju korištenih operacija s članovima koji su ravni nuli koje nije potrebno vršiti.
Značajne uštede u memoriji računara i u vremenima potrebnim za rješavanje sistema
linearnih algebarski jednačina mogu se dobiti ako se izbjegne spremanje članova matrice [Y]
koji su jednaki nuli i ako se izbjegnu operacije s ovim članovima. Postoje posebne tehnike
koje su povezane s ovim postupcima i koje se nazivaju tehnikama rjetko popunjenih matrica,
kao što su potpuna kompaktizacija, pojasna metoda i profilna metoda. Potpuna
kompaktizacija podrazumjeva spremanje samo članova koji su različiti od nule. Ovdje je
potrebno ustanoviti indekse koji odgovaraju ovim članovima i ove podatke držati i posebnim
vektorima u memoriji računara. Pored toga treba voditi računa da se tokom rješavanja sistema

- 35 -
linearnih algebarskih jednačina generiše određen broj članova matrice koji početno nije
bio ravan nuli. Potrebno je voditi računa o spremanju i ovih članova. Pažljivim numeriranjem
pojedinih čvorova električne mreže moguće je dobiti da se velika većina članova matrice
koncentrira oko glavne dijagonale. ovo je moguće učiniti kod <<ručnog>> numerisanja
brojeva čvorova ili se mogu upotrijebiti posebni algoritmi koji automatski vrše odgovarajuće
re-numeracije u svrhu koncentriranja ne-nultih članova oko glavne dijagonale. Ovakva vrsta
rijetko popunjenih matrica zove se pojasna matrica. Svi članovi različiti od nule
koncentrirani su oko glavne dijagonale. Izvan ovog pojasa nalaze se samo članovi matrice
koji su jednaki nula. Programiranje koda koji omogućava rad s pojasnim matricama je
relativno jednostavno. Postižu se značajne uštede u memoriji računara i ubrzava vrijeme
potrebno za dobijanje rješenja sistema linearnih algebarskih jednačina.

- 36 -
5. LITERATURA
[1] Prof.dr.Salih Sadović, „Analiza elektroenergetskih sistema“, Elektrotehnički fakultet u
Sarajevu, 2011.god.
[2] Van.prof.dr.Tatjana Konjić, „Bilješke i slajdovi s predavanja“, Elektrotehnički fakultet u
Sarajevu, 2014.god.
[3] Doc.dr Selma Hanjalić, „ Bilješke i slajdovi s predavanja”, Elektrotehnički fakultet u
Sarajevu, 2015.god.

�ݺ�ߣ

"Application of the matrix crown reduction [L] and [G] procedure in the Y-matrix method for calculation of power flow"

More Related Content

"Application of the matrix crown reduction [L] and [G] procedure in the Y-matrix method for calculation of power flow"