際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Algoritma Kendali Otomatis untuk Differential-Steered Wheeled Robot

Anugrah Pamosoaji
Anugrah Pamosoaji

Algoritma kendali otomatis untuk robot beroda diferensial membahas model kinematika dan dinamika robot, desain kontroler berbasis analisis kestabilan Lyapunov, serta algoritma pengendalian untuk melacak target."

1 of 29
Download to read offline
Algoritma Kendali Otomatis untuk Differential-Steered Wheeled Robot By: Anugrah K. Pamosoaji, Ph.D. Fakultas Teknologi Industri Universitas Atma Jaya Yogyakarta 2022 13 Maret 2022
Agenda Pengertian differential-steered robots Konsep pengendalian otomatis (feedback control systems) Pemodelan kinematika robot Konsep kestabilan Desain pengendali dengan pendekatan analisis kestabilan Lyapunov Algoritma pengendalian 1/26
Differential-Steered Robots Mobile robot / wheeled robot: robot yang mekanisme bergeraknya menggunakan roda. Beberapa jenis wheeled robot: differential-steered robot, unicycle robot, bicycle- like robot, ackermann-steered robot. Differential-steered robot adalah mobile robot yang mekanisme bergeraknya menggunakan kombinasi kecepatan putar roda kiri dan roda kanan. 2/26
Pemodelan Robot Dalam perancangan robot, sebelum kita melakukan prototyping, terlebih dahulu kita harus melakukan simulasi untuk memperkirakan bagaimana kinerja dari sistem yang akan kita rancang. Agar simulasi tersebut dapat menggambarkan situasi yang (mendekati) sebenarnya, kita perlu membuat model matematik. Model matematik adalah sebuah penggambaran secara matematik yang merepresentasikan karakteristik sebuah sistem. Model pada mobile robot (dan robot pada umumnya) biasanya terbagi ke dalam dua kategori: Model kinematika ( hanya memodelkan jarak, kecepatan, percepatan ) Model dinamika (memodelkan jarak, kecepatan, percepatan, gaya, torsi). 3/26
Open loop control Actuators Mikrokontroler Open loop control system adalah sistem pengendalian di mana controller hanya mendapatkan informasi set point (desired output) dan informasi awal berupa actual output awal pada saat sistem mulai dijalankan. Set point = desired output = output yang diinginkan. Output process = actual output = output yang sebenarnya. Kelemahan mendasar open loop control adalah setelah sistem (robot) mulai dijalankan, controller tidak mengetahui actual outputnya, sehingga sinyal instruksi yang diberikan ke actuator hanya berdasarkan asumsi actual output (yang didapat dari perkalian kecepatan dan waktu) Padahal, pada kenyataannya, perhitungan kecepatan x waktu belum tentu sama dengan actual outputnya. (ada faktor pengganggu, seperti skidding forces (menyebabkan selip pada roda). 4/26
Feedback control system (close loop) Feedback control system adalah sistem kendali loop-tertutup, di mana instruksi pengendalian ke actuator didasarkan pada selisih antara set point (desired output) dan actual output. Set point = desired output = output yang diinginkan. Output process = actual output = output yang sebenarnya. Error = set point actual output. Pada prinsipnya, sistem mikrokontroler akan memberikan instruksi ke motor-motor pada setiap roda selama Error masih belum NOL. Autonomous Forklift <Widyotriatmo, Pamosoaji, and Hong (2013)> 5/26
Fungsi transfer (transfer function) Fungsi transfer adalah rasio output/input. Fungsi transfer merupakan sebuah spesifikasi sub-sistem dalam sebuah sistem kompleks yang dapat digunakan untuk pemodelan matematika sistem kompleks tersebut. Pada wheeled robot, setiap roda terhubung dengan motor dan gear. Untuk motor, fungsi transfernya adalah: TF_motor = rpm_m / Vm Di mana: rpm_m = kecepatan putaran sumbu keluaran motor. Vm = tegangan input ke motor Untuk gear, fungsi transfernya adalah: TF_gear = rpm_w / rpm_m Di mana: rpm_w = kecepatan putaran sumbu keluaran gear. TF_total = TF_motor x TF_gear = rpm_m / V_m x rpm_w / rpm_m = rpm_w / V_m 6/26
Fungsi transfer pada wheeled robot Setiap blok pada sistem closed loop memiliki transfer function yang statis. Setiap blok pada sistem closed loop memiliki transfer function yang konstan. Contohnya pada motor DC di bawah ini: Tetapi fungsi transfer pada process (wheeled robot secara menyeluruh), transfer functionnya tidak dinyatakan dengan rasio output/input, tetapi dengan persamaan differensial orde 1. (slide berikutnya). 7/26
Model Kinematika Unirobot (robot 1 roda) Fungsi transfer pada differential-steered robot dapat direpresentasikan dengan model kinematika atau model dinamika (Dalam webinar ini yang dibahas hanyalah model kinematika saja). Model kinematika differential-steered robot: ヌ = = . cos μ = = . sin = = + = + . cos . + = + . + = + . sin . Simulasi model kinematika differential-steered robot: : kecepatan linear / kecepatan traksi (m/sec) : kecepatan sudut (rad/sec) Control variables 8/26
Model Kinematika Differential-Steered Robot (2) : jarak antar roda Rumus kecepatan linear dan angular (kecepatan sudut) : (1) .(2) Dari rumus di atas dapat disimpulkan bahwa: 1) Jika dan arahnya ke depan dengan besar yang sama, maka robot akan bergerak lurus ke depan. 2) Jika dan arahnya masing-masing ke depan dan ke belakang dengan besar yang sama, maka robot akan bergerak pivot. 10/26
Navigasi robot: tracking (Huang, 2009) Persamaan kinematika robot: Variabel navigasi (error konfigurasi): (3) Kinematika variable navigasi: Contoh misi robot: target tracking. Pada misi ini, robot bergerak sedemikian rupa sehingga konfigurasinya (, ,) harus sama dengan konfigurasi target
Desain controller (control law) untuk misi target tracking Problem: apakah rumus untuk input dan w supaya r, a, dan b bernilai nol? Rumusan untuk dan w disebut juga Control Law. Banyak metode yang dapat digunakan untuk mendesain Control Law. Pada webinar ini kita akan perdalam desain Control Law dengan menggunakan analisis kestabilan Lyapunov dan Barbalats Lemma. 12/26
Apakah kestabilan itu? Untuk mempermudah pengertian, kita gunakan contoh untuk sistem 1 dimensi dengan state variabelnya adalah r. Nilai state variabel r dikatakan stabil jika nilainya dan nilai turunan ke-n terhadap waktu (dr/dt, menuju ke nol untuk t menuju tak-hingga. 13/26 time r dr/dt time 0 0
Teori kestabilan Lyapunov Mari kita lihat model kinematika wheeled robot berikut ini: dengan = () . (4) = dan ()= cos cos Sistem dikatakan stabil jika dan hanya jika lim = 0 Teori kestabilan Lyapunov mengatakan bahwa jika terdapat sebuah fungsi () pada sistem pada persamaan (4) yang memiliki karakteristik berikut ini: Nilainya selalu positif kecuali ketika =0 (= positive definite) Turunan pertamanya terhadap waktu (dV/dt) selalu non-positive (=negative semi-definite) Maka titik equilibrium (titik origin pada state- space) nya stabil. 14/26
Barbalats Lemma Barbalats Lemma mengatakan bahwa yaitu jika terdapat sebuah fungsi (()) bernilai antara [0, ) dan (()) ada dan terbatas (tidak tak-hingga), maka () 0 seiring bertambahnya waktu ( ). Catatan: (()) bernilai antara [0, ) disebut positive definite jika nilai 0 terjadi hanya ketika ()=0. Mari kita lihat model kinematika wheeled robot berikut ini: dengan = () . (4) = dan ()= cos cos 15/26
Analisis kestabilan (1) Untuk menganalisis kestabilan, kita menggunakan analisis kestabilan Lyapunov Langkah 1: carilah sebuah Lyapunov candidate function yang positive definite (selalu bernilai positif kecuali ketika semua variabel state bernilai nol). Huang (2009) memilih sebuah Lyapunov candidate function sbb: dengan dan Langkah 2: Turunkan dan terhadap waktu adalah sebagai berikut: = 1 2 . = = cos cos = 腫写 + 署縮 = sin sin + sin sin = + sin sin 腫 署 16/26
Memilih formula untuk kecepatan : Kita sudah punya turunan pertama terhadap waktu: Kecepatan v perlu dibuat formulanya agar selalu bernilai positif ketika 0 dan < 0 ketika 0 . (Sebenarnya kita bebas menentukan formulanya, asal kedua syarat di atas terpenuhi). Huang (2009) memilih formula berikut ini: , dengan > 0. NB: adalah konstanta positif (bebas memilih nilainya). Mari kita substitusikan v di atas ke : Karena , maka Analisis kestabilan (2) = cos + cos = cos cos = cos cos + cos = cos 1 cos cos = cossin cos = = cossin cos = cossin cos 17/26
Analisis kestabilan (3) Ada masalah pada !!!! Perhatikan bahwa bagian cos memiliki kontribusi untuk menurunkan nilai , karena nilainya pasti negatif. Tetapi bagian cossin dapat bernilai positif atau negatif. Dengan demikian, tanda dapat bernilai positif dan negatif. Artinya, jarak antara robot dan targetnya bisa saja bertambah atau berkurang. Padahal tujuan kita mendesain pengendali adalah untuk membuat jarak antara robot dan targetnya semakin lama semakin pendek, dan pada satu waktu akan nol. Oleh karena itu, kita perlu mendesain input berikutnya, yaitu . = cossin cos 18/26
Analisis kestabilan (4) Mencari rumusan untuk . Kembali kita lihat rumusan untuk : Dan kita lihat rumusan untuk kecepatan linear : Substitusi persamaan ke : Karena sincos = , maka: = + sin sin 腫 署 = cos + cos = + cos + cos sin sin 腫 署 = + cos + sincos sin 腫 署 = + cos + sin2 2 sin 腫 署 19/26 AKPSMP1
際際滷 19 AKPSMP1 Anugrah Kusumo Pamosoaji, ST., MT., Ph.D.cand; 13/03/2022
Analisis kestabilan (5) Mencari rumusan untuk (lanjutan) = + cos + sin2 2 sin 腫 署 = + sin2 2 cos + sin2 2 sin 腫 署 = + sin2 2 cos sin + sin2 2 腫 署 = + sin2 2 cos sin + + sin2 2 腫 署 = + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 腫 20/26
Analisis kestabilan (6) Sekarang kita sudah punya persamaan untuk . Selanjutnya adalah merancang sehingga akan selalu bernilai negatif dan nol ketika dan bernilai nol. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Set = , di mana > 0 adalah parameter konstan. Masukkan = ke dalam persamaan sebelumnya: = + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 腫 腫 = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 21/26
Analisis kestabilan (7) Dengan demikian, maka dengan menyatakan sebagai maka = dan nilainya selalu negatif dan nol untuk =0. Tetapi ingat: pertanyaan ini belum terjawab: apakah = cossin cos bernilai negatif? Untuk memastikannya, kita membutuhkan bantuan Barbalats Lemma, yaitu jika ((), ()) bernilai antara [0, ) dan ((t), (t)) ada dan terbatas (tidak tak-hingga), maka () 0 dan () 0 seiring bertambahnya waktu. Kita tahu bahwa adalah persamaan paraboloid (parabola dalam ruang 3 dimensi) yang nilainya antara [0, ). = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 22/26
Analisis kestabilan (8) Mari kita tinjau kembali: , = 0. Karena bernilai antara [0, ) dan selalu berkurang, maka ((t), (t)) tidak akan menuju tak-berhingga. Semakin waktu bertambah menuju , nilai akan berkurang, karena dengan dan yang sudah dirancang tadi, selalu bernilai negatif, berapapun nilai . Seandainya pun nilai menjadi konstan sesaat (tidak bergerak), tetap berkurang. Pengurangan ini pasti disebabkan oleh berkurangnya , yang berarti nilai 0. Dengan demikian, berdasarkan Barbalats Lemma, maka seiring berjalannya waktu, 0 dan 0. Mari kita tinjau kembali: = cossin cos Karena 0 dan 0, maka . Dengan demikian, 0 juga. 23/26
Control Law untuk differential-steered robot Setelah melalui analisis kestabilan Lyapunov dan verifikasi dari Barbalats Lemma, maka kita mendapatkan control law: Karena robot yang digunakan adalah differential-steered robot, maka kedua control law di atas disesuaikan untuk kecepatan putar roda kiri ( ) dan roda kanan ( ). = cos + cos錫 (5) = + cos + + (6) = 2 + = 2 = + = = = /2 = = + /2 Control law untuk differential-steered robot Dimasukkan ke program (7) 24/26
Algoritma tracking Dengan demikian, maka dapat disusun algoritma ringkas untuk memprogram Control Law differential-steered wheeled robot sebagai berikut: 1. Start 2. Set nilai dan dengan nilai-nilai positif. 3. Identifikasi posisi dari robot (, , ) menggunakan sensor (localization) 4. Identifikasi posisi dari target ( , , ). 5. Kalkulasi nilai-nilai , , (persamaan (3)) 6. Kalkulasi nilai dan (persamaan (5) dan (6)) 7. Kalkulasi nilai dan (persamaan (7) ) 8. Jika , , belum mencapai nol, ulangi Langkah 3-7. 9. Selesai. 25/26
Kesimpulan Pemodelan dan simulasi berguna untuk memprediksi kinerja dari sistem, dalam hal ini differential-steered wheeled robot. Pemodelan kinematika untuk differential-steered wheeled robot dapat menjelaskan efek dari input dan (atau dan ) terhadap kinerja robot dalam melakukan tracking terhadap targetnya. Agar proses tracking dapat berjalan dengan sukses, salah satu pendekatan analisisnya adalah menggunakan Prinsip Stabilitas Lyapunov dan Barbalats Lemma. Dengan menggunakan Prinsip Stabilitas Lyapunov dan Barbalats Lemma, maka input dan (atau dan ) dapat menjamin kesuksesan misi tracking, karena stabilitas variabel-variabel navigasinya pada titik origin dapat dibuktikan. Setelah input dan didapatkan, maka kita dapat menyusun algoritma dan program pada microcontroller/microprocessor. 26/26
Referensi Huang, L. Control approach for tracking a moving target by a wheeled mobile robot with limited velocities, IET Control Theory and Applications 3(12), pp. 1565-1577, 2009 Widyotriatmo, A., Pamosoaji, A.K. and Hong, K.S. Control architecture of an autonomous material handling vehicle, International Journal of Artificial Intelligence 10, pp. 139-153, 2013. Khalil, H. K. Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall, Upper-Saddle River, New Jersey, USA, 2002.
Pertanyaan / diskusi lebih lanjut, silakan menghubungi saya: Anugrah K. Pamosoaji, Ph.D. Departemen Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri Universitas Atma Jaya Yogyakarta E-mail: anugrah.pamosoaji@uajy.ac.id

More Related Content

Algoritma Kendali Otomatis untuk Differential-Steered Wheeled Robot

  • 1. Algoritma Kendali Otomatis untuk Differential-Steered Wheeled Robot By: Anugrah K. Pamosoaji, Ph.D. Fakultas Teknologi Industri Universitas Atma Jaya Yogyakarta 2022 13 Maret 2022
  • 2. Agenda Pengertian differential-steered robots Konsep pengendalian otomatis (feedback control systems) Pemodelan kinematika robot Konsep kestabilan Desain pengendali dengan pendekatan analisis kestabilan Lyapunov Algoritma pengendalian 1/26
  • 3. Differential-Steered Robots Mobile robot / wheeled robot: robot yang mekanisme bergeraknya menggunakan roda. Beberapa jenis wheeled robot: differential-steered robot, unicycle robot, bicycle- like robot, ackermann-steered robot. Differential-steered robot adalah mobile robot yang mekanisme bergeraknya menggunakan kombinasi kecepatan putar roda kiri dan roda kanan. 2/26
  • 4. Pemodelan Robot Dalam perancangan robot, sebelum kita melakukan prototyping, terlebih dahulu kita harus melakukan simulasi untuk memperkirakan bagaimana kinerja dari sistem yang akan kita rancang. Agar simulasi tersebut dapat menggambarkan situasi yang (mendekati) sebenarnya, kita perlu membuat model matematik. Model matematik adalah sebuah penggambaran secara matematik yang merepresentasikan karakteristik sebuah sistem. Model pada mobile robot (dan robot pada umumnya) biasanya terbagi ke dalam dua kategori: Model kinematika ( hanya memodelkan jarak, kecepatan, percepatan ) Model dinamika (memodelkan jarak, kecepatan, percepatan, gaya, torsi). 3/26
  • 5. Open loop control Actuators Mikrokontroler Open loop control system adalah sistem pengendalian di mana controller hanya mendapatkan informasi set point (desired output) dan informasi awal berupa actual output awal pada saat sistem mulai dijalankan. Set point = desired output = output yang diinginkan. Output process = actual output = output yang sebenarnya. Kelemahan mendasar open loop control adalah setelah sistem (robot) mulai dijalankan, controller tidak mengetahui actual outputnya, sehingga sinyal instruksi yang diberikan ke actuator hanya berdasarkan asumsi actual output (yang didapat dari perkalian kecepatan dan waktu) Padahal, pada kenyataannya, perhitungan kecepatan x waktu belum tentu sama dengan actual outputnya. (ada faktor pengganggu, seperti skidding forces (menyebabkan selip pada roda). 4/26
  • 6. Feedback control system (close loop) Feedback control system adalah sistem kendali loop-tertutup, di mana instruksi pengendalian ke actuator didasarkan pada selisih antara set point (desired output) dan actual output. Set point = desired output = output yang diinginkan. Output process = actual output = output yang sebenarnya. Error = set point actual output. Pada prinsipnya, sistem mikrokontroler akan memberikan instruksi ke motor-motor pada setiap roda selama Error masih belum NOL. Autonomous Forklift <Widyotriatmo, Pamosoaji, and Hong (2013)> 5/26
  • 7. Fungsi transfer (transfer function) Fungsi transfer adalah rasio output/input. Fungsi transfer merupakan sebuah spesifikasi sub-sistem dalam sebuah sistem kompleks yang dapat digunakan untuk pemodelan matematika sistem kompleks tersebut. Pada wheeled robot, setiap roda terhubung dengan motor dan gear. Untuk motor, fungsi transfernya adalah: TF_motor = rpm_m / Vm Di mana: rpm_m = kecepatan putaran sumbu keluaran motor. Vm = tegangan input ke motor Untuk gear, fungsi transfernya adalah: TF_gear = rpm_w / rpm_m Di mana: rpm_w = kecepatan putaran sumbu keluaran gear. TF_total = TF_motor x TF_gear = rpm_m / V_m x rpm_w / rpm_m = rpm_w / V_m 6/26
  • 8. Fungsi transfer pada wheeled robot Setiap blok pada sistem closed loop memiliki transfer function yang statis. Setiap blok pada sistem closed loop memiliki transfer function yang konstan. Contohnya pada motor DC di bawah ini: Tetapi fungsi transfer pada process (wheeled robot secara menyeluruh), transfer functionnya tidak dinyatakan dengan rasio output/input, tetapi dengan persamaan differensial orde 1. (slide berikutnya). 7/26
  • 9. Model Kinematika Unirobot (robot 1 roda) Fungsi transfer pada differential-steered robot dapat direpresentasikan dengan model kinematika atau model dinamika (Dalam webinar ini yang dibahas hanyalah model kinematika saja). Model kinematika differential-steered robot: ヌ = = . cos μ = = . sin = = + = + . cos . + = + . + = + . sin . Simulasi model kinematika differential-steered robot: : kecepatan linear / kecepatan traksi (m/sec) : kecepatan sudut (rad/sec) Control variables 8/26
  • 10. Model Kinematika Differential-Steered Robot (2) : jarak antar roda Rumus kecepatan linear dan angular (kecepatan sudut) : (1) .(2) Dari rumus di atas dapat disimpulkan bahwa: 1) Jika dan arahnya ke depan dengan besar yang sama, maka robot akan bergerak lurus ke depan. 2) Jika dan arahnya masing-masing ke depan dan ke belakang dengan besar yang sama, maka robot akan bergerak pivot. 10/26
  • 11. Navigasi robot: tracking (Huang, 2009) Persamaan kinematika robot: Variabel navigasi (error konfigurasi): (3) Kinematika variable navigasi: Contoh misi robot: target tracking. Pada misi ini, robot bergerak sedemikian rupa sehingga konfigurasinya (, ,) harus sama dengan konfigurasi target
  • 12. Desain controller (control law) untuk misi target tracking Problem: apakah rumus untuk input dan w supaya r, a, dan b bernilai nol? Rumusan untuk dan w disebut juga Control Law. Banyak metode yang dapat digunakan untuk mendesain Control Law. Pada webinar ini kita akan perdalam desain Control Law dengan menggunakan analisis kestabilan Lyapunov dan Barbalats Lemma. 12/26
  • 13. Apakah kestabilan itu? Untuk mempermudah pengertian, kita gunakan contoh untuk sistem 1 dimensi dengan state variabelnya adalah r. Nilai state variabel r dikatakan stabil jika nilainya dan nilai turunan ke-n terhadap waktu (dr/dt, menuju ke nol untuk t menuju tak-hingga. 13/26 time r dr/dt time 0 0
  • 14. Teori kestabilan Lyapunov Mari kita lihat model kinematika wheeled robot berikut ini: dengan = () . (4) = dan ()= cos cos Sistem dikatakan stabil jika dan hanya jika lim = 0 Teori kestabilan Lyapunov mengatakan bahwa jika terdapat sebuah fungsi () pada sistem pada persamaan (4) yang memiliki karakteristik berikut ini: Nilainya selalu positif kecuali ketika =0 (= positive definite) Turunan pertamanya terhadap waktu (dV/dt) selalu non-positive (=negative semi-definite) Maka titik equilibrium (titik origin pada state- space) nya stabil. 14/26
  • 15. Barbalats Lemma Barbalats Lemma mengatakan bahwa yaitu jika terdapat sebuah fungsi (()) bernilai antara [0, ) dan (()) ada dan terbatas (tidak tak-hingga), maka () 0 seiring bertambahnya waktu ( ). Catatan: (()) bernilai antara [0, ) disebut positive definite jika nilai 0 terjadi hanya ketika ()=0. Mari kita lihat model kinematika wheeled robot berikut ini: dengan = () . (4) = dan ()= cos cos 15/26
  • 16. Analisis kestabilan (1) Untuk menganalisis kestabilan, kita menggunakan analisis kestabilan Lyapunov Langkah 1: carilah sebuah Lyapunov candidate function yang positive definite (selalu bernilai positif kecuali ketika semua variabel state bernilai nol). Huang (2009) memilih sebuah Lyapunov candidate function sbb: dengan dan Langkah 2: Turunkan dan terhadap waktu adalah sebagai berikut: = 1 2 . = = cos cos = 腫写 + 署縮 = sin sin + sin sin = + sin sin 腫 署 16/26
  • 17. Memilih formula untuk kecepatan : Kita sudah punya turunan pertama terhadap waktu: Kecepatan v perlu dibuat formulanya agar selalu bernilai positif ketika 0 dan < 0 ketika 0 . (Sebenarnya kita bebas menentukan formulanya, asal kedua syarat di atas terpenuhi). Huang (2009) memilih formula berikut ini: , dengan > 0. NB: adalah konstanta positif (bebas memilih nilainya). Mari kita substitusikan v di atas ke : Karena , maka Analisis kestabilan (2) = cos + cos = cos cos = cos cos + cos = cos 1 cos cos = cossin cos = = cossin cos = cossin cos 17/26
  • 18. Analisis kestabilan (3) Ada masalah pada !!!! Perhatikan bahwa bagian cos memiliki kontribusi untuk menurunkan nilai , karena nilainya pasti negatif. Tetapi bagian cossin dapat bernilai positif atau negatif. Dengan demikian, tanda dapat bernilai positif dan negatif. Artinya, jarak antara robot dan targetnya bisa saja bertambah atau berkurang. Padahal tujuan kita mendesain pengendali adalah untuk membuat jarak antara robot dan targetnya semakin lama semakin pendek, dan pada satu waktu akan nol. Oleh karena itu, kita perlu mendesain input berikutnya, yaitu . = cossin cos 18/26
  • 19. Analisis kestabilan (4) Mencari rumusan untuk . Kembali kita lihat rumusan untuk : Dan kita lihat rumusan untuk kecepatan linear : Substitusi persamaan ke : Karena sincos = , maka: = + sin sin 腫 署 = cos + cos = + cos + cos sin sin 腫 署 = + cos + sincos sin 腫 署 = + cos + sin2 2 sin 腫 署 19/26 AKPSMP1
  • 20. 際際滷 19 AKPSMP1 Anugrah Kusumo Pamosoaji, ST., MT., Ph.D.cand; 13/03/2022
  • 21. Analisis kestabilan (5) Mencari rumusan untuk (lanjutan) = + cos + sin2 2 sin 腫 署 = + sin2 2 cos + sin2 2 sin 腫 署 = + sin2 2 cos sin + sin2 2 腫 署 = + sin2 2 cos sin + + sin2 2 腫 署 = + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 腫 20/26
  • 22. Analisis kestabilan (6) Sekarang kita sudah punya persamaan untuk . Selanjutnya adalah merancang sehingga akan selalu bernilai negatif dan nol ketika dan bernilai nol. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Set = , di mana > 0 adalah parameter konstan. Masukkan = ke dalam persamaan sebelumnya: = + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 腫 腫 = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 21/26
  • 23. Analisis kestabilan (7) Dengan demikian, maka dengan menyatakan sebagai maka = dan nilainya selalu negatif dan nol untuk =0. Tetapi ingat: pertanyaan ini belum terjawab: apakah = cossin cos bernilai negatif? Untuk memastikannya, kita membutuhkan bantuan Barbalats Lemma, yaitu jika ((), ()) bernilai antara [0, ) dan ((t), (t)) ada dan terbatas (tidak tak-hingga), maka () 0 dan () 0 seiring bertambahnya waktu. Kita tahu bahwa adalah persamaan paraboloid (parabola dalam ruang 3 dimensi) yang nilainya antara [0, ). = + + sin2 2 cos sin 署 + sin2 2 + 22/26
  • 24. Analisis kestabilan (8) Mari kita tinjau kembali: , = 0. Karena bernilai antara [0, ) dan selalu berkurang, maka ((t), (t)) tidak akan menuju tak-berhingga. Semakin waktu bertambah menuju , nilai akan berkurang, karena dengan dan yang sudah dirancang tadi, selalu bernilai negatif, berapapun nilai . Seandainya pun nilai menjadi konstan sesaat (tidak bergerak), tetap berkurang. Pengurangan ini pasti disebabkan oleh berkurangnya , yang berarti nilai 0. Dengan demikian, berdasarkan Barbalats Lemma, maka seiring berjalannya waktu, 0 dan 0. Mari kita tinjau kembali: = cossin cos Karena 0 dan 0, maka . Dengan demikian, 0 juga. 23/26
  • 25. Control Law untuk differential-steered robot Setelah melalui analisis kestabilan Lyapunov dan verifikasi dari Barbalats Lemma, maka kita mendapatkan control law: Karena robot yang digunakan adalah differential-steered robot, maka kedua control law di atas disesuaikan untuk kecepatan putar roda kiri ( ) dan roda kanan ( ). = cos + cos錫 (5) = + cos + + (6) = 2 + = 2 = + = = = /2 = = + /2 Control law untuk differential-steered robot Dimasukkan ke program (7) 24/26
  • 26. Algoritma tracking Dengan demikian, maka dapat disusun algoritma ringkas untuk memprogram Control Law differential-steered wheeled robot sebagai berikut: 1. Start 2. Set nilai dan dengan nilai-nilai positif. 3. Identifikasi posisi dari robot (, , ) menggunakan sensor (localization) 4. Identifikasi posisi dari target ( , , ). 5. Kalkulasi nilai-nilai , , (persamaan (3)) 6. Kalkulasi nilai dan (persamaan (5) dan (6)) 7. Kalkulasi nilai dan (persamaan (7) ) 8. Jika , , belum mencapai nol, ulangi Langkah 3-7. 9. Selesai. 25/26
  • 27. Kesimpulan Pemodelan dan simulasi berguna untuk memprediksi kinerja dari sistem, dalam hal ini differential-steered wheeled robot. Pemodelan kinematika untuk differential-steered wheeled robot dapat menjelaskan efek dari input dan (atau dan ) terhadap kinerja robot dalam melakukan tracking terhadap targetnya. Agar proses tracking dapat berjalan dengan sukses, salah satu pendekatan analisisnya adalah menggunakan Prinsip Stabilitas Lyapunov dan Barbalats Lemma. Dengan menggunakan Prinsip Stabilitas Lyapunov dan Barbalats Lemma, maka input dan (atau dan ) dapat menjamin kesuksesan misi tracking, karena stabilitas variabel-variabel navigasinya pada titik origin dapat dibuktikan. Setelah input dan didapatkan, maka kita dapat menyusun algoritma dan program pada microcontroller/microprocessor. 26/26
  • 28. Referensi Huang, L. Control approach for tracking a moving target by a wheeled mobile robot with limited velocities, IET Control Theory and Applications 3(12), pp. 1565-1577, 2009 Widyotriatmo, A., Pamosoaji, A.K. and Hong, K.S. Control architecture of an autonomous material handling vehicle, International Journal of Artificial Intelligence 10, pp. 139-153, 2013. Khalil, H. K. Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall, Upper-Saddle River, New Jersey, USA, 2002.
  • 29. Pertanyaan / diskusi lebih lanjut, silakan menghubungi saya: Anugrah K. Pamosoaji, Ph.D. Departemen Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri Universitas Atma Jaya Yogyakarta E-mail: anugrah.pamosoaji@uajy.ac.id