Bab v-probabilitas
- 1. 1 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah BAB V PENGANTAR PROBABILITAS Istilah probabilitas atau peluang merupakan ukuran untuk terjadi atau tidak terjadinya sesuatu peristiwa. Ukuran ini merupakan acuan dasar dalam teori statistika. 1. Beberapa notasi dan Istilah Ekperimen atau percobaan dalam ilmu peluang merujuk pada proses dalam memperoleh hasil observasi terhadap suatu fenomena yang disebut outcome. Himpunan semua outcome yang mungkin pada suatu eksperimen disebut ruang sampel, bisanya dilambangkan dengan S. CONTOH RUANG SAMPEL 1. Suatu eksperimen melempar dua koin sekaligus, fenomena yang amati adalah sisi koin yang muncul. Ruang sampel yang diperoleh adalah dimana berarti muncul muka atau head dan muncul belakang atau tail. Elemen HT didalam ruang sampel berarti muncul muka pada koin pertama dan muncul belakang pada koin kedua. Bila munculnya muka dilambangkan dengan angka 1 dan belakang dengan angka 0 maka ruang sampel ini dapat juga ditulis dalam bentuk pasangan terurut berikut 2. Suatu ekperimen melempar sebuah koin terus menerus sampai muncul muka maka ruang sampelnya berbentuk 3. Misalkan suatu ekperimen untuk mengetahui umur nyala bola lampu maka ruang sampel eksperimen ini berupa himpunan bilangan real positif, yaitu Bila umur nyala bola lampu diukur berdasarkan satuan jam maka ruang sampelnya berupa bilangan bulat positif, yaitu 4. Eksperimen mengambil 3 bola sekaligus dari tumpukan bola yang diberi label 1, 2, 3, 4 dan 5 menghasilkan ruang sampel yang berupa kombinasi 3 bola dari 5 bola, jadi ada elemen pada runag sampelnya. Untuk dipikirkan ! Apakah ruang sampelnya sama jika ketiga bola tersebut diambil satu per satu tanpa pengembalian ?
- 2. 2 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Suatu kejadian atau even adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Bila pada Contoh 1 hanya diambil kejadian muncul paling sedikit satu muka maka diperoleh kejadian . Dua kejadian dan dikatakan saling lepas (muually exclusive) jika . CONTOH: Misalkan kejadian mendapatkan 2 muka dan kejadian mendapatkan 2 belakang pada eksperimen melempar dua koin maka dan saling lepas, sebab , sehingga . Tetapi bila kejadian mendapatkan paling sedikit 1 muka dan kejadian mendapatkan paling sedikit1 belakang maka diperoleh dan sehingga . Jadi dan bukanlah dua kejadian yang saling lepas. 2. Definisi Peluang Diberikan suatu eksperimen. Misalkan S ruang sampel dan menyatakan kejadian-kejadian yang mungkin. Fungsi P yang didefinisikan pada himpunan kejadian disebut fungsi peluang atau fungsi probabilitas jika memenuhi sifat-sifat berikut (i) untuk setiap (ii) (iii) bila kejadian-kejadian yang saling lepas. Selanjutnya, nilai fungsi di ditulis disebut peluang atau probabilitas kejadian . Karena (i) dan (ii) maka peluang suatu kejadian tidak kurang dari nol dan tidak lebih dari satu, yaitu untuk setiap kejadian . Secara trivial dan disebut peluang suatu kemustahilan. Bila dan dua kejadian yang saling lepas, maka berdasarkan (iii) berlaku . Banyak kasus dimana suatu eksperimen menghasilkan outcome berhingga dan setiap outcome mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely). Pelemparan koin, melempar dadu, menarik nomer undian secara acak merupakan beberapa contoh eksperimen seperti ini. Misalkan terdapat outcome pada suatu eksperimen, katakan ruang sampelnya adalah maka berlaku dan karena maka untuk setiap . Bila suatu kejadian maka dimana menyatakan banyak anggota himpunan . Fungsi ini memenuhi ketiga sifat fungsi peluang di atas, dan biasanya dipandang sebagai definisi klasik peluang.
- 3. 3 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah CONTOH: Jika dua koin dilempar maka akan diperoleh ruang sampel . Ini berarti peluang setiap outcome adalah Bila yaitu kejadian muncul tepat satu muka maka maka diperoleh . CONTOH: Sebuah game dilakukan dengan cara menarik secara acak sebuah kartu dari tumpukan terdiri dari 52 kartu maka peluang masing-masing kartu untuk terambil adalah sama yaitu 3. Sifat-sifat Peluang Beberapa sifat peluang berikut mirip dengan sifat pada himpunan dimana sebagai himpunan semestanya. TEOREMA 3.1 Bila suatu kejadian dan komplemennya maka . Bukti. dikatakan komplemen kejadian relatif terhadap jika dan . Jadi diperoleh CONTOH : Suatu eksperimen melempar koin empat kali, kejadian A adalah paling sedikit muncul satu muka. Kejadian A banyak sekali memuat outcome, tetapi komplemen A hanya memuat satu outcome, yaitu , yaitu . Karena ruang sampel percobaan ini memuat 16 outcome (periksa!) maka . Jadi Cara ini lebih mudah daripada menghitung kejadian secara langsung. TEOREMA 3.2 Untuk setiap kejadian , berlaku . Bukti. Kerjakan sendiri. TEOREMA 3.3 Untuk sebarang dua kejadian dan berlaku Bukti. Gunakan teori himpunan untuk menyatakan dua kelompok kejadian yang saling lepas. Ambil dan maka kedua kejadian ini saling lepas karena dan berlaku juga bahwa , sehingga diperoleh Dengan argumen yang sama dapat dibuktikan bahwa dan saling lepas dan berlaku = (buktikan sendiri!), sehingga diperoleh .
- 4. 4 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Substitusi ke hasil sebelumnya maka diperoleh CONTOH: Misalkan sebuah kartu dipilih secara acak dari setumpukan yang terdiri dari 52 kartu. Jika kejadian dimana diperoleh sebuah as merah dan kejadian diperoleh sebuah heart maka dan . Berdasarkan Teorema 3.3 diperoleh Ini berarti peluang kejadian atau kejadian . Notasi dimaksudkan sebagai kejadian dan kejadian . Teorema 3.3 ini dapat diperluas untuk 3 kejadian, yaitu Coba anda buktikan persamaan ini. TEOREMA 3.4. Bila maka Bukti. Karena maka dapat ditulis dimana dan saling lepas. Jadi berlaku sebab TEOREMA 3.5 (Ketaksamaan Boole) Jika serangkaian kejadian maka berlaku Bukti. Bentuk barisan kejadian yang saling lepas sebagai berikut dan secara umum . Buktikan barisan kejadian ini saling lepas, dan juga berlaku hubungan . Karena maka berdasarkan Teorema 3.4 berlaku , dan akhirnya Kasus khusus Teorema ini berlaku pula untuk barisan kejadian yang berhingga banyak, yaitu
- 5. 5 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah 4. Probabilitas bersyarat Diperhatikan ilustrasi berikut: andai kita mempunyai kartu yang tersusun dengan baik dalam arti kartu sudah dikocok dengan merata. Misalkan T adalah kejadian dimana kartu paling atas adalah As, maka Tetapi jika kita diberi tahu bahwa kartu yang paling bawah adalah As sekop, katakan ini kejadian S, berapa probabilitas bahwa kartu paling atas adalah As? Nah, sekarang kita mempunyai 53 kemungkinan dimana ada 3 As, jadi probabiltasnya adalah . Ini merupakan probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas kartu paling atas As diberikan oleh kartu paling bawah adalah As sekop, ditulis Selanjutnya kita perhatikan contoh berikut untuk ilustrasi tambahan. CONTOH: Sebuah kotak memuat 100 mikrochip, sebagian diproduksi oleh pabrik 1 dan sebagian lagi oleh pabrik 2. Seabagian mikrochip rusak dan sebagian lagi baik. Sebuah eksperimen memilih satu mikrochip secara random dari kotak tersebut dan mengecek apakah ia rusak atau baik. Misalkan A kejadian memperoleh sebuah mikrochip rusak, jadi adalah kejadian mendapatkan mikrochip baik. Misalkan B kejadian mikrochip berasal dari pabrik 1, jadi adalah kejadian mikrochip berasal dari pabrik 2. Berikut tabel ringkasannya B Total A 15 5 20 45 35 80 Total 60 40 100 Probabilitas mendapatkan mikrochip rusak adalah Sekarang andaikan pada setiap mikrochip diberi label dari pabrik mana ia diproduksi. Sebelum menguji apakah ia rusak, kita dapat memastikan apakah terjadi atau yang terjadi. Misalkan, jika terjadi maka hanya mikrochip pada kolom pertama yang diperhatikan dimana . Selanjutnya, ada 15 mikrochip yang rusak, yaitu . Jadi probabilitas yang diberikan adalah Lebih umum, jika pembilang dan penyebut dibagi dengan maka diperoleh
- 6. 6 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah DEFINISI 4.1 Probabilitas bersyarat kejadian A yang diberikan oleh kejadian B ditulis , didefinisikan oleh asalkan BEBERAPA SIFAT DASAR PROBABILITAS BERSYARAT 1. atau 2. Bila dan dua kejadian yang saling lepas maka . 3. dan . 4. 5. Coba anda buktikan sifat-sifat ini ! TEOREMA 4.2 (Teorema perkalian probabilitas) Untuk sebarang kejadian dan berlaku Bukti. Langsung berdasarkan Definisi 4.1 Perhatikan kembali Contoh sebelumnya. Kita dapat menghitung dengan menggunakan Teorema 4.2, yaitu atau . Hasilnya sama dengan cara langsung . CONTOH: Dua kartu ditarik satu per satu tanpa pengembalian dari setumpukan kartu bridge. Misalkan kejadian mendapatkan As pada pengambilan pertama dan keajadian mendapatkan As pada pengambilan kedua. Banyak cara terjadinya outcome berbeda disajikan pada Tabel berikut. Total Total Keterangan : angka pada sel berarti ada 4 kemungkinan pada pengambilan pertama dan ada 3 kemungkinan pada pengambilan kedua. Ini merupakan prinsip perkalian, yaitu jika pekerjaan pertama dapat dikerjakan dalam cara dan pekerjaan kedua dapat dilakukan dalam cara maka kedua pekerjaan itu dapat dilakukan dalam cara. Beberapa probabilitas :
- 7. 7 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah a. Probabilitas mendapatkan As pada pengambilan pertama dan As pada pengambilan kedua adalah . b. Bila kita ingin menentukan tanpa mempertimbangkan apa yang terjadi pada pengambilan kedua dapat dilakukan dengan mengingat bahwa dan saling bebas karena irisannya kosong, dan sehingga Faktanya bila dihitung langsung dari ruang sampel maka diperoleh . Lihat Tabel. c. Bila outcome pada penarikan pertama tidak diketahui maka dapat dihitung dari sampel awal, yaitu . Pembenarannya adalah sebagai berikut jadi Jadi jika hasil pada penarikan pertama tidak diketahui maka penarikan kedua dapat dipandang sebagai penarikan pertama. d. Probabilitas bersyarat bahwa As pada penarikan kedua yang diberikan oleh telah diperolehnya As pada pertama adalah Hasil ini sama artinya dengan fakta bahwa pada penarikan kedua banyak kartu tersisa ada 51 dengan 3 As yang masih tersisa, jadi . 5. Probabilitas Total dan aturan Bayes Pada bagian sebelumnya sudah disampaikan teknik untuk memecah suatu kejadian menjadi dua kejadian saling lepas, yaitu dimana dan saling bebas. Selanjutnya bentuk ini digunakan untuk menghitung . Secara umum, jika serangkaian kejadian yang saling bebas dan maka TEOREMA 5.1 (Probabilitas total) Jika serangkaian kejadian yang saling bebas dan maka untuk sebarang kejadian berlaku
- 8. 8 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Bukti. Langsung menggunakan partisi dan menerapkan sifat jumlah CONTOH: Kembali ke Contoh masalah mikrochip sebelumnya. Andaikan pada pabrik 1 ada dua shift, misalkan kejadian diproduksi pada shift 1 oleh pabrik 1, kejadian diproduksi oleh pabrik 1 pada shift 2, dan kejadian diproduksi oleh pabrik 2. Data jumlah produksi untuk masing-masing shift dan data kerusakan chip diberikan pada Tabel berikut. Total A 5 10 5 20 20 25 35 80 Total 25 35 40 100 Beberapa probabilitas dapat dihitung langsung dari Tabel ini, misalnya , , , dan . Probabilitas dapat dihitung langsung, yaitu atau menggunakan Teorema 5.1 Ternyata hasilnya sama. TEOREMA 5.2 (Aturan Bayes) Jika serangkaian kejadian yang saling bebas dan dan sebarang kejadian maka untuk setiap berlaku Bukti. Gunakan Definisi 4.1 dan Teorema 4.2, yaitu Selanjutnya substitusi dengan bentuk probabilitas totalnya maka diperoleh relasi yang dimaksud. CONTOH: Seseorang berangkat dari titik O. Kemudian dia memilih lintasan secara acak untuk menuju atau . Dari titik ini, ia memilih rute baru untuk menuju titik . . . atau . Lintasannya diberikan pada peta berikut.
- 9. 9 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Pertanyaannya: a. Berapa probabilitas bahwa orang tersebut akan tiba di titik ? b. Andaikan dia tiba dititik , berapa probabilitasnya bahwa ia melewati ? PENYELESAIAN : a. Gunakan Teorema Probabilitas total, yaitu b. Gunakan aturan Bayes untuk menghitung , yaitu sama dengan . Coba buktikan ! Diperhatikan dengan menggunakan probabilitas tak bersyarat diperoleh . Ini menunjukkan bahwa , tetapi fakta seperti ini tidak berlaku umum. Misalkan dengan aturan Bayes dapat ditunjukkan bahwa tetapi , tidak sama kan !. Berikan interpretasi berdasarkan diagram di atas. Satu hal ekstrim adalah , tetapi Mengapa? 6. Kejadian saling bebas (Independent) Dalam beberapa kasus, terjadinya kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian . Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa . Bila kita gunakan Definisi probabilitas bersyarat maka diperoleh O B1 A1 A2 A3 A4 B2 A4 A5 B3 A6 A7
- 10. 10 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah DEFINISI 6.1 Dua kejadian dan dikatakan saling bebas (independent) jika Bila kasus ini tidak dipenuhi maka dan disebut dua kejadian yang saling bergantung (dependent). Dalam notasi probilitas bersyarat, kejadian dan saling bebas jika dan hanya jika dan . CONTOH: Sebuah kartu diambil secara acak dari tumpukan kartu bridge. Misalkan A kejadian terambil As dan D kejadian bahwa ia adalah diamond. Apakah kedua kejadian independen ? PENYELESIAN. dan , . Coba cek ! Maka diperoleh . Jadi dua kejadian ini independen. CONTOH: Sebuah sistem yang terdiri dari beberapa komponen terhubung satu sama lainnya dengan konfigurasi tertentu. Sering dirancang bahwa kerusakan satu komponen tidak mepengaruhi kemungkinan terjadi kerusakan kompponen lainnya. Jadi kejadian kerusakan satu komponen independen terhadap kejadian kerusakan komponen lainnya. Ada 2 kemungkinan rangkaian: 1. Rangkaian seri, bayangkan bateri pada senter. Bila kejadian bateri C1 rusak dan adalah kejadian bateri C2 rusak maka dalam rangkaian seri, kejadian diasumsikan sistem gagal . Jika dan diasumsikan dan independen maka probabilitas sistem gagal adalah Jadi probabilitas bahwa sistem berjalan normal adalah 2. Rangkaian paralel Pada rangakaian paralel, sistem dikatakan rusak jika keduanya rusak. Jadi kejadian adalah sistem rusak, yaitu bila keduanya independe maka probabilitas sistem ini gagal adlah C1 C2 C1 C2
- 11. 11 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Jadi probabilitas sistem normal pada rangkaian paralel adalah . 7. Menghitung ukuran ruang sampel dan kejadian Dalam banyak kasus sederhana, peluang suatu kejadian merujuk pada Definisi klasiknya, yaitu sebagai perbandingan antara ukuran kejadian dan ukuran sampel. Untuk menghitung peluang kita harus mengetahui apa eksperimennya, apa saja outcomenya, bagaimana ukuran runag sampelnya dan berapa ukuran kejadian sebagai bagian dari ruang sampel. Aturan perkalian, permutasi dan kombinasi adalah tiga aturan dasar yang sering digunakan untuk menghitung ukuran ruang sampel dan kejadian. 7.2 Aturan perkalian Bila suatu eksperimen menghasilkan outcome dan eksperimen lainnya menghasilkan outcome maka ekperimen gabungan keduanya akan menghasilkan outcome. BEBERAPA CONTOH: 1. Eksperimen 1 melempar sebuah mata uang (ada 2 outcomes) , dan eksperimen 2 melempar sebuah dadu (ada 6 outcome) maka banyak atau ukuran ruang sampel dari eksperimen melepar 1 koin dan sebuah dadu adalah , yaitu 2. Misalkan sebuah eksperimen terdapat outcome. Jika eksperimen ini dilakukan sebanyak kali maka akan terdapat outcomes. 3. Jika 5 kartu diambil berturut-turut dengan pengembalian dari tumpukan yang memuat 52 kartu maka akan terdapat kemungkinan. Bila dilakukan dengan pengembalian maka akan terdapat kemungkinan. 7.3 Permutasi dan kombinasi Banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari objek adalah . Bila dari objek diambil objek maka banyak susunan berbeda adalah yang biasa disebut banyak permutasi objek yang diambil dari objek. CONTOH: Suatu kotak memuat tiket, masing-masing diberi label angka dari 1 sampai dengan . Suatu eksperimen memilih secara acak 3 tiket diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bahwa ketiga tiket tesebut membentuk angka berurutan, misalnya 1-2-3, 2-3-1, atau 3-4-5, 4-5-3, dsb. PENYELESAIAN. Ruang sampel yang relevan dengan eksperimen ini adalah tripel bilangan bulat , yaitu
- 12. 12 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah Jadi Sedangkan kejadiannya susunan yang terdiri dari 3 angka berurutan sehingga ada susunan berbeda untuk susunan berbentuk . Tiap-tiap susunan ini ada susunan yang berbeda. Jadi totalnya ada kemungkinan, ini adalah ukuran kejadian yang dimaksud. Jadi peluang kejadian yang dimaksud adalah Bila urutan atau susunan dianggap satu formasi maka banyak kemungkinan susunan berbeda hanya yang biasa disebut kombinasi berbeda objek yang diambil dari objek. CONTOH: Bila pada Contoh sebelumnya diambil 3 sekaligus maka terdapat tripel bilangan bulat berbeda, dan diantara kesemua tripel ada sebanyak tripel yang berbentuk urutan. Diperhatikan bahwa pada ruang sampel dan ruang kejadiannya, urutan tidak diperhitungkan. Jadi probabilitasnya adalah suatu hasil yang sama dengan probabilitas sebelumnya. Beberapa notasi permutasi yang sering dijumpai adalah . Notasi adalah notasi kombinasi objek yang diambil dari objek yang berbeda. Bila diantara objek yang ada terdapat terdapat tipe 1, objek tipe 2, dan seterusnya objek tipe k maka banyaknya permutasi berbeda susunan objek ini adalah CONTOH: Misalkan pada suatu ujian, siswa diberikan soa pilihan ganda 4 opsi sebanyak 20 soal. Bila seorang siswa tanpa persiapan memadai menjawab asal-asalan, berapa peluang siswa tersebut lulus bila standar minimalnya .
- 13. 13 | Prepared by Julan HERNADI, delivered by Rodhiah PENYELESAIAN. Karena masing-masing soal ada 4 opsi maka ada 4 kemungkinan jawaban yang diberikan. Karena semuanya ada 20 soal maka ruang sampelnya berukuran . Agar siswa mencapai nilai minimal maka ia harus menjawab 8 soal dengan benar. Jadi kejadiannya ada kemungkinan, sehingga probabilitas benar adalah Suatu peluang yang sangat kecil. SOAL-SOAL LATIHAN: MENYUSUL