ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Barisan dan deret

•Download as DOCX, PDF•
•
Julie Yaney
Julie Yaney

Barisan dan deret aritmatika serta geometri merupakan barisan bilangan yang teratur pola perubahan nilainya. Barisan aritmatika didapatkan dengan penjumlahan atau pengurangan bilangan tetap, sedangkan barisan geometri didapatkan melalui perkalian bilangan tetap. Rumus untuk menghitung nilai suku dan jumlah suku diberikan untuk kedua jenis barisan tersebut.

1 of 4
Download to read offline
BARISAN DAN DERET Baris Aritmatika Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga: Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai: b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2 Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini: Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai adalah: Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai: atau sebagai: Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah: Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi: . . Sehingga diperoleh . Sisipan Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa: a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b) Diketahui bahwa suku terakhir: (a + (q+1)b) = p Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai: Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:  Nilai q = 3  Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5   Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9 Suku Tengah Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- . Jika diselesaikan dalam rumus , maka nilai suku tengah didapatkan:
Barisan Geometri Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga: Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini: Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai adalah: Deret Geometri Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai: Atau sebagai: Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah: dengan syarat 0 < r < 1. Atau: dengan syarat r> 1. Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu: Sisipan Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi: a, ar, ar2 , ar3 , …,arq , ar(q+1) Dimana suku terakhir tersebut: ar(q+1) = p Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai: Deret Geometri Tak hingga Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana , maka deret ini dapat dijumlah menjadi: Atau sebagai : Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah: Dimana terdapat unsur didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika , maka untuk menentukan nilai dapat menggunakan limit yaitu: dengan syarat -1 < r < 1.
Dan: dengan syarat r < -1 atau r > 1. Kemudian hasil limit tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai: dengan syarat -1 < r < 1 Dan: dengan syarat r < -1 atau r > 1. CONTOH SOAL DANPEMBAHASAN 1. Contoh Soal Deret Aritmatika Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah? Pembahasan:  Diketahui bahwa , , maka dapat digunakan rumus :  Dimana:  Sehingga:  Diperoleh: 2. Contoh Soal Deret Geometri Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut! Pembahasan:  Diketahui bahwa: dan  Jika kedua persamaan disubstitusikan : Dan  Sehingga :
3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga Jika maka jumlah deret geometri tak hingga adalah? (SPMB 2005) Pembahasan 3:  Diketahui bahwa: atau  Ditentukan ratio deretnya adalah:  Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi adalah:

More Related Content

Barisan dan deret

  • 1. BARISAN DAN DERET Baris Aritmatika Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga: Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai: b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2 Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini: Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai adalah: Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai: atau sebagai: Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah: Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi: . . Sehingga diperoleh . Sisipan Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa: a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b) Diketahui bahwa suku terakhir: (a + (q+1)b) = p Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai: Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:  Nilai q = 3  Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5   Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9 Suku Tengah Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- . Jika diselesaikan dalam rumus , maka nilai suku tengah didapatkan:
  • 2. Barisan Geometri Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga: Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini: Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai adalah: Deret Geometri Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai: Atau sebagai: Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah: dengan syarat 0 < r < 1. Atau: dengan syarat r> 1. Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu: Sisipan Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi: a, ar, ar2 , ar3 , …,arq , ar(q+1) Dimana suku terakhir tersebut: ar(q+1) = p Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai: Deret Geometri Tak hingga Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana , maka deret ini dapat dijumlah menjadi: Atau sebagai : Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah: Dimana terdapat unsur didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika , maka untuk menentukan nilai dapat menggunakan limit yaitu: dengan syarat -1 < r < 1.
  • 3. Dan: dengan syarat r < -1 atau r > 1. Kemudian hasil limit tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai: dengan syarat -1 < r < 1 Dan: dengan syarat r < -1 atau r > 1. CONTOH SOAL DANPEMBAHASAN 1. Contoh Soal Deret Aritmatika Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah? Pembahasan:  Diketahui bahwa , , maka dapat digunakan rumus :  Dimana:  Sehingga:  Diperoleh: 2. Contoh Soal Deret Geometri Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut! Pembahasan:  Diketahui bahwa: dan  Jika kedua persamaan disubstitusikan : Dan  Sehingga :
  • 4. 3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga Jika maka jumlah deret geometri tak hingga adalah? (SPMB 2005) Pembahasan 3:  Diketahui bahwa: atau  Ditentukan ratio deretnya adalah:  Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi adalah: