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Basi Matematiche

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Proporzioni, 4 Operazioni, Insiemi Numerici

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Basi della Matematica Di Chiara Rodolfi
Addizione I termini si dicono addendi Il risultato si dice somma L’addizione è un’operazione interna all’insieme N Vale: -La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Esiste l’elemento neutro che è lo 0
Sottrazione I termini si dicono minuendo e sottraendo Il risultato si dice Differenza La sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N Non vale: -La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Non esiste l’elemento neutro Vale la proprietà invariantiva: sommando o sottraendo uno stesso numero dal minuendo e dal sottraendo la differenza non cambia
Moltiplicazione I termini si dicono fattori Il risultato si dice prodotto La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N Vale: -La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Proprietà distributiva -Esiste l’elemento neutro che è 1 -Legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo
Divisione I termini si dicono dividendo e divisore Il risultato si dice quoto o quoziente La divisione non è un’operazione interna all’insieme N Non vale: -La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Non esiste l’elemento neutro Vale la proprietà invariantiva: Moltiplicando o dividendo uno stesso numero dal dividendo e dal divisore il quoto non cambia
Multiplo & Divisore Multiplo Dati due numeri a e b si dice che a è multiplo di b se esiste un numero tale che: bxn=a Divisore Dati due numeri a e b si dice che b è divisore di a ( o che a è divisibile per b ) se esiste un numero tale che a:b=n
Criteri di divisibilità Per 2: quando il numero è pari Per 3: quando la somma delle cifre è divisibile per 3 Per 4: quando gli ultimi 2 numeri sono 00 o sono divisibili per 4 Per 5: quando il numero finisce per 0 o 5 Per 8: quando la somma delle ultime 3 cifre sono un numero divisibile per 8 o sono 000 Per 9: quando la somma delle cifre è un numero divisibile per 9 Per 11: quando la somma delle cifre di posto dispari meno la somma delle cifre di posto pari è un numero divisibile per 11 Per 25: quando il numero finisce per 00, 25, 50, 75
Potenze Dato un numero naturale a e un numero naturale n, si dice potenza n- esima di a, il prodotto di n fattori uguali ad a Prodotto di due potenze con la stessa base E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti Quoziente di due potenze con la stessa base E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti Potenza di potenza E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti Prodotto di due potenze con lo stesso esponente E’ una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponenti la somma degli esponenti Quoziente di due potenze con lo stesso esponente E’ una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente
Numeri primi e primi tra loro Numeri primi Un numero si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Numeri primi tra loro Due numeri si dicono primi tra loro se hanno come unico divisore comune 1 Chiarimenti: Due numeri primi sono sicuramente anche primi tra loro, ma non è detto che due numeri primi tra loro siano anche primi
M.C.D Si dice M.C.D di due o più numeri il più grande divisore comune ai numeri dati Come si calcola: Si scompongono i numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni una sola volta e con il minimo esponente
m.c.m Si dice m.c.m di due o più numero il più piccolo multiplo comune ai numeri dati Come si calcola: Si scompongono i numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta e con il massimo esponente
Insieme numeri relativi Z E’ l’insieme dei numeri con il segno Concordi: hanno lo stesso segno Discordi: hanno segno diverso Numeri opposti Due numeri si dicono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso Valore Assoluto Si dice valore assoluto il numero senza il segno Addizione in Z Valgono le stesse proprietà che valevano in N. Si aggiunge l’elemento simmetrico che è l’opposto Sottrazione in Z Valgono le stesse proprietà che valevano in N. Ora la sottrazione è un’operazione interna binaria in Z. La moltiplicazione e la divisione restano uguali
Confronto tra numeri relativi - Ogni numero positivo è maggiore di goni numero negativo - Lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti i numeri positivi - Confronto numeri concordi Positivi: è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore Negativi: è maggiore quello che ha valore assoluto minore Somma algebrica E’ la somma tra numeri realtivi Somma di numeri relativi Concordi: E’ un numero che ha per segno il segno dei numeri e per valore assoluto la somma dei valori assoluti Discordi: E’ un numero che ha per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti Il prodotto di tre o più termini è: Positivo: se il numero di fattori negativi è pari Negativo: se il numero di fattori negativi è dispari Regole dei Segni +x + =+ +x - =- - x +=- - X- =+
Proporzioni Definizione Rapporto Dati due numeri relativi interi, con il secondo diverso da 0, si dice rapporto di quoto della divisione tra i due numeri Definizione proporzione La proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti I numeri si chiamano termini della proporzione Il 1 e il 4 si dicono estremi Il 2 e il 3 si dicono medi Il 1 e il 3 si dicono antecedenti Il 2 e il 4 si dicono conseguenti Una proporzione si dice continua se hai medi uguali. Si parla di medio proporzionale. L’ultimo termine è detto terzo proporzionale Se una proporzione non è continua l’ultimo termine è detto quarto proporzionale
Proprietà delle proporzioni Proprietà fondamentale Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi Proprietà del permutare Scambiando tra loro medi o estremi si ottiene una nuova proporzione Proprietà dell’invertire Scambiando ogni antecedente per il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione Proprietà del comporre La somma del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come la somma del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4 Proprietà dello scomporre La differenza del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come la differenza del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4
Numeri razionali Q Definizione Frazione Dati due numeri interi relativi n, d con d diverso da 0, si definisce frazione il quoto di n e d e si scrive n/d n e d si dicono termini della frazione n è il numeratore d è il denominatore Frazioni proprie Quando il numeratore è minore del denominatore. La frazione è <1 Frazioni improprie Quando il numeratore è maggiore del denominatore. La frazione è >1 Frazioni Apparenti Quando il numeratore è un multiplo del denominatore. La frazione è un numero intero > o =1 Frazioni equivalenti Due frazione si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso quoto Frazione ridotta ai minimi termini Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono numeri primi tra loro Proprietà Invariantiva Moltiplicando o dividendo il numeratore o il denominatore per uno stesso numero si ottiene una frazione equivalente
Operazioni in Q Addizione: come in Z Sottrazione: come in Z Moltiplicazione: Come in Z + elemento simmetrico Definizione Inverso o Reciproco Due numeri a e b si dicono reciproci se il loro prodotto è uguale a 1, axb=1 Divisione: In Q0 diventa un operazione interna binaria a Q Addizione: Per sommare una o più frazioni bisogna portarle allo stesso denominatore e poi sommare in numeratori. Idem per la sottrazione Moltiplicazione: Si moltiplicano tra loro nominatori e denominatori Divisione: Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della frazione Potenza di frazione Valgono le stesse proprietà delle potenze Potenza a esponente negativo Dati un numero razionale a diverso da zero e un numero naturale n si dice potenza a esponente negativo –n di a l’inverso di a alla n
Frazioni e numeri decimali Tutte le frazione che, ridotte ai minimi termini, hanno al denominatore: - 2 o 5 o entrambi, è un numero decimale finito: la frazione generata da un numero decimale finito ha al nominatore il numero senza la virgola e al denominatore 1 più tanti zeri quante sono le cifre decimali - Numeri diversi da 2 e 5, è un numero decimale periodico semplice: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo - Numeri diversi da 2 e 5 con 2 o 5, è un numero decimale periodico misto: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo ( la parte decimale che precede il periodo )

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