ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Black-Scholes Matematigi

•Download as PPT, PDF•
•
Kutlu MERÄ°H
Kutlu MERÄ°H
1 of 19
Download to read offline
Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org sitesinden yararlanılmıştır. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet (stok) hareketlerinin matematik modelini kurmalıyız.
Stok hareketlerinin Matematik Modeli Senet fiyatlarındaki ∆t zaman aralığındaki değişimi ∆S, ile gösterilsin. Burada ∆S in ∆t aralığındaki beklenen verimi (% µ) yansıtacağını kabul edebiliriz. Başlangıç olarak stok fiyatlarının volatilitesi olmadığını varsayarsak, başlangıç bağıntısı olarak; ∆S = mSDt Burada S cari senet fiyatı, ∆t kısa zaman aralığı ve µ , S nin bileşik faizle yıllık beklenen getirisidir. (µ Pazar tarafından belirlenen ve bağımsız bir değer olarak düşünülmektedir. Diğer bir deyişle yatırımcılar senedin şimdiki değerinden bağımsız olarak yıllık bir getiri bekleyeceklerdir.
Fiyat Diferansiyeli Fiyat İle Orantılıdır ∆t ufak bir değer olduğunda ∆t zaman aralığındaki senet fiyatı S∆t S∆t = Seµ∆t Olacaktır. Buradan ∆S = S∆t - S = Seµ∆t - S = S(eµ∆t – 1) seriye açarak işlem yapılır ve ∆t yüksek dereceli terimleri ihmal edilirse ≈ Sµ∆t , Olarak alınabilir S∆t ≈ Sµ∆t
Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır. Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bunun için fiyat diferansiyeline aşağıdaki terimi ekleyeceğiz. εσ tS ∆ Burada σ yıllık volatilite, yani ∆S/S değerlerinin yıllık değişiminin standart sapmasıdır. ∀ε ise N(0,1) dağılımından gelen bir rasgelel değerdir (white noise) ε değerinin normalliği, stok fiyatlarının bir Brown hareketi izlediği kabulunden kaynaklanıyor. Bunun anlamı küçük bir zaman aralığında stok değerlerinin büyük sıçramalar yapmayacağıdır. Bu sapmaların normal dağıldığını kabul ediyoruz. ∆t karekökü ise birazdan açıklanacaktır.
Normallik Varsayımı Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, ∆t aralığı çok küçük olduğundan normalite varsayımının oldukça zayıf olduğudur. Normallik kabulunun geçerli olduğunu varsayarsak; Bu kabuller çerçevesinde; ( ) εσµ σεσ tStSS tSNtS ∆+∆=∆ ∆∆ ,0~ Diyebiliriz. Bu modele göre, stok fiyatlarındaki değişime rasgele değerler alan ε neden olacaktır.
Ito Lemması ∆S bağıntımızın çok ufak ∆t, değerleri için geçerli olduğunu kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin. f = (S,t) Bu fonksiyon ufak ∆t değerleri için aşağıdaki bağıntıyı gerçekler; )2()()()22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσσµ
Ito Lemması İspat: Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona Taylor açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar ∆f için aşağıdaki bağıntı yazılabilir, )( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 totS Sf f t t f S S f t t f S S f f ∆+∆∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ Burada ∆S için daha önceki εσµ tStSS ∆+∆=∆ bağıntımızı yerine koyarsak, ).()( 2 2 2 2 2 12)( 2 2 2 1 )( tottStS Sf f t t f tStS S f t t f tStS S f f ∆+∆∆+∆ ∂∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ =∆ εσµ εσµ εσµ
).(2 32 2 2 2 2 2 2 1222 2 2 2 1 2 3 2 2 2 222 2 2 2 1 totS St f tS St f t t f tS S f tS S f tS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσµεσ εµσµεσµ ifadesi elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli bir Taylor açılımıdır. Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir. Df açılımını terimlerine göre yeniden düzenleyerek )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir. )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki ε2 katsayısıdır. Bunu gidermek için aşağıdaki değerlendirmeleri görelim: . ( ε ~ N(0,1) olduğu için.) 22)2()4( 2 )22()24()2( )(2 tEE tEtEtVAR tott ∆     −=     ∆−∆=∆ ∆+∆=∆ εε εεε ε tttE ∆=    ∆=∆ 22 )( εε
)()( )22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσ σµ Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur. Buna göre ε2 ∆t varyansı 0 civarında ise ve, ε2 ∆t nin beklenen değeri ∆t ise, ε2 ∆t = ∆t + o(∆t) olur ve
( )ttSNS t ∆∆−+∆ σσµ ,)(ln~ln 2 2 1 0 İspat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki; .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( )ln( )()22 2 2 2 1( εσσµ σεσµ εσσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf tS S f tS S f t f S S f f ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ = ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ .
Lemma 2: Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun. ∆t küçük olduğunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır. .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( ;)ln( εσσµ σεσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ =      ∆∆−+∆ ttSNtS σσµ ,)2 2 1(0ln~ln tS S f tS S f t f S S f f ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ )()22 2 2 2 1( εσσµ İspat: Ito’nun Lemmasını kullanarak;
Şimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir rasgele değişken ε dan oluşuyor. µ, σ, ve ∆t için nümerik değerler zaman serilerinden elde edilebilir. Buna göre;      ∆∆−∆ ttNf σσµ ,)2 2 1(~      ∆∆−+ ∆ − ∆ =∆ ttSN t S S t Sf σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln ) 0 ln()ln( . Buradan senet fiyatlarındaki değişimin logaritmalarının bir normal dağılıma sahip olduğunu görmekteyiz. Olarak belirlenir. Yani senetlerin fiyat diferansiyelleri normal olarak dağılmaktadır. Bu önemli bir sonuç olup ilerde tekrar kullancağız.
Corollary 1: Senet fiyatlarındaki değişim de, ∆t zaman aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiğinde (T olarak gösterilir) log-normal olarak dağılır.      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln İspat: Burada T zaman süresi n adet, örtüşmeyen {∆t1, ∆t2, ∆t3, …, ∆tn} zaman aralıklarının toplamından oluşsun; ∆t1+∆t2+ ∆t3+ …+ ∆tn= T. ST senedin T anındaki fiyatını göstersin, kabullerimize göre senet fiyatları bir Brown hareketine göre değişir ve etkin Pazar hipotezine göre senet fiyatları bağımsızdır ve ln (Si+1) – ln (Si ) diferansiyelleri normal olarak dağılır.
Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır. Buna göre; 0112 2-n1-n1-nT0T Sln–SlnSln–Sln...... Sln–SlnSln–SlnSln–Sln +++ = + ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSE SSESSESSE nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 12 2 1 ... ttt nn ∆−++∆−+∆−= − σµσµσµ ( ) ( ) ( )Ttt i i i i 2 2 12 2 12 2 1 σµσµσµ −=∆−=∆−= ∑∑
Ve varyans “için de benzer olarak; ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSVar SSVarSSVarSSVar nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( )2 1... 2 1 2 tntnt ∆++−∆+∆= σσσ T i it 22 σσ =∑∆ Burada senet fiyatlarının Brown hareketine sahip olduğu Varsayımında nin önemi ortaya çıkıyor.T
Buna göre;      −− TTNS T S σσµ ,)2 2 1(~ 0 lnln Veya benzeri olarak ,      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln Elde edilir. Bu da senet fiyatlarının hareketi konusundaki varsayımlarımızı kanıtlamış olur.

More Related Content

Black-Scholes Matematigi

  • 1. Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org sitesinden yararlanılmıştır. DÄ°FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
  • 2. 1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet (stok) hareketlerinin matematik modelini kurmalıyız.
  • 3. Stok hareketlerinin Matematik Modeli ï‚—Senet fiyatlarındaki ∆t zaman aralığındaki deÄŸiÅŸimi ∆S, ile gösterilsin. ï‚—Burada ∆S in ∆t aralığındaki beklenen verimi (% µ) yansıtacağını kabul edebiliriz. ï‚—BaÅŸlangıç olarak stok fiyatlarının volatilitesi olmadığını varsayarsak, baÅŸlangıç bağıntısı olarak; ∆S = mSDt ï‚—Burada S cari senet fiyatı, ∆t kısa zaman aralığı ve µ , S nin bileÅŸik faizle yıllık beklenen getirisidir. (µ Pazar tarafından belirlenen ve bağımsız bir deÄŸer olarak düşünülmektedir. ï‚—DiÄŸer bir deyiÅŸle yatırımcılar senedin ÅŸimdiki deÄŸerinden bağımsız olarak yıllık bir getiri bekleyeceklerdir.
  • 4. Fiyat Diferansiyeli Fiyat Ä°le Orantılıdır ∆t ufak bir deÄŸer olduÄŸunda ∆t zaman aralığındaki senet fiyatı S∆t S∆t = Seµ∆t Olacaktır. Buradan ∆S = S∆t - S = Seµ∆t - S = S(eµ∆t – 1) seriye açarak iÅŸlem yapılır ve ∆t yüksek dereceli terimleri ihmal edilirse ≈ Sµ∆t , Olarak alınabilir S∆t ≈ Sµ∆t
  • 5. Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır. Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bunun için fiyat diferansiyeline aÅŸağıdaki terimi ekleyeceÄŸiz. εσ tS ∆ Burada σ yıllık volatilite, yani ∆S/S deÄŸerlerinin yıllık deÄŸiÅŸiminin standart sapmasıdır. ∀ε ise N(0,1) dağılımından gelen bir rasgelel deÄŸerdir (white noise) ε deÄŸerinin normalliÄŸi, stok fiyatlarının bir Brown hareketi izlediÄŸi kabulunden kaynaklanıyor. Bunun anlamı küçük bir zaman aralığında stok deÄŸerlerinin büyük sıçramalar yapmayacağıdır. Bu sapmaların normal dağıldığını kabul ediyoruz. ∆t karekökü ise birazdan açıklanacaktır.
  • 6. Normallik Varsayımı ï‚—Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, ∆t aralığı çok küçük olduÄŸundan normalite varsayımının oldukça zayıf olduÄŸudur. ï‚—Normallik kabulunun geçerli olduÄŸunu varsayarsak; Bu kabuller çerçevesinde; ( ) εσµ σεσ tStSS tSNtS ∆+∆=∆ ∆∆ ,0~ Diyebiliriz. Bu modele göre, stok fiyatlarındaki deÄŸiÅŸime rasgele deÄŸerler alan ε neden olacaktır.
  • 7. Ito Lemması ∆S bağıntımızın çok ufak ∆t, deÄŸerleri için geçerli olduÄŸunu kabul edelim, ÅŸimdi f fonksiyonu S ve t deÄŸiÅŸkenleri cinsinden tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin. f = (S,t) ï‚—Bu fonksiyon ufak ∆t deÄŸerleri için aÅŸağıdaki bağıntıyı gerçekler; )2()()()22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσσµ
  • 8. Ito Lemması Ä°spat: Åžimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki deÄŸiÅŸkenli fonksiyona Taylor açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar ∆f için aÅŸağıdaki bağıntı yazılabilir, )( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 totS Sf f t t f S S f t t f S S f f ∆+∆∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ Burada ∆S için daha önceki εσµ tStSS ∆+∆=∆ bağıntımızı yerine koyarsak, ).()( 2 2 2 2 2 12)( 2 2 2 1 )( tottStS Sf f t t f tStS S f t t f tStS S f f ∆+∆∆+∆ ∂∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ =∆ εσµ εσµ εσµ
  • 9. ).(2 32 2 2 2 2 2 2 1222 2 2 2 1 2 3 2 2 2 222 2 2 2 1 totS St f tS St f t t f tS S f tS S f tS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσµεσ εµσµεσµ ifadesi elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki deÄŸiÅŸkenli bir Taylor açılımıdır. Åžimdi, ∆t son derecede küçük bir deÄŸer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleÅŸir. Df açılımını terimlerine göre yeniden düzenleyerek )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
  • 10. Åžimdi, ∆t son derecede küçük bir deÄŸer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleÅŸir. )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
  • 11. Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki ε2 katsayısıdır. Bunu gidermek için aÅŸağıdaki deÄŸerlendirmeleri görelim: . ( ε ~ N(0,1) olduÄŸu için.) 22)2()4( 2 )22()24()2( )(2 tEE tEtEtVAR tott ∆     −=     ∆−∆=∆ ∆+∆=∆ εε εεε ε tttE ∆=    ∆=∆ 22 )( εε
  • 12. )()( )22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσ σµ Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiÅŸ olur. Buna göre ε2 ∆t varyansı 0 civarında ise ve, ε2 ∆t nin beklenen deÄŸeri ∆t ise, ε2 ∆t = ∆t + o(∆t) olur ve
  • 13. ( )ttSNS t ∆∆−+∆ σσµ ,)(ln~ln 2 2 1 0 Ä°spat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki; .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( )ln( )()22 2 2 2 1( εσσµ σεσµ εσσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf tS S f tS S f t f S S f f ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ = ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ .
  • 14. Lemma 2: ï‚—Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun. ∆t küçük olduÄŸunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır. .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( ;)ln( εσσµ σεσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ =      ∆∆−+∆ ttSNtS σσµ ,)2 2 1(0ln~ln tS S f tS S f t f S S f f ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ )()22 2 2 2 1( εσσµ Ä°spat: Ito’nun Lemmasını kullanarak;
  • 15. Åžimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir rasgele deÄŸiÅŸken ε dan oluÅŸuyor. µ, σ, ve ∆t için nümerik deÄŸerler zaman serilerinden elde edilebilir. Buna göre;      ∆∆−∆ ttNf σσµ ,)2 2 1(~      ∆∆−+ ∆ − ∆ =∆ ttSN t S S t Sf σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln ) 0 ln()ln( . Buradan senet fiyatlarındaki deÄŸiÅŸimin logaritmalarının bir normal dağılıma sahip olduÄŸunu görmekteyiz. Olarak belirlenir. Yani senetlerin fiyat diferansiyelleri normal olarak dağılmaktadır. Bu önemli bir sonuç olup ilerde tekrar kullancağız.
  • 16. Corollary 1: Senet fiyatlarındaki deÄŸiÅŸim de, ∆t zaman aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiÄŸinde (T olarak gösterilir) log-normal olarak dağılır.      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln Ä°spat: Burada T zaman süresi n adet, örtüşmeyen {∆t1, ∆t2, ∆t3, …, ∆tn} zaman aralıklarının toplamından oluÅŸsun; ∆t1+∆t2+ ∆t3+ …+ ∆tn= T. ST senedin T anındaki fiyatını göstersin, kabullerimize göre senet fiyatları bir Brown hareketine göre deÄŸiÅŸir ve etkin Pazar hipotezine göre senet fiyatları bağımsızdır ve ln (Si+1) – ln (Si ) diferansiyelleri normal olarak dağılır.
  • 17. Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır ï‚—Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır. ï‚—Buna göre; 0112 2-n1-n1-nT0T Sln–SlnSln–Sln...... Sln–SlnSln–SlnSln–Sln +++ = + ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSE SSESSESSE nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 12 2 1 ... ttt nn ∆−++∆−+∆−= − σµσµσµ ( ) ( ) ( )Ttt i i i i 2 2 12 2 12 2 1 σµσµσµ −=∆−=∆−= ∑∑
  • 18. Ve varyans “için de benzer olarak; ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSVar SSVarSSVarSSVar nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( )2 1... 2 1 2 tntnt ∆++−∆+∆= σσσ T i it 22 σσ =∑∆ Burada senet fiyatlarının Brown hareketine sahip olduÄŸu Varsayımında nin önemi ortaya çıkıyor.T
  • 19. Buna göre;      −− TTNS T S σσµ ,)2 2 1(~ 0 lnln Veya benzeri olarak ,      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln Elde edilir. Bu da senet fiyatlarının hareketi konusundaki varsayımlarımızı kanıtlamış olur.