ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Bryły Platońskie

•Download as PPTX, PDF•
•
Anna Wołoszyn
Anna Wołoszyn

matematyka

1 of 26
Download to read offline
Anna Wołoszyn Bryły Platońskie "Kto nie zna geometrii, niech do tej szkoły nie wstępuje" Platon
• Platon - grecki filozof i uczony żył w latach 427 p. n. e. - 347 p. n. e., właściwie nazywał się Arystokles. Imię Platon otrzymał w gimnazjonie ze względu na silne plecy (Platon bowiem to tyle co szerokoplecy). • Był uczniem Sokratesa i nauczycielem Arystotelesa. Założył w Atenach szkołę zwaną Akademią Platońską. Kim był PLATON i dlaczego w matematyce nazwy niektórych pojęć nawiązują do jego osoby? W kosmologii Platona ważne miejsce zajmuje teoria pięciu wielościanów foremnych. Platon zajmował się również konstrukcjami geometrycznymi, które można wykonywać używając tylko cyrkla i liniału. Noszą one nazwę konstrukcji klasycznych, konstrukcji platońskich
Platon wyróżnił dwie podstawowe formy budujące materię • trójkąty prostokątne • równoramienne • różnoramienne, w których miary kątów przy wierzchołkach wynoszą kolejno 30, 60 i 90 stopni różnorodność materii uzasadniał nieskończenie wieloma możliwościami wspólnej kombinacji tych elementów
Podstawowe formy Platona Ze złożenia odpowiedniej ilości trójkątów prostokątnych jednego rodzaju, Platon stworzył układ nazwany przez siebie „elementem matematycznym”. Elementy matematyczne Platona zbudowane z trójkątów prostokątnych różnoramiennych (A) oraz z trójkątów prostokątnych równoramiennych (B)
Budulec wszelkiej materii Z odpowiedniej ilości jednakowych elementów matematycznych Platon utworzył pięć wielościanów foremnych, które filozof uznawał za budulec wszelkiej materii Bryły platońskie budujące kolejno żywioły ognia, powietrza, wody, ziemi oraz bliżej nieokreśloną cząstkę boską
Wszechświat tworzą cztery elementy: ziemia, powietrze, woda, ogień Platon uznał, że atomy muszą mieć kształt najpiękniejszych brył, a więc wielościanów foremnych. Ponieważ brył takich jest pięć, filozof wymyślił piąty składnik materii: eter, z którego zbudowane są ciała niebieskie. Myśliciele od zawsze zastanawiali się, co jest tam gdzie nic nie ma. Długo panującą koncepcją na ten temat była koncepcja eteru wypełniającego cały wszechświat. Jednak naukowcy w XIX wieku zanegowali tę teorię jako bezzasadną i niemieszcząca się w materialistycznym pojęciu świata. Przyroda powstaje z bezkresu. Ale jak? Na zasadzie wyłaniania się przeciwieństw. Co powoduje ten proces? Powoduje go wieczny ruch ("WielkiWybuch"); Eter = piąty żywioł.
• Bryła jest to ograniczona część przestrzeni. • Wielościan jest to bryła ograniczona ze wszystkich stron płaszczyznami. Jego wszystkie ściany są wielokątami. • Wielokąt foremny jest to wielokąt, który ma wszystkie boki równe oraz wszystkie kąty równe. • Wielościan foremny to wielościan, którego ścianami są wielokąty foremne. Czym są wielościany foremne? Pitagorejczycy, a później sam Platon, uważali, że cztery główne żywioły, które tworzą świat zbudowane są z wielościanów foremnych
Sześcian – Platon uważał, że Ziemia utworzona miała być z sześcianów
Siatki sześcianów – max 11
Czworościan symbolizował ogień Ogień, jako żywioł „najbardziej ruchliwy”, zbudowany jest z brył czworościanu foremnego
Ośmiościan symbolizował powietrze
Dwudziestościan symbolizował wodę Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) to najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Posiada 30 krawędzi i 12 wierzchołków
Dwunastościan postrzegano go jako subtelne i tajemnicze tworzywo ciał niebieskich - eter Dwunastościanowi pitagorejczycy przypisali zarys wszechświata.W kosmologii Arystotelesa, który był uczniem Platona, dwunastościanowi przypisano piąty żywioł "ąuienta esentia" (istota rzeczy, najważniejszy element czegoś). - ETER Miał on być najdoskonalszym z żywiołów w strukturze wszechświata. Postrzegano go jako subtelne i tajemnicze tworzywo ciał niebieskich.
Elementy wielościanów foremnych tabela do uzupełnienia Nazwa Liczba ścian i ich kształt Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan
Elementy wielościanów foremnych Nazwa Liczba ścian i ich kształt Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościan 4 trójkąty 6 4 sześcian 6 kwadratów 12 8 ośmiościan 8 trójkątów 12 6 dwunastościan 12 pięciokątów 30 20 dwudziestościan 20 trójkątów 30 12
Twierdzeniem Eulera o wielościanach wypukłych Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to w - k + s = 2 lub w + s = k+2 Szwajcarski banknot 10-frankowy, na cześć Eulera, najznakomitszego szwajcarskiego matematyka w historii
Czy wyprowadzana zależność jest zasadna dla innych brył, niekoniecznie platońskich? o przystających ścianach, które nie są figurami foremnymi, np. trzydziestościan rombowy Wielościany Catalana wielokąt ma 30 ścian, 32 wierzchołki i 60 krawędzi. Zależność w + s = k+2 jest poprawna dla wszystkich wielokątów wypukłych
Zadanie 2 Dodekaedr to dwunastościan, w którym wszystkie ściany są pięciokątami foremnymi. O bryle tej można powiedzieć, że: ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków krawędzi jest 50% więcej niż wierzchołków ma 28 krawędzi i 18 wierzchołków suma wierzchołków i ścian równa jest sumie krawędzi powiększonej o dwa
Zadanie 3 Wielościany Catalana mają wszystkie ściany przystające, które nie są jednak wielokątami foremnymi. Jednym z takich wielościanów jest sześćdziestościan deltoidowy. Bryła ta ma: 60 wierzchołków 62 wierzchołki 58 wierzchołków 2 razy więcej krawędzi niż ścian
Ciekawostka - Bryły niemożliwe Rysowanie na płaszczyźnie figur przestrzennych musi być podporządkowane pewnym regułom, aby obraz przedstawiony był zgodny z rzeczywistością. Nieprzestrzeganie tych reguł daje w efekcie powstanie figur niemożliwych.
Bryły niemożliwe Trójkąt Penrose’a Kwadrat Penrose’a
Claisebrook Roundabout w południowej Australii O tym, jak popularna i intrygująca jest ta figura, może świadczyć fakt, że trójkąt Penrose’a stał się inspiracją dla wielu budowli architektonicznych na naszym kontynencie Fot. 2.10. Prawdziwy model niemożliwego trójkąta.To, co zobaczone, zostało uchwycone fotograficznie Autor fotografi i: Bjorn ChristianTorrissen, bjornfree.com
• http://youtu.be/OzBiVI16oKg Film
Schody Penrose’a. Rysunek przedstawia schody załamane czterokrotnie pod kątem 90 stopni. Nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie to, że schody prowadzą w górę, a jednak na górę po nich nie można wejść – ciągle wraca się do punktu wyjściowego. Jest to niemożliwe do wykonania w trzech wymiarach, ale dwuwymiarowy rysunek umożliwia przedstawienie tej paradoksalnej budowli dzięki zakłóceniu perspektywy.
Ławka nieszczęśliwie zakochanych Dwoje młodych ludzi siedzących na jednej ławce. Zdawałoby się, że nic nie jest w stanie przeszkodzić im w spotkaniu. A jednak tym utrudnieniem jest ławka. Ławka? Ale jakim cudem? Przecież siedząc na ławeczce, nie mogą być już bliżej siebie. A jednak…
Platon, Państwo, Księga 6, 510 DE. „Matematycy kreślą konkretne figury, na których prowadzą swoje argumentacje, ale myślą nie o tych, co właśnie kreślą, ale o tych idealnych, prawdziwych, pomyślanych, których żaden człowiek nie może inaczej zobaczyć, jak tylko myślą”

More Related Content

Bryły Platońskie

  • 1. Anna Wołoszyn Bryły Platońskie "Kto nie zna geometrii, niech do tej szkoły nie wstępuje" Platon
  • 2. • Platon - grecki filozof i uczony żył w latach 427 p. n. e. - 347 p. n. e., właściwie nazywał się Arystokles. Imię Platon otrzymał w gimnazjonie ze względu na silne plecy (Platon bowiem to tyle co szerokoplecy). • Był uczniem Sokratesa i nauczycielem Arystotelesa. Założył w Atenach szkołę zwaną Akademią Platońską. Kim był PLATON i dlaczego w matematyce nazwy niektórych pojęć nawiązują do jego osoby? W kosmologii Platona ważne miejsce zajmuje teoria pięciu wielościanów foremnych. Platon zajmował się również konstrukcjami geometrycznymi, które można wykonywać używając tylko cyrkla i liniału. Noszą one nazwę konstrukcji klasycznych, konstrukcji platońskich
  • 3. Platon wyróżnił dwie podstawowe formy budujące materię • trójkąty prostokątne • równoramienne • różnoramienne, w których miary kątów przy wierzchołkach wynoszą kolejno 30, 60 i 90 stopni różnorodność materii uzasadniał nieskończenie wieloma możliwościami wspólnej kombinacji tych elementów
  • 4. Podstawowe formy Platona Ze złożenia odpowiedniej ilości trójkątów prostokątnych jednego rodzaju, Platon stworzył układ nazwany przez siebie „elementem matematycznym”. Elementy matematyczne Platona zbudowane z trójkątów prostokątnych różnoramiennych (A) oraz z trójkątów prostokątnych równoramiennych (B)
  • 5. Budulec wszelkiej materii Z odpowiedniej ilości jednakowych elementów matematycznych Platon utworzył pięć wielościanów foremnych, które filozof uznawał za budulec wszelkiej materii Bryły platońskie budujące kolejno żywioły ognia, powietrza, wody, ziemi oraz bliżej nieokreśloną cząstkę boską
  • 6. Wszechświat tworzą cztery elementy: ziemia, powietrze, woda, ogień Platon uznał, że atomy muszą mieć kształt najpiękniejszych brył, a więc wielościanów foremnych. Ponieważ brył takich jest pięć, filozof wymyślił piąty składnik materii: eter, z którego zbudowane są ciała niebieskie. Myśliciele od zawsze zastanawiali się, co jest tam gdzie nic nie ma. Długo panującą koncepcją na ten temat była koncepcja eteru wypełniającego cały wszechświat. Jednak naukowcy w XIX wieku zanegowali tę teorię jako bezzasadną i niemieszcząca się w materialistycznym pojęciu świata. Przyroda powstaje z bezkresu. Ale jak? Na zasadzie wyłaniania się przeciwieństw. Co powoduje ten proces? Powoduje go wieczny ruch ("WielkiWybuch"); Eter = piąty żywioł.
  • 7. • Bryła jest to ograniczona część przestrzeni. • Wielościan jest to bryła ograniczona ze wszystkich stron płaszczyznami. Jego wszystkie ściany są wielokątami. • Wielokąt foremny jest to wielokąt, który ma wszystkie boki równe oraz wszystkie kąty równe. • Wielościan foremny to wielościan, którego ścianami są wielokąty foremne. Czym są wielościany foremne? Pitagorejczycy, a później sam Platon, uważali, że cztery główne żywioły, które tworzą świat zbudowane są z wielościanów foremnych
  • 8. Sześcian – Platon uważał, że Ziemia utworzona miała być z sześcianów
  • 10. Czworościan symbolizował ogień Ogień, jako żywioł „najbardziej ruchliwy”, zbudowany jest z brył czworościanu foremnego
  • 12. Dwudziestościan symbolizował wodę Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) to najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Posiada 30 krawędzi i 12 wierzchołków
  • 13. Dwunastościan postrzegano go jako subtelne i tajemnicze tworzywo ciał niebieskich - eter Dwunastościanowi pitagorejczycy przypisali zarys wszechświata.W kosmologii Arystotelesa, który był uczniem Platona, dwunastościanowi przypisano piąty żywioł "ąuienta esentia" (istota rzeczy, najważniejszy element czegoś). - ETER Miał on być najdoskonalszym z żywiołów w strukturze wszechświata. Postrzegano go jako subtelne i tajemnicze tworzywo ciał niebieskich.
  • 14. Elementy wielościanów foremnych tabela do uzupełnienia Nazwa Liczba ścian i ich kształt Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan
  • 15. Elementy wielościanów foremnych Nazwa Liczba ścian i ich kształt Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościan 4 trójkąty 6 4 sześcian 6 kwadratów 12 8 ośmiościan 8 trójkątów 12 6 dwunastościan 12 pięciokątów 30 20 dwudziestościan 20 trójkątów 30 12
  • 16. Twierdzeniem Eulera o wielościanach wypukłych Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to w - k + s = 2 lub w + s = k+2 Szwajcarski banknot 10-frankowy, na cześć Eulera, najznakomitszego szwajcarskiego matematyka w historii
  • 17. Czy wyprowadzana zależność jest zasadna dla innych brył, niekoniecznie platońskich? o przystających ścianach, które nie są figurami foremnymi, np. trzydziestościan rombowy Wielościany Catalana wielokąt ma 30 ścian, 32 wierzchołki i 60 krawędzi. Zależność w + s = k+2 jest poprawna dla wszystkich wielokątów wypukłych
  • 18. Zadanie 2 Dodekaedr to dwunastościan, w którym wszystkie ściany są pięciokątami foremnymi. O bryle tej można powiedzieć, że: ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków krawędzi jest 50% więcej niż wierzchołków ma 28 krawędzi i 18 wierzchołków suma wierzchołków i ścian równa jest sumie krawędzi powiększonej o dwa
  • 19. Zadanie 3 Wielościany Catalana mają wszystkie ściany przystające, które nie są jednak wielokątami foremnymi. Jednym z takich wielościanów jest sześćdziestościan deltoidowy. Bryła ta ma: 60 wierzchołków 62 wierzchołki 58 wierzchołków 2 razy więcej krawędzi niż ścian
  • 20. Ciekawostka - Bryły niemożliwe Rysowanie na płaszczyźnie figur przestrzennych musi być podporządkowane pewnym regułom, aby obraz przedstawiony był zgodny z rzeczywistością. Nieprzestrzeganie tych reguł daje w efekcie powstanie figur niemożliwych.
  • 22. Claisebrook Roundabout w południowej Australii O tym, jak popularna i intrygująca jest ta figura, może świadczyć fakt, że trójkąt Penrose’a stał się inspiracją dla wielu budowli architektonicznych na naszym kontynencie Fot. 2.10. Prawdziwy model niemożliwego trójkąta.To, co zobaczone, zostało uchwycone fotograficznie Autor fotografi i: Bjorn ChristianTorrissen, bjornfree.com
  • 24. Schody Penrose’a. Rysunek przedstawia schody załamane czterokrotnie pod kątem 90 stopni. Nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie to, że schody prowadzą w górę, a jednak na górę po nich nie można wejść – ciągle wraca się do punktu wyjściowego. Jest to niemożliwe do wykonania w trzech wymiarach, ale dwuwymiarowy rysunek umożliwia przedstawienie tej paradoksalnej budowli dzięki zakłóceniu perspektywy.
  • 25. Ławka nieszczęśliwie zakochanych Dwoje młodych ludzi siedzących na jednej ławce. Zdawałoby się, że nic nie jest w stanie przeszkodzić im w spotkaniu. A jednak tym utrudnieniem jest ławka. Ławka? Ale jakim cudem? Przecież siedząc na ławeczce, nie mogą być już bliżej siebie. A jednak…
  • 26. Platon, Państwo, Księga 6, 510 DE. „Matematycy kreślą konkretne figury, na których prowadzą swoje argumentacje, ale myślą nie o tych, co właśnie kreślą, ale o tych idealnych, prawdziwych, pomyślanych, których żaden człowiek nie może inaczej zobaczyć, jak tylko myślą”