Black-Scholes Integral
Download as PPT, PDF
0 likes797 views
T端rev Fiyatlamalar脹 Stokastik S端re巽 olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Black-Scholes bunun en pop端ler uygulamas脹n脹 gelitirdiler Sunum form端llerin Geometrik Brown Hareketi denkeleminden nas脹l elde edildiini g旦steriyor.
![D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴
Do巽. Dr. Kutlu MER聴H
imdi w deerini aa脹daki gibi tan脹ml脹yal脹m;
2
2
)(
2
b
ay
yw
+=
2
22
2
2
22
b
aayy
b
yb +
+
=
2
222
22
b
aayyby +
=
( )
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
aby
b
y
+
+
=
.
Kuadratik ifadeyi tamamlayarak; 端s ifadesi normal
da脹l脹m 端ss端ne benzetilecektir.
( ) ( )[ ] ab
b
aby
b
a
b
aby
b
y
2
2 2
2
22
2
2
2
2
2
2
+
+
=+
+
.](https://image.slidesharecdn.com/bs-entegrali-150221053905-conversion-gate02/85/Black-Scholes-Integral-8-320.jpg)
![D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴
Do巽. Dr. Kutlu MER聴H
Bunu entegralde yerine koyarak;
( )[ ]
dye
b
e
X
ab
b
aby
rT
++
+
錚件７
錚
錚
錚錚
錚
錚
ln
2
2
1
2
22
2
1
2
1
( )[ ]
dye
b
e
X
b
aby
abrT
+
++
錚件７
錚
錚
錚錚
錚
錚
=
ln
2
22
2
1
2
2
1
2
1
.Eksponansiyel 端sleri yeniden d端zenleyerek;
b
aby
z
=
2
dy
b
dz
1
=
Entegralin i巽i b2
+a ortalama
ve b2
varyansl脹 genel normal
da脹l脹ma d旦n端t端.
imdi rutin ilemler ile bu
standart normal da脹l脹ma
d旦n端t端r端l端r.
dybdz =
.](https://image.slidesharecdn.com/bs-entegrali-150221053905-conversion-gate02/85/Black-Scholes-Integral-9-320.jpg)
Black-Scholes Integral
- 1. T端rev Fiyatlamas脹 ve Black-Scholes Modeli T端rev Fiyatlamalar脹 Stokastik S端re巽 olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Black-Scholes bunun en pop端ler uygulamas脹n脹 gelitirdiler Myron Scholes (Matematik巽i) ve Fischer Black (Fizik巽i)
- 2. Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Entegrali Do巽. Dr. Kutlu MER聴H
- 3. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Teorem (Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli) S0 senedin imdiki fiyat脹 ise ve X opsiyonun strike fiyat脹 ise, r risk-n旦tral bileik faiz haddi ise, T y脹l olarak s旦zleme s端resi ise, dayanak senedin standart sapmas脹 ise, ve N(d) kum端latif standart normal da脹l脹m ise, Black-Scholes form端l端 olarak bilinen ba脹nt脹lar aa脹daki gibi verilir. Td T TrXS d T TrXS d ),d.-rT) X.eN(dSc = + = ++ = = 1 )2/2()/ln( 2 )2/2()/ln( 1 (1 0 0 20
- 4. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H 聴spat: BSM diferansiyel denkelemi, 袖, partametresini ihtiva etmediinden, bir risk-neutral ortamda olduumuzu varsayabiliriz. Bu nedenle opsiyon fiyat脹 c; ( )( )( )0,rT T eXSMaxEc = Olarak verilir. Burada where ST termin tarihi T deki fiyat脹d脹r. Buna g旦re c fiyat脹 risk-free oran脹nda iskonto edilmi beklenen 旦demedir. ( )TTrSNST ,)(ln~ln 2 2 1 0 + Buradan, ST deerinin aa脹da matematik formu verilen bir lognormal Da脹l脹ma sahip olduunu daha 旦nce belirlemitik. T TrSS e TS Sf 2 2)2 2 1( 0 lnln 2 1 2 11 )( 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + =
- 5. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H ( ) ( ) ( ) + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = = 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚駈 錚 錚 = 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 x x dST TrSS e TS XSrTe SdFXSrTe SdF rTeXTSMaxEc 2 2)2 2 1(0lnln 2 1 2 11 )( fonk.dist.lognormal)( 0,
- 6. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H y = ln S deiken d旦n端端m端n端 yapal脹m. Buna g旦re dy=(1/S)dS; - . + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + 錚 錚 錚 錚 錚 錚= + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚件７ 錚 錚 錚 錚錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚件７ 錚 錚 錚 錚錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚件７ 錚 錚 錚 錚錚 錚 錚 錚 X dyT TrSy e T rTXe dyX T TrSy e T y erTe X dyT TrSy e T X y erTec ln 2 2)2 2 1( 0 ln 2 1 2 1 ln 2 2)2 2 1(ln 2 1 2 1 ln 2 2)2 2 1(ln 2 1 2 1 0 0
- 7. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H ( )TrSa 2 2 1 0ln += Olsun ve a ve b2 c ba脹nt脹s脹nda yerine konarak; Tb 22 = ( ) ( ) 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = X b ay rT X b ay yrT dye b Xe dye b eec ln ln 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 - ( ) dye b ee X b ay yrT 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 ln 2 2 2 1 2 1 ( ) dye b e X b ay y rT 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = ln 2 2 2 1 2 1 ( ) dye b e X b ay y rT 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = ln 2 2 1 2 2 2 1 . 聴ki enetegralin fark脹 olur. imdi iki entegrali ayr脹 ayr脹 deerlendirelim
- 8. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H imdi w deerini aa脹daki gibi tan脹ml脹yal脹m; 2 2 )( 2 b ay yw += 2 22 2 2 22 b aayy b yb + + = 2 222 22 b aayyby + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b a b aby b y + + = . Kuadratik ifadeyi tamamlayarak; 端s ifadesi normal da脹l脹m 端ss端ne benzetilecektir. ( ) ( )[ ] ab b aby b a b aby b y 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 + + =+ + .
- 9. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Bunu entegralde yerine koyarak; ( )[ ] dye b e X ab b aby rT ++ + 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 ln 2 2 1 2 22 2 1 2 1 ( )[ ] dye b e X b aby abrT + ++ 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = ln 2 22 2 1 2 2 1 2 1 .Eksponansiyel 端sleri yeniden d端zenleyerek; b aby z = 2 dy b dz 1 = Entegralin i巽i b2 +a ortalama ve b2 varyansl脹 genel normal da脹l脹ma d旦n端t端. imdi rutin ilemler ile bu standart normal da脹l脹ma d旦n端t端r端l端r. dybdz = .
- 10. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Tekrar entegralde yerine koyarak; dzee b abX zabrT ++ + 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 )2(ln 2 2 12 2 1 2 1 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 ++ = ++ b abX Ne abrT 2 ln2 2 1 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 +++ = +++ T TrSTX Ne TrSTrT )(lnln 2 2 1 0 2 )(ln 2 2 1 0 2 2 1 ( ) ( )101 ln 2 2 1 ln 0 0 0 )(ln dNSdNe T Tr Ne SX S S == 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 ++ = . Bu ilk entegrali sonuca ulat脹r脹r Eksponansiyelin 端ss端 k脹salt脹larak;
- 11. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H imdi ikinci entegral ile ilgilenirsek; ( ) 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 X b ay rT dye b Xe ln 2 2 2 1 2 1 .Z deerini aa脹daki gibi tan脹mlayal脹m; b ay z )( = Buna g旦re; dy b dz 1 = bdz = dy .
- 12. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Bunlar脹 entegralde yerine koyarak; 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 b aX bdze b Xe zrT ln 2 2 1 2 1 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = b aX bdze b Xe zrT ln 2 2 1 2 1 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = b aX NXe rT ln 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = T TrSX NXe rT )(lnln 2 2 1 0 ( )2 2 2 1 )(ln 0 dNXe T Tr NXe rTX S rT = 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + = . Elde ederiz.
- 13. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Sonu巽 olarak; ve . (6) ba脹nt脹s脹 opsiyon fiyatlamada Black-Scholes form端l端 olarak bilinir (6) Td T TrXS d T TrXS d )d) X.eN(dSc 2 -rT 1 = + = ++ = = 1 0 1 0 )2/2()/0ln( 2 )2/2()/ln( (
- 14. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H Karma脹kl脹脹n Arkas脹ndaki Deiken D旦n端端m端 Bu olduk巽a karma脹k gibi g旦r端nen matematik ilemler asl脹nda basit bir entegral alma ilemini yans脹t脹yor. Beklenen deer entegralindeki lognormal da脹l脹m脹 旦nce bir deiken d旦n端端m端 ile normale d旦n端t端rd端k ve doal olarak s脹n脹rlar脹 deiti. Sonra yine bir deiken d旦n端端m端 ile bunu standart normale d旦n端t端rd端k ve s脹n脹rlar yine deiti. 脹kan sonu巽 Blac-Scholes-Merton opsiyon fiyatlama form端l端 oldu. Buradan ayn脹 mekanizma ile fakat farkl脹 balang脹巽 da脹l脹m fonksiyonu kabul ile farkl脹 form端lasyonlar elde edebileceimizi g旦r端yoruz.
- 15. D聴FUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMAT聴聴 Do巽. Dr. Kutlu MER聴H S C =隆 Rho Changes in the risk-free borrowing rate Theta 慮Decay of time to maturity Vega 僚Changes in volatility of share values Gamma: 粒 or Changes in delta(convexity) Delta: 隆 or Changes in the value of underlying shares Greek orFormulaRisk Factor 2 S C =粒 僚 = C T C =慮 r C =