z変換をやさしく教えて下さい （音響学入門ペディア）
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信号処理の基礎であるz変換について、ざっくり説明しています。信号処理の初学者向け。 twitter: @forthshinji
![日本音響学会 音響学入門ペディア shinnosuke-t [at] is.naist.jp
高道 慎之介
（奈良先端科学技術大学院大学，学生?若手フォーラム幹事会）
日本音響学会 2013年 秋季研究発表会
音響学入門ペディアセッション
Q2. z変換をやさしく教えて下さい](https://image.slidesharecdn.com/bs13aq2-150606102027-lva1-app6891/85/z-1-320.jpg)
z変換をやさしく教えて下さい （音響学入門ペディア）
- 1. 日本音響学会 音響学入門ペディア shinnosuke-t [at] is.naist.jp 高道 慎之介 （奈良先端科学技術大学院大学，学生?若手フォーラム幹事会） 日本音響学会 2013年 秋季研究発表会 音響学入門ペディアセッション Q2. z変換をやさしく教えて下さい
- 2. /12 はじめに 2 “時間信号 x(n) のz変換 X(z) は，….で与えれられる。” “z-1は時間遅れを表す” “零点と極” “伝達関数” “安定性” “フーリエ変換との関係” 本スライドではこれらの疑問に答えてきます！ 色々なキーワードが出てくるけど，結局z変換って何なの？ z変換した結果と実際の音波ってどんな関係があるの？ z変換を学ぶ機会は少なからずあったはず
- 3. Z変換って何なの？ 3
- 5. /12 フーリエ変換 5 ? ?tjA 11 exp ? 時間波形 ? ?tx 波1 波2 ? ?tjA 22 exp ? 時間 周波数（振動の速さ）振幅（振動の大きさ） * 位相（振動の時間遅れ）もあるが省略 フーリエ変換とは??? 時間波形を の波の足し合わせで表現する方法 時間的に一定の振幅で周期振動する波 時間波形って振動するだけなのか？ ラプラス変換の導入 ? ?tj?exp 指数部が虚数だと、振動する波
- 6. /12 ラプラス変換 6 ? ?tjA )0(exp 11 ?? 時間波形 ? ?tx 波1 波2 時間 波3 ? ?tjA )(exp 333 ?? ?? ?tjA )(exp 222 ?? ? 振動の周波数 増加 (σ>0) ?減衰 (σ<0)の周波数 ラプラス変換とは??? 時間波形を の波の足し合わせで表現する方法 時間的に振幅が増加/減衰しながら振動する波 デジタル計算機で処理できないか？ ? ?tj )(exp ?? ? 離散時間に対応する 手法が登場 指数部が複素数だと、振動?増加/減衰
- 8. /12 z変換 8 n zzX 11)( 時間波形 ? ?nx 波1 波2 離散時間 波3 n zzX 33 )(n zzX 22 )( 振幅（?位相） z変換とは??? 離散時間波形を の波の足し合わせで表現する手法 時間的に振幅が増加/減衰しながら振動する波 z変換という呼び方は，連続時間のラプラス変換（s変換）に対応 ? ?nn jbaz ?? ? ? ? ? ? ?njAjA jbaz n nn )(lnexp)exp( ?? ??? ?? 増加/減衰 振動
- 10. /12 収音された音波とそのz変換 10 以下の部屋で収音された音波のz変換を考えよう 音源 マイクロホン 直接到達する音波 収音後，反射してもう一度収音される音波 収音された時間波形をz変換してみよう 振幅 時間 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ???? ?nx n ? ? ...)8( 4 1 )4( 2 1 1 ?????? nnnx ?? 0 4 8 12 16 ? ? ... 4 1 2 1 1 84 ???? ?? zzzX z変換 *z変換がこうなる理由は省略 （少し後述）
- 11. /12 収音された音波とそのz変換 （Cont’d） 11 式を変形してみよう ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 0 4 484 2 1 1 1 2 1 ... 4 1 2 1 1 n n z zzzzX X(z) （波zの振動の振幅（と位相））を解析してみよう 振幅が0となる波z (=> Q(z)=0となるz) 振幅が∞となる波z (=> P(z)=0となるz) 音波を繰り返し 収音した時の形 X(z)の一般式を考えてみよう ? ? )( )( zP zQ zX ? 例： 共振による反復的な収音により発生 例： 反射?散乱による信号の遅延により発生 零点と呼ばれ，波の打ち消しを表す 極と呼ばれ，波の増幅を表す
- 12. /12 まとめ ? z変換についての疑問点について解説 ? 疑問点①： 結局z変換って何なのか？ – z = a + jbとは，離散時間における波を表す – z変換とは，時間波形を増加/減衰?振動する波（z）の足し合わせで 表現する手法 ? 疑問点②： 音波とz変換の関係って何なのか？ – 音波の挙動によって，式の形が変化 ? 音波が反復的に収音されると，X(z)は分母を含む ? （音波が遅れて収音されると，X(z)は分子を含む） 12
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- 15. /12 波の遅れが生み出すもの 波の遅れがあると何が生み出されるのか？ 時間 振幅 時間 振幅 T ? ?t?sin ? ? )sin()(sin ??? ??? tTt 時間遅れでθ = ωTが生じる フーリエ?z変換ではどうなる？ 連続時間 T だけ遅れた時のフーリエ変換では??? 離散時間 N だけ遅れた時のz変換では??? Tの時間遅れ ? ?tj?exp ? ?? ? ? ? ? ?TjtjTtj ??? ??? expexpexp 時間遅れで生じる ? ?njAzn )(lnexp ??? ? ? ? ? ? ? Nn zz NjAnjA NnjA ? ? ???? ?? )(lnexp)(lnexp ))((lnexp ?? ? 時間遅れで生じる
- 16. /12 Acknowledgement ? 貴重なご助言?ご指導を頂きました – 電気通信大学 羽田 陽一様 – NICT 岡本 拓磨様 – NTT 鎌土 記良様 – 音響学入門ペディア作成委員会，学生?若手フォーラムの皆様 16