2. 第一節 常態分 的特性 （佈 1 ）
? 如果調 台灣查 1000 位成年男性的身高，將會
發現身高特別高和特別低的人佔極少數，絕大
多數的人身高都在中間（例如 170 公分）附近
。
? 如果這 1000 人的平均身高是 170 公分，那麼
身高離 170 公分越遠的人，所佔的比例就越
少。簡單的說，大略呈現以 170 公分為中心，
並往兩旁遞減的分 圖。如下圖所示。佈
4. 第一節 常態分 的特性 （佈 2 ）
? 如果調 的是體重、收入、智力等變項，也很查
可能出現類似上圖的分 。佈
? 上圖的分 是間斷的，可是理論上身高是連續佈
的，因為任何兩個人之間，存在第三個人，其
身高介在他們之間。
? 如果調 更多的人（如查 10 萬人），那麼上圖
的長條圖中間斷現象逐漸會消除。一旦調 人查
數非常之大，那麼上圖的長條圖會變成平滑的
曲線圖，如下圖中的平滑曲線所示。
6. 第一節 常態分 的特性 （佈 3 ）
? 上圖的平滑線左右對稱，好像一座山，或者類
似「銅鐘」的形狀。也就是中間最高，往兩旁
遞減，這就是所謂的常態分 （佈 normal
distribution ）。
? 由於是左右對稱，且由中間往兩旁遞減，因此
中心點最高的位置就是平均數，也就是 數、眾
和中位數，三者合而為一。
? 常態分 是連續的曲線，但是現實中，並沒有佈
連續的曲線存在。頂多只是類似常態分 ，可佈
是當樣本數很大時，會越接近常態分 。佈
7. 第一節 常態分 的特性 （佈 4 ）
? 早在 18 世紀就有數學家和天文學家開始探討
這樣的一條曲線。德國天文家兼數學家高斯
（ Carl Friedrich Gauss ， 1777-1855 ）利用常
態分 研究天文學觀察中誤差的分 情形，因佈 佈
此常態分 又稱高斯分佈 佈。
? 後來高登爵士（ Sir Francis Galton, 1822-
1911 ）將高斯分 用於心理測驗的研究中。佈
? 另一位著名的數學和統計學家 Karl Pearson
（ 1857-1936 ）將高斯分 稱為常態分 。佈 佈
8. 第一節 常態分 的特性 （佈 5 ）
? 這條曲線的數學函數為
? 其中? = 3.1416 ， e 是自然對數之底
2.7183 ， X 介在正負無限大，?是平均數，?
是標準差。一旦確定平均數和標準差後，帶入
公式算得 f(X) 。
( )
2
2
1
2
2
1
,;
?
?
?
?
?
? ?
?
== σ
?
πσ
σ?
X
eXfY
9. 第一節 常態分 的特性 （佈 6 ）
? 要決定常態分 的形狀，就必須知道平均數佈 ?
和變異數??
（或者標準差?）。常態分 取決佈
於兩個參數（ parameter ）：?和??
。
? 只要設定這兩個參數，就可以畫出那條常態分
曲線。只要佈 ?或??
不同，曲線就不同。
? 這也就是為何在上述公式裡，表明
? 其中分號後面代表的就是決定這個函數的參數。
假如變數 X 服從常態分 ，平均數為佈 ?，變異
數為? 2
，則寫成： X ~ N(?, σ2
) ，其中 ~ 表示
服從， N 表示常態分 。佈
),;( 2
σ?Xf
10. 第一節 常態分 的特性 （佈 7 ）
? 下圖（機率密度函數圖， probability density
function plot ）呈現三條常態分 曲線，其中佈 A
曲線的平均數和標準差分別為 170 和 5 ， B 曲
線的平均數和標準差分別為 175 和 5 ， C 曲線
的平均數和標準差分別為 170 和 10 。
? 比較 A 和 B ，可以發現當平均數不同而標準差
相同時，整個曲線只是位移而已。
? 比較 A 和 C 可以發現如果標準差不同，整個圖
形就改變了，即使他們的平均數相同。例如 C
便得比 A 來得平坦多了，那是因為 C 的標準差
遠比 A 來得大所致。
12. 第一節 常態分 的特性 （佈 8 ）
? 如果是間斷變項，例如骰子出現的點數，那麼
就可以說出現 3 點的機率（ probability ）是
1/6 ，即 p(X = 3) = 1/6 。
? 換做連續變項，不宜宣稱 X 等於某個 的機率值
。
? 假如把身高當作連續變項，那麼身高是 170 公
分整的機率是多少？嚴格的說，在連續變項中
任何一點出現的機率都是 0 ，因此 170 公分整
的機率等於 0 。
13. 第一節 常態分 的特性 （佈 9 ）
? 連續變項既然無點出現的機率，改稱為機率密
度（ probability density ）。在平均數為 170 ，
標準差為 5 的常態分 中佈 170 的機率密度等於
? ( ) 0798.0
25
1
170
2
5
170170
2
1
==
?
?
?
?
?
? ?
?
ef
π
14. 第一節 常態分 的特性佈
（ 10 ）
? 機率密度函數圖只能看出各個點的機率密度，
但機率密度無多大意義，因此該圖並不實用。
? 對使用者而言，不關心 170 公分的機率密度，
而是關心 170 公分以下的機率，或是 165 至
175 的機率，因此應該換另外一個能 呈現這夠
種意義的圖。
? 就數學而言，要得到這樣的圖，必須透過積分
以計算某段區間的面積。令整個曲線所涵蓋面
積為 1 ，那麼某段區間所佔的面積就是該區段
的機率。
15. 第一節 常態分 的特性佈
（ 11 ）
? 下圖呈現常態分 （平均數佈 170 ，標準差 5 ）
的累積分 函數圖（佈 cumulative distribution
function ）。
? 如果要計算 170 公分以下的機率，就直接從
170 處往上劃至該曲線，然後往左劃，即可算
得。同理，要計算任何一個區段（如 165 至
175 ）的面積，也可如此，輕易算得機率了。
17. 第一節 常態分 的特性佈
（ 12 ）
? 如果要計算 170 公分以下的機率，就直接從
170 處往上劃至該曲線，然後往左劃，即可算
得。同理，要計算任何一個區段（如 165 至
175 ）的面積，也可如此算得機率。
? 不過畢竟要如此計算機率，必須先有此累積分
函數圖。可惜，通常不易獲得該圖。此外用佈
畫線的方式也只能得到粗略的數 。值
18. 第一節 常態分 的特性佈
（ 13 ）
? 一般的統計學教科書的附錄裡，都可以 到常查
態分 的機率密度函數和累積分 函數。佈 佈
? Excel 的函數 NORMDIST 和 NORMINV ，直
接可以 詢。 例如要 詢平均數為查 查 170 ，變異
數為 25 的常態分 ，寫成佈 N(170, 25) ， 170 的
機 率 密 度 ， 就 鍵 入
「 =NORMDIST(170,170,5,FALSE) 」得機率密
度為 0.0798 。
? 其中 NORMDIST 就是 詢常態分 的函數，查 佈
第一個 170 就是要 的數 ，第二個查 值 170 為該
常態分 的平均數，佈 5 是標準差， FALSE 表
示要 的是機率密度。查
19. 第一節 常態分 的特性佈
（ 14 ）
? 若要 負無限大到查 170 的機率（同樣是 N(170,
25) ），鍵入
? 「 =NORMDIST(170,170,5,TRUE) 」 ， 其 中
TRUE 表示要 的是累積機率，得到查 0.5 。這
表示在平均數為 170 ，變異數為 25 的常態分
中，負無限大到佈 170 的機率就是 0.5 ，也就
是說 170 左邊的面積佔 0.5 。
20. 第一節 常態分 的特性佈
（ 15 ）
? 假 如 我 們 會 想 知 道 中 間 的 80% （ 或
90% ， 95% 等）的成年男子的身高介在那裡至
那裡之間。如果身高是平均數 170 ，標準差 5
的常態分 ，那麼佈 80% 的成年男子的身高將介
於 170± 某個範圍。以平均數 170 為中心點，
左右兩邊各佔 40% ，合計 80% 。
? 這可利用下圖的累積分 函數圖窺知。在佈 Y 軸
上的 0.1 和 0.9 處往右劃至曲線，再往下劃至 X
軸即得，分別為 164 和 176 。身高在 164 和
176 之間的人佔 80% 。
22. 第一節 常態分 的特性佈
（ 16 ）
? 上圖的作法等於在計算累積分 函數的反函數佈
， Excel 提供了這項函數 NORMINV 。
? 我們要算從分 的左邊起算，面積為佈 0.1 的數
是多少，以及面積為值 0.9 的數 為多少。值
? 鍵入「 =NORMINV(0.1,170,5) 」得 163.59 ，
這表示在平均數為 170 ，標準差為 5 的常態分
中，左邊起算到佈 163.59 的面積為 0.1 。
? 鍵入「 =NORMINV(0.9,170,5) 」得 176.41 ，
這表示從左邊起算至 176.41 的面積為 0.9 。因
此在 163.59 到 176.41 的數 占的面積為值 0.8 。
23. 第一節 常態分 的特性佈
（ 17 ）
? 例子 1
? 如果全國成年男性的身高為常態分 （嚴格的佈
說是非常近似常態分 ），平均數為佈 170 ，標
準差為 5 。身高在平均數上下 0.5 個標準差的
人約佔多少？在平均數上下 1 個標準差的人約
佔多少？在平均數上下 1.645 個標準差、上下
1.96 個標準差、上下 3 個標準差的人約佔多少
？
24. 第一節 常態分 的特性佈
（ 18 ）
? 作法
? 已知 1 個標準差為 5 ，因此在平均數上下 0.5
個標準差的數 就是值 170±2.5 。即 167.5 和
172.5 。
? 從負無限大到 167.5 的面積為 0.31 ，這可以利
用 NORMDIST 函 數 求 得 ， 鍵 入
「 =NORMDIST(167.5,170,5,TRUE) 」 。 由 於
常態分 是左右對稱，因此從佈 172.5 到無限大
的面積也是 0.31 。扣除兩邊面積各 0.31 後，
中間 167.5 到 172.5 的面積就是 0.38 。
25. 第一節 常態分 的特性佈
（ 19 ）
? 平均數上下 1 個標準差的數 為值 165 和 175 。
從負無限大到 165 的面積為 0.16 ，從負無限大
到 175 的面積為 0.84 。因此在平均數上下 1
個標準差之間的面積 0.68 。
? 平均數上下 1.645 個標準差的數 為值 161.775
和 178.225 。從負無限大到 161.775 的面積為
0.05 ，從負無限大到 178.225 的面積為 0.95 。
因此在平均數上下 1.645 個標準差之間的面
積就是 0.90 。
26. 第一節 常態分 的特性佈
（ 20 ）
? 平均數上下 1.96 個標準差的數 為值 160.2 和
179.8 。從負無限大到 160.2 的面積為 0.025 ，
從負無限大到 179.8 的面積為 0.975 。 平均數
上下 1.96 個標準差之間的面積就是 0.95 。
? 平均數上下 3 個標準差的數 為值 155 和 185 。
從負無限大到 155 的面積為 0.0014 ，從負無限
大到 185 的面積為 0.9987 。因此在平均數上下
3 個標準差之間的面積就是 0.9973 。
27. 第一節 常態分 的特性佈
（ 21 ）
? 對任何的常態分 而言，平均數上下佈 0.5 個標
準差之間的面積為 0.38 ；上下 1 個標準差之
間的面積為 0.68 ；上下 1.645 個標準差之間的
面積為 0.90 ；上下 1.96 個標準差之間的面積
為 0.95 ； 上 下 3 個 標 準 差 之 間 的 面 積 為
0.997 。
28. 第一節 常態分 的特性佈
（ 22 ）
? 例子 2
? 假設某廠牌汽車電池的壽命是常態分 ，平均佈
數為 800 天，標準差為 100 天。現隨機抽取一
個汽車電池，其壽命小於 500 天的機率有多大
？大於 1000 天的機率有多大？介於 700 天至
900 天的機率有多大？
? 如果該公司想訂定一個保固期，在保固期限內
可以免費更換電池，公司最多可以承擔 1% 的
免費更換，保固期應該定多久？
29. 第一節 常態分 的特性佈
（ 23 ）
? 作法
? 鍵入「 =NORMDIST(500,800,100,TRUE) 」得
0.001 ，因此小於 500 天的機率為 0.001 。
? 鍵入「 =NORMDIST(1000,800,100,TRUE) 」得
0.977 ，這是小於 1000 天的機率。大於 1000
天的機率為 1 – 0.977 = 0.023 。
30. 第一節 常態分 的特性佈
（ 24 ）
? 鍵入「 =NORMDIST(700,800,100,TRUE) 」得
0.159 。 鍵 入 「 =NORMDIST(900,800,100,
TRUE) 」得 0.841 。介於 700 天到 900 天的機
率就是 0.841 – 0.159 = 0.683 。
? 由於最多承擔 1% 的免費更換，等於要找到一
個電池壽命的天數， 其左邊的面積為 1% 。鍵
入「 =NORMINV(0.01,800,100) 」得 567 天。
電池壽命小於 567 天的機率為 1% 。
31. 第二節 標準常態分佈（ 1 ）
? 標準常態分 （佈 standard normal distribution ）
，又稱 Z 分 ，就是將平均數訂為佈 0 ，變異數
訂為 1 的常態分 。佈
? 任何常態分 都可以換做標準常態分 ，只要佈 佈
它的 減去平均數再除以標準差。即值
σ
??
=
X
Z
32. 第二節 標準常態分佈（ 2 ）
? 此 Z 變項所形成的分 稱為標準常態分 ，又佈 佈
稱 Z 分 。此分 的機率密度函數為：佈 佈
( ) 2
2
2
1
Z
eZf
?
=
π
( ) 2
2
2
1
Z
eZf
?
=
π
34. Z 分 的機率密度函數佈Z 分 的機率密度函數佈Z 分 的機率密度函數佈
Z 分 的累積分 函數圖佈 佈
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Z
F(Z)累積分佈函數
35. 第二節 標準常態分佈（ 3 ）
? 對 Z 分 而言，其 介於佈 值 ±0.5 的機率為
38% ；其 介於值 ±1 的機率為 68% ；介於
±1.645 的機率為 90% ，介於 ±1.96 的機率為
95% ，介於 ±3 的機率為 99.7% 。
? 定義 zα/2
為 Z 分 「右邊」起算面積為佈 ?? 2 的
z ，如下圖所示，由於值 Z 分 左右對稱於佈
0 ，因此
? z1?α/2
= - zα/2
? Z 介於 - zα/2
是 zα/2
的機率為 1- α ：
? P(- zα/2
< Z < zα/2
) = 1- α
37. 第二節 標準常態分佈（ 4 ）
? 利用 Excel 計算 Z 分 的累積分 函數及其反佈 佈
函數，除了可以援用上述常態分 的函數佈
NORMDIST 和 NORMINV 外（此時請鍵入平
均數 0 ，標準差 1 。）還可以利用
NORMSDIST 和 NORMSINV 。
? 不過若要計算 Z 分 的機率密度函數，還得用佈
NORMDIST ，因為 NORMSDIST 只能計算累
積分 函數。佈
38. 第二節 標準常態分佈（ 5 ）
? 在進行線性轉換之前， X 變項是常態分 ，由佈
於線性轉換不會改變其分 形狀，因此佈 Z 變項
仍是常態分 。佈
? 如果 X 變項原本就不是常態分 ，即使進行線佈
性轉換成為 Z 變項，並不使得 Z 變項變為常態
。
39. 第三節 峰度與偏態 （ 1 ）
? 峰度（ kurtosis ）和偏態（ skewness ）常被分
別用於描述資料分 的高度和左右對稱性。佈
? 常態分 的峰度等於佈 0 。如果資料的峰度大於
0 ，那麼該資料的分 較高聳且狹窄，稱為高佈
狹峰分 （佈 platykurtic distribution ）。
? 如果峰度小於 0 ，資料的分 較平坦且 闊，佈 寬
稱為低闊峰分 （佈 leptokurtic distribution ）。
41. 第三節 峰度與偏態 （ 2 ）
? 峰度的公式是
? 如果是樣本的話，峰度為：
3
)(
4
4
?
?
σ
?XE
( )
( )( )( )
( )
( )( )32
13
321
1
24
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
???
+
∑ NN
N
S
XX
NNN
NN i
42. 第三節 峰度與偏態 （ 3 ）
? Excel 資料分析的「敘述統計」功能可計算峰
度。
? 或利用 KURT 的函數。例如資料為 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7 ，鍵入「 =KURT(1,2,3,4,5,6,7) 」就得峰
度 -1.2 。該 小於值 0 ，因為 1 到 7 這些 的分值
比常態分 來得平坦。佈 佈
? 如果數 換為值 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3 ，此 7 個 的分值
中間非常 峭（佈 陡 2 的次數非常多），鍵入
「 =KURT(1,2,2,2,2,2,3) 」得峰度為 3 。
43. 第三節 峰度與偏態 （ 4 ）
? 偏態也和峰度一樣在描述資料分 的形狀，如佈
果分數往右邊延伸，其偏態 會大於值 0 ，故稱
正偏態或右偏態。
? 如果分數往左邊延伸，偏態 小於值 0 ，故稱負
偏態或左偏態；如果對稱分 ，偏態 等於佈 值
0 。
? 第三章變異量數的圖 2(c) 就是負（左）偏態，
2(d) 則是正（右）偏態。
44. 第三節 峰度與偏態 （ 5 ）
? 偏態的公式為
? 如果是樣本的話，則是：
3
3
)(
σ
??XE
( )( )
3
21
∑ ??
?
?
??
?
? ?
?? S
XX
NN
N i
45. 第三節 峰度與偏態 （ 6 ）
? Excel 的 SKEW 的函數可用來計算偏態。
? 例如資料為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ，鍵入
「 =SKEW(1,2,3,4,5,6,7) 」得偏態為 0 。
? 數 換為值 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4 ，此 7 個 左邊（數值
較小者）較多，右邊較少，因此是右偏態。值
鍵入「 =SKEW(1,1,1,1,2,3,4) 」得偏態為
1.15 。
? 如果是 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4 ，此 7 個 右邊（數值 值
較大者）較多，左邊較少，因此是左偏態，鍵
入「 =SKEW(1,2,3,4,4,4,4) 」得偏態為 -1.15 。
