�ݺ�ߣ

A. TÝnh chÊt luü thõa bËc hai:
Ngay tõ líp 7 häc sinh ®· biÕt nhËn xÐt vÒ dÊu cña mét
sè cã luü thõa ch½n n¾m ®îc tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai
“B×nh ph¬ng hay luü thõa bËc hai cña mäi sè ®Òu kh«ng
©m”
(*)
DÊu “=” x¶y ra khi a = 0.
Líp 8 häc sinh ®· ®îc lµm quen víi h»ng ®¼ng thøc:
(A - B)2
= A2
– 2AB + B2
NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th×
ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc (I)
gióp häc sinh rÌn luyÖn t duy vµ h×nh thµnh ph¬ng ph¸p
chøng minh còng nh c¸ch thøc ®Ó h×nh thµnh bÊt ®¼ng thøc
míi tõ bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I):
(a – b)2
≥ 0 ⇔ a2
+ b2
≥ 2ab
⇒
ë c¶ 3 B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y ra khi a = b.
B. Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai.
I/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (I): (a – b)2
≥ 0
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã thÓ ®æi biÕn ®Æt A = ay; B =
bx khi ®ã (I) trë thµnh: (ay – bx )2
≥ 0 ∀a, b, x,
y
DÊu “=” x¶y ra khi ay = bx ⇔ y
x
b
a
=
Khai triÓn vµ biÕn ®æi: a2
y2
– 2axby + b2
x2
≥ 0
⇔ a2
y2
+ b2
x2
≥ 2axby
⇔ a2
y2
+ b2
x2
+a2
x2
+ b2
y2
≥ a2
x2
+
2axby + b2
y2
1
A2
≥ 0
∀a
a
b
b
a
+ ≥ 2
(II)
(a + b)2
≥ 4ab
(A - B)2
≥ 0 ∀A,B
(I)

⇔ (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
Nh vËy ta cã bµi to¸n:
1.Bµi to¸n 1:
Chøng minh r»ng : (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 bé sè a, b, vµ
x, y)
§Ó kh¾c s©u çc ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ta
sÏ chøng minh bµi to¸n b»ng nhiÒu çch
- Ph¬ng ph¸p 1: Dïng ®Þnh nghÜa : A > B ⇔ A – B > 0.
+ LËp hiÖu A – B.
+ Chøng tá A – B > 0.
+ KÕt luËn A > B.
+ Çch 1 : XÐt hiÖu : (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) – (ax + by)2
= a2
x2
+ a2
y2
+ b2
x2
+ b2
y2
- a2
x2
- b2
y2
–
2axby
= a2
y2
- 2axby + b2
x2
= (ay - bx)2
≥ 0 lu«n ®óng ∀ a, b,
x, y.
VËy (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
DÊu “=” x¶y ra khi y
x
b
a
=
- Ph¬ng ph¸p 2 : PhÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.
+ BiÕn ®æi A > B ⇔ A1 > B1 ⇔ A2 > B2 ⇔ …
⇔ (*)
+ VËy A > B.
+ Çch 2 : Ta cã (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
⇔ a2
x2
+ a2
y2
+ b2
x2
+ b2
y2
≥ a2
x2
+ 2·by + b2
y2
⇔ a2
y2
- 2axby + b2
x2
≥ 0
⇔ (ay – bx)2
≥ 0 lu«n ®óng ∀ a, b, x, y.
DÊu “=” x¶y ra khi y
x
b
a
=
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lµ ®óng.
VËy (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
2

- Ph¬ng ph¸p 3 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt
+ Çch 3 : Ta cã (ay - bx)2
≥ 0
⇔ a2
y2
– 2aybx + b2
x2
≥ 0
⇔ a2
x2
+ a2
y2
+ b2
x2
+ b2
y2
≥ a2
x2
+ 2·by + b2
y2
(céng 2
vÕ a2
x2
, b2
y2
).
⇔ (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
- Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng.
+ Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn.
+ Suy ra ®iÒu m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt hoÆc ®iÒu ®·
biÕt.
+ Gi¶ sö sai – kÕt luËn ®óng.
+ Çch 4: Gi¶ sö (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) < (ax + by)2
⇔ a2
x2
+ a2
y2
+ b2
x2
+ b2
y2
< a2
x2
+ 2·by + b2
y2
⇔ a2
y2
– 2aybx + b2
x2
< 0
⇔ (ay - bx)2
< 0. V« lý
VËy (a2
+ b2
)(x2
+ y2
) ≥ (ax + by)2
Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn trong 4 çch gi¶i bµi to¸n
1 lµ 4 ph¬ng ph¸p th«ng thêng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc.
Khai th¸c tiÕp tôc bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã:
(ay - bx)2
≥ 0
(az - cx)2
≥ 0 ⇒ (ay - bx)2
+ (az - cx)2
+ (cy -
bz)2
≥ 0
(cy - bz)2
≥ 0
Khai triÓn, chuyÓn vÕ céng vµo 2 vÕ B§T : a2
x2
+ b2
y2
+
c2
z2
ta ®îc:
a2
x2
+a2
y2
+a2
z2
+b2
x2
+b2
y2
+b2
z2
+c2
x2
+c2
y2
+c2
z2
≥a2
x2
+b2
y2
+c2
z2
+2axby+2ax
cz+2bycz
⇔ (a2
+ b2
+ c2
)(x2
+ y2
+ z2
) ≥ (ax + by +cz)2
2.Bµi to¸n 2 :
CMR : (a2
+ b2
+ c2
)(x2
+ y2
+ z2
) ≥ (ax + by +cz)2
3

( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z).
Gi¶i
XÐt hiÖu : (a2
+ b2
+ c2
)(x2
+ y2
+ z2
) - (ax + by +cz)2
=a2
x2
+a2
y2
+a2
z2
+b2
x2
+b2
y2
+b2
z2
+c2
x2
+c2
y2
+c2
z2
- a2
x2
- b2
y2
- c2
z2
-
2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2
y2
-2abxy+b2
x2
)+(a2
z2
–2acxz+c2
x2
)+(b2
z2
-2bcyz+ c2
y2
)
=(ay - bx)2
+ (az - cx)2
+ (cy - bz)2
≥ 0
DÊu “=” x¶y ra khi z
c
y
b
x
a
==
B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T
Bunhiac«pxki tæng qu¸t:
(a2
1 + a2
2 +…+ a2
n)(x2
1 + x2
2 +…+ x2
n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+
anxn )2
DÊu “=” x¶y ra khi
n
n
x
a
x
a
x
a
=== ...
2
2
1
1
§Ó ý r»ng nÕu a vµ x lµ 2 sè nghÞch ®¶o cña nhau th× ax
= 1 (x =
a
1
)
Tõ bµi to¸n 2 ta cã thÓ ®Æt ra bµi to¸n:
3.Bµi to¸n 3:
Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng
Chøng minh r»ng: (a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
) ≥ 9
Gi¶i
Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki):
(a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
) ≥ )
111
(
c
c
b
b
a
a ++ 2
⇔ (a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
) ≥ 32
= 9
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (x+ y+ z)(
x
1
+ y
1
+
z
1
)≥ 9
§Æt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta ®îc B§T:
2(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)≥ 9
⇔ (
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
+3) ≥ 9
⇔
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
≥
2
3
4

Bµi to¸n t×m ®îc:
4.Bµi to¸n 4:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng CMR:
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
≥
2
3
Gi¶i
¸p dông bµi to¸n 2 tacã:
(a+b+c+b+c+a)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)≥ )
111
(
ac
ac
cb
cb
ba
ba
+
++
+
++
+
+ 2
⇔ 2(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)≥ 9
⇔ (
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
+3) ≥ 9
⇔
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
≥
2
3
(1)
Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 4 theo 2 bíc sau:
- Bíc 1 : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi a+b+c > 0.
(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)≥
2
3
(a + b + c)
- Bíc 2 : Khai triÓn rót gän vÕ tr¸i sau ®ã chuyÓn vÕ ta
®îc:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
cba ++
§©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5
5.Bµi to¸n 5 :
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng
CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
cba ++
Chøng minh bµi to¸n 5 ta cã thÓ dÉn tõ bµi to¸n 1 theo
híng khai th¸c ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶. Nhng ta cã thÓ gi¶i ®éc
lËp nh sau:
- Ph¬ng ph¸p 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 2
[( 2
)
cb
a
+
+ ( 2
)
ab
b
+
+( 2
)
ab
c
+
][( cb + )2
+ ( ca + )2
+ ( ba +
)2
] ≥
2
)( ba
ba
c
ca
ca
b
cb
cb
a
+
+
++
+
++
+
⇔ 2(a + b + c)(
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
) ≥ (a + b + c)2
5

⇔
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
cba ++
(®pcm)
- Ph¬ng ph¸p 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si
cb
a
+
2
+
4
cb +
≥ 2
4
.
2
cb
cb
a +
+
= a
ac
b
+
2
+
4
ac +
≥ b
ab
c
+
2
+
4
ab +
≥ c
VËy
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
cba ++
(céng theo vÕ 3 B§T trªn )
Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n 5 b»ng c¸ch:
+Trang bÞ thªm cho bµi to¸n 5 ®iÒu kiÖn : abc = 1.
+ ¸p dông B§T C« si cho 3 sè d¬ng :
a + b + c ≥ 33
abc = 3x1 = 3
6.Bµi to¸n 6:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : abc = 1.
CMR
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
3
(2)
Gi¶i
Theo bµi to¸n 5
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
cba ++
≥
2
3
2
13
2
33
==
xabc
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
3
Xem xÐt bµi to¸n 6 ta nhËn thÊy:
+ NÕu ®Æt a =
x
1
; b = y
1
; c =
z
1
⇒ abc = xyz
1
= 1.
Khi ®ã : x + y =
a
1
+
b
1
=
ab
ba +
= c(a + b).
T¬ng tù : y + z = a(b + c).
z + x= b(c + a).
Do ®ã B§T (2) ⇔ )(
3
cba
a
+
+ )(
3
cab
b
+
+ )(
3
bac
c
+
≥
2
3
.
⇔ )(
1
3
zyx +
+ )(
1
3
xzy +
+ )(
1
3
yxz +
≥
2
3
.
6

7.Bµi to¸n 7:
Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = 1
CMR :
)(
1
3
zyx +
+
)(
1
3
xzy +
+
)(
1
3
yxz +
≥
2
3
.
Gi¶i
§Æt a =
x
1
; b = y
1
; c =
z
1
⇒ abc = xyz
1
= 1.
Ta cã : x+y = c(a+b)
y+z = a(b+c)
z+x = b(c+a)
Do ®ã :
)(
1
3
zyx +
+
)(
1
3
xzy +
+
)(
1
3
yxz +
=
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥
2
3
(theo
bµi to¸n 6)
Nh vËy tõ tÝnh chÊt vÒ luü thõa bËc hai ta ®· khai th¸c
®îc chïm 7 bµi to¸n tõ dÔ ®Õn khã hoÆc rÊt khã mÆt kh¸c
còng rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cña häc sinh.
II/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc II.
a
b
b
a
+ ≥ 2
§Æt 0>= x
b
a
th× .
1
xa
b
= Ta cã ngay bµi to¸n:
8. Bµi to¸n 8:
Cho sè d¬ng x.
Chøng minh r»ng: x +
x
1
≥ 2.
Khai th¸c bµi to¸n 8 ta thÊy: x. 1
1
=
x
.
Do ®ã nÕu ta dïng 4 sè d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n : abcd=1.
Khi ®ã: ab=
cd
1
(cd= )
1
ab
Ta kh¸m ph¸ ®îc bµi to¸n míi:
9. Bµi to¸n 9:
7

Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: ab + cd ≥ 2 (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2)
(Chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµy chØ cÇn ®a vÒ bµi to¸n 8
b»ng c¸ch dïng ®iÒu kiÖn abcd=1)
L¹i cã: a2
+ b2
≥ 2ab ; c2
+ d2
≥ 2cd.
Do ®ã : a2
+ b2
+ c2
+ d2
≥ 2ab + 2cd
Liªn kÕt víi bµi to¸n 9 ta cã: a2
+ b2
+ c2
+ d2
≥ 2(ab + cd)
≥ 4
10. Bµi to¸n 10:
CMR: : a2
+ b2
+ c2
+ d2
≥ 4
TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n 9 vµ 10 ta cã:
11. Bµi to¸n 11:
CMR: : a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ ab + cd + ac + bd ≥ 10
Gi¶i
Tõ ®iÒu kiÖn a. b, c, d > 0 vµ abcd=1
Ta cã: : ab =
cd
1
; ad =
bc
1
; ca =
bd
1
Do ®ã: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)
= (cd + )
1
cd
+ (bc + )
1
bc
+ (bd + )
1
bd
≥ 2 + 2 + 2 = 6
(Bµi to¸n 9)
Mµ a2
+ b2
+ c2
+ d2
≥ 4 (bµi to¸n 10)
→ a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ ab + cd + ac + bd ≥ 10
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = d
V©y tõ bÊt ®¼ng thøc (II) ta khai th¸c thµnh 1 chïm 4 B§T
(8 11→ )
III. Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc III: (a + b)2
≥ 4ab ∀a, b
Lµ bÊt ®¼ng thøc ®a ra mèi quan hÖ cña b×nh ph¬ng1tæng víi
tÝch cu¶ chóng.
§Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ 2 sè d¬ng.
Chia 2 vÕ cña (III) cho ab(a + b) ta ®îc:
8

ab
ba +
≥
ba +
4
⇔
a
1
+
b
1
≥
ba +
4
12. Bµi to¸n 12:
Cho a,b lµ 2 sè d¬ng
Chøng minh r»ng:
a
1
+
b
1
≥
ba +
4
Gi¶i
XÐt hiÖu
a
1
+
b
1
-
ba +
4
=
)(
4)()(
baab
abbabbaa
+
−+++
=
( ))
2)(
baab
ba
+
−
≥ 0
VËy
a
1
+
b
1
≥
ba +
4
DÊu “=” x¶y ra khi a=b
Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n 1.
Ta cã:
a
1
+
b
1
≥
ba +
4
c2
+ d2
≥ 4
b
1
+
c
1
≥
cb +
4
c
1
+
a
1
≥
ac +
4
Do ®ã nÕu céng theo vÕ cña 3 B§T trªn ta ®îc:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
≥ (
2
1
+
a
1
+
b
1
)
1
c
13. Bµi to¸n 13:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng.
CMR:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
≤ (
2
1
+
a
1
+
b
1
)
1
c
Gi¶i
Theo bµi to¸n 12:
ba +
1
≤ (
4
1
+
a
1
b
1
)
cb +
1
≤ (
4
1
+
b
1
c
1
)
ac +
1
≤ (
4
1
+
c
1
a
1
)
Céng theo vÕ cña 3 B§T trªn:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
≤ (
2
1
+
a
1
+
b
1
)
1
c
DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c
Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch :
+ §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x
9

=
a
1
yx +
1
≤ (
4
1
x
1
+ y
1
)
=
b
1
zy +
1
≤ (
4
1
y
1
+
z
1
)
=
c
1
xz +
1
≤ (
4
1
z
1
+
x
1
)
+ Thªm ®iÒu kiÖn : +
x
1
y
1
+
z
1
= 4
Ta h×nh thµnh bµi to¸n 14 lµ mét B§T ®· lµ mét bµi thi ®¹i
häc khèi A n¨m 2005. §iÒu nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh
n¾m ch¾c kiÕn thøc ngay tõ líp díi lµ v« cïng quan träng.
14. Bµi to¸n 14:
Cho x, y, z lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n: +
x
1
y
1
+
z
1
= 4
CMR: zyx ++2
1
+ zyx ++ 2
1
+ zyx 2
1
++
≤ 1
(§¹i häc khèi A – n¨m 2005)
Gi¶i
- Çch 1
Ta cã : zyx ++2
1
=
)()(
1
zxyx +++
≤
4
1
( yx +
1
+ zy +
1
) ≤
16
1
(
x
1
+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
T¬ng tù:
zyx ++ 2
1
≤
16
1
(
x
1
+ y
1
+
z
1
+
z
1
)
zyx 2
1
++
≤
16
1
(
x
1
+ y
1
+
z
1
+
z
1
)
Céng theo vÕ 3 B§T trªn:
zyx ++2
1
+ zyx ++ 2
1
+ zyx 2
1
++
≤
16
1
. 4 ( +
x
1
y
1
+
z
1
)
Mµ +
x
1
y
1
+
z
1
= 4
VËy zyx ++2
1
+ zyx ++ 2
1
+ zyx 2
1
++
≤ 1
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =
3
4
- Çch 2:
Ta cã zyx ++2
1
=
)(2
1
zyx ++
≤
4
1
(
x2
1
+ zy +
1
) ≤
x8
1
+
16
1
( y
1
+
z
1
) =
x8
1
+
y16
1
+
z16
1
10

T¬ng tù:
zyx ++ 2
1
≤
x16
1
+ y8
1
+
z16
1
zyx 2
1
++
≤
x16
1
+ y16
1
+
z8
1
Céng theo vÕ c¸c B§T:
zyx ++2
1
+ zyx ++ 2
1
+ zyx 2
1
++
≤
4
1
(
x
1
+ y
1
+
z
1
)=1
VËy zyx ++2
1
+ zyx ++ 2
1
+ zyx 2
1
++
≤ 1
Khai th¸c bµi to¸n 14 b»ng c¸ch ®Æt vµo tam gi¸c ta cã:
15. Bµi to¸n 15:
XÐt tam gi¸c ABC cã: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi
a+b+c = 2p kh«ng ®æi.
CMR:
cba
ab
2++
+
cba
bc
++2
+
cbc
ac
++ 2
≤
2
p
Gi¶i
¸p dông bµi to¸n 12
Ta cã:
cba
ab
2++
=
)()( cbca
ab
+++
≤
4
1
(
ca
ab
+
+
cb
ab
+
)
cba
bc
++2
≤
4
1
(
ba
bc
+
+
ca
bc
+
)
cba
ac
++ 2
≤
4
1
(
ab
ca
+
+
ba
ca
+
)
Céng theo vÕ cña 3 B§T ta ®îc:
cba
ab
2++
+
cba
bc
++2
+
cba
ac
++ 2
≤
4
1
(
ca
ab
+
+
cb
ab
+
+
ba
bc
+
+
ca
bc
+
+
ab
ca
+
+
ba
ca
+
) =
4
1
(a + b + c) =
4
1
.2p =
2
p
DÊu “=” x¶y ra khi Δ ABC ®Òu cã a = b =c =
3
2 p
TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n trong tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ
gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã:
16. Bµi to¸n 16
Trong Δ ABC cã chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c lµ ®é dµi
3 c¹nh ).
CMR : ap −
1
+ bp −
1
+ cp −
1
≥ 2 (
a
1
+
b
1
+
c
1
)
Gi¶i
NhËn xÐt : p - a =
2
cba ++
- a =
2
acb −+
> 0 ( v× b + c > a
bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c )
11

T¬ng tù : p - b > 0 ; p- c > 0.
MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c
p - b + p - c = a
p - c + p - a = b
Do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc dïng bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 12 nh
sau:
ap −
1
+ bp −
1
≥ )()(
4
bpap −+−
=
c
4
bp −
1
+ cp −
1
≥
a
4
cp −
1
+ ap −
1
≥
b
4
Céng theo vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta cã :
ap −
1
+ bp −
1
+ cp −
1
≥ 2 (
a
1
+
b
1
+
c
1
)
DÊu ‘=’ x¶y ra khi Δ ABC ®Òu
12

�ݺ�ߣ

Chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs

More Related Content

What's hot (11)

Chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs