Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Download as PPTX, PDF
7 likes36,442 views
Fisika Kuantum
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
- 1. Soal dan Pembahasan (Persamaan Schr旦dinger)
- 2. Tunjukkan fungsi gelombang berikut 1. , = ; 0 ; dengan n = 1, 2, 3, ..., merupakan penyelesaian Persamaan Scrhdinger bagi partikel bermassam yang hanya bebas bergerak dalam interval - x . Tentukan pula batasan nilai yang diijinkan !
- 3. Analisis Pernyataan bahwa partikel hanya dapat bergerak bebas dalam interval - 2 x 2 memiliki arti bahwa partikel tidak mungkin berada di luar interval itu. Dengan kata lain, peluang mendapatkan partikel di luar interval itu sebesar nol. Hal ini hanya dipenuhi jika fungsi gelombang di luar interval - 2 x 2 bernilai nol. Partikel bebas bergerak dalam interval - 2 x 2 menunjukkan bahwa partikel tidak mengalami gaya apapun dalam interval itu.
- 4. Jadi, energi potensialnya konstan. Kita lambangi potensial konstan ini dengan 0. Dengan demikian, persamaan Scrhdinger dalam interval - 2 x 2 berbentuk 2 2 2率 , 2 + 0率 , = i 率 , Untuk menguji apakah benar fungsi gelombang yang diketahui tadi merupakan penyelesaian persamaan Scrhdinger, kita substitusikan fungsi gelombang itu ke dalam persamaan terakhir di atas.
- 5. Substitusi ke ruas kiri menghasilkan 2 2 2 , 2 + 0 , = 222 22 + 0 2 誤 = 222 22 + 0 , Substitusi ke ruas kiri menghasilkan , = 誤 2 誤 = 誤 2 誤 = 誤 ,
- 6. Dengan demikian kita dat hubungan 222 22 + 0 率 , = 誤率 , . Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang tadi dijamin sebagai penyelesaian persamaan Scrhdinger bagi partikel yang bebas bergerak dalam interval - 2 x 2 asalkan tetapan 誤dalam fungsi gelombang itu memenuhi hubungan 誤 = 222 22 + 0 Ungkapan ini sekaligus memberikan batasan nilai yang harus dipenuhi oleh 誤.
- 8. 2 2 2率 , 2 + 0率 , = i 率 , ... persamaan (i) Menentukan nilai , 燕 2率 , 2 = 2 sin 誤 = 2 cos 誤 = 2 sin 誤 = 22 2 2 sin 誤 = 22 2 率 , ...persamaan (ii)
- 9. Menentukan nilai , 率 , = 2 sin 誤 = 誤 2 sin 誤 = 誤 率 , ... persamaan (iii) Mensubstitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke dalam persamaan (i) 2 2 2率 , 2 + 0率 , = i 率 , - 2 2 22 2 率 , + 0率 , = i 誤 率 ,
- 10. 222 22 , + 0 , = 誤 , 222 22 + 0 , = 誤 , 誤 = 222 22 + 0 Karena partikel berada pada daerah bebas potensial, maka nilai 0 = 0,sehingga diperoleh persamaan: 誤 = 222 22 + 0 =
- 11. 2. Fungsi gelombang yang menyatakan keadaan dasar suatu partikel yang terkungkung di dalam potensial kotak 1 dimensi adalah: 率(, ) = 2 sin 2 22 ; 0 0 ; 0 ″ Dengan dan suatu tetapan. Selidikilah apakah fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner atau tidak! Hitung nilai harap energi total partikel beserta ketakpastiannya!
- 12. Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah (x,t) = 2 2 ; 0 0 ; 0 ″ Ternyata fungsi rapat peluang posisi tersebut tidak bergantung pada waktu. Dengan demikian disimpulkan bahwa fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner.
- 13. Penyelesaian Nilai Harap Energi Total Karena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka nilaiharap energi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: E = 率 E 率 dx 2 = sin 2 22 2 sin 2 22 dx = 2 2 22 族 = 2 2晅 22 2 = 2晅 22
- 14. Ketakpastian Energi Total Terlebih dahulu menentukan hasil kuadrat dari nilai harap energi total 族 = E 率 E族 率 dx 2 = sin 2 22 族 2 sin 2 22 dx = 2 (2) 2 22 族 族 = 2 2晅 22 2 2 = 2晅 22 2
- 15. Dari nilai harap energi total dan nilai harap kuadrat energi total tersebut didapatkan nilai ketakpastian energi total sebagai berikut = 2 2 = 0 Jadi,nilai harap energi total pada keadaan itu adalah 22 22 dengan ketakpastian sebesar nol. Karena ketakpastiannya nol berarti nilai energi total partikel bersifat pasti. Hal ini dapat memperjelas pernyataan sebelumnya bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana enrgi partikel bernilai pasti.
- 16. 3. Tunjukkan bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (energi kinetik ditambah energi potensial) sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tidak berubah terhadap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, kita selidiki bagaimana nilai harap hamiltonian sistem berubah terhadap waktu.
- 17. Berdasarkan persamaan 率= 1 , 弔 率+ 率 Perubahan nilai harap terhadap waktu dapat dituliskan 率= 1 ,弔 率+ 率
- 18. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonian sistem konservatif bersifat kekal. Ini berarti bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi (secara rata-rata). , =0 = 0 率= 0 = konstanta