Dap an de thi dai hoc khoi a nam 2010
- 1. Trang 1/4 B畛 GIO D畛C V O T畉O ｯｯｯｯｯｯｯｯ 畛 CHNH TH畛C P N THANG I畛M 畛 THI TUY畛N SINH 畉I H畛C NM 2010 M担n: TON; Kh畛i A (叩p 叩n - thang i畛m g畛m 04 trang) P N THANG I畛M C但u 叩p 叩n i畛m 1. (1,0 i畛m) Khi m = 1, ta c坦 hm s畛 y = x3 2x2 + 1. T畉p x叩c 畛nh: R. S畛 bi畉n thi棚n: - Chi畛u bi畉n thi棚n: 'y = 3x2 4x; '( )y x = 0 x = 0 ho畉c x = 4 3 . 0,25 Hm s畛 畛ng bi畉n tr棚n c叩c kho畉ng (; 0) v 4 ; 3 + ; ngh畛ch bi畉n tr棚n kho畉ng 4 0; 3 . - C畛c tr畛: Hm s畛 畉t c畛c 畉i t畉i x = 0; yC = 1, 畉t c畛c ti畛u t畉i x = 4 3 ; yCT = 5 27 . - Gi畛i h畉n: lim x y = ; lim x y + = + . 0,25 - B畉ng bi畉n thi棚n: 0,25 畛 th畛: 0,25 2. (1,0 i畛m) Ph動董ng tr狸nh honh 畛 giao i畛m: x3 2x2 + (1 m)x + m = 0 (x 1)(x2 x m) = 0 x = 1 ho畉c x2 x m = 0 (*) 0,25 畛 th畛 c畛a hm s畛 (1) c畉t tr畛c honh t畉i 3 i畛m ph但n bi畛t, khi v ch畛 khi ph動董ng tr狸nh (*) c坦 2 nghi畛m ph但n bi畛t, kh叩c 1. 0,25 K箪 hi畛u g(x) = x2 x m; x1 = 1; x2 v x3 l c叩c nghi畛m c畛a (*). Y棚u c畉u bi to叩n th畛a m達n khi v ch畛 khi: 2 2 2 3 0 (1) 0 3 g x x ｧ > ｪ ｨ ｪ + <ｩ 0,25 I (2,0 i畛m) 1 4 0 0 1 2 3 m m m + >ｧ ｪ ｨ ｪ + <ｩ 1 4 < m < 1 v m 0. 0,25 y 1 + 'y + 0 0 + x 0 4 3 + 5 27 5 27 O y x 4 3 1 2 www.dethidaihoc.edu.vn
- 2. Trang 2/4 C但u 叩p 叩n i畛m 1. (1,0 i畛m) i畛u ki畛n: cosx 0 v 1 + tanx 0. Khi 坦, ph動董ng tr狸nh 達 cho t動董ng 動董ng: 2 sin 4 x + (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx 0,25 (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = sin cos cos cos x x x x + sinx + cos2x = 0 0,25 2sin2 x sinx 1 = 0 sinx = 1 (lo畉i) ho畉c sinx = 1 2 0,25 x = 6 + k2 ho畉c x = 7 6 + k2 (k Z). 0,25 2. (1,0 i畛m) i畛u ki畛n: x 0. Ta c坦: 2 2( 1)x x + = 2 2 ( 1) 1x x+ + > 1, suy ra 1 2 2( 1)x x + < 0. Do 坦, b畉t ph動董ng tr狸nh 達 cho t動董ng 動董ng v畛i: 2 2( 1)x x + 1 x + x (1) 0,25 M畉t kh叩c 2 2( 1)x x + = 2 2 2(1 ) 2( )x x + 1 x + x (2), do 坦: 0,25 (1) 2 2( 1)x x + = 1 x + x (3) 畛 箪 r畉ng: + D畉u b畉ng 畛 (2) x畉y ra ch畛 khi: 1 x = x 畛ng th畛i 1 x + x 0. + 1 x = x k辿o theo 1 x + x 0, do 坦: (3) 1 x = x 0,25 II (2,0 i畛m) 2 1 0 (1 ) x x x モｧｪ ｨ =ｪｩ 2 1 3 1 0 x x x もｧｪ ｨ + =ｪｩ x = 3 5 2 , th畛a m達n i畛u ki畛n x 0. 0,25 I = 1 2 0 d 1 2 x x e x x e + + = 1 2 0 dx x + 1 0 d 1 2 x x e x e+ . 0,25 Ta c坦: 1 2 0 dx x = 1 3 0 1 3 x = 1 3 0,25 v 1 0 d 1 2 x x e x e+ = 1 2 1 0 d(1 2 ) 1 2 x x e e + + , suy ra: 0,25 III (1,0 i畛m) I = 1 3 + 1 0 1 ln(1 2 ) 2 x e+ = 1 3 + 1 1 2 ln 2 3 e+ = 1 3 + 1 1 2 ln 2 3 e+ . 0,25 Th畛 t鱈ch kh畛i ch坦p S.CDNM. SCDNM = SABCD SAMN SBCM = AB2 1 2 AM.AN 1 2 BC.BM = a2 2 8 a 2 4 a = 2 5 8 a . 0,25 VS.CDNM = 1 3 SCDNM.SH = 3 5 3 24 a . 0,25 IV (1,0 i畛m) Kho畉ng c叩ch gi畛a hai 動畛ng th畉ng DM v SC. ADM = DCN ADM DCN= DM CN, k畉t h畛p v畛i DM SH, suy ra DM (SHC). H畉 HK SC (K SC), suy ra HK l o畉n vu担ng g坦c chung c畛a DM v SC, do 坦: d(DM, SC) = HK. 0,25 A B C D S N H K M www.dethidaihoc.edu.vn
- 3. Trang 3/4 C但u 叩p 叩n i畛m Ta c坦: HC = 2 CD CN = 2 5 a v HK = 2 2 .SH HC SH HC+ = 2 3 19 a , do 坦: d(DM, SC) = 2 3 19 a . 0,25 i畛u ki畛n: x 3 4 ; y 5 2 . Ph動董ng tr狸nh th畛 nh畉t c畛a h畛 t動董ng 動董ng v畛i: (4x2 + 1).2x = (5 2y + 1) 5 2y (1) 0,25 Nh畉n x辿t: (1) c坦 d畉ng f(2x) = f( 5 2y ), v畛i f(t) = (t2 + 1)t. Ta c坦 'f (t) = 3t2 + 1 > 0, suy ra f 畛ng bi畉n tr棚n R. Do 坦: (1) 2x = 5 2y 2 0 5 4 . 2 x x y モｧ ｪ ｨ =ｪ ｩ 0,25 Th畉 vo ph動董ng tr狸nh th畛 hai c畛a h畛, ta 動畛c: 4x2 + 2 25 2 2 x + 2 3 4x 7 = 0 (3). Nh畉n th畉y x = 0 v x = 3 4 kh担ng ph畉i l nghi畛m c畛a (3). X辿t hm g(x) = 4x2 + 2 25 2 2 x + 2 3 4x 7, tr棚n kho畉ng 3 0; 4 . 0,25 V (1,0 i畛m) '( )g x = 8x 8x 25 2 2 x 4 3 4x = 4x (4x2 3) 4 3 4x < 0, suy ra hm g(x) ngh畛ch bi畉n. M畉t kh叩c 1 2 g = 0, do 坦 (3) c坦 nghi畛m duy nh畉t x = 1 2 ; suy ra y = 2. V畉y, h畛 達 cho c坦 nghi畛m: (x; y) = 1 ; 2 2 . 0,25 1. (1,0 i畛m) d1 v d2 c畉t nhau t畉i O, cos(d1, d2) = | 3. 3 1.1| 3 1. 3 1 + + = 1 2 v tam gi叩c OAB vu担ng t畉i B, do 坦 AOB = 60 BAC = 60 . 0,25 Ta c坦: SABC = 1 2 AB.AC.sin60 = 3 4 (OA.sin60 ).(OA.tan60 ) = 3 3 8 OA2 . Do 坦: SABC = 3 2 , suy ra OA2 = 4 3 . 0,25 T畛a 畛 A(x; y) v畛i x > 0, th畛a m達n h畛: 2 2 3 0 4 3 x y x y ｧ + = ｪ ｨ + =ｪ ｩ A 1 ; 1 3 . 動畛ng th畉ng AC i qua A v vu担ng g坦c v畛i d2, suy ra AC c坦 ph動董ng tr狸nh: 3 x 3y 4 = 0. T畛a 畛 C(x; y) th畛a m達n h畛: 3 0 3 3 4 0 x y x y ｧ =ｪ ｨ =ｪｩ C 2 ; 2 3 . 0,25 VI.a (2,0 i畛m) 動畛ng tr嘆n (T) c坦 動畛ng k鱈nh AC, suy ra t但m c畛a (T) l I 1 3 ; 22 3 v b叩n k鱈nh IA = 1. Ph動董ng tr狸nh (T): 2 2 1 3 1 22 3 x y + + + = . 0,25 d2 y x C B O A d1 I www.dethidaihoc.edu.vn
- 4. Trang 4/4 C但u 叩p 叩n i畛m 2. (1,0 i畛m) 動畛ng th畉ng c坦 vect董 ch畛 ph動董ng v = (2; 1; 1) v m畉t ph畉ng (P) c坦 vect董 ph叩p tuy畉n n = (1; 2; 1). 0,25 G畛i H l h狸nh chi畉u c畛a M tr棚n (P), ta c坦 cos HMC = ( )cos ,v n . 0,25 d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC. ( )cos ,v n 0,25 = 6 . | 2 2 1| 6. 6 = 1 6 . 0,25 Ta c坦: z = (1 + 2 2 i) (1 2 i) 0,25 = 5 + 2 i, suy ra: 0,25 z = 5 2 i. 0,25 VII.a (1,0 i畛m) Ph畉n 畉o c畛a s畛 ph畛c z b畉ng: 2 . 0,25 1. (1,0 i畛m) G畛i H l trung i畛m c畛a BC, D l trung i畛m AH, ta c坦 AH BC. Do 坦 t畛a 畛 D(x; y) th畛a m達n h畛: 4 0 0 x y x y + =ｧ ｨ =ｩ D(2; 2) H( 2; 2). 0,25 動畛ng th畉ng BC i qua H v song song d, suy ra BC c坦 ph動董ng tr狸nh: x + y + 4 = 0. 0,25 i畛m B, C thu畛c 動畛ng th畉ng BC: x + y + 4 = 0 v B, C 畛i x畛ng nhau qua H( 2; 2), do 坦 t畛a 畛 B, C c坦 d畉ng: B(t; 4 t), C( 4 t; t). i畛m E(1; 3) n畉m tr棚n 動畛ng cao i qua 畛nh C c畛a tam gi叩c ABC, suy ra: AB .CE = 0 (t 6)(5 + t) + ( 10 t)( 3 t) = 0 0,25 2t2 + 12t = 0 t = 0 ho畉c t = 6. Ta 動畛c: B(0; 4), C( 4; 0) ho畉c B( 6; 2), C(2; 6). 0,25 2. (1,0 i畛m) 動畛ng th畉ng i qua i畛m M(2; 2; 3), nh畉n v = (2; 3; 2) lm vect董 ch畛 ph動董ng. Ta c坦: MA = (2; 2; 1), ,v MA｡ ､ ｣ ｦ = (7; 2; 10). 0,25 Suy ra: d(A, ) = ,v MA v ｡ ､ ｣ ｦ = 49 4 100 4 9 4 + + + + = 3. 0,25 G畛i (S) l m畉t c畉u t但m A, c畉t t畉i B v C sao cho BC = 8. Suy ra b叩n k鱈nh c畛a (S) l: R = 5. 0,25 VI.b (2,0 i畛m) Ph動董ng tr狸nh (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25. 0,25 Ta c坦: 3 (1 3 )i = 8. 0,25 Do 坦 z = 8 1 i = 4 4i, suy ra z = 4 + 4i. 0,25 z + i z = 4 4i + ( 4 + 4i)i = 8 8i. 0,25 VII.b (1,0 i畛m) V畉y: z iz+ = 8 2 . 0,25 ------------- H畉t ------------- M B C A H M P C E d A B C H D www.dethidaihoc.edu.vn