トポロジー诲别代数方程式
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代数学の基本定理をトポロジーを使って証明してみよう、、という話をエッセンスだけをザクっとまとめてみました。 突っ込みどころ満載ですが、ご愛嬌ということで。。
トポロジー诲别代数方程式
- 3. と言っても、 ? そんなに難しいと、みんな？？？(??ω?`)だし、 ? そもそも5分しかないので、 ? 雰囲気だけ掴んでください
- 6. え？ (??ω?`)
- 7. トポロジーってこういうやつ ? こういうやつ ? つまりコーヒーカップは取っ手が1つ、ドーナツは穴が1つってとこに着目 ? 「穴ぼこが1つ」という性質は連続変形で不変！ ?
- 10. 本日使う道具 (2) ? 複素数平面のお話 ? ド?モアブルの定理 z = r(cos ? + ?1 sin ?)に対し、 ? ? = ? ? (cos ? + ?1 sin ?) ? = ? ? (cos ?? + ?1 sin ??) →複素数zをn回掛けると、原点からの距離(r)をn乗かつ偏角をn倍したものに等しい
- 11. 改めて本日のお題 ? 代数学の基本定理 ? n次方程式(n≧1)は、複素数の範囲で必ず解を持つ ? ? = ? ? + ?1 ? ??1 + ?2 ? ??2 + ? + ? ??1 ? + ? ?, ?? ∈ ? 、、、をトポロジーで証明してみること。
- 12. え？ (??ω?`)
- 13. 1次方程式 ? 1次方程式だと ? ? = z + a これに対して、 f(z)=0、つまりz+a=0って、移項すればz=-aが解だってわかりますよね
- 14. 2次方程式 ? 2次方程式 ? ? = ?2 + ?1 ? + ?2 だったら、f(z)=0って、解の公式で解けますし。 （細かくは複素数でルート√ を取るところが若干ややこしいですけど、割愛）
- 15. 3次方程式、… ? 3次方程式 ? カルダノの公式 ? 4次方程式 ? フェラーリの公式 ? 5次方程式 ? 解の公式が存在しない！（ことがガロア理論で証明できます） 、、、が、一般のn次(代数)方程式で解が存在することは証明できます！
- 16. 本日のお題 【再掲】 ? 代数学の基本定理 ? n次方程式(n≧1)は、複素数の範囲で必ず解を持つ ? ? = ? ? + ?1 ? ??1 + ?2 ? ??2 + ? + ? ??1 ? + ? ?, ?? ∈ ? 証明してみよう? 、、と、その前に復習。
- 17. 本日使う道具 (1) 【再掲】 ? 平面上で原点を通らない閉曲線を連続的に動かす時、全ての閉曲線が原点 を通らないなら、閉曲線の回転数は常に一定（回転数の定理） O
- 18. 本日使う道具 (2) 【再掲】 ? 複素数平面のお話 ? ド?モアブルの定理 z = r(cos ? + ?1 sin ?)に対し、 ? ? = ? ? (cos ? + ?1 sin ?) ? = ? ? (cos ?? + ?1 sin ??) →複素数zをn回掛けると、原点からの距離(r)をn乗かつ偏角をn倍したものに等しい
- 19. 証明(の格子) ? ? ? = 0となる? ∈ ?が存在しないとする（背理法の仮定） ? z = r(cos ? + ?1 sin ?)とおいた時のrを充分大きく固定し、?を0から2πに動かすと、 ? ? の像は原点を中心にn回まわる(→回転数がn(≧1)) ? ? ? = ? ? + ?1 ? ??1 + ?2 ? ??2 + ? + ? ??1 ? + ? ? = ? ? 1 + ?1 1 ? + ?2 1 ?2 + ? + ? ??1 1 ? ??1 + ? ? 1 ? ? で、一般に ? ? は原点の周りをn回まわり（ド?モアブルの定理）、 r ? 1の場合括弧内は1の近くでコチョコチョ動くだけ。 ? 一方、rの値を0に(連続的に)近づけるとf(z)が動く範囲が一点f(0)の近くに集まるため、? を0から2πに動かした時のfの像の(原点に対する)回転数は0 ? f(z)の連続変形の間、 ? ? = 0 となる? ∈ ?が存在しないとしていたが、(回転数がn(≧1), 0と異なるため)これは「回転数の定理」に反する→矛盾■
- 21. 参考文献 ? 松本幸夫 「1,2,4,オイラー ～トポロジーの話し～」 ? http://mathsoc.jp/publication/tushin/0504/matsumoto5-4.pdf