Deret geometri Matematika Kelas XII SMA IPA
•
0 likes•4,325 views
Rangkuman materi deret geometri untuk kelas XII SMA IPA
Deret geometri Matematika Kelas XII SMA IPA
- 1. 114 114 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Tanpa menggunakan rumus, bagaimanakah cara menentukan jumlah 100 bilangan asli pertama? Caranya adalah sebagai berikut. Misalkan, J 1 2 3 … 100. Kalian juga dapat menuliskan, J 100 99 98 … 1. Sekarang, jumlahkan kedua nilai J tersebut. J 1 2 3 … 100 J 100 99 98 … 1 2J 101 101 101 … 101 2J 100 101 2J 10.100 J 5.050 Jadi, jumlah 100 bilangan asli pertama adalah 5.050. Bentuk umum penjumlahan bilangan asli dari 1 sampai n: Jn 1 2 3 . . . (n 1) n Jn n (n 1) (n 2) . . . 2 1 2Jn (n 1) (n 1) (n 1) . . . (n 1) (n 1) 2Jn n(n 1) Jn 1 2 n n B. 1. Barisan Geometri Niko Sentera mempunyai selembar kertas. 1 bagian kertas B. Barisan dan Deret Geometri Di balik huruf-huruf yang membentuk kata HITUNG berikut tersembunyi bilangan-bilangan dengan pola tertentu. H I T U N G Jika huruf N, G, dan T berturut-turut menyembunyikan lambang bilangan 396, 418, dan 352, tentukanlah lambang bilangan yang tersembunyi di balik huruf H, I, dan U! GaMeMath Info Math
- 2. Bab 5 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 115 Ia melipat kertas ini menjadi 2 bagian yang sama besar. Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Niko Sentera terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat ini, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian sebelumnya. Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan bilangan. Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu 2 1 U U 3 2 U U … 1 n n U U 2. Tampak bahwa, perbandingan setiap dua suku berurutan pada barisan tersebut selalu tetap. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan geometri dengan perbandingan setiap dua suku berurutannya dinamakan rasio (r). Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar . . .1 2 4 U1 U2 U3 Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum: U1, U2, U3, . . ., Un atau a, ar, ar2 , . . ., arn 1 Pada barisan geometri, berlaku 1 n n U U r sehingga Un r Un 1
- 3. 116 116 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, . . . Tentukanlah: a. rumus suku ke-n b. suku ke-8 Jawab : Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, . . . adalah tetap, yaitu r 1 3 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri. a. Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un 27 ( 1 3 )n 1 33 (3 1 )n 1 33 3 n 1 34 n b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 34 8 3 4 1 81 B. 2. Deret Geometri Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri. Contoh T u l i s k a n hasil kalinya Mulai dengan suku pertama a Kalikan dengan rasio r r r r r a ar ar2 ar3 arn – 1 U1 U2 U3 U4 Un . . . Jika kalian memulai barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r maka kalian mendapatkan barisan berikut. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk umum: U1 U2 U3 . . . Un atau a ar ar2 . . . arn 1
- 4. Bab 5 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 117 Sn a ar ar2 . . . arn 1 … Persamaan 1 Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan persamaan 2 berikut. rSn ar ar2 ar3 . . . arn … Persamaan 2 Sekarang, kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2. Sn rSn (a ar ar2 … arn 1 ) (ar ar2 ar3 … arn ) Sn(1 r) a arn Sn (1 ) 1 n a r r 1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut! Jawab: U2 8, berarti ar 8 U5 64, berarti: ar4 64 Contoh Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah (1 ) , 1 1 n n a r S r r B. 3. Deret Geometri Tak Terhingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah S lim 1 n n a S r Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu: Kasus 1 Jika 1 r 1, maka rn menuju 0. Akibatnya, S (1 0) 1 a r 1 a r Deret geometri dengan 1 r 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat). Kasus 2 Jika r 1 atau r 1, maka untuk n , nilai rn makin besar. Untuk r 1, n dengan n ganjil didapat rn Untuk r 1, n dengan n genap didapat rn Untuk r 1, n didapat rn Akibatnya, S (1 ) 1 a r Deret geometri dengan r 1 atau r 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar). Catatan Rumus jumlah n suku pertama deret geometri. (1 ) , 1 1 ( 1) , 1 1 n n n n a r S r r a r S r r
- 5. 118 118 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam ar r3 64 8r3 64 r3 8 Didapat r 2. Dengan mensubstitusi r 2 ke persamaan ar 8, kalian mendapatkan a 2 8 sehingga a 4. Jumlah n suku pertama deret ini adalah Sn 4(1 2 ) 1 2 n 4 4 2 1 n 4 2n 4 22 2n 4 22 n 4 Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 22 10 4 212 4 4.096 4 4.092 2. Tentukanlah nilai x agar deret geometri 1 x x2 x3 … konvergen. Jawab: Terlebih dahulu, kalian harus menentukan rasio dari deret tersebut. r 1 x x Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah 1 r 1 sehingga 1 x 1. 3. Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula? Jawab: Panjang potongan yang paling pendek merupakan U1, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U5. Jadi, U1 2 cm dan U5 162 cm. Dari U1 2 cm, didapat a 2 cm. Dari U5 162 cm, didapat ar4 162 cm. Oleh karena a 2 cm, maka 2 r4 162 cm. Didapat, r4 81. Jadi, r 3. Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu: S5 5 2(1 3 ) 2(1 243) 1 3 2 242 cm Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm. Catatan ganjil genap ganjil 2 genap 2 ganjil genap 1 1 1 a S r S S S a S r ar S r S r S