Derivación 1.
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The document defines the derivative of a function as the limit of the average rate of change of the function over an interval as the interval approaches zero. It provides examples of calculating the derivative of various functions, including the velocity and acceleration of the function s(t)=t^3 - 2t^2. The derivative of s(t) is 3t^2 - 4t, the velocity is 3t^2 - 4t, and the acceleration is 6t - 4. Formulas are provided for taking the derivative of various functions.
![Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1
. 𝑓′
(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ); 𝑔 𝑥 = 3𝑥6
; 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1
• 𝑔′ 𝑥 = 18𝑥5
; 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
+ 2𝑥
• ℎ 𝑥 = 3(𝑥3
+ 𝑥2
+ 1)6
; ℎ 𝑥 = 𝑐(𝑓 𝑥 )𝑛
• ℎ′ 𝑥
= c. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1
. 𝑓′
(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′ 𝑥
= 𝑔′
𝑓 𝑥 . 𝑓′
(𝑥)
•
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
( 3 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1 6
)
• ℎ′ 𝑥 = 3.6 𝑥3 + 𝑥2 + 1 6−1. (3𝑥2 + 2𝑥)
• ℎ′
𝑥 = 18 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1 5
. (3𝑥2
+ 2𝑥)](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-24-320.jpg)
![Ejemplo
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 =
4
(2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3
• f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x =
4
𝑥3 = 𝑥
3
4
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
4
. 𝑥(
3
4
−1)
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
4
. 𝑥(−
1
4
)
• 𝑔′
𝑥 =
3
4𝑥
1
4
=
3
44
𝑥](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-25-320.jpg)
![Ejemplo
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 =
4
(2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3
• f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x =
4
𝑥3 = 𝑥
3
4
•
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
44
𝑥
• ℎ′ 𝑥 =
3
4
4
2𝑥3+3𝑥4−𝑥2
. 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) Regla de la cadena
• ℎ′(𝑥) = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑓′(𝑥)](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-26-320.jpg)
![Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣. 𝑢 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 𝑣
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . [𝑔 𝑥 ]
• ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + [𝑔′ 𝑥 . 𝑓 𝑥 ]
• ℎ 𝑥 = [ 𝑥2 − 1 . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 ]
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥
1 𝑔′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 − 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥
• ℎ′ 𝑥 = 2x . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + [ 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 . 𝑥2 − 1 ]
• ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + [4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥]
• ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + 4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥
• ℎ′ 𝑥 = 6𝑥5 + 5𝑥4 − 16𝑥3 − 3𝑥3 + 6𝑥](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-27-320.jpg)
![Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣/𝑢 =
[ 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
]
𝑢2
• ℎ 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
• ℎ′ 𝑥 =
[𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ]
[𝑔(𝑥)]2
• ℎ 𝑥 = [
𝑥2−1
𝑥4+𝑥3−3𝑥2]
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4
+ 𝑥3
− 3𝑥2
• 𝑓′
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
−
𝑑
𝑑𝑥
1 𝑔′
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4
+
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
− 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥
• ℎ′
𝑥 =
[ 2x . 𝑥4+𝑥3−3𝑥2 − 4𝑥3+3𝑥2−6𝑥 .(𝑥2−1)]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′
𝑥 =
[ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-28-320.jpg)
![Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣/𝑢 =
[ 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
]
𝑢2
• ℎ 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
• ℎ′ 𝑥 =
[𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ]
[𝑔(𝑥)]2
• ℎ′ 𝑥 =
[ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′ 𝑥 =
[2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3−4𝑥5−3𝑥4+6𝑥3+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′
𝑥 =
[−2𝑥5−𝑥4+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2](https://image.slidesharecdn.com/derivacin1-211201152208/85/Derivacion-1-29-320.jpg)
Derivación 1.
- 1. Derivación Ing. Mg. Luis Gabriel Lescano Paredes
- 2. Definición • La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
- 3. Pendiente de la función La recta 𝑥 = 𝑥1 si 𝑚(𝑥1) = lim ∆𝑥→0± 𝑓 𝑥1 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥1 ∆𝑥 Es +∞ 𝑜 − ∞ Por lo tanto: 𝑚(𝑓 𝑥 ) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ∆𝑥 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ∆𝑥 P 𝑃 𝑥1, 𝑓 𝑥1 Q 𝑥2, 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥1 ∆𝑥
- 4. Pendiente de la función 𝑓′ 𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑓 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑓 𝑡 ∆𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2; s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) P 𝑃 𝑡1, 𝑓 𝑡1 Q 𝑡2, 𝑓 𝑡2 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 𝑓 𝑡2 − 𝑓 𝑡1 𝑡2 𝑡1 ∆𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑠
- 5. Ejemplo velocidad: 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2; s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡 ∆𝑡 • 𝑠 𝑡 + ∆𝑡 = ( 𝑡 + ∆𝑡 3−2 𝑡 + ∆𝑡 2) • 𝑠 𝑡 = ( 𝑡 3−2 𝑡 2) • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ( 𝑡+∆𝑡 3−2 𝑡+∆𝑡 2) −( 𝑡 3−2 𝑡 2) ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ((𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3)−(2 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 )) −( 𝑡 3−2 𝑡 2) ∆𝑡
- 6. Ejemplo: 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡 ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ((𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3)−(2 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 )) −( 𝑡 3−2 𝑡 2) ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3−2𝑡2−4𝑡.∆𝑡−2∆𝑡2 −𝑡3+2𝑡2) ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 +3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3−4𝑡.∆𝑡−2∆𝑡2 ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡(3𝑡2+3𝑡∆𝑡+∆𝑡2−4𝑡−2∆𝑡) ∆𝑡
- 7. Ejemplo: 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡 ∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 1(3𝑡2+3𝑡∆𝑡+∆𝑡2−4𝑡−2∆𝑡) 1 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 3𝑡2 + 3𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2 − 4𝑡 − 2∆𝑡 • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = 3𝑡2 + 3𝑡(0) + 0 2 − 4𝑡 − 2(0) • 𝑚(𝑠 𝑡 ) = 3𝑡2 − 4t • 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t • 𝑣𝑠(𝑡) = 3𝑡2 − 4t
- 8. Ejemplo Aceleración • 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 ; s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) • 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 𝑠′ 𝑡+∆𝑡 −𝑠′ 𝑡 ∆𝑡 • 𝑠′ 𝑡 + ∆𝑡 = 3(𝑡 + ∆𝑡)2 −4(𝑡 + ∆𝑡) • 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 (3 𝑡+∆𝑡 2−4 𝑡+∆𝑡 )−(3𝑡2−4t) ∆𝑡
- 9. Ejemplo Aceleración 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) • 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 (3 𝑡+∆𝑡 2−4 𝑡+∆𝑡 )−(3𝑡2−4t) ∆𝑡 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 3 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 −4𝑡−4∆𝑡 −3𝑡2+4t ∆𝑡 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 3𝑡2+6𝑡.∆𝑡+3∆𝑡2−4𝑡−4∆𝑡−3𝑡2+4t ∆𝑡 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 6𝑡.∆𝑡+3∆𝑡2−4∆𝑡 ∆𝑡 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡(6𝑡+3∆𝑡−4) ∆𝑡
- 10. Ejemplo Aceleración 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡) • 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡) • 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡(6𝑡+3∆𝑡−4) ∆𝑡 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim ∆𝑡→0 6𝑡 + 3∆𝑡 − 4 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = 6𝑡 + 3(0) − 4 • 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = 6𝑡 − 4 • 𝑠′′ 𝑡 = 6𝑡 − 4 • 𝑎𝑠(𝑡) = 6𝑡 − 4 • 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑣′𝑠(𝑡)
- 11. Formulas
- 12. Formulas
- 13. Formulas
- 15. Formulas
- 16. Formulas
- 17. Ejemplos: • 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 • 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;𝑦 = 𝑉. 𝐷. ; 𝑥 = 𝑉. 𝐼. • 𝑠 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑠 = 𝑠 𝑡 ; 𝑠 = 𝑉. 𝐷. ; 𝑡 = 𝑉. 𝐼. • 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 1 • 𝑠 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 • 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡3 − 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡2 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡3 − 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡2
- 18. Ejemplos: • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 ; 𝑑𝑐 𝑑𝑥 = 0; 𝑓′ 𝑐 = 0 • 𝑦 = 5 ; 𝑧 = 3 ; 𝑓 𝑡 = 7 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥 5 ; 𝑑 𝑑𝑥 𝑧 = 𝑑 𝑑𝑥 3 ; 𝑑 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 7 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 ; f′ t = 0
- 19. Ejemplos: • 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 1 ; 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 1 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 • 𝑓′ 𝑥 = 1 • 𝑦 = 𝑥 + 1 ; 𝑧 = 3𝑥 − 2 ; 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 7 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 1 ; 𝑑 𝑑𝑥 𝑧 = 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 2 ; 𝑑 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 + 𝑑 𝑑𝑡 7 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 0 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 3. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 − 0 ; 𝑓′ 𝑡 = 2. 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 + 0 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 3. (1) ; 𝑓′ 𝑡 = 2. (1) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 3 ; 𝑓′ 𝑡 = 2
- 20. Ejemplo • 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 + 𝑑 𝑑𝑧 𝑧 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 + ℎ′ 𝑥 • 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 ; 𝑔 𝑥 = 9 ; ℎ 𝑥 = −2𝑥 • 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 + 1 + 9 + −2𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 10 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 10 = 1 + 0 • 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 + 1 + 9 + −2𝑥 = 1
- 21. Ejemplo • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 (𝑓 𝑥 )𝑛= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1. 𝑓′(𝑥) • 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 1 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4. 𝑥4−1 + 2. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 3. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 0 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4. 𝑥3 + 2. 2𝑥2−1 + 3. 1 + 0 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4. 𝑥3 + 4𝑥 + 3
- 22. Ejemplo • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1 . 𝑓′ (𝑥) • 𝑓 𝑥 = 3 𝑥3 − 2 𝑥 + 3𝑥−2 + 5𝑥1/7 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 3 𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 2 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥−2 + 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥1/7 • 𝑓′ 𝑥 = 3 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥3 − 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥−2 + 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥1/7 • 𝑓′ 𝑥 = 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥−3 − 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 2 + 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥−2 + 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 7 • 𝑓′(𝑥) = 3 −3 𝑥(−3−1) − 2 ( 1 2 )𝑥( 1 2 −1) + (3)(−2)𝑥(−2−1) + (5)( 1 7 )𝑥( 1 7 −1) • 𝑓′ 𝑥 = −9𝑥 −4 − 1𝑥 − 1 2 − 6𝑥(−3) + 5 7 𝑥(− 6 7 ) • 𝑓′ 𝑥 = − 9 𝑥4 − 1 2 − 6 𝑥3 + 5 7 7 𝑥6
- 23. Ejemplo • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1 • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 (𝑓 𝑥 )𝑛= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1. 𝑓′(𝑥) • ℎ 𝑥 = 3(𝑓 𝑥 )6 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 1 • 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥3−1 + 2𝑥2−1 • 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 • ℎ′ 𝑥 = 3.6 𝑓 𝑥 6−1 . (𝑓′ 𝑥 ) • ℎ′ 𝑥 = 18 𝑥3 + 𝑥2 + 1 5. (3𝑥2 + 2𝑥) • ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ); 𝑔 𝑥 = 3𝑥6 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 1 • ℎ 𝑥 = 3(𝑥3 + 𝑥2 + 1)6 • 𝑑 𝑑𝑥 ℎ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ((3(𝑥3 + 𝑥2 + 1 )6))
- 24. Ejemplo • 𝑑 𝑑𝑥 𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑑 𝑑𝑥 (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1 . 𝑓′ (𝑥) • ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ); 𝑔 𝑥 = 3𝑥6 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 1 • 𝑔′ 𝑥 = 18𝑥5 ; 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 • ℎ 𝑥 = 3(𝑥3 + 𝑥2 + 1)6 ; ℎ 𝑥 = 𝑐(𝑓 𝑥 )𝑛 • ℎ′ 𝑥 = c. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1 . 𝑓′ (𝑥) • ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛 • ℎ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′ (𝑥) • 𝑑 𝑑𝑥 ℎ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ( 3 𝑥3 + 𝑥2 + 1 6 ) • ℎ′ 𝑥 = 3.6 𝑥3 + 𝑥2 + 1 6−1. (3𝑥2 + 2𝑥) • ℎ′ 𝑥 = 18 𝑥3 + 𝑥2 + 1 5 . (3𝑥2 + 2𝑥)
- 25. Ejemplo • ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛 • ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥) • ℎ 𝑥 = 4 (2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3 • f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x = 4 𝑥3 = 𝑥 3 4 • 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 = 3 4 . 𝑥( 3 4 −1) • 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 = 3 4 . 𝑥(− 1 4 ) • 𝑔′ 𝑥 = 3 4𝑥 1 4 = 3 44 𝑥
- 26. Ejemplo • ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛 • ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥) • ℎ 𝑥 = 4 (2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3 • f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x = 4 𝑥3 = 𝑥 3 4 • • 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 = 3 44 𝑥 • ℎ′ 𝑥 = 3 4 4 2𝑥3+3𝑥4−𝑥2 . 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 • ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) Regla de la cadena • ℎ′(𝑥) = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
- 27. Ejemplo: • 𝑑 𝑑𝑥 𝑣. 𝑢 = 𝑑𝑣 𝑑𝑥 . 𝑢 + 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . 𝑣 • ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . [𝑔 𝑥 ] • ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + [𝑔′ 𝑥 . 𝑓 𝑥 ] • ℎ 𝑥 = [ 𝑥2 − 1 . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 ] • 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 • 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑔′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 • 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 • ℎ′ 𝑥 = 2x . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + [ 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 . 𝑥2 − 1 ] • ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + [4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥] • ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + 4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 • ℎ′ 𝑥 = 6𝑥5 + 5𝑥4 − 16𝑥3 − 3𝑥3 + 6𝑥
- 28. Ejemplo: • 𝑑 𝑑𝑥 𝑣/𝑢 = [ 𝑢. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 −𝑣. 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ] 𝑢2 • ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ; 𝑔 𝑥 ≠ 0 • ℎ′ 𝑥 = [𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ] [𝑔(𝑥)]2 • ℎ 𝑥 = [ 𝑥2−1 𝑥4+𝑥3−3𝑥2] • 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 • 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑔′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥4 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3. 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 • 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 • ℎ′ 𝑥 = [ 2x . 𝑥4+𝑥3−3𝑥2 − 4𝑥3+3𝑥2−6𝑥 .(𝑥2−1)] [𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2 • ℎ′ 𝑥 = [ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ] [𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
- 29. Ejemplo: • 𝑑 𝑑𝑥 𝑣/𝑢 = [ 𝑢. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 −𝑣. 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ] 𝑢2 • ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ; 𝑔 𝑥 ≠ 0 • ℎ′ 𝑥 = [𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ] [𝑔(𝑥)]2 • ℎ′ 𝑥 = [ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ] [𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2 • ℎ′ 𝑥 = [2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3−4𝑥5−3𝑥4+6𝑥3+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥] [𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2 • ℎ′ 𝑥 = [−2𝑥5−𝑥4+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥] [𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
- 30. Aplicaciones: • En un circuito eléctrico, Si V volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms IR = V. Si se supone que V es una constante positiva ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms? : • 𝐼𝑅 = 𝑉; 𝐼 = 𝑉 𝑅 • V.I.=R (x) 𝑑 𝑑𝑥 ; 𝑑 𝑑𝑅 ; V.D.=I (y) • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑑𝑅 . 𝑉 𝑅 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑑𝑅 . 90 𝑅 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = 90. 𝑑 𝑑𝑅 . 𝑅−1 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −1(90). 𝑅−1−1 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −1(90). 𝑅−2 I R
- 31. Aplicaciones: • En un circuito eléctrico, Si V volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms IR = V. Si se supone que V es una constante positiva ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms? : • 𝐼𝑅 = 𝐸; 𝐼 = 𝐸 𝑅 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −1(90). 𝑅−2 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −90 𝑉𝑜𝑙𝑡 𝑅2𝑜ℎ𝑚2 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −90 15 2 • 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = −0.4 I R
- 32. Aplicaciones: • f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x • 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 • 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 + 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 • 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 1 • 3𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0 • 𝑥 = −𝑏± 𝑏2−43𝑐 23 • 𝑥 = −6± 62−4(2)(−1) 2(2) • 𝑥1 = 0.1547 • 𝑥2 = −2.154
- 33. Aplicaciones: • f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x • 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 • 𝑥1 = 0.1547 • 𝑥2 = −2.154 • 𝑓 𝑥1 = 𝑥1 3 + 3𝑥1 2 − 𝑥1 • 𝑓 0.1547 = 0.1547 3 + (3)0.1547 2 − 0.1547 • 𝑓 0.1547 = −0.08 • 𝑓 𝑥2 = 𝑥2 3 + 3𝑥2 2 − 𝑥2 • 𝑓 −2.154 = −2.154 3 + (3)(−2.154 )2 −(−2.154) • 𝑓 −2.154 = 6.08
- 34. Aplicaciones: • f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x • 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 • 𝑥1 = 0.1547 • 𝑥2 = −2.154 • 𝑓 0.1547 = −0.08 • 𝑓 −2.154 = 6.08 x F(x)=y Max o Min 0.1547 −0.08 Min −2.154 6.08 Max
- 35. Ejercicios • 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = cos 𝑓 𝑥 . (𝑓′(𝑥)) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cosx • ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) ; 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3 − 1) • ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3 − 1) ;𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 • ;𝑔′ 𝑥 = cos(𝑥) ; 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 • ℎ′ 𝑥 = cos 𝑥3 − 1 . (3𝑥2)
- 36. Ejercicios • 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥)) • 𝑦 = cos(2𝑥5 + 𝑥) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥5 + 𝑥 • 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 2𝑥5 + 𝑥 • 𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 ; f′(x) = 10𝑥4 + 1 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 2𝑥5 + 𝑥 . (10𝑥4 + 1) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 10𝑥4 + 1 . 𝑠𝑒𝑛 2𝑥5 + 𝑥
- 37. Ejercicios • 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥)) • ℎ 𝑥 = tan 𝑥 − 1 • 𝑔 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 • 𝑔′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 ; f 𝑥 = 𝑥 1 2 − 1 • 𝑓′(𝑥) = 1 2 𝑥 1 2 −1 − 0 • 𝑓′(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 • ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1 . ( 1 2 𝑥− 1 2) • ℎ′ 𝑥 = ( 1 2𝑥 1 2 ). 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1 • ℎ′ 𝑥 = ( 1 2 𝑥 ). 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1
- 38. Ejercicios • 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2 (𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥)) • 𝑦 = cot(𝑥 1 4 − 𝑥) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (cot 𝑥 1 4 − 𝑥 ) • 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 4 − 𝑥 • 𝑔′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥) ; 𝑓′ 𝑥 = 1 4 𝑥− 3 4 − 1 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑥 1 4 − 𝑥 . ( 1 4 𝑥− 3 4 − 1) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 4𝑥 3 4 − 1 . 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 1 4 − 𝑥
- 39. Ejercicios • 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥; • ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑓 𝑥 . tan(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥)) • ℎ(𝑥) = sec(1 − 𝑥3) • 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥3 • 𝑔′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 • ℎ′ 𝑥 = sec 1 − 𝑥3 . tan 1 − 𝑥3 . (−3𝑥2) • ℎ′ 𝑥 =. −3𝑥2 . sec 1 − 𝑥3 . tan 1 − 𝑥3
- 40. Ejercicios • 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥; • ℎ 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 𝑓 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥)) • ℎ(𝑥) = csc(𝑥7 − 𝑥3) • 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥7 − 𝑥3 • 𝑔′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = 7𝑥6 − 3𝑥2 • ℎ′ 𝑥 = − csc 𝑥7 − 𝑥3 . cot 𝑥7 − 𝑥3 . (7𝑥6 − 3𝑥2) • ℎ′ 𝑥 = − 7𝑥6 − 3𝑥2 . csc 𝑥7 − 𝑥3 . cot 𝑥7 − 𝑥3
- 41. Ejercicios • 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑥 ; ℎ 𝑥 = ln(𝑓 𝑥 ) ; ℎ′ 𝑥 = 1 𝑓 𝑥 . (𝑓′ 𝑥 ) • ℎ 𝑥 = ln(𝑥2 − 1) ; ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) • 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 • 𝑔′ 𝑥 = 1 𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 • ℎ′ 𝑥 = 1 𝑥2−1 . (2𝑥) • ℎ′ 𝑥 = 2𝑥 𝑥2−1
- 42. Ejercicios • 𝑦 = 𝑒𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ; ℎ 𝑥 = 𝑒(𝑓(𝑥)); ℎ′ 𝑥 = 𝑒 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥) • ℎ 𝑥 = 𝑒(𝑥2−2𝑥+1) • 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 • 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 2 • ℎ′ 𝑥 = 𝑒 𝑥2−2𝑥+1 . (2𝑥 − 2)