ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Derivades 2n de Batxillerat CCSS

•
•
Albert Sola
Albert Sola

Presentació del tema de les Derivades a les matemàtiques aplicades a les CCSS de 2n de Batxillerat

1 of 12
Download to read offline
Tema 8-9-10: Derivades 1. Introducció 1.1 Conceptes previs 1.2 La taula de derivades 1.3 Interpretació gràfica 2. Definició de derivada 3. Derivabilitat de funcions 4. Aplicacions de la derivada 4.1 Estudi i representació de funcions 4.2 Problemes d'optimització
1. Introducció 1.1 Conceptes previs -En una funció, per a cada valor de x es correspon un valor de y. -Per a qualsevol punt d'una funció corba hi passa una recta tangent. -Les rectes són funcions del tipus y = mx + n, on m és la pendent. -La derivada d'una funció en un punt determinat és la pendent (m) de la recta tangent a aquest punt. -Per a cada funció f (x) existeix una funció derivada f '(x) que ens indica ràpidament aquesta pendent m per a qualsevol valor de x.
a) Funcions elementals b) Regla de la cadena 1.2 La taula de derivades
c) Regles de derivació p174ss: 33, 34, 35, 40, 41, 45, 49, 52, 57, 63 i 66. [ f (x)+g(x)]'= f ' (x)+g ' (x) [k·f (x)]'=k·f ' (x) [ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x) [ f (x) g(x) ]'= f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x) [ g(x)]2 [(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x) 1.3 Interpretació gràfica Exemple y = x2 i y' = 2x
2. Definició de derivada -La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval? TVM ([a ,b])= f (b)− f (a) b−a a b f(b) f(a) -La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret) TVM ([a ,b])=mr a a+h f(a+h) f(a) f ' (a)=lim h→ 0 f (a+h)− f (a) h a f(a) h h→ 0 f ' (a)=mr p159: E2, p163: E4 p157: 2, 5
3. Derivabilitat de funcions -Una funció NO és derivable en: Comprovar en x=-1 de: f (x)= x+1 x2 +x a) Punts de discontinuïtat b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió. c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞ d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞ -Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a. I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a
4. Aplicacions de la derivada Repàs últim apartat del tema anterior a) Domini Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0 b) Punts de tall amb els eixos Eix y: Càlcul de f (0) Verticals en x = c quan: c) Asímptotes Horitzontals en y = k quan: lim x →c f (x)=∞ lim x →±∞ f (x)=k Obliqües en y = mx + n quan: lim x →∞ f (x) x =m=0 lim x →∞ [ f (x)−mx]=n 4.1 Estudi i representació de funcions
Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix d) Monotonia (creix o decreix) e) Curvatura (còncau o convex) Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim Si f''(a) > 0 Mínim Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió p172: 31,32, 36, 37, 38, 39, 43, 44, 54, 55 p213: 1,2,8,9,10,11,13,15,16,17,19,20
Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes a) Problemes amb la funció donada 1r: Fer derivada 2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim) f ' (t)=10−2t 10−2t=0;t=5mesos 3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín f ' ' (t)=−2 Exemple: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2 t: temps en mesos En quin moment és el màxim benefici? Negatiu, per tant màxim. El màxim benefici és al cap de 5 mesos 4.2 Problemes d'optimització
b) Problemes en què cal construir la funció 1r: Expressar funció 2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x)) f (x , y)=x2 +2y x· y=125 3r: Seguir amb el procés anterior f ' (x)=2x− 250 x 2 Exemple: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de tal manera que el valor del quadrat del primer més el doble del segon sigui mínim condició Els nombres són el 5 i el 25. p234 24,25,26,27,28,29,30 funció y= 125 x f (x)=x2 +2· 125 x 2x− 250 x 2 =0; x=5 f ' ' (x)=2− 500 x3 f ' ' (5)=6>0
3. Teorema de Rolle Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b), i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim. Michel Rolle "per força la funció ha de fer un retorn" p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
4. Regla de l'Hôpital Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0. p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107 lim x →c f (x) g (x) =lim x→c f ' (x) g ' (x) lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = 0 0 Exemple: lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = lim x →−1 2x+4 3x 2 = 2 3 f ' (x)=2x+4 g ' (x)=3x2

More Related Content

Derivades 2n de Batxillerat CCSS

  • 1. Tema 8-9-10: Derivades 1. Introducció 1.1 Conceptes previs 1.2 La taula de derivades 1.3 Interpretació gràfica 2. Definició de derivada 3. Derivabilitat de funcions 4. Aplicacions de la derivada 4.1 Estudi i representació de funcions 4.2 Problemes d'optimització
  • 2. 1. Introducció 1.1 Conceptes previs -En una funció, per a cada valor de x es correspon un valor de y. -Per a qualsevol punt d'una funció corba hi passa una recta tangent. -Les rectes són funcions del tipus y = mx + n, on m és la pendent. -La derivada d'una funció en un punt determinat és la pendent (m) de la recta tangent a aquest punt. -Per a cada funció f (x) existeix una funció derivada f '(x) que ens indica ràpidament aquesta pendent m per a qualsevol valor de x.
  • 3. a) Funcions elementals b) Regla de la cadena 1.2 La taula de derivades
  • 4. c) Regles de derivació p174ss: 33, 34, 35, 40, 41, 45, 49, 52, 57, 63 i 66. [ f (x)+g(x)]'= f ' (x)+g ' (x) [k·f (x)]'=k·f ' (x) [ f (x)· g(x)]'= f ' (x)· g(x)+ f (x)· g ' (x) [ f (x) g(x) ]'= f ' (x)· g(x)− f (x)· g ' ( x) [ g(x)]2 [(g ο f )(x)]'=g ' ( f (x))· f ' (x) 1.3 Interpretació gràfica Exemple y = x2 i y' = 2x
  • 5. 2. Definició de derivada -La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval? TVM ([a ,b])= f (b)− f (a) b−a a b f(b) f(a) -La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret) TVM ([a ,b])=mr a a+h f(a+h) f(a) f ' (a)=lim h→ 0 f (a+h)− f (a) h a f(a) h h→ 0 f ' (a)=mr p159: E2, p163: E4 p157: 2, 5
  • 6. 3. Derivabilitat de funcions -Una funció NO és derivable en: Comprovar en x=-1 de: f (x)= x+1 x2 +x a) Punts de discontinuïtat b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió. c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞ d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞ -Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a. I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = a si f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a
  • 7. 4. Aplicacions de la derivada Repàs últim apartat del tema anterior a) Domini Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0 b) Punts de tall amb els eixos Eix y: Càlcul de f (0) Verticals en x = c quan: c) Asímptotes Horitzontals en y = k quan: lim x →c f (x)=∞ lim x →±∞ f (x)=k Obliqües en y = mx + n quan: lim x →∞ f (x) x =m=0 lim x →∞ [ f (x)−mx]=n 4.1 Estudi i representació de funcions
  • 8. Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix d) Monotonia (creix o decreix) e) Curvatura (còncau o convex) Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim Si f''(a) > 0 Mínim Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió p172: 31,32, 36, 37, 38, 39, 43, 44, 54, 55 p213: 1,2,8,9,10,11,13,15,16,17,19,20
  • 9. Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes a) Problemes amb la funció donada 1r: Fer derivada 2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim) f ' (t)=10−2t 10−2t=0;t=5mesos 3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín f ' ' (t)=−2 Exemple: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2 t: temps en mesos En quin moment és el màxim benefici? Negatiu, per tant màxim. El màxim benefici és al cap de 5 mesos 4.2 Problemes d'optimització
  • 10. b) Problemes en què cal construir la funció 1r: Expressar funció 2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x)) f (x , y)=x2 +2y x· y=125 3r: Seguir amb el procés anterior f ' (x)=2x− 250 x 2 Exemple: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de tal manera que el valor del quadrat del primer més el doble del segon sigui mínim condició Els nombres són el 5 i el 25. p234 24,25,26,27,28,29,30 funció y= 125 x f (x)=x2 +2· 125 x 2x− 250 x 2 =0; x=5 f ' ' (x)=2− 500 x3 f ' ' (5)=6>0
  • 11. 3. Teorema de Rolle Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b), i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim. Michel Rolle "per força la funció ha de fer un retorn" p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
  • 12. 4. Regla de l'Hôpital Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0. p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107 lim x →c f (x) g (x) =lim x→c f ' (x) g ' (x) lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = 0 0 Exemple: lim x →−1 x2 +4x+3 x 3 +1 = lim x →−1 2x+4 3x 2 = 2 3 f ' (x)=2x+4 g ' (x)=3x2