際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Differensial analisis 1

Iwan Umri
Iwan Umri

bab 6 real analisis

1 of 10
Downloaded 92 times
DIFFERENSIAL Bagian 6.1 turunan Pada bagian ini kita akan menyajikan sifat-sifat dasar dari turunan. Kita mulai dengan defenisi turunan dari suatu fungsi. Defenisi 6.1.1 Misalkan RI adalah suatu interval, misalkan RIf : , dan misalkan Ic . Kita katakan bahwa sebuah bilangan real L adalah turunan dari f pada c jika diberikan sembarang 0>竜 terdapat 0)( >竜隆 sedemikian sehingga jika 1x memenuhi )(0 竜隆<< cx , maka (1) 竜< L cx cfxf )()( Dalam kasus ini kita katakan f memiliki turunan di c , dan kita tulis )(' cf untuk L . Dengan kata lain, turunan dari f pada c diberikan oleh limit. (2) cx cfxf cf cx = )()( lim)(' Asalkan limitnya ada.(kita memberikan kemungkinan bahwa c mungkin menjadi titik ujung dari interval.) Catatan kemungkinan untuk mendefenisikan turunan dari suatu fungsi yang mempunyai suatu domain lebih umum dibanding suatu interval ( ketika titik c hanya perlu menjadi unsur dan juga titik cluster dari domain) tetapi arti dari konsep yang paling nyata untuk fungsi yang terdefnisi pada interval. Sebagai konsekwensinya kita akan membatasi perhatian kita untuk fungsi tersebut. Bilamana turunan dari Rf : ada pada titik Ic , nilainya dinotasikan oleh )(' cf . Dalam hal ini kita memperoleh sebuah fungsin 'f yang domainnya adalah subset dari domain f . Dalam bekerja dengan fungsi 'f , akan lebih mudah untuk menganggapnya juga sebagai fungsi dari x . Sebagai contoh, jika 2 :)( xxf = untuk Rx , lalu untuk sembarang c di R kita punya ccx cx cx cx cfxf cf cxcxcx 2)(limlim )()( lim)(' 22 =+= = = jadi, pada kasus ini, fungsi 'f terdefenisi pada semua R dan xxf 2)(' = for Rx . Kita sekarang menunjukkan bahwa kontinuitas f pada titik c adalah kondisi penting (tapi tidak cukup) kondisi keberadaan turunan pada c . Teorema 6.1.2 jika RIf : turunan di Ic , maka f kontinu di c . Bukti. Untuk setiap Ix , cx , kita punya
)( )()( )()( cx cx cfxf cfxf 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = karena )(' cf ada, kita dapat menerapkan Theorem 4.2.4 mengenai limit hasil kali untuk menyimpulkan bahwa )(lim )()( lim)()(lim cx cx cfxf cfxf cxcxcx 錚 錚 錚 錚 錚 錚 == 00).(' == cf Oleh karena itu, )()(lim cfxf cx = sehingga kontinu dic . Kekontinuan dari RIf : pada sebuah titik tidak menjamin adanya turunan pada titik itu. Sebagai contoh jika xxf =:)( untuk Rx , kemudian untuk 0x kita punya xxxcfxf /)0/()()( = yang mana sama dengan 1 jika 0>x , dan sama dengan -1 jika 0<x . Dengan demikian limit pada 0 tidak ada.[lihat contoh 4.1.10(b)], dan karena fungsi ini tidak punya turunan di 0. Karena itu, kontinuitas pada titik c bukanlah sebuah kondisi yang cukup untuk turunan pada c . Komentar Dengan mengambil kombinasi alajabar sederhana fungsi dari bentuk | | tidaklah sulit untuk membentuk fungsi kontinu yang tidak punya turunan pada jumlah titik-titik terbatas (atau bahkan yang dapat dihitung). Di 1872, Karl Weierstrass mengejutkan dunia matematika dengan memeberikan sebuah contoh fungsi yang kontinu di setiap titik tetapi turunannya tidak ada dimanapun. Fungsi seperti ini menantang intuisi geometris tentang kurva dan bentuk tangen, dan sebagai konswekuensi mendorong banyak peneitian yang lebih dalam ke dalam konsep analisis real. Itu dapat ditunjukkan bahwa fungsi f didefensikan oleh deret = = 0 )3cos( 2 1 :)( n n n xxf memiliki sifat lain. Suatu diskusi yang sangat menarik tentang ini dan contoh-contoh yang lain akan berlanjut. Fungsi tidak punya turunan diberikan di Kline, p. 955-966, dan juga di Hawkins, p. 44-46. Bukti rinci untuk contoh yang sedikit berbeda dapat di temukan pada Appendix E (catatan tambahan). Ada beberapa sifat-sifat dasar dari turunan yang sangat berguna untuk perhitungan turunan dari berbagai kombinasi fungsi. Kita sekarang memberikan pembuktian dari beberapa sifat ini, yang akan menjadi familiar bagi pembaca dari pembelajaran sebelumnya. Teorema 6.1.3 misalkan RI suatu interval, misalkan Ic , dan misalkan RIf : dan RIg : fungsi yang memunyai turunan di c . Kemudian: (a) jika R留 , maka fungsi f留 mempunyai turunan di c
(3) )(')()'( cfcf 留留 = (b) fungsi gf + mempunyai turunan di c , dan (4) )(')(')()'( cgcfcgf +=+ (c) (aturan hasil kali) fungsi fg mempunyai turunan di c, dan (5) )(')()()('')()'( cgcfcgcfcfg += (d) (aturan hasil bagi) jika ,0)( cg maka fungsi gf / mempunyai turunan di c, dan (6) ( )2 ' )( )(')()()(' )( cg cgcfcgcf c g f =錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 Bukti. Kita akan membuktikan (c) dan (d), meninggalkan (a) dan (b) sebagai latihan untuk pembaca. (c) misalkan fgp =: ; maka untuk Ix , cx , kita punya cx cgcfxgxf cx cpxp = )()()()()()( cx cgcfxgcfxgcfxgxf + = )()()()()()()()( cx cgxg cfxg cx cfxf + = )()( ).()(. )()( Karena g kontinu di c , dari teorema 6.1.2, maka )()(lim cgxg cx = . Karena f dan g mempunyai turunan di c , kita menyimpulkan dari teorema 4.2.4 pada sifat-sifat limit bahwa ).(')()()(' )()( lim cgcfcgcf cx cpxp cx += Karenanya fgp =: memyai turunan di c dan (5)berlaku. (d) misalkan gfq /:= . Karena g mempunyai turunan di c ,dia kontinu di titik itu (menurut teorema 6.1.2). oleh karena itu, karena 0)( cg , kita tahu dari teorema 4.2.9 bahwa terdapat sebuah interval IJ dengan Jc sehingga 0)( xg untuk setiap cxJx , , kita punya ))(()( )()()()()(/)()(/)()()( cxcgxg xgcfcgxf cx cgcfxgxf cx cqxq = = ))(()( )()()()()()()()( cxcgxg xgcfcgcfcgcfcgxf + =
. )()( ).()(. )()( )()( 1 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = cx cgxg cfcg cx cfxf cgxg Menggunakan kekontinuan dari g dan differentiabiity dari f dan g di c , kita peroleh ( )2 )( )(')()()(')()( lim)(' cg cgcfcgcf cx cqxq cq cx = = Dengan begitu, gfq /:= mempunyai turunan di c dan persamaan (6)sebagai acuan. Induksi matematika mungkin digunakan untuk memperoleh perluasan-perluasan berikut dari aturan differensial . Akibat 6.1.4 jika nfff ,,2,1 ... adalah fungsi pada interval I ke R yang mempunyai turunan di c , maka: (a) Fungsi nfff +++ ...21 mempunyai turunan di c dan (7) )('...)(')(')()'...( 2121 cfcfcfcfff nn +++=+++ . (b) Fungsi nfff ...21 mempunyai turunan di c dan (8) ( ) )(')...(...)()...(')()()...()(')()'...( 21212121 cfcfcfcfcfcfcfcfcfcfff nnnn +++= Sebuah kasus yang penting dari perluasan aturan hasil kali (8) terjadi jika fungsi-fungsinya sama, adalah, ffff n ==== ...21 . Kemudian (8) menjadi (9) ( ) )(')()()'( 1 cfcfncf nn = Khususnya, jika kita ambil xxf =:)( , maka kita mendapatkan turunan dari n xxg =:)( menjadi Nnnxxg n = ,)(' 1 . Rumusan ini diperluas untuk mencakup bilangan bulat negatif dengan menerapkan aturan hasil bagi 6.1.3(d). notasi jika RI adalah sebuah interval dan RIf : , kita dapat memperkenalkan notasi 'f untuk menunjukkan fungsi yang punya domain adalah subset dari I dan nilainya di sebuah titik c adalah turunan )(' cf dari f di c . Ada notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk 'f ; sebagai contoh, salah satunya ditulis Df untuk 'f . Dengan begitu dapat menulis rumus (4) dan(5) kedalam bentuk : ,)( DgDfgfD +=+ ).().()( DgfgDffgD += . Ketika x variabel independen, Merupakan untuk penerapan pada latihan dasar untuk menulis dxdf / untuk 'f . Jadi rumusan (5) kadang ditulis kedalam bentuk
( ) 錚 錚 錚 錚 錚 錚 +錚 錚 錚 錚 錚 錚 = )()()()()()( x dx dg xfxgx dx df xgxf dx d Notasi terakhir ini, berkaitan dengan Leibniz, punya kelebihan khusus. Akan tetapi juga punya kekurangan dan harus digunakan beberapa ketelitian. Aturan Rantai Sekarang kita beralih ke teorema pada differensial dari fungsi komposisi yang dikenal sebagai Aturan Rantai. Yang menetapkan sebuah rumus untuk menemukan turunan dari fungsi komposisi fg o berkaitan dengan turunan untuk g dan f . Kita tetapkan dahulu teorema berikut mengenai turunan dari fungsi pada sebuah titik yang memberikan kita metode yang sangat baik untuk membuktikan Aturan Rantai. Juga akan digunakan untuk memperoleh rumus penurunan fungsi invers. 6.15 Teorema caratheodory. Misalkan f terdefenisi pada sebuah interval I yang terdapat titik c . f mempunyai turunan dic , jika dan hanya jika ada sebuah fungsi pada I yang kontinu di c dan memnuhi (10) ))(()()( cxxcfxf = untuk Ix Pada kasus ini, kita punya ).(')( cfx = Bukti. ( ) jika )(' cf ada, kita dapat mendefinisikan dengan = , = 0 Kekontinuan dari berdasarkan fakta bahwa ).(')(lim cfx cx = jika cx = maka kedua sisi dari (10) sama dengan 0, sementara itu jika , perkalian dari dengan menghasilkan (10) untuk selain . ( ) sekarang asumsikan bahwa fungsi kontinu pada c dan memenuhi (10) . jika kita membagi (10) dengan 0, maka kekontinuan dari menyatakan bahwa = lim = lim Ada. Oleh karena itu, mempunyai turunan di dan = . Untuk menjelaskan Teorema caratheodory, kita menganggap fungsi didefenisikan oleh : = untuk #. Untuk #, kita lihat bentuk faktorisasi = % + + % Bahwa = % + + % memenuhi kondisi-kondisi dari teorema. Oleh karena itu, kita menyimpuilkan bahwa mempunyai turunan di # dan = = 3 % .
Sekarang kita akan menetapkan Aturan Rantai. Jika mempunyai turunan di dan ( mempunyai turunan di . Maka aturan rantai ditetapkan bahwa turunan dari fungsi komposisi ( di adalah hasil ( = ( . . catatan ini dapat di tulis ( = ( . Satu pendekatan Aturan Rantai adalah pengamatan bahwa perbedaan hasil bagi dapat ditulis, ketika , sebagai hasil kali ( ( = ( ( . Ini mengusulkan nilai pembatasan yang benar. Sialnya, faktor pertama hasil kali pada bagian kanan tidak terdefenisi jika penyebut sama dengan 0 untuk nilai yang mendekati c, dan ini menjadi sebuah persoalan. Akan tetapi, penggunaan teorema caratheodory dengan teliti, menghindari dari kesulitan ini. 6.16 Chain Rulemisalkan ,, interval di #, (: # dan : , #adalah fungsi sehingga , dan misalkan ,. Jika mempunyai turunan di dan ( mempunyai turunan di , maka fungsi komposisi ( mempunyai turunan di dan (11) ( = ( . /. . Bukti. Ketika ada, teorema caratheodory secara tidak langsung menyatakan bahwa ada sebuah fungsi di , sehingga kontinu di dan ))(()()( cxxcfxf = untuk , dan dimana = . Juga, ketika ( . / ada, ada suatu fungsi 0 yang terdefinisi di ,, sehingga 0 kontinu di 1 dan ( 3 ( 1 = 0 3 3 1 untuk 3 , dimana 0 1 = ( 1 . Subsutisi 3 = dan 1 = menghasilkan ( (. / = 0 = 4.0 /. 0 5 untuk setiap , sehingga . Karena fungsi 0 . adalah kontinu pada dan nilai pada adalah ( . , Teorema Caratheodory memberikan (11). Jika ( dapat diturunkan pada , jika dapat diturunkan pada dan jika , , maka mengikuti dari aturan rantai bahwa ( = ( . , juga dapat ditulis dalam bentuk 6 ( = 6( . 6 . 6.1.7 Contoh (a) Jika : # dapat diturunkan pada dan ( 3 : = 37 untuk 3 # dan 8, maka karena ( 3 : = 379: maka dari Aturan Rantai 6.1.6 bahwa ( = ( . /. untuk Oleh karena itu kita punya 7 = . / 79: untuk setiap seperti yang terlihat dalam (9). (b) Misalkan : # dapat diturunkan pada dan bahwa 0 dan 0 untuk setiap . jika 3 1 untuk 3 0, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa 3 = 1/3% untuk 3 #, 3 0. Oleh karena itu kita punya
> 1 ? = . = . / = % Untuk (c) Fungsi nilai mutlak ( | | dapat diturunkan pada setiap 0 dan memiliki turunan ( = @( untuk 0 . (Fungsi signum didefinisikan dalam Contoh 4.1.10(b)) Meskipun sgn didefinisikan di mana-mana, itu tidak sama dengan ( pada = 0 karena ( 0 tidak ada. Sekarang jika adalah fungsi terdiferensiasi, maka aturan rantai menunjukkan bahwa fungsi ( = | | juga terdiferensialkan pada semua titik dimana 0 dan turunannya diberikan oleh | | = @( . /. = A , jika > 0 , jika < 0 Jika dapat diturunkan di titik dengan = 0, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa | | mempunyai turunan di jika dan hanya jika = 0. (Lihat Latihan 7.) Sebagai contoh, jika : = % 1 untuk # , maka turunan dari nilai mutlak | | = | % 1| sama dengan | | = @( % 1 . 2 untuk 1, 1. Lihat Gambar 6.1.1 untuk grafik dari | |. (d) Ini akan terbukti kemudian bahwa jika G sin dan I : = J@ untuk setiap # , maka G = J@ = I dan I = @K = G untuk setiap #. Jika kita menggunakan fakta-fakta ini bersama-sama dengan definisi tan : = sin cos , sec : = 1 cos untuk = 2 + 1 O / 2, P, dan menerapkan Aturan hasil bagi 6.1.3 (d), kita memperoleh 6 tan = cos cos sin sin cos % = sec % , 6 sec = 0 1 sin cos % = sin cos % = sec tan untuk = 2 + 1 O / 2, P Demikian pula, karena cot : = cos sin , csc : = 1 sin untuk O, P, maka kita mendapatkan 6 cot = csc % dan 6 csc = csc cot untuk O, P
(e) Misalkan didefinisikan oleh = A % sin 1 jika 0, 0 jika = 0. Jika kita menggunakan fakta bahwa 6 @K = J@ untuk setiap #. dan menerapkan Aturan Hasil kali 6.1.3 (c) dan aturan rantai 6.1.6, kita memperoleh (mengapa?) = 2 sin 1 cos 1 untuk 0 jika = 0, tidak ada aturan perhitungan dapat diterapkan. (Mengapa?) Akibatnya, turunan dari di = 0 harus dicari dengan menerapkan definisi turunan. Kita menemukan bahwa 0 = lim R 0 0 = lim R % sin 1 = lim R sin 1 = 0 Oleh karena itu, turunan dari ada pada setiap # Namun, fungsi ' tidak memiliki limit pada = 0 (mengapa?), dan akibatnya tidak kontinu pada = 0. Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan pada setiap titik dari # tidak perlu punya turunan kontinu . Fungsi invers Kita sekarang akan mengaitkan turunan dari suatu fungsi dengan turunan dari fungsi invers, ketika fungsi invers ini ada. Kita akan membatasi perhatian kita pada fungsi monoton yang kontinyu dan menggunakan Teorema Inverse kontinyu 5.6.5 untuk memastikan adanya fungsi invers kontinu. Jika f adalah fungsi monoton yang kontinyu pada interval , maka fungsi inversnya ( = 9: didefinisikan pada interval ,: = dan memenuhi hubungan (. / = untuk Jika dan 1 = , dan jika kita tahu bahwa keduanya dan ( 1 ada, maka kita bisa membedakan kedua sisi persamaan dan menerapkan aturan rantai di sisi kiri untuk mendapatkan ( . = 1. Jadi, jika 0, kita akan memperoleh ( 1 = 1 . Namun, perlu untuk menyimpulkan differentiability dari fungsi invers ( dari asumsi differentiability sebelum perhitungan tersebut dapat dilakukan. Ini dicapai dengan dengan baik dengan menggunakan Teorema Caratheodory 6.1.8 Theorem Misalkan adalah interval di # dan misalkan : # adalah monoton tajam dan kontinu pada . misalkan ,: = dan misalkan (: , # menjadi monoton tajam dan kontinu dari fungsi invers . Jika dapat diturunkan di dan = 0, maka ( dapat diturunkan di 1 dan ( 1 = 1 = 1 ( 1 . Bukti. Diberikan #, kita peroleh dari Caratbeodory Teorema 6.1.5 fungsi pada dengan sifat bahwa adalah kontinu pada , = untuk , dan = . Karena 0 dari hipotesis, terdapat lingkungan V: = W, + W sehingga
= 0 untuk setiap V . (Lihat Teorema 4.2.9.) Jika Y: = V , maka fungsi invers ( memenuhi .( 3 / = 3 untuk setiap 3 Y, sehingga 3 1 = .( 3 / = .( 3 /. .( 3 ( 1 /. Karena .( 3 / 0 untuk 3 Y, kita bisa membagi untuk mendapatkan ( 3 ( 1 = 1 .( 3 / . 3 1 . Karena fungsi 1/ ( adalah kontinu pada 1, kita menerapkan Teorema 6.1.5 untuk menyimpulkan bahwa ( 1 = 1/ .( 1 / = 1 ( 1 = 1/ . Catatan Hipotesis ini , dibuat dalam Teorema 6.1.8, bahwa 0 adalah penting. Bahkan, jika = 0, maka fungsi invers ( tidak pernah mempunyai turunan pada 1 = , karena adanya asumsi ( 1 akan menyebabkan 1 ( 1 = 0, yang adalah mustahil. Fungsi : = dengan = 0 adalah sebagi contoh. 6.1.9 Theorem Misalkan adalah interval dan misalkan : # monoton tajam pada . misalkan ,: = dan misalkan (: , # adalah fungsi invers dari . Jika dapat diturunkan di dan 0 untuk , maka ( dapat diturunkan pada , dan ( = 1 ( . Bukti. Jika dapat diturunkan di , maka Teorema 6. 1 .2 menunjukkan bahwa kontinu di , dan dengan Teorema invers kontinu 5.6.5, fungsi invers ( kontinu di ,. Persamaan (13) sekarang mengikutiTeorema 6.1.8. Komentar Jika dan ( adalah fungsi dari Teorema 6.1.9, dan jika dan 3 , saling berhubungan dengan 3 = ) dan = ( 3 , maka persamaan (13) dapat ditulis dalam bentuk ( = 1 ( 3 , 3 , atau ( = 1 , Hal ini juga dapat ditulis dalam bentuk ( 3 = 1/ ), asalkan diingat bahwa dan 3 dihubungkan daaari 3 = dan = ( 3 . 6.1.10 Contoh (a) Fungsi : # # didefinisikan oleh : = Z + 4 + 3 adalah kontinu dan monoton naik tajam (karena itu adalah jumlah dari dua fungsi naik tajam). Selain itu, = 5 ] + 4 tidak pernah nol. Oleh karena itu, menurut Teorema 6.1 .8, Fungsi invers ( = 9: dapat diturunkan pada setiap titik. Jika kita mengambil = 1, maka karena 1 = 8, kita memperoleh ( 8 = ( . 1 / = 1 1 = 1/9. (b) Misalkan 8 adalah genap, misalkan [0, , dan misalkan 7 untuk . Hal itu terlihat pada akhir dari Bagian 5.6 bahwa adalah naik tajam dan kontinyu pada , sehingga
fungsi invers ( 3 3: 7 untuk y J [0, juga sangat meningkat dan kontinu pada . Selain itu, kita memiliki = 79: untuk setiap . Oleh karena itu mengikuti bahwa jika 3 > 0 , maka ( ada dan ( 3 = 1 ( 3 = 1 ( 3 79: = 1 3 79: 7 . Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa ( 3 = 1 3 : 7 9: untuk 3 > 0 Namun, ( tidak mempunyai turunan di 0. (Untuk grafik dan (, lihat Gambar 5.6.4 dan 5.6.5.) (c) Misalkan 8, 1 ganjil, misalkan d : = 7 untuk #, dan misalkan e 3 3: 7 adalah fungsi invers yang didefinisikan untuk setiap 3 #. Seperti dalam bagian (b) kita menemukan bahwa e dapat diturunkan untuk 3 0 dan bahwa e 3 = 1 3 : 7 9: untuk 3 0. Namun, e tidak memiliki turunan di 0, bahkan meskipun e dapat diturunkan untuk setiap 3 0 . (Untuk grafik d dan e, lihat Gambar 5.6.6 dan 5.6.7.) (d) misalkan f g adalah bilangan rasional positif, misalkan [0, , dan misalkan # = ( untuk . (Ingat Definisi 5.6.6) Kemudian # adalah komposisi fungsi : = h dan ( = : 7 , . Artinya # = ( untuk . Jika kita menerapkan aturan rantai 6. 1 .6 dan hasil (b) [atau (c), tergantung pada apakah n adalah genap atau ganjil, maka kita mendapatkan # = .( /( = g : 7 h9: . 1 : 7 9: = g h 7 9: = f i9: untuk setiap > 0. Jika f > 1, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa turunan juga ada di = 0 dan # 0 = 0. (Untuk grafik # lihat Gambar 5.6.8.) (e) Fungsi sinus adalah naik tajam pada interval [ O 2 , O 2 ] karena itu fungsi invers, yang kita akan tunjukkan dari Arcsin, ada di , [1,1]. Artinya, jika [ O 2 , O 2 ] dan 3 [1, 1] maka 3 = @K jika dan hanya jika Arcsin 3 = . Ini ditegaskan (tanpa bukti) dalam Contoh 6.1 .7 (d) @K yang mempunyai turunan pada dan 6 @K = J@ untuk . Karena J@ 0 untuk di O 2 , O 2 berasal dari Teorema 6. 1 .8 bahwa 6 kf @K 3 = 1 6 sin = 1 cos = 1 l1 @K % = 1 l1 3% untuk setiap 3 [1, 1] Turunan dari Arcsin tidak ada di titik -1 dan 1.

More Related Content

Differensial analisis 1

  • 1. DIFFERENSIAL Bagian 6.1 turunan Pada bagian ini kita akan menyajikan sifat-sifat dasar dari turunan. Kita mulai dengan defenisi turunan dari suatu fungsi. Defenisi 6.1.1 Misalkan RI adalah suatu interval, misalkan RIf : , dan misalkan Ic . Kita katakan bahwa sebuah bilangan real L adalah turunan dari f pada c jika diberikan sembarang 0>竜 terdapat 0)( >竜隆 sedemikian sehingga jika 1x memenuhi )(0 竜隆<< cx , maka (1) 竜< L cx cfxf )()( Dalam kasus ini kita katakan f memiliki turunan di c , dan kita tulis )(' cf untuk L . Dengan kata lain, turunan dari f pada c diberikan oleh limit. (2) cx cfxf cf cx = )()( lim)(' Asalkan limitnya ada.(kita memberikan kemungkinan bahwa c mungkin menjadi titik ujung dari interval.) Catatan kemungkinan untuk mendefenisikan turunan dari suatu fungsi yang mempunyai suatu domain lebih umum dibanding suatu interval ( ketika titik c hanya perlu menjadi unsur dan juga titik cluster dari domain) tetapi arti dari konsep yang paling nyata untuk fungsi yang terdefnisi pada interval. Sebagai konsekwensinya kita akan membatasi perhatian kita untuk fungsi tersebut. Bilamana turunan dari Rf : ada pada titik Ic , nilainya dinotasikan oleh )(' cf . Dalam hal ini kita memperoleh sebuah fungsin 'f yang domainnya adalah subset dari domain f . Dalam bekerja dengan fungsi 'f , akan lebih mudah untuk menganggapnya juga sebagai fungsi dari x . Sebagai contoh, jika 2 :)( xxf = untuk Rx , lalu untuk sembarang c di R kita punya ccx cx cx cx cfxf cf cxcxcx 2)(limlim )()( lim)(' 22 =+= = = jadi, pada kasus ini, fungsi 'f terdefenisi pada semua R dan xxf 2)(' = for Rx . Kita sekarang menunjukkan bahwa kontinuitas f pada titik c adalah kondisi penting (tapi tidak cukup) kondisi keberadaan turunan pada c . Teorema 6.1.2 jika RIf : turunan di Ic , maka f kontinu di c . Bukti. Untuk setiap Ix , cx , kita punya
  • 2. )( )()( )()( cx cx cfxf cfxf 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = karena )(' cf ada, kita dapat menerapkan Theorem 4.2.4 mengenai limit hasil kali untuk menyimpulkan bahwa )(lim )()( lim)()(lim cx cx cfxf cfxf cxcxcx 錚 錚 錚 錚 錚 錚 == 00).(' == cf Oleh karena itu, )()(lim cfxf cx = sehingga kontinu dic . Kekontinuan dari RIf : pada sebuah titik tidak menjamin adanya turunan pada titik itu. Sebagai contoh jika xxf =:)( untuk Rx , kemudian untuk 0x kita punya xxxcfxf /)0/()()( = yang mana sama dengan 1 jika 0>x , dan sama dengan -1 jika 0<x . Dengan demikian limit pada 0 tidak ada.[lihat contoh 4.1.10(b)], dan karena fungsi ini tidak punya turunan di 0. Karena itu, kontinuitas pada titik c bukanlah sebuah kondisi yang cukup untuk turunan pada c . Komentar Dengan mengambil kombinasi alajabar sederhana fungsi dari bentuk | | tidaklah sulit untuk membentuk fungsi kontinu yang tidak punya turunan pada jumlah titik-titik terbatas (atau bahkan yang dapat dihitung). Di 1872, Karl Weierstrass mengejutkan dunia matematika dengan memeberikan sebuah contoh fungsi yang kontinu di setiap titik tetapi turunannya tidak ada dimanapun. Fungsi seperti ini menantang intuisi geometris tentang kurva dan bentuk tangen, dan sebagai konswekuensi mendorong banyak peneitian yang lebih dalam ke dalam konsep analisis real. Itu dapat ditunjukkan bahwa fungsi f didefensikan oleh deret = = 0 )3cos( 2 1 :)( n n n xxf memiliki sifat lain. Suatu diskusi yang sangat menarik tentang ini dan contoh-contoh yang lain akan berlanjut. Fungsi tidak punya turunan diberikan di Kline, p. 955-966, dan juga di Hawkins, p. 44-46. Bukti rinci untuk contoh yang sedikit berbeda dapat di temukan pada Appendix E (catatan tambahan). Ada beberapa sifat-sifat dasar dari turunan yang sangat berguna untuk perhitungan turunan dari berbagai kombinasi fungsi. Kita sekarang memberikan pembuktian dari beberapa sifat ini, yang akan menjadi familiar bagi pembaca dari pembelajaran sebelumnya. Teorema 6.1.3 misalkan RI suatu interval, misalkan Ic , dan misalkan RIf : dan RIg : fungsi yang memunyai turunan di c . Kemudian: (a) jika R留 , maka fungsi f留 mempunyai turunan di c
  • 3. (3) )(')()'( cfcf 留留 = (b) fungsi gf + mempunyai turunan di c , dan (4) )(')(')()'( cgcfcgf +=+ (c) (aturan hasil kali) fungsi fg mempunyai turunan di c, dan (5) )(')()()('')()'( cgcfcgcfcfg += (d) (aturan hasil bagi) jika ,0)( cg maka fungsi gf / mempunyai turunan di c, dan (6) ( )2 ' )( )(')()()(' )( cg cgcfcgcf c g f =錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 Bukti. Kita akan membuktikan (c) dan (d), meninggalkan (a) dan (b) sebagai latihan untuk pembaca. (c) misalkan fgp =: ; maka untuk Ix , cx , kita punya cx cgcfxgxf cx cpxp = )()()()()()( cx cgcfxgcfxgcfxgxf + = )()()()()()()()( cx cgxg cfxg cx cfxf + = )()( ).()(. )()( Karena g kontinu di c , dari teorema 6.1.2, maka )()(lim cgxg cx = . Karena f dan g mempunyai turunan di c , kita menyimpulkan dari teorema 4.2.4 pada sifat-sifat limit bahwa ).(')()()(' )()( lim cgcfcgcf cx cpxp cx += Karenanya fgp =: memyai turunan di c dan (5)berlaku. (d) misalkan gfq /:= . Karena g mempunyai turunan di c ,dia kontinu di titik itu (menurut teorema 6.1.2). oleh karena itu, karena 0)( cg , kita tahu dari teorema 4.2.9 bahwa terdapat sebuah interval IJ dengan Jc sehingga 0)( xg untuk setiap cxJx , , kita punya ))(()( )()()()()(/)()(/)()()( cxcgxg xgcfcgxf cx cgcfxgxf cx cqxq = = ))(()( )()()()()()()()( cxcgxg xgcfcgcfcgcfcgxf + =
  • 4. . )()( ).()(. )()( )()( 1 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = cx cgxg cfcg cx cfxf cgxg Menggunakan kekontinuan dari g dan differentiabiity dari f dan g di c , kita peroleh ( )2 )( )(')()()(')()( lim)(' cg cgcfcgcf cx cqxq cq cx = = Dengan begitu, gfq /:= mempunyai turunan di c dan persamaan (6)sebagai acuan. Induksi matematika mungkin digunakan untuk memperoleh perluasan-perluasan berikut dari aturan differensial . Akibat 6.1.4 jika nfff ,,2,1 ... adalah fungsi pada interval I ke R yang mempunyai turunan di c , maka: (a) Fungsi nfff +++ ...21 mempunyai turunan di c dan (7) )('...)(')(')()'...( 2121 cfcfcfcfff nn +++=+++ . (b) Fungsi nfff ...21 mempunyai turunan di c dan (8) ( ) )(')...(...)()...(')()()...()(')()'...( 21212121 cfcfcfcfcfcfcfcfcfcfff nnnn +++= Sebuah kasus yang penting dari perluasan aturan hasil kali (8) terjadi jika fungsi-fungsinya sama, adalah, ffff n ==== ...21 . Kemudian (8) menjadi (9) ( ) )(')()()'( 1 cfcfncf nn = Khususnya, jika kita ambil xxf =:)( , maka kita mendapatkan turunan dari n xxg =:)( menjadi Nnnxxg n = ,)(' 1 . Rumusan ini diperluas untuk mencakup bilangan bulat negatif dengan menerapkan aturan hasil bagi 6.1.3(d). notasi jika RI adalah sebuah interval dan RIf : , kita dapat memperkenalkan notasi 'f untuk menunjukkan fungsi yang punya domain adalah subset dari I dan nilainya di sebuah titik c adalah turunan )(' cf dari f di c . Ada notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk 'f ; sebagai contoh, salah satunya ditulis Df untuk 'f . Dengan begitu dapat menulis rumus (4) dan(5) kedalam bentuk : ,)( DgDfgfD +=+ ).().()( DgfgDffgD += . Ketika x variabel independen, Merupakan untuk penerapan pada latihan dasar untuk menulis dxdf / untuk 'f . Jadi rumusan (5) kadang ditulis kedalam bentuk
  • 5. ( ) 錚 錚 錚 錚 錚 錚 +錚 錚 錚 錚 錚 錚 = )()()()()()( x dx dg xfxgx dx df xgxf dx d Notasi terakhir ini, berkaitan dengan Leibniz, punya kelebihan khusus. Akan tetapi juga punya kekurangan dan harus digunakan beberapa ketelitian. Aturan Rantai Sekarang kita beralih ke teorema pada differensial dari fungsi komposisi yang dikenal sebagai Aturan Rantai. Yang menetapkan sebuah rumus untuk menemukan turunan dari fungsi komposisi fg o berkaitan dengan turunan untuk g dan f . Kita tetapkan dahulu teorema berikut mengenai turunan dari fungsi pada sebuah titik yang memberikan kita metode yang sangat baik untuk membuktikan Aturan Rantai. Juga akan digunakan untuk memperoleh rumus penurunan fungsi invers. 6.15 Teorema caratheodory. Misalkan f terdefenisi pada sebuah interval I yang terdapat titik c . f mempunyai turunan dic , jika dan hanya jika ada sebuah fungsi pada I yang kontinu di c dan memnuhi (10) ))(()()( cxxcfxf = untuk Ix Pada kasus ini, kita punya ).(')( cfx = Bukti. ( ) jika )(' cf ada, kita dapat mendefinisikan dengan = , = 0 Kekontinuan dari berdasarkan fakta bahwa ).(')(lim cfx cx = jika cx = maka kedua sisi dari (10) sama dengan 0, sementara itu jika , perkalian dari dengan menghasilkan (10) untuk selain . ( ) sekarang asumsikan bahwa fungsi kontinu pada c dan memenuhi (10) . jika kita membagi (10) dengan 0, maka kekontinuan dari menyatakan bahwa = lim = lim Ada. Oleh karena itu, mempunyai turunan di dan = . Untuk menjelaskan Teorema caratheodory, kita menganggap fungsi didefenisikan oleh : = untuk #. Untuk #, kita lihat bentuk faktorisasi = % + + % Bahwa = % + + % memenuhi kondisi-kondisi dari teorema. Oleh karena itu, kita menyimpuilkan bahwa mempunyai turunan di # dan = = 3 % .
  • 6. Sekarang kita akan menetapkan Aturan Rantai. Jika mempunyai turunan di dan ( mempunyai turunan di . Maka aturan rantai ditetapkan bahwa turunan dari fungsi komposisi ( di adalah hasil ( = ( . . catatan ini dapat di tulis ( = ( . Satu pendekatan Aturan Rantai adalah pengamatan bahwa perbedaan hasil bagi dapat ditulis, ketika , sebagai hasil kali ( ( = ( ( . Ini mengusulkan nilai pembatasan yang benar. Sialnya, faktor pertama hasil kali pada bagian kanan tidak terdefenisi jika penyebut sama dengan 0 untuk nilai yang mendekati c, dan ini menjadi sebuah persoalan. Akan tetapi, penggunaan teorema caratheodory dengan teliti, menghindari dari kesulitan ini. 6.16 Chain Rulemisalkan ,, interval di #, (: # dan : , #adalah fungsi sehingga , dan misalkan ,. Jika mempunyai turunan di dan ( mempunyai turunan di , maka fungsi komposisi ( mempunyai turunan di dan (11) ( = ( . /. . Bukti. Ketika ada, teorema caratheodory secara tidak langsung menyatakan bahwa ada sebuah fungsi di , sehingga kontinu di dan ))(()()( cxxcfxf = untuk , dan dimana = . Juga, ketika ( . / ada, ada suatu fungsi 0 yang terdefinisi di ,, sehingga 0 kontinu di 1 dan ( 3 ( 1 = 0 3 3 1 untuk 3 , dimana 0 1 = ( 1 . Subsutisi 3 = dan 1 = menghasilkan ( (. / = 0 = 4.0 /. 0 5 untuk setiap , sehingga . Karena fungsi 0 . adalah kontinu pada dan nilai pada adalah ( . , Teorema Caratheodory memberikan (11). Jika ( dapat diturunkan pada , jika dapat diturunkan pada dan jika , , maka mengikuti dari aturan rantai bahwa ( = ( . , juga dapat ditulis dalam bentuk 6 ( = 6( . 6 . 6.1.7 Contoh (a) Jika : # dapat diturunkan pada dan ( 3 : = 37 untuk 3 # dan 8, maka karena ( 3 : = 379: maka dari Aturan Rantai 6.1.6 bahwa ( = ( . /. untuk Oleh karena itu kita punya 7 = . / 79: untuk setiap seperti yang terlihat dalam (9). (b) Misalkan : # dapat diturunkan pada dan bahwa 0 dan 0 untuk setiap . jika 3 1 untuk 3 0, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa 3 = 1/3% untuk 3 #, 3 0. Oleh karena itu kita punya
  • 7. > 1 ? = . = . / = % Untuk (c) Fungsi nilai mutlak ( | | dapat diturunkan pada setiap 0 dan memiliki turunan ( = @( untuk 0 . (Fungsi signum didefinisikan dalam Contoh 4.1.10(b)) Meskipun sgn didefinisikan di mana-mana, itu tidak sama dengan ( pada = 0 karena ( 0 tidak ada. Sekarang jika adalah fungsi terdiferensiasi, maka aturan rantai menunjukkan bahwa fungsi ( = | | juga terdiferensialkan pada semua titik dimana 0 dan turunannya diberikan oleh | | = @( . /. = A , jika > 0 , jika < 0 Jika dapat diturunkan di titik dengan = 0, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa | | mempunyai turunan di jika dan hanya jika = 0. (Lihat Latihan 7.) Sebagai contoh, jika : = % 1 untuk # , maka turunan dari nilai mutlak | | = | % 1| sama dengan | | = @( % 1 . 2 untuk 1, 1. Lihat Gambar 6.1.1 untuk grafik dari | |. (d) Ini akan terbukti kemudian bahwa jika G sin dan I : = J@ untuk setiap # , maka G = J@ = I dan I = @K = G untuk setiap #. Jika kita menggunakan fakta-fakta ini bersama-sama dengan definisi tan : = sin cos , sec : = 1 cos untuk = 2 + 1 O / 2, P, dan menerapkan Aturan hasil bagi 6.1.3 (d), kita memperoleh 6 tan = cos cos sin sin cos % = sec % , 6 sec = 0 1 sin cos % = sin cos % = sec tan untuk = 2 + 1 O / 2, P Demikian pula, karena cot : = cos sin , csc : = 1 sin untuk O, P, maka kita mendapatkan 6 cot = csc % dan 6 csc = csc cot untuk O, P
  • 8. (e) Misalkan didefinisikan oleh = A % sin 1 jika 0, 0 jika = 0. Jika kita menggunakan fakta bahwa 6 @K = J@ untuk setiap #. dan menerapkan Aturan Hasil kali 6.1.3 (c) dan aturan rantai 6.1.6, kita memperoleh (mengapa?) = 2 sin 1 cos 1 untuk 0 jika = 0, tidak ada aturan perhitungan dapat diterapkan. (Mengapa?) Akibatnya, turunan dari di = 0 harus dicari dengan menerapkan definisi turunan. Kita menemukan bahwa 0 = lim R 0 0 = lim R % sin 1 = lim R sin 1 = 0 Oleh karena itu, turunan dari ada pada setiap # Namun, fungsi ' tidak memiliki limit pada = 0 (mengapa?), dan akibatnya tidak kontinu pada = 0. Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan pada setiap titik dari # tidak perlu punya turunan kontinu . Fungsi invers Kita sekarang akan mengaitkan turunan dari suatu fungsi dengan turunan dari fungsi invers, ketika fungsi invers ini ada. Kita akan membatasi perhatian kita pada fungsi monoton yang kontinyu dan menggunakan Teorema Inverse kontinyu 5.6.5 untuk memastikan adanya fungsi invers kontinu. Jika f adalah fungsi monoton yang kontinyu pada interval , maka fungsi inversnya ( = 9: didefinisikan pada interval ,: = dan memenuhi hubungan (. / = untuk Jika dan 1 = , dan jika kita tahu bahwa keduanya dan ( 1 ada, maka kita bisa membedakan kedua sisi persamaan dan menerapkan aturan rantai di sisi kiri untuk mendapatkan ( . = 1. Jadi, jika 0, kita akan memperoleh ( 1 = 1 . Namun, perlu untuk menyimpulkan differentiability dari fungsi invers ( dari asumsi differentiability sebelum perhitungan tersebut dapat dilakukan. Ini dicapai dengan dengan baik dengan menggunakan Teorema Caratheodory 6.1.8 Theorem Misalkan adalah interval di # dan misalkan : # adalah monoton tajam dan kontinu pada . misalkan ,: = dan misalkan (: , # menjadi monoton tajam dan kontinu dari fungsi invers . Jika dapat diturunkan di dan = 0, maka ( dapat diturunkan di 1 dan ( 1 = 1 = 1 ( 1 . Bukti. Diberikan #, kita peroleh dari Caratbeodory Teorema 6.1.5 fungsi pada dengan sifat bahwa adalah kontinu pada , = untuk , dan = . Karena 0 dari hipotesis, terdapat lingkungan V: = W, + W sehingga
  • 9. = 0 untuk setiap V . (Lihat Teorema 4.2.9.) Jika Y: = V , maka fungsi invers ( memenuhi .( 3 / = 3 untuk setiap 3 Y, sehingga 3 1 = .( 3 / = .( 3 /. .( 3 ( 1 /. Karena .( 3 / 0 untuk 3 Y, kita bisa membagi untuk mendapatkan ( 3 ( 1 = 1 .( 3 / . 3 1 . Karena fungsi 1/ ( adalah kontinu pada 1, kita menerapkan Teorema 6.1.5 untuk menyimpulkan bahwa ( 1 = 1/ .( 1 / = 1 ( 1 = 1/ . Catatan Hipotesis ini , dibuat dalam Teorema 6.1.8, bahwa 0 adalah penting. Bahkan, jika = 0, maka fungsi invers ( tidak pernah mempunyai turunan pada 1 = , karena adanya asumsi ( 1 akan menyebabkan 1 ( 1 = 0, yang adalah mustahil. Fungsi : = dengan = 0 adalah sebagi contoh. 6.1.9 Theorem Misalkan adalah interval dan misalkan : # monoton tajam pada . misalkan ,: = dan misalkan (: , # adalah fungsi invers dari . Jika dapat diturunkan di dan 0 untuk , maka ( dapat diturunkan pada , dan ( = 1 ( . Bukti. Jika dapat diturunkan di , maka Teorema 6. 1 .2 menunjukkan bahwa kontinu di , dan dengan Teorema invers kontinu 5.6.5, fungsi invers ( kontinu di ,. Persamaan (13) sekarang mengikutiTeorema 6.1.8. Komentar Jika dan ( adalah fungsi dari Teorema 6.1.9, dan jika dan 3 , saling berhubungan dengan 3 = ) dan = ( 3 , maka persamaan (13) dapat ditulis dalam bentuk ( = 1 ( 3 , 3 , atau ( = 1 , Hal ini juga dapat ditulis dalam bentuk ( 3 = 1/ ), asalkan diingat bahwa dan 3 dihubungkan daaari 3 = dan = ( 3 . 6.1.10 Contoh (a) Fungsi : # # didefinisikan oleh : = Z + 4 + 3 adalah kontinu dan monoton naik tajam (karena itu adalah jumlah dari dua fungsi naik tajam). Selain itu, = 5 ] + 4 tidak pernah nol. Oleh karena itu, menurut Teorema 6.1 .8, Fungsi invers ( = 9: dapat diturunkan pada setiap titik. Jika kita mengambil = 1, maka karena 1 = 8, kita memperoleh ( 8 = ( . 1 / = 1 1 = 1/9. (b) Misalkan 8 adalah genap, misalkan [0, , dan misalkan 7 untuk . Hal itu terlihat pada akhir dari Bagian 5.6 bahwa adalah naik tajam dan kontinyu pada , sehingga
  • 10. fungsi invers ( 3 3: 7 untuk y J [0, juga sangat meningkat dan kontinu pada . Selain itu, kita memiliki = 79: untuk setiap . Oleh karena itu mengikuti bahwa jika 3 > 0 , maka ( ada dan ( 3 = 1 ( 3 = 1 ( 3 79: = 1 3 79: 7 . Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa ( 3 = 1 3 : 7 9: untuk 3 > 0 Namun, ( tidak mempunyai turunan di 0. (Untuk grafik dan (, lihat Gambar 5.6.4 dan 5.6.5.) (c) Misalkan 8, 1 ganjil, misalkan d : = 7 untuk #, dan misalkan e 3 3: 7 adalah fungsi invers yang didefinisikan untuk setiap 3 #. Seperti dalam bagian (b) kita menemukan bahwa e dapat diturunkan untuk 3 0 dan bahwa e 3 = 1 3 : 7 9: untuk 3 0. Namun, e tidak memiliki turunan di 0, bahkan meskipun e dapat diturunkan untuk setiap 3 0 . (Untuk grafik d dan e, lihat Gambar 5.6.6 dan 5.6.7.) (d) misalkan f g adalah bilangan rasional positif, misalkan [0, , dan misalkan # = ( untuk . (Ingat Definisi 5.6.6) Kemudian # adalah komposisi fungsi : = h dan ( = : 7 , . Artinya # = ( untuk . Jika kita menerapkan aturan rantai 6. 1 .6 dan hasil (b) [atau (c), tergantung pada apakah n adalah genap atau ganjil, maka kita mendapatkan # = .( /( = g : 7 h9: . 1 : 7 9: = g h 7 9: = f i9: untuk setiap > 0. Jika f > 1, maka itu merupakan latihan untuk menunjukkan bahwa turunan juga ada di = 0 dan # 0 = 0. (Untuk grafik # lihat Gambar 5.6.8.) (e) Fungsi sinus adalah naik tajam pada interval [ O 2 , O 2 ] karena itu fungsi invers, yang kita akan tunjukkan dari Arcsin, ada di , [1,1]. Artinya, jika [ O 2 , O 2 ] dan 3 [1, 1] maka 3 = @K jika dan hanya jika Arcsin 3 = . Ini ditegaskan (tanpa bukti) dalam Contoh 6.1 .7 (d) @K yang mempunyai turunan pada dan 6 @K = J@ untuk . Karena J@ 0 untuk di O 2 , O 2 berasal dari Teorema 6. 1 .8 bahwa 6 kf @K 3 = 1 6 sin = 1 cos = 1 l1 @K % = 1 l1 3% untuk setiap 3 [1, 1] Turunan dari Arcsin tidak ada di titik -1 dan 1.
AboutCopyright
息 2025 際際滷