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Disequazioni esponenziali e logaritmiche

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Escursione attraverso esercizi ed esempi

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Disequazioni Esponenziali x a
Definizioni e propriet Esponenziale: ax a + x Propriet: 1. ax > 0 x , a > 0 x' 2. 0 < a < 1 allora x<x a >a ' x x' 3. a >1 allora x<x a <a ' x
Disequazioni Esponenziali Def. Le disequazioni esponenziali sono quelle nelle quali lincognita compare ad esponente di una certa espressione.
Soluzione Le disequazioni esponenziali si risolvono sfruttando le propriet 1.2.3.
Es.1 x 錚 1 錚 < 32 錚 錚 錚2錚 5 1 錚1錚 32 = 2 = 5 = 錚 錚 5 S = { x / x > 5} 2 錚2錚 x 5 錚1錚 錚1錚 錚 錚 <錚 錚 錚2錚 錚2錚 Applico 2
Es.2 4 > 16 x 4 >4 x 2 S = { x / x > 2} Applico 3 x>2
Es.3 32 x +1 + 3 x 1 < 0 3 32 x + 3 x 1 < 0 Cambio variabile 3x = z 3z 2 + z 1 < 0 1 13 6 <z< 1 + 13 6
Da z torno a x: 1 13 1 + 13 <3 < x <0 6 s.v. 6 ?
Problema. Dobbiamo trovare quel numero ? tale che: 1 + 13 3 = ? 6
Logaritmi Def. log a b = c a = b c Nel nostro caso: c 1 + 13 1 + 13 3 = ? ? = log 3 a 6 b 6
?????
Definizione: Definizione: dati due numeri a,b strettamente positivi con a 1si definisce logaritmo in base a di b il numero c al quale si deve elevare a per ottenere b; si ha quindi: log a b = c a = b c
Dalla definizine di logaritmo si ha: log a a = bb a log a b =b
Allora un qualsiasi numero b pu嘆 essere espresso attraverso il logaritmo in una qualsiasi base a>0 (diversa da 1) utilizzando una delle due relazioni viste.
Dalla definizione di logaritmo. Propriet: 1. log a 1 = 0 a > 0, a 1 2. Se 0 < a <1 allora x < x ' log a x > log a x ' x, x ' > 0 3. Se a >1 allora x < x ' log a x < log a x ' x, x ' > 0
4. log a x + log a y = log a ( xy ) x, y > 0 x x, y > 0 5. log a x log a y = log a ( ) y 6. log a x p = p log a x x>0 log c b 7. log a b = a > 0, a 1.b > 0, c > 0, c 1 log c a
Alle disequazioni logaritmiche Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono lincognita nellargomento di un logaritmo. Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodich竪 si sfruttano le propriet appena elencate.
Es.1 log 1 x < 3 2 CDE x>0 Per def.di logaritmo 3 錚1錚 log 1 x < log 1 錚 錚 log 1 x < log 1 8 2 2錚 2錚 2 2
La base 竪 minore di uno, vale la 2. log 1 x < log 1 8 Allora passando 2 2 dalla disuguaglianza tra logaritmi a quella tra i rispettivi x>8 CDEok argomenti il verso della S = { x / x > 8} disuguaglianza cambia verso.
Es.2 log 2 x > 4 CDE: x>0 (Per def log) log 2 x > log 2 (2) 4
log 2 x > log 2 16 poich辿 la base 竪 maggiore di 1, passo alla disuguaglianza tra gli argomenti (uso 3.) x > 16 S = { x / x > 16} CDEok
Es.3 x2 log 1 <0 3 x+3 CDE: 錚x + 3 0 錚 2 錚 x >0 錚x + 3 x > 3 x 0 錚
x 2 x2 log 1 <0 log 1 < log 1 1 x+3 3 x+3 3 3 Passo agli argomenti x2 rovesciando la >1 disuguaglianza: x+3 1 + 13 3< x < 1 13 x> 2 錚 1 13 1 + 13 錚 2 S = 錚霞 3 < x < x> 錚 錚 2 2 錚 x > 3 x 0 CDEok
Proposta: log x + 4 2
soluzione log x + 4 2 CDE: 錚 x+40 錚 x 4 錚 x+4 >0
la base del logaritmo 竪 e, la base naturale, ed essendo e=2.7182la disequazione di partenza pu嘆 essere scritta come: log x + 4 log e 2
Da cui: x + 4 e2 positivo positivo Elevo al quadrato ambo i membri x e4 4
Ricordo la CDE e la combino con la soluzione appena trovata: x 4 { } S = x / 4 < x e4 4 x e 4 4
Esercizi: 1) log 3 ( x + 2) < 2 log 1 ( x + 2) < 2 2) 3 log 1 ( x 2 + 7) < 2 3) 4 4) log 1 x 1 1 3

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  • 16. 4. log a x + log a y = log a ( xy ) x, y > 0 x x, y > 0 5. log a x log a y = log a ( ) y 6. log a x p = p log a x x>0 log c b 7. log a b = a > 0, a 1.b > 0, c > 0, c 1 log c a
  • 17. Alle disequazioni logaritmiche Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono lincognita nellargomento di un logaritmo. Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodich竪 si sfruttano le propriet appena elencate.
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