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Duns ros correlation

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J
josepazv

Multiphase Flow in Pipes - Duns Ros Correlation

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( 2 . 3 0 ) G r e g o r y s h o w s t h a t t h e l i q u i d h o l d u p , c o m p u t e d b y t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n , a g r e e s w i t h h i s d a t a q u i t e w e l l . T h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n i s s p e c i f i c a l l y d e r i v a d f o r h o r i z o n t a l flow w i t h o u t s i g n i f i c a n ! a c c e l e r a - t i o n . I t s a p p l i c a t i o n t o o t h e r s i t u a t i o n s , w h e r e f r i c t i o n a l g r a - d i e n t i s c o m p a r a t i v e l y s m a l l ( e . g . , v e r t i c a l s y s t e m s ) , c a n l e a d t o e r r o r s . O n e a s p e c t o f t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e - l a t i o n i s t h a t i t s k i r t s t h e flow-pattern i s s u e . T h i s s i m p l i f i - c a t i o n h a s t h e a d v a n t a g e o f a v o i d i n g t h e f l o w - p a t t e r n d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e t r a n s i t i o n b o u n d a r i e s , a l t h o u g h a t a c o s t o f m o d e l p e r f o r m a n c e . A n o t h e r w e l l - k n o w n d e f i - c i e n c y o f t h e m o d e l i s i t s u n s a t i s f a c t o r y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e f f e c t s o f s y s t e m v a r i a b l e s , i n p a r t i c u l a r , flow r a t e . T h e e f f e c t o f f l o w r a t e u p o n t h e c u r v e s o f 4>L ^ S . X , o r i g i n a l l y n o t c o n s i d e r e d i n t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n , w a s r e p o r t e d b y s o m e i n v e s t i g a l o r s . ' - ' - ' ^ T h e e x t e n s i v e c o m p a r i s o n , m a d e b y I d s i n g a et al.^'^ a g a i n s t a l a r g e d a t a b a n k , s h o w s t h a t t h e L o c k h a r t - M a r t i - n e l l i c o r r e l a t i o n i s q u i t e r e l i a b l e i n c o m p u t i n g p r e s s u r e d r o p i n c h a n n e l s o f v a r i o u s o r i e n t a t i o n s , i f m o d i f i c a t i o n f o r m a s s e f f e c t i s m a d e . E v e n t h e u n m o d i f i e d c o r r e l a t i o n i s p r e f e r a b l e t o t h e h o m o g e n e o u s m o d e l i n v e r t i c a l a n d n e a r - v e r t i c a l s y s t e m s . 2.5.2 Duns and Ros Correlation. I n t h e e a r l y 1 9 6 0 ' s , R o s ' ^ a n d D u n s a n d R o s " d e v e l o p e d a n e m p i r i c a l c o n ^ e l a t i o n f r o m a l a r g e s e t o f l a b o r a t o r y d a t a . T h e i r m e t h o d d o e s n o t s t r i c t l y f a l l i n t h e g e n e r a l i z e d c o r r e l a t i o n c a t e g o r y b e c a u s e t h e y d e f i n e f o u r d i f f e r e n t f l o w r e g i m e s a n d a s s i g n i n d i v i d u a l c o r - r e l a t i o n s f o r s l i p b e t w e e n t h e p h a s e s f o r e a c h r e g i m e . H o w - e v e r , t h e f l o w r e g i m e s t h e y d e f m e d a r e q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h o s e t h a t a r e u n d e r s t o o d t o d a y . T h e y d e f i n e d Región I a s t h e f l o w r e g i m e w h e r e t h e l i q - u i d i s t h e c o n t i n u o u s p h a s e a n d , t h e r e f o r e , i n c l u d e s b u b b l e , f r o t h ( p r e s u m a b l y d i s p e r s e d b u b b l y ) , p l u g , a n d s o m e s l u g f l o w . Región I I c o v e r s s i t u a t i o n s w h e n n e i t h e r p h a s e i s c o n - t i n u o u s a n d , h e n e e , i n c l u d e s t h e r e s t o f t h e s l u g a n d f r o t h f l o w s , a s w e l l a s h e a d i n g o r p u l s a t i n g f l o w . W h e n g a s b e c o m e s t h e c o n t i n u o u s p h a s e , a s i n a n n u l a r flow, i t i s t e r m e d Región I I I . D u n s a n d R o s a l s o i n c l u d e d a t r a n s i t i o n región ( p r o b a b l y c o r r e s p o n d i n g t o c h u r n flow) b e t w e e n Región I I a n d Región I I I . T h e D u n s a n d R o s flow r e g i m e m a p i s b a s e d o n t h e g a s v e l o c i t y n u m b e r , v^,¿ = v,,,fp¿/gcr)"'', t h e l i q u i d v e l o c i t y n u m - b e r , v¿^=v^,j(v,¿/v,^,) a n d t h e p i p e d i a m e t e r n u m b e r , A ' , , = d{p^g/ay'-. Table 2.1 s h o w s t h e t r a n s i t i o n c r i t e r i a f o r t h e v a r - i o u s r e g i o n s . N o t e , t h e g a s a n d l i q u i d v e l o c i t y n u m b e r s , v^j a r e p h a s e s u p e r f i c i a l v e l o c i t i e s m a d e d i m e n s i o n l e s sa n d 1 b y d i v i d i n g w i t h t h e b u b b l e - r i s e v e l o c i t y , v ^ , b e c a u s e v„ i s p r o p o r t i o n a l t o (ga/p¿)"''. D u n s a n d R o s d e f i n e d a s l i p - v e l o c i t y n u m b e r , N^-Sipi/ gay'o estímate l i q u i d h o l d u p i n a n y región. O n c e a n d , h e n e e , t h e s l i p a r e d e t e r m i n e d , t h e l i q u i d h o l d u p c a n b e c a l c u - l a t e d . T h e c o r r e l a t i o n f o r A ' ^ , h o w e v e r , i s d i f f e r e n t i n e a c h región. F o r e x a m p l e , f o r Región I T A B L E 2 . 1 -- T R A N S I T I O N B O U N D A R I E S O F T H E D U N S - R O S M O D E L R e g i o n L i m i t P a r a m e t e r s 1 a n d a i ' E f u n c t i o n s o f p i p e d i a m e t e r n u m b e r , N^=c¡(r^glS)^'i II L s = 5 0 + 3 6 / . ( í T r a n s i t i o n III N. = F^ + F2vu + Fi N, 1 + N, w h e r e Fy = F j - . ( 2 . 3 1 ) T h e f a c t o r s F , , F j , F j , a n d F 4 a r e g i v e n a s f u n c t i o n s o f t h e l i q u i d v i s c o s i t y n u m b e r , N¡^-ii^{g/p¡_S^y''*. T h e f r i c t i o n a l g r a - d i e n t i s c a l c u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . . ( 2 . 3 2 ) T h e t w o - p h a s e f r i c t i o n f a c t o r , / , , , , i s e s t i m a t e d u s i n g e x p r e s s i o n t h e . ( 2 . 3 3 ) w h e r e / i i s t h e c o n v e n t i o n a l s i n g l e - p h a s e f r i c t i o n f a c t o r b a s e d u p o n R e y n o l d s n u m b e r , c a l c u l a t e d f r o m t h e s u p e r f i c i a l l i q u i d v e l o c i t y a n d l i q u i d p r o p e r t i e s . T h e f r i c t i o n f a c t o r - R e y n o l d s n u m b e r r e l a t i o n s h i p i s s l i g h t l y m o d i f i e d i n t h e t r a n s i t i o n r a n g e , 700<Re,¿<3,000. T h e f a c t o r s / , a n d / j a r e i n l e n d e d t o c o r r e c t f o r t h e e f f e c t o f h o l d u p . T h e f a c t o r / , i s c o r r e l a t e d i n t e r m s o f / ¿ , v,.^,/v,¿, a n d t h e d i a m e t e r n u m b e r , N¿. T h e f a c t o r / j i s a s e c o n d a r y c o r r e c t i o n f a c t o r f o r h i g h v i s c o s i t y {^Jpi^> 5 0 c e n t i s t o k e ) l i q u i d s a n d i s g i v e n b y . ( 2 . 3 4 ) 5 0 ' V , L F o r Región I I , D u n s a n d R o s p r o p o s e d t h e c o r r e l a t i o n f o r t h e s l i p v e l o c i t y n u m b e r a s A ' , = ( 1 + F 5 0.982 , r - ( l + F 7 V i r f j w h e r e F 6 ' = 0 . 0 2 9 A Í , + F 6 . ( 2 . 3 5 ) T h e f a c t o r s F , , F ^ , a n d F , a r e f u n c t i o n s o f t h e l i q u i d v i s c o s - i t y n u m b e r , N¡_. T h e f r i c t i o n a l p r e s s u r e d r o p i n Región I I i s c a l c u l a t e d u s i n g a n a p p r o a c h s i m i l a r t o t h a t u s e d i n Región I . T h e a c c e l e r a t i o n a l p r e s s u r e l o s s i s n e g l e c t e d f o r b o t h R e g i o n s I a n d I I . 12 F L U I D F L O W ' A N D H E A T T R A N S F E R I N W E L L B O R E S
o 0,01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 F i g . 2 . 4 — H a g e d o r n - B r o w n c o r r e l a t i o n for y!. F o r t h e T r a n s i t i o n Región, D u n s a n d R o s s u g g e s t e d t h a t t h e a v e r a g e fluid d e n s i t y a n d t h e f r i c t i o n a l g r a d i e n t b e c a l c u - l a t e d b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n Región I I a n d Región I I I b o u n d a r i e s w i t h r e s p e c t t o v^j. T h u s , L,4~ V^d I P. = - —[P,r ~ Ls L , w - L s ( 2 . 3 6 ) A s i m i l a r e x p r e s s i o n c a n b e w r i t t e n f o r t h e f r i c t i o n a l p r e s - s u r e g r a d i e n t . F o r Región I I I , s l i p i s a s s u m e d t o b e z e r o a n d l i q u i d h o l d u p i s e s t i m a t e d f r o m / ¿ = V j ¿ / v , „ . T h e f r i c t i o n a l l o s s i s c a l - c u l a t e d f r o m d p ' d z . ( 2 . 3 7 ) w h e r e t h e f r i c t i o n f a c t o r , / , , , i s c a l c u l a t e d f r o m t h e t o t a l R e y - n o l d s n u m b e r , dv^^pjjii^, a n d a r o u g h n e s s f a c t o r , eid. D u n s a n d R o s g a v e t h e c o r r e l a t i o n f o r t h e r o u g h n e s s f a c t o r a s 3 4 ( 7 pAd i f iV,„< 0 . 0 0 5 , a n d - = 1 7 4 d p.v^d w h e r e /V.,, = 4 . 5 2 x 10""' -, i f A/-,,, > 0 . 0 0 5 , <7 ; .PL. ( 2 . 3 8 ) D u n s a n d R o s l i m i t t h e valué o f E i d t o b e n o s m a l l e r t h a n 0 . 0 0 1 a n d n o g r e a t e r t h a n 0 . 5 0 . F r i c t i o n f a c t o r i s e s t i m a t e d f r o m t h e e I d valué c a l c u l a t e d f r o m E q . 2 . 3 7 a n d u s i n g a s t a n - d a r d f r i c t i o n - f a c t o r c h a r t f o r s i n g l e - p h a s e flow, a s s h o w n i n C h a p . 1 . W h e n t h e c a l c u l a t e d e I d i s o u t s i d e t h e l i m i t s , t h e l i m i t i n g valué i s u s e d . 2.5.3 Hagedorn and Brown Method. H a g e d o r n a n d B r o w n ^ - ' r e c o g n i z e d t h a t f o r v e r t i c a l a n d n e a r - v e r t i c a l s y s - t e m s , t h e s t a t i c - h e a d l o s s a c c o u n t s f o r m o s t o f t h e t o t a l p r e s - s u r e d r o p a n d t h a t a n y r e a s o n a b l e estímate o f t h e f r i c t i o n a l c o m p o n e n t w o u l d s u f f i c e , as l o n g as t h e l i q u i d h o l d u p is e s t i - m a t e d a c c u r a t e l y . T h e y a s s u m e d t h a t t h e f r i c t i o n f a c t o r - R e y - n o l d s n u m b e r r e l a t i o n s h i p f o r t w o - p h a s e flow i s t h e s a m e as f o r s i n g l e - p h a s e flow a n d a r b i t r a r i l y d e f i n e d t w o - p h a s e v i s - c o s i t y as P. = MÍ' X PÍ' . ( 2 . 3 9 ) w h e r e a n d a r e l i q u i d h o l d u p a n d g a s - v o l u m e f r a c - t i o n , r e s p e c t i v e l y . H a g e d o r n a n d B r o w n ' ' d e v e l o p e d t h e i r c o r r e l a t i o n f o r e f f e c t i v e l i q u i d h o l d u p u s i n g d a t a o b t a i n e d f r o m a 1 , 5 0 0 - f t v e r t i c a l e x p e r i m e n t a l w e l l t h a t u s e d a i r a s t h e g a s p h a s e a n d f o u r d i f f e r e n t l i q u i d s . T h e y s u b t r a c t e d t h e f r i c t i o n a l c o m p o - n e n t , c a l c u l a t e d i t w i t h E q . 2 . 1 4 i n c o m b i n a t i o n w i t h E q . 2 . 3 8 , a n d a t t r i b u t e d t h e r e s t t o t h e s t a t i c h e a d . T h e e f f e c t i v e l i q u i d holdup,/¿^, s o c a l c u l a t e d , w a s t h e n r e l a t e d t o t h e d i m e n - s i o n l e s s n u m b e r s p r o p o s e d b y D u n s a n d R o s s " ( v ^ ^ , v^j, Nj, a n d ) a n d a p r e s s u r e r a t i o , p / p , , . T h e H a g e d o r n a n d B r o w n ^ c o r r e l a t i o n f o r l i q u i d h o l d u p is s h o w n i n Fig. 2.4 i n t e r m s o f t h e c o r r e l a t i n g c o e f f i c i e n t s ip, C, a n d v a r i o u s d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s . V a r i a t i o n o f ip w i t h t h e d i m e n s i o n l e s s n u m b e r i s s h o w n i n Fig. 2.5 a n d t h a t o f C w i t h i n Fig. 2.6. O v e r t h e y e a r s , modifícations h a v e b e e n p r o p o s e d t o t h e o r i g i n a l H a g e d o r n a n d B r o w n c o r r e l a t i o n t o overeóme s o m e o f i t s d e f i c i e n c i e s . T h e m o s t s e r i o u s o f t h e s e p r o b l e m s i s t h a t t h e c o r r e l a t i o n s o m e t i m e s e s t i m a t e s l o w e r l i q u i d h o l d u p (/¿), t h a n t h e n o - s l i p h o l d u p valué ( Q ) . T h i s s u g g e s t s l i q - u i d s l i p s p a s t t h e g a s p h a s e — a p h y s i c a l i m p o s s i b i l i t y d u r - i n g t w o - p h a s e u p f l o w . I n t h o s e s i t u a t i o n s , w h e n t h e c o m p u t e d _/¿ i s g r e a t e r t h a n C¿, t h e p r o c e d u r e s h o u l d b e s e t t o /¿ = C'¿ = Vj¿/v,„. A n o t h e r r e c o m m e n d a t i o n i s t o u s e t h e O r k i s z e w s k i ^ o c o r r e l a t i o n f o r b u b b l y f l o w i n t h a t región. A t h i r d p r o p o s a l i s t o u s e t h e D u n s a n d R o s m e t h o d t o c o m - p u t e p r e s s u r e g r a d i e n t . b u t o n l y i f R e g i m e I I I i s p r e v a l e n t , t o a c c o u n t f o r a c c e l e r a t i o n a l e f f e c t s . Example 2 . 1 . A 5 , 1 5 1 - f t v e r t i c a l w e l l p r o d u c e s 23° A P I d r y o i l a t 1 , 1 4 0 S T B / D t h r o u g h a 2 . 9 9 - i n . I D t u b i n g . T h e g a s / o i l r a t i o ( G O R ) i s 4 5 0 s c f / S T B , a n d t h e g a s g r a v - i t y i s 0 . 8 0 . T h e f o l l o w i n g p r o p e r t y valúes a n d c o m p u t e d fluid p a r a m e t e r s , w h i c h a r e a v a i l a b l e a t t h e w e l l h e a d w h e r e p r e s s u r e i s 5 0 5 p s i g , a r e : v,¿ 1 . 6 0 1 f t / s e c v,j, = 2 . 8 2 4 f t / s e c = 5 5 . 0 4 2 I b m / t V p., = 2 . 1 9 I b m / f t ^ M t = 1 3 . 0 9 c p ^ , = 0 . 0 1 9 c p (7 = 3 1 . 6 d y n e s / c m = 0 . 0 6 9 6 I b m / s e c ^ Calcúlate t h e p r e s s u r e g r a d i e n t a t t h i s p o i n t . The Hagedorn-Brown Correlation. ^U=''SLÍPL'8<^)°-'^ = 1 . 6 0 1 ( 5 5 . 0 4 2 / 3 2 . 2 X 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 2 5 = 3 . 5 6 . v^j=v^^ipjga)°-'-^ = 2 . 8 2 4 ( 5 5 . 0 4 2 / 3 2 . 2 X 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 2 5 = 6 . 2 9 . Nj = ¿(^p^/crjO-5 = ( 0 . 2 5 ) ( 5 5 . 0 4 2 x 3 2 . 2 / 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 5 = 3 9 . 7 5 . M U L T I P H A S E F L O W : I N T R O D U C T I O N 13

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  • 1. ( 2 . 3 0 ) G r e g o r y s h o w s t h a t t h e l i q u i d h o l d u p , c o m p u t e d b y t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n , a g r e e s w i t h h i s d a t a q u i t e w e l l . T h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n i s s p e c i f i c a l l y d e r i v a d f o r h o r i z o n t a l flow w i t h o u t s i g n i f i c a n ! a c c e l e r a - t i o n . I t s a p p l i c a t i o n t o o t h e r s i t u a t i o n s , w h e r e f r i c t i o n a l g r a - d i e n t i s c o m p a r a t i v e l y s m a l l ( e . g . , v e r t i c a l s y s t e m s ) , c a n l e a d t o e r r o r s . O n e a s p e c t o f t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e - l a t i o n i s t h a t i t s k i r t s t h e flow-pattern i s s u e . T h i s s i m p l i f i - c a t i o n h a s t h e a d v a n t a g e o f a v o i d i n g t h e f l o w - p a t t e r n d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e t r a n s i t i o n b o u n d a r i e s , a l t h o u g h a t a c o s t o f m o d e l p e r f o r m a n c e . A n o t h e r w e l l - k n o w n d e f i - c i e n c y o f t h e m o d e l i s i t s u n s a t i s f a c t o r y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e f f e c t s o f s y s t e m v a r i a b l e s , i n p a r t i c u l a r , flow r a t e . T h e e f f e c t o f f l o w r a t e u p o n t h e c u r v e s o f 4>L ^ S . X , o r i g i n a l l y n o t c o n s i d e r e d i n t h e L o c k h a r t - M a r t i n e l l i c o r r e l a t i o n , w a s r e p o r t e d b y s o m e i n v e s t i g a l o r s . ' - ' - ' ^ T h e e x t e n s i v e c o m p a r i s o n , m a d e b y I d s i n g a et al.^'^ a g a i n s t a l a r g e d a t a b a n k , s h o w s t h a t t h e L o c k h a r t - M a r t i - n e l l i c o r r e l a t i o n i s q u i t e r e l i a b l e i n c o m p u t i n g p r e s s u r e d r o p i n c h a n n e l s o f v a r i o u s o r i e n t a t i o n s , i f m o d i f i c a t i o n f o r m a s s e f f e c t i s m a d e . E v e n t h e u n m o d i f i e d c o r r e l a t i o n i s p r e f e r a b l e t o t h e h o m o g e n e o u s m o d e l i n v e r t i c a l a n d n e a r - v e r t i c a l s y s t e m s . 2.5.2 Duns and Ros Correlation. I n t h e e a r l y 1 9 6 0 ' s , R o s ' ^ a n d D u n s a n d R o s " d e v e l o p e d a n e m p i r i c a l c o n ^ e l a t i o n f r o m a l a r g e s e t o f l a b o r a t o r y d a t a . T h e i r m e t h o d d o e s n o t s t r i c t l y f a l l i n t h e g e n e r a l i z e d c o r r e l a t i o n c a t e g o r y b e c a u s e t h e y d e f i n e f o u r d i f f e r e n t f l o w r e g i m e s a n d a s s i g n i n d i v i d u a l c o r - r e l a t i o n s f o r s l i p b e t w e e n t h e p h a s e s f o r e a c h r e g i m e . H o w - e v e r , t h e f l o w r e g i m e s t h e y d e f m e d a r e q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h o s e t h a t a r e u n d e r s t o o d t o d a y . T h e y d e f i n e d Región I a s t h e f l o w r e g i m e w h e r e t h e l i q - u i d i s t h e c o n t i n u o u s p h a s e a n d , t h e r e f o r e , i n c l u d e s b u b b l e , f r o t h ( p r e s u m a b l y d i s p e r s e d b u b b l y ) , p l u g , a n d s o m e s l u g f l o w . Región I I c o v e r s s i t u a t i o n s w h e n n e i t h e r p h a s e i s c o n - t i n u o u s a n d , h e n e e , i n c l u d e s t h e r e s t o f t h e s l u g a n d f r o t h f l o w s , a s w e l l a s h e a d i n g o r p u l s a t i n g f l o w . W h e n g a s b e c o m e s t h e c o n t i n u o u s p h a s e , a s i n a n n u l a r flow, i t i s t e r m e d Región I I I . D u n s a n d R o s a l s o i n c l u d e d a t r a n s i t i o n región ( p r o b a b l y c o r r e s p o n d i n g t o c h u r n flow) b e t w e e n Región I I a n d Región I I I . T h e D u n s a n d R o s flow r e g i m e m a p i s b a s e d o n t h e g a s v e l o c i t y n u m b e r , v^,¿ = v,,,fp¿/gcr)"'', t h e l i q u i d v e l o c i t y n u m - b e r , v¿^=v^,j(v,¿/v,^,) a n d t h e p i p e d i a m e t e r n u m b e r , A ' , , = d{p^g/ay'-. Table 2.1 s h o w s t h e t r a n s i t i o n c r i t e r i a f o r t h e v a r - i o u s r e g i o n s . N o t e , t h e g a s a n d l i q u i d v e l o c i t y n u m b e r s , v^j a r e p h a s e s u p e r f i c i a l v e l o c i t i e s m a d e d i m e n s i o n l e s sa n d 1 b y d i v i d i n g w i t h t h e b u b b l e - r i s e v e l o c i t y , v ^ , b e c a u s e v„ i s p r o p o r t i o n a l t o (ga/p¿)"''. D u n s a n d R o s d e f i n e d a s l i p - v e l o c i t y n u m b e r , N^-Sipi/ gay'o estímate l i q u i d h o l d u p i n a n y región. O n c e a n d , h e n e e , t h e s l i p a r e d e t e r m i n e d , t h e l i q u i d h o l d u p c a n b e c a l c u - l a t e d . T h e c o r r e l a t i o n f o r A ' ^ , h o w e v e r , i s d i f f e r e n t i n e a c h región. F o r e x a m p l e , f o r Región I T A B L E 2 . 1 -- T R A N S I T I O N B O U N D A R I E S O F T H E D U N S - R O S M O D E L R e g i o n L i m i t P a r a m e t e r s 1 a n d a i ' E f u n c t i o n s o f p i p e d i a m e t e r n u m b e r , N^=c¡(r^glS)^'i II L s = 5 0 + 3 6 / . ( í T r a n s i t i o n III N. = F^ + F2vu + Fi N, 1 + N, w h e r e Fy = F j - . ( 2 . 3 1 ) T h e f a c t o r s F , , F j , F j , a n d F 4 a r e g i v e n a s f u n c t i o n s o f t h e l i q u i d v i s c o s i t y n u m b e r , N¡^-ii^{g/p¡_S^y''*. T h e f r i c t i o n a l g r a - d i e n t i s c a l c u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . . ( 2 . 3 2 ) T h e t w o - p h a s e f r i c t i o n f a c t o r , / , , , , i s e s t i m a t e d u s i n g e x p r e s s i o n t h e . ( 2 . 3 3 ) w h e r e / i i s t h e c o n v e n t i o n a l s i n g l e - p h a s e f r i c t i o n f a c t o r b a s e d u p o n R e y n o l d s n u m b e r , c a l c u l a t e d f r o m t h e s u p e r f i c i a l l i q u i d v e l o c i t y a n d l i q u i d p r o p e r t i e s . T h e f r i c t i o n f a c t o r - R e y n o l d s n u m b e r r e l a t i o n s h i p i s s l i g h t l y m o d i f i e d i n t h e t r a n s i t i o n r a n g e , 700<Re,¿<3,000. T h e f a c t o r s / , a n d / j a r e i n l e n d e d t o c o r r e c t f o r t h e e f f e c t o f h o l d u p . T h e f a c t o r / , i s c o r r e l a t e d i n t e r m s o f / ¿ , v,.^,/v,¿, a n d t h e d i a m e t e r n u m b e r , N¿. T h e f a c t o r / j i s a s e c o n d a r y c o r r e c t i o n f a c t o r f o r h i g h v i s c o s i t y {^Jpi^> 5 0 c e n t i s t o k e ) l i q u i d s a n d i s g i v e n b y . ( 2 . 3 4 ) 5 0 ' V , L F o r Región I I , D u n s a n d R o s p r o p o s e d t h e c o r r e l a t i o n f o r t h e s l i p v e l o c i t y n u m b e r a s A ' , = ( 1 + F 5 0.982 , r - ( l + F 7 V i r f j w h e r e F 6 ' = 0 . 0 2 9 A Í , + F 6 . ( 2 . 3 5 ) T h e f a c t o r s F , , F ^ , a n d F , a r e f u n c t i o n s o f t h e l i q u i d v i s c o s - i t y n u m b e r , N¡_. T h e f r i c t i o n a l p r e s s u r e d r o p i n Región I I i s c a l c u l a t e d u s i n g a n a p p r o a c h s i m i l a r t o t h a t u s e d i n Región I . T h e a c c e l e r a t i o n a l p r e s s u r e l o s s i s n e g l e c t e d f o r b o t h R e g i o n s I a n d I I . 12 F L U I D F L O W ' A N D H E A T T R A N S F E R I N W E L L B O R E S
  • 2. o 0,01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 F i g . 2 . 4 — H a g e d o r n - B r o w n c o r r e l a t i o n for y!. F o r t h e T r a n s i t i o n Región, D u n s a n d R o s s u g g e s t e d t h a t t h e a v e r a g e fluid d e n s i t y a n d t h e f r i c t i o n a l g r a d i e n t b e c a l c u - l a t e d b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n Región I I a n d Región I I I b o u n d a r i e s w i t h r e s p e c t t o v^j. T h u s , L,4~ V^d I P. = - —[P,r ~ Ls L , w - L s ( 2 . 3 6 ) A s i m i l a r e x p r e s s i o n c a n b e w r i t t e n f o r t h e f r i c t i o n a l p r e s - s u r e g r a d i e n t . F o r Región I I I , s l i p i s a s s u m e d t o b e z e r o a n d l i q u i d h o l d u p i s e s t i m a t e d f r o m / ¿ = V j ¿ / v , „ . T h e f r i c t i o n a l l o s s i s c a l - c u l a t e d f r o m d p ' d z . ( 2 . 3 7 ) w h e r e t h e f r i c t i o n f a c t o r , / , , , i s c a l c u l a t e d f r o m t h e t o t a l R e y - n o l d s n u m b e r , dv^^pjjii^, a n d a r o u g h n e s s f a c t o r , eid. D u n s a n d R o s g a v e t h e c o r r e l a t i o n f o r t h e r o u g h n e s s f a c t o r a s 3 4 ( 7 pAd i f iV,„< 0 . 0 0 5 , a n d - = 1 7 4 d p.v^d w h e r e /V.,, = 4 . 5 2 x 10""' -, i f A/-,,, > 0 . 0 0 5 , <7 ; .PL. ( 2 . 3 8 ) D u n s a n d R o s l i m i t t h e valué o f E i d t o b e n o s m a l l e r t h a n 0 . 0 0 1 a n d n o g r e a t e r t h a n 0 . 5 0 . F r i c t i o n f a c t o r i s e s t i m a t e d f r o m t h e e I d valué c a l c u l a t e d f r o m E q . 2 . 3 7 a n d u s i n g a s t a n - d a r d f r i c t i o n - f a c t o r c h a r t f o r s i n g l e - p h a s e flow, a s s h o w n i n C h a p . 1 . W h e n t h e c a l c u l a t e d e I d i s o u t s i d e t h e l i m i t s , t h e l i m i t i n g valué i s u s e d . 2.5.3 Hagedorn and Brown Method. H a g e d o r n a n d B r o w n ^ - ' r e c o g n i z e d t h a t f o r v e r t i c a l a n d n e a r - v e r t i c a l s y s - t e m s , t h e s t a t i c - h e a d l o s s a c c o u n t s f o r m o s t o f t h e t o t a l p r e s - s u r e d r o p a n d t h a t a n y r e a s o n a b l e estímate o f t h e f r i c t i o n a l c o m p o n e n t w o u l d s u f f i c e , as l o n g as t h e l i q u i d h o l d u p is e s t i - m a t e d a c c u r a t e l y . T h e y a s s u m e d t h a t t h e f r i c t i o n f a c t o r - R e y - n o l d s n u m b e r r e l a t i o n s h i p f o r t w o - p h a s e flow i s t h e s a m e as f o r s i n g l e - p h a s e flow a n d a r b i t r a r i l y d e f i n e d t w o - p h a s e v i s - c o s i t y as P. = MÍ' X PÍ' . ( 2 . 3 9 ) w h e r e a n d a r e l i q u i d h o l d u p a n d g a s - v o l u m e f r a c - t i o n , r e s p e c t i v e l y . H a g e d o r n a n d B r o w n ' ' d e v e l o p e d t h e i r c o r r e l a t i o n f o r e f f e c t i v e l i q u i d h o l d u p u s i n g d a t a o b t a i n e d f r o m a 1 , 5 0 0 - f t v e r t i c a l e x p e r i m e n t a l w e l l t h a t u s e d a i r a s t h e g a s p h a s e a n d f o u r d i f f e r e n t l i q u i d s . T h e y s u b t r a c t e d t h e f r i c t i o n a l c o m p o - n e n t , c a l c u l a t e d i t w i t h E q . 2 . 1 4 i n c o m b i n a t i o n w i t h E q . 2 . 3 8 , a n d a t t r i b u t e d t h e r e s t t o t h e s t a t i c h e a d . T h e e f f e c t i v e l i q u i d holdup,/¿^, s o c a l c u l a t e d , w a s t h e n r e l a t e d t o t h e d i m e n - s i o n l e s s n u m b e r s p r o p o s e d b y D u n s a n d R o s s " ( v ^ ^ , v^j, Nj, a n d ) a n d a p r e s s u r e r a t i o , p / p , , . T h e H a g e d o r n a n d B r o w n ^ c o r r e l a t i o n f o r l i q u i d h o l d u p is s h o w n i n Fig. 2.4 i n t e r m s o f t h e c o r r e l a t i n g c o e f f i c i e n t s ip, C, a n d v a r i o u s d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s . V a r i a t i o n o f ip w i t h t h e d i m e n s i o n l e s s n u m b e r i s s h o w n i n Fig. 2.5 a n d t h a t o f C w i t h i n Fig. 2.6. O v e r t h e y e a r s , modifícations h a v e b e e n p r o p o s e d t o t h e o r i g i n a l H a g e d o r n a n d B r o w n c o r r e l a t i o n t o overeóme s o m e o f i t s d e f i c i e n c i e s . T h e m o s t s e r i o u s o f t h e s e p r o b l e m s i s t h a t t h e c o r r e l a t i o n s o m e t i m e s e s t i m a t e s l o w e r l i q u i d h o l d u p (/¿), t h a n t h e n o - s l i p h o l d u p valué ( Q ) . T h i s s u g g e s t s l i q - u i d s l i p s p a s t t h e g a s p h a s e — a p h y s i c a l i m p o s s i b i l i t y d u r - i n g t w o - p h a s e u p f l o w . I n t h o s e s i t u a t i o n s , w h e n t h e c o m p u t e d _/¿ i s g r e a t e r t h a n C¿, t h e p r o c e d u r e s h o u l d b e s e t t o /¿ = C'¿ = Vj¿/v,„. A n o t h e r r e c o m m e n d a t i o n i s t o u s e t h e O r k i s z e w s k i ^ o c o r r e l a t i o n f o r b u b b l y f l o w i n t h a t región. A t h i r d p r o p o s a l i s t o u s e t h e D u n s a n d R o s m e t h o d t o c o m - p u t e p r e s s u r e g r a d i e n t . b u t o n l y i f R e g i m e I I I i s p r e v a l e n t , t o a c c o u n t f o r a c c e l e r a t i o n a l e f f e c t s . Example 2 . 1 . A 5 , 1 5 1 - f t v e r t i c a l w e l l p r o d u c e s 23° A P I d r y o i l a t 1 , 1 4 0 S T B / D t h r o u g h a 2 . 9 9 - i n . I D t u b i n g . T h e g a s / o i l r a t i o ( G O R ) i s 4 5 0 s c f / S T B , a n d t h e g a s g r a v - i t y i s 0 . 8 0 . T h e f o l l o w i n g p r o p e r t y valúes a n d c o m p u t e d fluid p a r a m e t e r s , w h i c h a r e a v a i l a b l e a t t h e w e l l h e a d w h e r e p r e s s u r e i s 5 0 5 p s i g , a r e : v,¿ 1 . 6 0 1 f t / s e c v,j, = 2 . 8 2 4 f t / s e c = 5 5 . 0 4 2 I b m / t V p., = 2 . 1 9 I b m / f t ^ M t = 1 3 . 0 9 c p ^ , = 0 . 0 1 9 c p (7 = 3 1 . 6 d y n e s / c m = 0 . 0 6 9 6 I b m / s e c ^ Calcúlate t h e p r e s s u r e g r a d i e n t a t t h i s p o i n t . The Hagedorn-Brown Correlation. ^U=''SLÍPL'8<^)°-'^ = 1 . 6 0 1 ( 5 5 . 0 4 2 / 3 2 . 2 X 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 2 5 = 3 . 5 6 . v^j=v^^ipjga)°-'-^ = 2 . 8 2 4 ( 5 5 . 0 4 2 / 3 2 . 2 X 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 2 5 = 6 . 2 9 . Nj = ¿(^p^/crjO-5 = ( 0 . 2 5 ) ( 5 5 . 0 4 2 x 3 2 . 2 / 0 . 0 6 9 6 ) 0 - 5 = 3 9 . 7 5 . M U L T I P H A S E F L O W : I N T R O D U C T I O N 13