![siksi funktiota f(x) = sin(x), jonka kuvaaja piirret辰辰n
ensin v辰lill辰 [4,4], ja sen j辰lkeen l辰hennet辰辰n kuvaa
kohdassa x = 1 (kuva 1). Ohjelman avulla n辰hd辰辰n
selv辰sti, kuinka kuvaaja paikallisesti l辰hestyy suoraa
kohdassa x = 1, kun kuvaa l辰hennet辰辰n tarpeeksi.
Kuva 1: Funktion f(x) = sin(x) kuvaaja ja suurennos
piirrettyn辰 Visual Calculus -ohjelmalla.
Toisena esimerkkin辰 tutkitaan funktion f ( x) x
kuvaajaa kohdassa x = 0. Ohjelman avulla n辰hd辰辰n
helposti, ett辰 kuvaaja ei suoristu origossa, vaikka kuvaa l辰hennett辰isiin kuinka paljon tahansa (kuva 2).
N辰in opiskelijat voivat geometrisesti tutkia funktioiden derivoituvuutta ja n辰hd辰, mit辰 derivoituvuus
on. Heille voidaan luoda derivoituvuudesta ja ep辰derivoituvuudesta ymm辰rrett辰v辰 visuaalinen havainto.
Paikallista suoruutta voi tutkia my旦s ilman tietokonetta esimerkiksi graafisen laskimen ZOOM-toiminnon avulla.
Kuva 2: Funktion f ( x ) x kuvaaja ja suurennos
piirrettyn辰 Visual Calculus -ohjelmalla.
Opetuksessa voidaan k辰ytt辰辰 hyv辰ksi my旦s tilanteita, joissa tietokoneen esitysmuoto ja vastaava teoreettinen muotoilu muodostavat ristiriidan. Tutkitaan
x 2 1 kohdassa x = 0.
esimerkiksi funktiota f ( x)
Kun on opiskeltu derivaatan ketjus辰辰nt旦, voivat opiskelijat laskea funktion f derivaatan analyyttisesti. Las-
2 eDimensio
kemisen j辰lkeen voidaan piirt辰辰 funktion kuvaaja v辰lill辰 [100,100]. Kuvaajaan n辰ytt辰辰 muodostuvan
ter辰v辰 piikki, joten geometrisen tarkastelun mukaan
funktio ei olisi derivoituva kohdassa x = 0. L辰hent辰m辰ll辰 kuvaajaa havaitaan kuitenkin, ett辰 kyseiseen
kohtaan ei muodostu ter辰v辰辰 k辰rke辰 vaan se oikenee eli kuvaaja l辰hestyy paikallisesti suoraa, jolloin
funktio voidaan perustella derivoituvaksi kohdassa x
= 0 my旦s geometrisesti. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Kun opiskelijoiden kanssa on tarkasteltu aikaisemmin derivaattaa tangentin kulmakertoimena, voi
painottaa, ett辰 tutkittavassa kohdassa derivoituvan
funktion kuvaaja l辰henee paikallisesti nimenomaan
tangenttia.
T辰m辰 esimerkki selvent辰辰 my旦s sit辰, ett辰 derivoituvuus on funktion paikallinen ominaisuus. Kun tutkitaan funktion derivoituvuutta annetussa kohdassa,
pit辰辰 kuvaajaakin tutkia paikallisesti. Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa isolla alueella, kuten esimerkiss辰 on aluksi tehty, ei voida sanoa sen derivoituvuudesta yksitt辰isess辰 kohdassa mit辰辰n. Vasta kun kuva
on l辰hennetty tarkasteltavan kohdan l辰hiymp辰rist旦旦n, voidaan tutkia paikallista ominaisuutta derivoituvuus.
CND-funktiot lukio-opetuksessa
Jotta opiskelijat voisivat ymm辰rt辰辰 muodollisen todistuksen merkityksen matematiikassa, tulisi Tallin (2002,
s. 10-11) mukaan heille esitt辰辰 esimerkkej辰 siit辰, mik辰
voi menn辰 pieleen k辰sitteiden intuitiivisessa tulkinnassa. Opiskelijoille voidaan n辰ytt辰辰 esimerkiksi, ett辰 on
olemassa funktioita, jotka eiv辰t ole miss辰辰n pisteess辰
paikallisesti suoria, jolloin heille muodostuu visuaalinen mielikuva siit辰, mit辰 funktion ep辰derivoituvuus
tarkoittaa. T辰m辰 ei onnistu helposti en辰辰 Visual Calculus -ohjelmalla, mutta tarkastelu voidaan toteuttaa
esimerkiksi Mathematicalla.
CND-funktioista voidaan tarkastella esimerkkin辰
Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki
t辰llaisista funktioista. Tarkasti Weierstrassin funktio
m辰辰ritell辰辰n seuraavasti
f:
b k cos(a k x) ,
f ( x)
k 0
miss辰 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, ett辰
ab 1
3
.
2
Lukiossa funktiosta voisi tarkastella esimerkkin辰 yht辰 erikoistapausta, jossa esimerkiksi a = 7 ja b = 0,9 .](https://image.slidesharecdn.com/edimensio2008-cnd2-140207103918-phpapp01/85/E-dimensio2008-cnd2-2-320.jpg)
![T辰ll旦in funktio saadaan muotoon
0,9k cos(7 k x) .
W ( x)
k 0
Funktion rakennetta 辰辰rett旦m辰n辰 summana
voidaan selvitt辰辰 opiskelijoille kirjoittamalla auki
osasummia
n 1
Sn
0,9k cos(7 k x)
k 0
ja tarkastelemalla n辰iden kuvaajia. Weierstrassin funktiohan saadaan raja-arvona W ( x) lim Sn .
n
Kuvassa 4 on esitetty osasummien kuvaajat n:n arvoilla 1, 2, 3 ja 4 v辰lill辰 [1,1] . Kuvista voidaan todeta opiskelijoiden kanssa, ett辰 aina n:n arvon kasvaessa yhdell辰 muodostuu kuvaajaan yhden huipun tilalle
seitsem辰n huippua (huomaa, ett辰 a = 7 ).
Osasummien kuvaajia tarkastelemalla voidaan luoda havainnollinen kuva siit辰, kuinka funktion rakenne kehittyy n:n arvon kasvaessa. Opiskelijoille voidaan korostaa, ett辰 monimutkaiselta n辰ytt辰v辰 funktio
on kuitenkin vain tavallisten trigonometristen funktioiden summa. Kuvaajien avulla n辰hd辰辰n, kuinka
funktioon alkaa muodostua yh辰 ter辰v辰mpi辰 huippuja
Kuva 3: Tilanne, jossa kuvaaja voi antaa v辰辰r辰n
mielikuvan derivoituvuudesta.
n:n arvon kasvaessa. T辰ss辰 yhteydess辰 on hyv辰 muistuttaa mieleen paikallisen suoruuden k辰site derivoituvuutta tutkittaessa, ja ett辰 funktio ei ole derivoituva
ter辰v辰ss辰 k辰rkipisteess辰 eli piikiss辰. Kuvaajien tulkintaan opiskelijoiden kanssa kannattaa mielest辰ni
k辰ytt辰辰 reilusti aikaa, koska on t辰rke辰辰, ett辰 opiskelijoille muodostuu selv辰 geometrinen k辰sitys, kuinka
Weierstrassin funktio rakentuu n:n arvon kasvaessa.
1
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
-0.5
-1.5
-0.5
0
0.5
-1
1
-0.5
0
0.5
1
0.5
1
10
2
5
1
0
0
-1
-5
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
Kuva 4: Weierstrassin funktion osasummien kuvaajia.
eDimensio 3](https://image.slidesharecdn.com/edimensio2008-cnd2-140207103918-phpapp01/85/E-dimensio2008-cnd2-3-320.jpg)
![Weierstrassin funktion muodostuminen n辰iden tutkittujen funktioiden raja-arvona, kun n kasvaa rajatta, on syyt辰 k辰yd辰 huolella l辰pi. Mutta koska emme
voi laskea 辰辰rett旦m辰n monen funktion summaa, joudumme tarkastelemaan aina osasummia.
x
[0,1, 0,1]
10
8
6
Weierstrassin funktio ja paikallinen suoruus
Kun funktion rakennetta on k辰yty l辰pi ja tutkittu,
kuinka huiput k辰yv辰t yh辰 ter辰v辰mmiksi n:n arvon kasvaessa, siirryt辰辰n tutkimaan tietty辰 osasummaa geometrisesti. Funktion rakenteen tutkiminen onnistuu
hyvin jo esimerkiksi osasummalla, jossa n:n arvo on 51
(kuva 5). T辰m辰n osasumman kuvaajien piirt辰minen
onnistuu viel辰 suhteellisen nopeasti, mutta suurempien osasummien kuvaajien piirt辰minen alkaa olla jo
aika hidasta tavallisella tietokoneella.
4
2
0
-0.1
x
-0.05
0
0.05
0.1
0
0.005
0.01
0
0.0005
0.001
[0,01, 0,01]
10
10
8
6
5
4
0
2
-5
0
-0.01
-1
-0.5
0
0.5
Kuva 5: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaaja
v辰lill辰 [1,1].
Tutkitaan funktion derivoituvuutta origossa
osasumman S51 avulla. K辰ytet辰辰n paikallisen suoruuden k辰sitett辰 ja tutkitaan, l辰heneek旦 funktion kuvaaja suoraa paikallisesti, mik辰li sit辰 l辰hennet辰辰n origossa. Kuvassa 6 on esitetty 10-, 100-, ja 1000-kertaiset
suurennokset kuvassa 5 esitetyst辰 kuvaajasta origon
l辰heisyydess辰.
Suurennoksia tarkastelemalla huomataan, ett辰 tutkittavan funktion kuvaaja ei l辰hene suoraa origon ymp辰rist旦ss辰 eli ett辰 se ei ole derivoituva origossa. Kuitenkin funktio on jatkuva origossa jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona. Jatkuvuutta voi tarkastella
opiskelijoiden kanssa funktion kuvaajista toteamalla esimerkiksi, ett辰 kuvien perusteella funktio n辰ytt辰辰 olevan jatkuva. On syyt辰 kuitenkin muistaa, ett辰
kaikki edell辰 k辰sitellyt osasummat ovat todellisuudessa derivoituvia 辰辰rellisen monen derivoituvan funktion summana. Osasummia tarkastelemalla voidaan
kuitenkin luoda mielikuva siit辰 miksi Weierstrassin
funktiosta lopulta tulee ei-miss辰辰n derivoituva. Ana-
4 eDimensio
-0.005
1
x
[0,001, 0,001]
-0.001
-0.0005
10
8
6
4
2
Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaajan
l辰hennys kohdassa x=0.
lyyttinen todistus jatkuvuudesta ja ep辰derivoituvuudesta l旦ytyy esimerkiksi l辰hteest辰 Heiskanen (2006).
Sama tarkastelu voidaan tehd辰 miss辰 kohdassa tahansa, ja p辰辰dyt辰辰n samaan tulokseen. Kun vastaava
tarkastelu tehd辰辰n useammassa opiskelijoiden mielivaltaisesti valitsemassa kohdassa ja tarkastellaan,](https://image.slidesharecdn.com/edimensio2008-cnd2-140207103918-phpapp01/85/E-dimensio2008-cnd2-4-320.jpg)
E dimensio2008 cnd2
- 1. OSA II. Kaksiosaisen artikkelin ensimm辰inen osa ilmestyi Dimensiossa 1/2007 Jatkuvat ei-miss辰辰n derivoituvat funktiot lukion pitk辰ss辰 matematiikassa PAAVO HEISKANEN , FM, Fysiikan ja matematiikan lehtori, Jokelan lukio Tein kev辰辰ll辰 2006 kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. T辰m辰n kyselyn tulokset antavat olettaa, ett辰 pitk辰n matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden v辰lisen yhteyden (Heiskanen, 2006). Koska derivoituvuus on selke辰sti vahvempi ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, ett辰 derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat n辰iden k辰sitteiden v辰lisen yhteyden paremmin. Esittelen artikkelissani Tallin (2002) kehittelem辰n menetelm辰n, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta k辰ytt辰en hyv辰ksi paikallinen suoruus -k辰sitett辰. Tarkastelen my旦s kuinka jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktioita voitaisiin k辰sitell辰 lukion pitk辰ss辰 matematiikassa ja miten niit辰 voitaisiin k辰ytt辰辰 hyv辰ksi derivoituvuus-k辰sitteen hallinnan syvent辰misess辰. Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani, Jatkuvuus- ja derivoituvuus-k辰sitteet lukion pitk辰ss辰 matematiikassa, muun muassa jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitk辰n matematiikan opiskelijat pit辰v辰t outona ajatusta, ett辰 t辰llaisia funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on k辰sitys, ett辰 yleens辰 jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun ottamatta muutamia pisteit辰. K辰sitys ei ole lainkaan yll辰tt辰v辰, sill辰 n辰inh辰n tilanne yleens辰 onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisen辰 esimerkkin辰 jatkuvasta funktiosta, joka on ep辰derivoituva, esitet辰辰n itseisarvofunktio f ( x) x , joka ei ole derivoituva kohdassa x = 0. Monet opiskelijoista ymm辰rt辰v辰t kyll辰, ett辰 jatkuvuus ei takaa derivoituvuutta, mutta heille saattaa j辰辰d辰 k辰sitys, ett辰 jatkuvalla funktiolla voi olla piikkej辰 eli ep辰derivoituvuuskohtia vain 辰辰rellinen m辰辰r辰 tietyll辰 v辰lill辰 eli, ett辰 jatkuva funktio voi olla ep辰derivoituva vain yksitt辰isiss辰 pisteiss辰. Reaalifunktiot ja jatkuvuus Reaaliarvoiset funktiot ovat olleet 1600-luvulta l辰htien yleinen ty旦kalu geometristen k辰yrien tutkimiseen sek辰 mekaniikan ja t辰htitieteen laskuihin. Funktio-sana ja merkint辰 y = f(x) ovat per辰isin vasta 1700-luvulta. Tuolloin k辰sitellyt reaalifunktiot olivat p辰辰s辰辰nt旦isesti alkeisfunktioista muodostettuja, mahdollisesti eri kaavoilla eri m辰辰rittelyjoukoissa. T辰ll旦in reaalifunktiot olivat siis jatkuvia lukuun ottamatta korkeintaan m辰辰rittelyjoukkojen rajapisteit辰. T辰m辰 historia huomioonottaen on aivan luonnollista ajatella, ett辰 reaalifunktio on jatkuva lukuun ottamatta korkeintaan yksitt辰isi辰 pisteit辰. Ei ole siis lainkaan yll辰tt辰v辰辰, ett辰 monet lukion pitk辰n matematiikan opiskelijat olettavat funktioiden olevan jatkuvia tai ainakin jatkuvia lukuun ottamatta yksitt辰isi辰 pisteit辰 (Heiskanen, 2006, s.202). 1800-luvulla funktion m辰辰ritelm辰 alkoi tarkentua. M辰辰riteltiin, ett辰 mik辰 tahansa piirretty k辰yr辰 on funktio tai jos jokaista x vastaa yksik辰sitteinen 辰辰rellinen y, niin y on x:n funktio. Nykymuotoinen funktion m辰辰ritelm辰 on per辰isin Lejeune Dirichletilt辰 vuodelta 1837. H辰n m辰辰ritteli seuraavasti: Funktio f: A B koostuu kahdesta joukosta, m辰辰rittelyjoukosta A ja arvojoukosta B, ja s辰辰nn旦st辰, joka m辰辰ritt辰辰 jokaiselle x A yksik辰sitteisen y B . Kun otetaan huomioon, ett辰 derivaatta-k辰site kehittyi varsin pitk辰lle jo Newtonin ja Leibnizin aikaan 1600-luvun lopulla, niin nykyinen funktio-k辰site on itse asiassa melko tuore (Heiskanen, 2005). Derivoituvuus ja paikallinen suoruus Tall (2002) esittelee metodin, jolla voidaan tutkia funktion derivoituvuutta graafisesti tietokoneen avulla. Funktion kuvaajaa l辰hennet辰辰n pisteess辰, jossa derivoituvuutta tutkitaan. Tall m辰辰rittelee kognitiivisen juuren (cognitive root) k辰sitteeksi, joka on opiskelijalle ymm辰rrett辰v辰 sill辰 hetkell辰 ja toimii siemenen辰 muodollisen k辰sitteen m辰辰rittelyss辰. Esimerkiksi paikallinen suoruus on kognitiivinen juuri derivoituvuuden k辰sitteelle. Tarkastellaan paikallisen suoruuden k辰sitett辰 muutaman esimerkin avulla, joita on demonstroitu Kawasakin Visual Calculus -ohjelmalla. Tutkitaan en- eDimensio 1
- 2. siksi funktiota f(x) = sin(x), jonka kuvaaja piirret辰辰n ensin v辰lill辰 [4,4], ja sen j辰lkeen l辰hennet辰辰n kuvaa kohdassa x = 1 (kuva 1). Ohjelman avulla n辰hd辰辰n selv辰sti, kuinka kuvaaja paikallisesti l辰hestyy suoraa kohdassa x = 1, kun kuvaa l辰hennet辰辰n tarpeeksi. Kuva 1: Funktion f(x) = sin(x) kuvaaja ja suurennos piirrettyn辰 Visual Calculus -ohjelmalla. Toisena esimerkkin辰 tutkitaan funktion f ( x) x kuvaajaa kohdassa x = 0. Ohjelman avulla n辰hd辰辰n helposti, ett辰 kuvaaja ei suoristu origossa, vaikka kuvaa l辰hennett辰isiin kuinka paljon tahansa (kuva 2). N辰in opiskelijat voivat geometrisesti tutkia funktioiden derivoituvuutta ja n辰hd辰, mit辰 derivoituvuus on. Heille voidaan luoda derivoituvuudesta ja ep辰derivoituvuudesta ymm辰rrett辰v辰 visuaalinen havainto. Paikallista suoruutta voi tutkia my旦s ilman tietokonetta esimerkiksi graafisen laskimen ZOOM-toiminnon avulla. Kuva 2: Funktion f ( x ) x kuvaaja ja suurennos piirrettyn辰 Visual Calculus -ohjelmalla. Opetuksessa voidaan k辰ytt辰辰 hyv辰ksi my旦s tilanteita, joissa tietokoneen esitysmuoto ja vastaava teoreettinen muotoilu muodostavat ristiriidan. Tutkitaan x 2 1 kohdassa x = 0. esimerkiksi funktiota f ( x) Kun on opiskeltu derivaatan ketjus辰辰nt旦, voivat opiskelijat laskea funktion f derivaatan analyyttisesti. Las- 2 eDimensio kemisen j辰lkeen voidaan piirt辰辰 funktion kuvaaja v辰lill辰 [100,100]. Kuvaajaan n辰ytt辰辰 muodostuvan ter辰v辰 piikki, joten geometrisen tarkastelun mukaan funktio ei olisi derivoituva kohdassa x = 0. L辰hent辰m辰ll辰 kuvaajaa havaitaan kuitenkin, ett辰 kyseiseen kohtaan ei muodostu ter辰v辰辰 k辰rke辰 vaan se oikenee eli kuvaaja l辰hestyy paikallisesti suoraa, jolloin funktio voidaan perustella derivoituvaksi kohdassa x = 0 my旦s geometrisesti. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Kun opiskelijoiden kanssa on tarkasteltu aikaisemmin derivaattaa tangentin kulmakertoimena, voi painottaa, ett辰 tutkittavassa kohdassa derivoituvan funktion kuvaaja l辰henee paikallisesti nimenomaan tangenttia. T辰m辰 esimerkki selvent辰辰 my旦s sit辰, ett辰 derivoituvuus on funktion paikallinen ominaisuus. Kun tutkitaan funktion derivoituvuutta annetussa kohdassa, pit辰辰 kuvaajaakin tutkia paikallisesti. Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa isolla alueella, kuten esimerkiss辰 on aluksi tehty, ei voida sanoa sen derivoituvuudesta yksitt辰isess辰 kohdassa mit辰辰n. Vasta kun kuva on l辰hennetty tarkasteltavan kohdan l辰hiymp辰rist旦旦n, voidaan tutkia paikallista ominaisuutta derivoituvuus. CND-funktiot lukio-opetuksessa Jotta opiskelijat voisivat ymm辰rt辰辰 muodollisen todistuksen merkityksen matematiikassa, tulisi Tallin (2002, s. 10-11) mukaan heille esitt辰辰 esimerkkej辰 siit辰, mik辰 voi menn辰 pieleen k辰sitteiden intuitiivisessa tulkinnassa. Opiskelijoille voidaan n辰ytt辰辰 esimerkiksi, ett辰 on olemassa funktioita, jotka eiv辰t ole miss辰辰n pisteess辰 paikallisesti suoria, jolloin heille muodostuu visuaalinen mielikuva siit辰, mit辰 funktion ep辰derivoituvuus tarkoittaa. T辰m辰 ei onnistu helposti en辰辰 Visual Calculus -ohjelmalla, mutta tarkastelu voidaan toteuttaa esimerkiksi Mathematicalla. CND-funktioista voidaan tarkastella esimerkkin辰 Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki t辰llaisista funktioista. Tarkasti Weierstrassin funktio m辰辰ritell辰辰n seuraavasti f: b k cos(a k x) , f ( x) k 0 miss辰 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, ett辰 ab 1 3 . 2 Lukiossa funktiosta voisi tarkastella esimerkkin辰 yht辰 erikoistapausta, jossa esimerkiksi a = 7 ja b = 0,9 .
- 3. T辰ll旦in funktio saadaan muotoon 0,9k cos(7 k x) . W ( x) k 0 Funktion rakennetta 辰辰rett旦m辰n辰 summana voidaan selvitt辰辰 opiskelijoille kirjoittamalla auki osasummia n 1 Sn 0,9k cos(7 k x) k 0 ja tarkastelemalla n辰iden kuvaajia. Weierstrassin funktiohan saadaan raja-arvona W ( x) lim Sn . n Kuvassa 4 on esitetty osasummien kuvaajat n:n arvoilla 1, 2, 3 ja 4 v辰lill辰 [1,1] . Kuvista voidaan todeta opiskelijoiden kanssa, ett辰 aina n:n arvon kasvaessa yhdell辰 muodostuu kuvaajaan yhden huipun tilalle seitsem辰n huippua (huomaa, ett辰 a = 7 ). Osasummien kuvaajia tarkastelemalla voidaan luoda havainnollinen kuva siit辰, kuinka funktion rakenne kehittyy n:n arvon kasvaessa. Opiskelijoille voidaan korostaa, ett辰 monimutkaiselta n辰ytt辰v辰 funktio on kuitenkin vain tavallisten trigonometristen funktioiden summa. Kuvaajien avulla n辰hd辰辰n, kuinka funktioon alkaa muodostua yh辰 ter辰v辰mpi辰 huippuja Kuva 3: Tilanne, jossa kuvaaja voi antaa v辰辰r辰n mielikuvan derivoituvuudesta. n:n arvon kasvaessa. T辰ss辰 yhteydess辰 on hyv辰 muistuttaa mieleen paikallisen suoruuden k辰site derivoituvuutta tutkittaessa, ja ett辰 funktio ei ole derivoituva ter辰v辰ss辰 k辰rkipisteess辰 eli piikiss辰. Kuvaajien tulkintaan opiskelijoiden kanssa kannattaa mielest辰ni k辰ytt辰辰 reilusti aikaa, koska on t辰rke辰辰, ett辰 opiskelijoille muodostuu selv辰 geometrinen k辰sitys, kuinka Weierstrassin funktio rakentuu n:n arvon kasvaessa. 1 1.5 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -1 -0.5 -1.5 -0.5 0 0.5 -1 1 -0.5 0 0.5 1 0.5 1 10 2 5 1 0 0 -1 -5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 Kuva 4: Weierstrassin funktion osasummien kuvaajia. eDimensio 3
- 4. Weierstrassin funktion muodostuminen n辰iden tutkittujen funktioiden raja-arvona, kun n kasvaa rajatta, on syyt辰 k辰yd辰 huolella l辰pi. Mutta koska emme voi laskea 辰辰rett旦m辰n monen funktion summaa, joudumme tarkastelemaan aina osasummia. x [0,1, 0,1] 10 8 6 Weierstrassin funktio ja paikallinen suoruus Kun funktion rakennetta on k辰yty l辰pi ja tutkittu, kuinka huiput k辰yv辰t yh辰 ter辰v辰mmiksi n:n arvon kasvaessa, siirryt辰辰n tutkimaan tietty辰 osasummaa geometrisesti. Funktion rakenteen tutkiminen onnistuu hyvin jo esimerkiksi osasummalla, jossa n:n arvo on 51 (kuva 5). T辰m辰n osasumman kuvaajien piirt辰minen onnistuu viel辰 suhteellisen nopeasti, mutta suurempien osasummien kuvaajien piirt辰minen alkaa olla jo aika hidasta tavallisella tietokoneella. 4 2 0 -0.1 x -0.05 0 0.05 0.1 0 0.005 0.01 0 0.0005 0.001 [0,01, 0,01] 10 10 8 6 5 4 0 2 -5 0 -0.01 -1 -0.5 0 0.5 Kuva 5: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaaja v辰lill辰 [1,1]. Tutkitaan funktion derivoituvuutta origossa osasumman S51 avulla. K辰ytet辰辰n paikallisen suoruuden k辰sitett辰 ja tutkitaan, l辰heneek旦 funktion kuvaaja suoraa paikallisesti, mik辰li sit辰 l辰hennet辰辰n origossa. Kuvassa 6 on esitetty 10-, 100-, ja 1000-kertaiset suurennokset kuvassa 5 esitetyst辰 kuvaajasta origon l辰heisyydess辰. Suurennoksia tarkastelemalla huomataan, ett辰 tutkittavan funktion kuvaaja ei l辰hene suoraa origon ymp辰rist旦ss辰 eli ett辰 se ei ole derivoituva origossa. Kuitenkin funktio on jatkuva origossa jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona. Jatkuvuutta voi tarkastella opiskelijoiden kanssa funktion kuvaajista toteamalla esimerkiksi, ett辰 kuvien perusteella funktio n辰ytt辰辰 olevan jatkuva. On syyt辰 kuitenkin muistaa, ett辰 kaikki edell辰 k辰sitellyt osasummat ovat todellisuudessa derivoituvia 辰辰rellisen monen derivoituvan funktion summana. Osasummia tarkastelemalla voidaan kuitenkin luoda mielikuva siit辰 miksi Weierstrassin funktiosta lopulta tulee ei-miss辰辰n derivoituva. Ana- 4 eDimensio -0.005 1 x [0,001, 0,001] -0.001 -0.0005 10 8 6 4 2 Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaajan l辰hennys kohdassa x=0. lyyttinen todistus jatkuvuudesta ja ep辰derivoituvuudesta l旦ytyy esimerkiksi l辰hteest辰 Heiskanen (2006). Sama tarkastelu voidaan tehd辰 miss辰 kohdassa tahansa, ja p辰辰dyt辰辰n samaan tulokseen. Kun vastaava tarkastelu tehd辰辰n useammassa opiskelijoiden mielivaltaisesti valitsemassa kohdassa ja tarkastellaan,
- 5. kuinka kuvaajan perusteella funktio on jatkuva mutta ep辰derivoituva n辰iss辰 kohdissa, muodostuu opiskelijoille mielikuva, ett辰 on olemassa jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktioita. Tarkoituksena ei ole, ett辰 opiskelijat ymm辰rt辰v辰t funktioiden analyyttisen rakenteen tai ett辰 funktioiden ominaisuuksia todistetaan analyyttisesti, vaan ett辰 heille muodostuu mielikuva t辰llaisten funktioiden rakenteesta ja olemassaolosta. Ep辰derivoituvuuskohdissa Weierstrassin funktion kuvaajaan muodostuu piikki. T辰ll旦in siis funktio vaihtuu ep辰derivoituvuuskohdassa kasvavasta laskevaksi tai p辰invastoin. CND-funktio on rakenteeltaan sahalaitainen, eli se ei voi olla monotoninen. On syyt辰 tuoda esille, ett辰 Weierstrassin funktio ei ole ainoa CND-funktio. Muita vastaavia funktioita voidaan esitell辰 opiskelijoille lyhyesti ja tarkastella samalla, kuinka n辰iden kaikkien rakenne on sahalaitainen. Esimerkkej辰 l旦ytyy esimerkiksi l辰hteist辰 Thim (2003) ja Heiskanen (2006). Lukion oppikirjoissa ei mainita lainkaan erikoistapauksia, kuten CND-funktioita. Mielest辰ni t辰llaisten erikoistapausten esitteleminen lukion pitk辰n matematiikan opiskelijoille selvitt辰isi jatkuvuuden ja derivoi- tuvuuden ominaisuuksia sek辰 niiden v辰list辰 yhteytt辰. Vaikka funktioita ei voida k辰yd辰 tarkasti analyyttisesti l辰pi, niiden geometrinen tarkastelu auttaisi k辰sitteiden hahmottamisessa. Jos opiskelija tiet辰isi, ett辰 on olemassa funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia mutta eiv辰t ole miss辰辰n derivoituvia, ja ymm辰rt辰isi, millaisia ne ovat rakenteeltaan, olisi h辰nell辰 jo varsin paljon tietoa k辰sitteist辰 jatkuvuus ja derivoituvuus Viitteet: Gaul, R. & Kim, N. 2002. How Many continuous Nowhere Differentiable Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month. http://www.unomaha.edu/wwwmath/MAM/2002/Poster02/Contnondiff.pdf (11.11.2006). Heiskanen, P. 2005. Derivaatta antiikista nykyaikaan. Matematiikan LuK-tutkielma, Jyv辰skyl辰n yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. http://personal.inet.鍖/koti/paavoheiskanen/opiskelu/luk.pdf (12.11.2006). Heiskanen, P. 2006. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-k辰sitteet lukion pitk辰ss辰 matematiikassa. Matematiikan pro gradu -ty旦, Jyv辰skyl辰n yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. http://personal.inet.鍖/koti/paavoheiskanen/opiskelu/gradu.pdf (11.11.2006). Tall, D. 2002. Using Technology to Support an Embodied Approach to Learning Concepts in Mathematics. Teoksessa Carvalho, L.M. & Guimar達es, L.C.: Hist坦ria e Tecnologia no Ensino da Matem叩tica, vol. 1, pp. 1-28, Rio de Janeiro, Brasil. Saatavana s辰hk旦isen辰: http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2003a-rio-plenary.pdf (11.11.2006). Thim, J. 2003. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis, Lule奪 tekniska universitet. www.ludd.luth.se/~ivileel/master_thesis.pdf (11.11.2006). eDimensio 5