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Ejercicios de tranformada de laplace rafael marin

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Rafael Mejia

Transformadas de Laplaces, su Inversa y aplicaciones en ecuaciones diferenciales y circuitos electricos

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REPÚBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA INSTITUTOUNIVERSITARIOPOLITÉCNICO “SANTIAGOMARIÑO†ESCUELADE INGENIERÃAELECTRÓNICA EXTENSIÓNMATURÃN EjerciciosdeTransformadadeLaplace Profesor: Realizadopor: Ing.Mariangela Pollonais Br. Rafael Marín Materia: Teoría de Control Sección: V Maturín, Enerodel2017.
2 Ejercicios detransformada deLaplace 1eraParte.DeterminarlaTransformada deLaplace. 1.1. ð’‡( ð’•) = ðŸð’”ð’†ð’ ð’• + ðŸ‘ð’„ð’ð’” ðŸð’• ð‘ ð‘’ð‘› ð‘¤ð‘¡ = 𑤠ð‘ 2 +ð‘¤2 ð‘ð‘œð‘  ð‘¤ð‘¡ = ð‘  ð‘ 2 +ð‘¤2 ð“›{ ð‘“( ð‘¡)} = 2â„’{ ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡} + 3â„’{ ð‘ð‘œð‘ 2ð‘¡} ð‘“( ð‘ ) = 2. 1 ð‘ 2 + 12 + 3 ð‘  ð‘ 2 + 22 ð‘“( ð‘ ) = 2 ð‘ 2 + 1 + 3ð‘  ð‘ 2 + 4 1.2. ð’ˆ( ð’•) = ð’• ðŸ ð’† ðŸ’ð’• ð‘¡ð‘’−ð‘Žð‘¡ = 1 ð‘ +ð‘Ž ð“›{ ð‘”( ð‘¡)} = â„’{ ð‘¡2 ð‘’4ð‘¡} ð‘”( ð‘ ) = 2 (𑠠− 4)3 1.3. ð’‰( ð’•) = ð’†âˆ’ðŸð’• ð’”ð’†ð’ ðŸ“ð’• ð‘’−ð‘Žð‘¡ ð‘ ð‘’ð‘› ð‘¤ð‘¡ = 𑤠(ð‘ +ð‘Ž)2+ð‘¤2 ð“›{â„Ž( ð‘¡)} = â„’{ ð‘’−2ð‘¡ ð‘ ð‘’ð‘›5ð‘¡} â„Ž( ð‘ ) = 5 (ð‘  + 2)2 + 25 1.7. ð’ˆ( ð’•) = 𒕠👠− ðŸ‘ð’• + ð’„ð’ð’” ðŸ’ð’• ð‘¡ ð‘› = ð‘›Â¡ ð‘  ð‘›+1 ð“›{â„Ž( ð‘¡)} = â„’{ ð‘¡3} − 3â„’{ ð‘¡} + â„’{ ð‘ð‘œð‘ 4ð‘¡} ð‘”( ð‘ ) = 6 ð‘ 4 − 3 ð‘ 2 + ð‘  ð‘ 2 + 16 1.12. ð’ˆ( ð’•) = ð’† ðŸ’ð’•( ð’•âˆ’ ð’„ð’ð’” ð’•) ð‘’−ð‘Žð‘¡ ð‘ð‘œð‘  ð‘¤ð‘¡ = (ð‘ +ð‘Ž (ð‘ +ð‘Ž)2+ð‘¤2 ð“›{ ð‘”( ð‘¡)} = â„’{ ð‘¡ð‘’4ð‘¡ } − â„’{ ð‘’4ð‘¡ ð‘ð‘œð‘  ð‘¡} ð‘”( ð‘ ) = 1 (𑠠− 4)2 − (𑠠− 4) (𑠠− 4)2 + 1
3 2daParte.Calculandolatransformada inversadeLaplace. 2.2. ð‘®( ð’”) = ðŸ ð’”( ð’”+ðŸ) ℒ−1{ ðº( ð‘ )} = ð“›âˆ’ðŸ { 1 ð‘ ( ð‘  + 1) } Aplicando fracciones parciales. 1 ð‘ ( ð‘  + 1) = ð´ ð‘  + ðµ ð‘  + 1 1 = ð´( ð‘  + 1) + ðµð‘  1 = ð´ð‘  + ð´ + ðµð‘  PorAnuladores: ð‘ƒð‘Žð‘Ÿð‘Ž ð‘  = 0 ð‘ƒð‘Žð‘Ÿð‘Ž ð‘  = −1 ð´ = 1 1 = −ðµ ðµ = −1 ℒ−1{ ðº( ð‘ )} = ℒ−1 { 1 ð‘  } − ð“›âˆ’ðŸ { 1 ( ð‘  + 1) } ð‘”( ð‘¡) = 1 − ð‘’−𑡠2.3. ð‘¯( ð’”) = ðŸð’” ( ð’” ðŸ +ðŸ) ðŸ ð‘¡ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ = ðŸð‘²ð’” (ð’” ðŸ+𒌠ðŸ) ðŸ
4 ℒ−1{ ð»( ð‘ )} = ð“›âˆ’ðŸ { ðŸð’” ( ð’” ðŸ + ðŸ) ðŸ } â„Ž( ð‘¡) = ð‘¡. ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ 2.6. ð‘¹( ð’”) = ðŸ‘ð’” ðŸ ( ð’” ðŸ +ðŸ) ðŸ ð‘ ð‘’ð‘›ð‘˜ + ð‘˜ð‘¡ð‘ð‘œð‘ ð‘˜ð‘¡ = ðŸð‘²ð’” ðŸ (ð’” ðŸ+𒌠ðŸ) ðŸ ℒ−1{R(s)} = ℒ−1 { 3.2. s2 2(s2 + 1)2 } ℒ−1{R(s)} = 3 2 ℒ−1 { 2s2 (s2 + 1)2 } ð‘Ÿ( ð‘¡) = 3 2 ( ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ + ð‘¡ð‘ð‘œð‘ ð‘¡) 2.7. ð‘¹( ð’”) = ðŸ 𒔠💠[ ðŸ ð’” + 👠𒔠ðŸ + 💠𒔠ðŸ”]=[ ðŸ 𒔠📠+ 🔠𒔠🔠+ 🖠𒔠ðŸðŸŽ] ð‘¡ ð‘› = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 ℒ−1{R(s)} = 2ℒ−1 { 4! ð‘ 5 } + 6ℒ−1 { 5! ð‘ 6 } + 8ℒ−1 { 9! ð‘ 10 } ð‘Ÿ( ð‘¡) = 2ð‘¡4 + 6ð‘¡5 + 8ð‘¡9 2.15. ð‘¯( ð’”) = ð’” ðŸ −ðŸð’”+👠ð’”( ð’” ðŸâˆ’ðŸ‘ð’”+ðŸ) = ð’” ðŸ −ðŸð’”+👠ð’”( ð’”−ðŸ)(ð’”−ðŸ) Aplicando fracciones parciales. ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 ð‘ ( 𑠠− 1)(𑠠− 2) = ð´ ð‘  + ðµ (𑠠− 1) + ð¶ (𑠠− 2)
5 ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 = ð´( 𑠠− 1)(𑠠− 2) + ðµð‘ ( 𑠠− 2) + ð¶ð‘ ( 𑠠− 1) ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 = ð´ð‘ 2 − 3ð´ð‘  + 2ð´ + ðµð‘ 2 − 2ðµð‘  + ð¶ð‘ 2 − ð¶ð‘  PorAnuladores: Para S=0 Para S=1 Para S=2 3 = 2ð´ → ð´ = 3 2 1 − 2 + 3 = −ðµ −ðµ = 2 = −2 4 − 4 + 3 = 2ð¶ ð¶ = 3 2 ℒ−1{H(s)} = 3 2 ℒ−1 { 1 ð‘  } − 2ℒ−1 { 1 𑠠− 1 } + 3 2 ℒ−1 { 1 𑠠− 2 } â„Ž( ð‘¡) = 3 2 − 2ð‘’ ð‘¡ + 3 2 ð‘’2ð‘¡ 3eraParte.Transformada deLaplaceaplicada a ED. 3.28. ð’šâ€² − ðŸð’š = ðŸ − ð’• ð’š( ðŸŽ) = ðŸ â„’{1} = 1 ð‘  â„’{ ð‘¡ ð‘› } = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 â„’{ ð‘’ ð‘Žð‘¡} = 1 ð‘†âˆ’ð‘Ž â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0) = ð‘†ð‘¦( ð‘†) −1 −2â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = −2ð‘¦( ð‘†) ð‘†ð‘¦( ð‘†) − 1 − 2ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†)(𑆠− 2) = ð‘†2 − 𑆠ð‘†3 + 1 ð‘¦( ð‘†) = ð‘†2 − 𑆠+ ð‘†3 ð‘†3(𑆠− 2) = ð‘†(ð‘†2 + 𑆠− 1) ð‘†3(𑆠− 2) = ð‘†2 + 𑆠− 1 ð‘†2(𑆠− 2)
6 Aplicando fracciones parciales. ð‘†2 + 𑆠− 1 ð‘†2(𑆠− 2) = ð´ð‘† + ðµ ð‘†2 + ð¶ 𑆠− 2 ð‘†2 + 𑆠− 1 = ( ð´ð‘† + ðµ)( 𑆠− 2) + ð¶ð‘†2 ð‘†2 + 𑆠− 1 = ð´ð‘†2 + ðµð‘† − 2ð´ð‘† − 2ðµ + ð¶ð‘†2 ð‘†0 : −2ðµ = −1 ðµ = 1 2 ð‘†1 : − 2ð´ + ðµ = 1 ð´ = 1 − 1 2 −2 = − 1 4 ð‘†2 : ð´ + ð¶ = 1 → ð¶ = 1 + 1 4 = 5 4 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = − 1 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠} + 1 2 ℒ−ðŸ { 1 ð‘†2 } + 5 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠− 2 } ð‘¦( ð‘¡) = − 1 4 + 2 4 ð‘¡ + 5 4 ð‘’2ð‘¡ 3.29. ð’šâ€²â€² − ðŸ’ð’šâ€² + ðŸ’ð’š = ðŸ ð’š( ðŸŽ) = ðŸ, ð’šâ€²( ðŸŽ) = 💠ℒ{1} = 1 ð‘  â„’{ ð‘¡ ð‘› } = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 â„’{ ð‘’ ð‘Žð‘¡} = 1 ð‘†âˆ’ð‘Ž â„’{ ð‘¡ ð‘› ð‘’ ð‘Žð‘¡} = ð‘›! ( ð‘ âˆ’ð‘Ž) ð‘›+1 â„’ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 𑆠− 4 −4â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = −4(ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0)) = −4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4 4â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = 4ð‘¦( ð‘†) ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 𑆠− 4 − 4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4 + 4ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠+ 𑆠ð‘¦( ð‘†)( ð‘†2 − 4𑆠+ 4) = 1 + ð‘†2 ð‘†
7 ð‘¦( ð‘†) = 1 + ð‘†2 ð‘†( 𑆠− 2)2 Aplicando fracciones parciales. ð‘†2 + 1 ð‘†( 𑆠− 2)2 = ð´ 𑆠+ ðµ 𑆠− 2 + ðµ ( 𑆠− 2)2 ð‘†2 + 1 = ð´( 𑆠− 2)2 + ðµð‘†( 𑆠− 2) + ð¶ð‘† ð‘†2 + 1 = ð´ð‘†2 − 4ð´ð‘† + 4ð´ + ðµð‘†2 − 2ðµð‘† + ð¶ð‘† ð‘†0 : 4ð´ = 1 ð´ = 1 4 ð‘†1 :−4ð´ − 2ðµ + ð¶ = 0 ð¶ = 1 + 6 4 = 10 4 = 5 2 ð‘†2 : ð´ + ðµ = 1 ðµ = 1 − 1 4 = 3 4 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠} + 3 4 ℒ−ðŸ { 1 (𑆠− 2) } + 5 2 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 2)2 } ð‘¦( ð‘¡) = 1 4 + 3 4 ð‘’2ð‘¡ + 5 2 ð‘¡ð‘’2ð‘¡ 3.30. ð’šâ€²â€² + ðŸ—ð’š = ð’• ð’š( ðŸŽ) = ð’šâ€² ( ðŸŽ) = 0 â„’ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) 9â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = 9ð‘¦( ð‘†) â„’{ ð‘¡} = 1 ð‘ 2 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) + 9ð‘¦( ð‘†) = 1 ð‘ 2 ð¹(ð‘†) = 1 ð‘†2(ð‘†2 + 32) = 1 27 [ 27 ð‘†2(ð‘†2 + 32) ]
8 ð‘¦( ð‘†) = 1 ð‘†2(ð‘†2 + 32) = 1 27 ( 27 ð‘†2( ð‘†2 + 32) ) Porla tabla detransformadas. â„’{ ð‘˜ð‘¡ − sin ð‘˜ð‘¡} = ð¾3 ð‘†2(ð‘†2 + ð¾2) ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 27 ℒ−ðŸ { 27 ð‘†2(ð‘†2 + 32) } ð‘¦( ð‘¡) = 3𑡠− sen3ð‘¡ 27 3.32. ð’šâ€²â€² − ðŸ”ð’šâ€² + ðŸ–ð’š = ð’† ð’• ð’š( ðŸŽ) = ðŸ‘, ð’šâ€² ( ðŸŽ) = 🗠ℒ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 3𑆠− 9 −6â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = −6(ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0)) = −6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 18 6â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = 8ð‘¦( ð‘†) â„’{ ð‘’ ð‘¡} = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 3𑆠− 9 − 6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 18 + 8ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 8ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 + (3𑆠− 9) ð‘¦( ð‘†)( ð‘†2 − 6𑆠+ 8) = 1 𑆠− 1 + (3𑆠− 9) ð‘¦( ð‘†) = 1 + (𑆠− 1)(3𑆠− 9) ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) = 3ð‘†2 − 9𑆠− 3𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4)
9 ð‘¦( ð‘†) = 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) Aplicando fracciones parciales. 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) = ð´ ( 𑆠− 1) + ðµ ( 𑆠− 2) + ðµ ( 𑆠− 4) 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 = ð´( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) + ðµ( 𑆠− 1)( 𑆠− 4) + ð¶( 𑆠− 1)( 𑆠− 2) PorAnuladores: Para S=2 Para S=4 Para S=1 12 − 24 + 10 = ðµ(1)(−2) ðµ = 1 48 − 48 + 10 = ð¶(3)(2) ð¶ = 10 6 = 5 3 3 − 12 + 10 = ð´(−1)(−3) ð´ = 1 3 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 3 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 1) } + ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 2) } + 5 3 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 4) } ð‘¦( ð‘¡) = 1 3 ð‘’ ð‘¡ + ð‘’2ð‘¡ + 5 3 ð‘’4ð‘¡ ð¿ = ð‘ ð¿ ð¶ = 1 ð‘ ð¶ Resolviendo elPrimer Zeq1=C//R2.
10 ð‘ð‘’ð‘ž1 = ð‘…2 + 1 ð‘ ð¶ = (ð‘…2 ð‘ ð¶+1) ð‘ ð¶ SeRealiza transformación defuentes para luegoagrupar ZeqT=L//Zeq1. ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð‘ ð¿// (ð‘…2 ð‘ ð¶+1) ð‘ ð¶ ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð‘ ð¿(ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1) ð‘ ð¶ ð‘ ð¿+ (ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1) ð‘ ð¶ = ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ ð¶ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 ð‘ ð¶ = ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 Porultimo se aplica unDivisor de Corriente Para hallar laCorriente I: ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ( ð‘ð‘’ð‘ž ð‘‡) ð‘…1 + ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶+ ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 ð‘ 2 ð‘…1 ð¿ð¶ + ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶ + ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶+ ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 = ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð‘…1 ð¿ð¶+ ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶+ ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ = ð¸ð‘ ð‘…2 ð¶ + ð¸ ð‘ ð¿( ð‘…1 ð‘ ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1) + ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶ + ð‘…1

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  • 3. 3 2daParte.Calculandolatransformada inversadeLaplace. 2.2. ð‘®( ð’”) = ðŸ ð’”( ð’”+ðŸ) ℒ−1{ ðº( ð‘ )} = ð“›âˆ’ðŸ { 1 ð‘ ( ð‘  + 1) } Aplicando fracciones parciales. 1 ð‘ ( ð‘  + 1) = ð´ ð‘  + ðµ ð‘  + 1 1 = ð´( ð‘  + 1) + ðµð‘  1 = ð´ð‘  + ð´ + ðµð‘  PorAnuladores: ð‘ƒð‘Žð‘Ÿð‘Ž ð‘  = 0 ð‘ƒð‘Žð‘Ÿð‘Ž ð‘  = −1 ð´ = 1 1 = −ðµ ðµ = −1 ℒ−1{ ðº( ð‘ )} = ℒ−1 { 1 ð‘  } − ð“›âˆ’ðŸ { 1 ( ð‘  + 1) } ð‘”( ð‘¡) = 1 − ð‘’−𑡠2.3. ð‘¯( ð’”) = ðŸð’” ( ð’” ðŸ +ðŸ) ðŸ ð‘¡ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ = ðŸð‘²ð’” (ð’” ðŸ+𒌠ðŸ) ðŸ
  • 4. 4 ℒ−1{ ð»( ð‘ )} = ð“›âˆ’ðŸ { ðŸð’” ( ð’” ðŸ + ðŸ) ðŸ } â„Ž( ð‘¡) = ð‘¡. ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ 2.6. ð‘¹( ð’”) = ðŸ‘ð’” ðŸ ( ð’” ðŸ +ðŸ) ðŸ ð‘ ð‘’ð‘›ð‘˜ + ð‘˜ð‘¡ð‘ð‘œð‘ ð‘˜ð‘¡ = ðŸð‘²ð’” ðŸ (ð’” ðŸ+𒌠ðŸ) ðŸ ℒ−1{R(s)} = ℒ−1 { 3.2. s2 2(s2 + 1)2 } ℒ−1{R(s)} = 3 2 ℒ−1 { 2s2 (s2 + 1)2 } ð‘Ÿ( ð‘¡) = 3 2 ( ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ + ð‘¡ð‘ð‘œð‘ ð‘¡) 2.7. ð‘¹( ð’”) = ðŸ 𒔠💠[ ðŸ ð’” + 👠𒔠ðŸ + 💠𒔠ðŸ”]=[ ðŸ 𒔠📠+ 🔠𒔠🔠+ 🖠𒔠ðŸðŸŽ] ð‘¡ ð‘› = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 ℒ−1{R(s)} = 2ℒ−1 { 4! ð‘ 5 } + 6ℒ−1 { 5! ð‘ 6 } + 8ℒ−1 { 9! ð‘ 10 } ð‘Ÿ( ð‘¡) = 2ð‘¡4 + 6ð‘¡5 + 8ð‘¡9 2.15. ð‘¯( ð’”) = ð’” ðŸ −ðŸð’”+👠ð’”( ð’” ðŸâˆ’ðŸ‘ð’”+ðŸ) = ð’” ðŸ −ðŸð’”+👠ð’”( ð’”−ðŸ)(ð’”−ðŸ) Aplicando fracciones parciales. ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 ð‘ ( 𑠠− 1)(𑠠− 2) = ð´ ð‘  + ðµ (𑠠− 1) + ð¶ (𑠠− 2)
  • 5. 5 ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 = ð´( 𑠠− 1)(𑠠− 2) + ðµð‘ ( 𑠠− 2) + ð¶ð‘ ( 𑠠− 1) ð‘ 2 − 2ð‘  + 3 = ð´ð‘ 2 − 3ð´ð‘  + 2ð´ + ðµð‘ 2 − 2ðµð‘  + ð¶ð‘ 2 − ð¶ð‘  PorAnuladores: Para S=0 Para S=1 Para S=2 3 = 2ð´ → ð´ = 3 2 1 − 2 + 3 = −ðµ −ðµ = 2 = −2 4 − 4 + 3 = 2ð¶ ð¶ = 3 2 ℒ−1{H(s)} = 3 2 ℒ−1 { 1 ð‘  } − 2ℒ−1 { 1 𑠠− 1 } + 3 2 ℒ−1 { 1 𑠠− 2 } â„Ž( ð‘¡) = 3 2 − 2ð‘’ ð‘¡ + 3 2 ð‘’2ð‘¡ 3eraParte.Transformada deLaplaceaplicada a ED. 3.28. ð’šâ€² − ðŸð’š = ðŸ − ð’• ð’š( ðŸŽ) = ðŸ â„’{1} = 1 ð‘  â„’{ ð‘¡ ð‘› } = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 â„’{ ð‘’ ð‘Žð‘¡} = 1 ð‘†âˆ’ð‘Ž â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0) = ð‘†ð‘¦( ð‘†) −1 −2â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = −2ð‘¦( ð‘†) ð‘†ð‘¦( ð‘†) − 1 − 2ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†)(𑆠− 2) = ð‘†2 − 𑆠ð‘†3 + 1 ð‘¦( ð‘†) = ð‘†2 − 𑆠+ ð‘†3 ð‘†3(𑆠− 2) = ð‘†(ð‘†2 + 𑆠− 1) ð‘†3(𑆠− 2) = ð‘†2 + 𑆠− 1 ð‘†2(𑆠− 2)
  • 6. 6 Aplicando fracciones parciales. ð‘†2 + 𑆠− 1 ð‘†2(𑆠− 2) = ð´ð‘† + ðµ ð‘†2 + ð¶ 𑆠− 2 ð‘†2 + 𑆠− 1 = ( ð´ð‘† + ðµ)( 𑆠− 2) + ð¶ð‘†2 ð‘†2 + 𑆠− 1 = ð´ð‘†2 + ðµð‘† − 2ð´ð‘† − 2ðµ + ð¶ð‘†2 ð‘†0 : −2ðµ = −1 ðµ = 1 2 ð‘†1 : − 2ð´ + ðµ = 1 ð´ = 1 − 1 2 −2 = − 1 4 ð‘†2 : ð´ + ð¶ = 1 → ð¶ = 1 + 1 4 = 5 4 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = − 1 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠} + 1 2 ℒ−ðŸ { 1 ð‘†2 } + 5 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠− 2 } ð‘¦( ð‘¡) = − 1 4 + 2 4 ð‘¡ + 5 4 ð‘’2ð‘¡ 3.29. ð’šâ€²â€² − ðŸ’ð’šâ€² + ðŸ’ð’š = ðŸ ð’š( ðŸŽ) = ðŸ, ð’šâ€²( ðŸŽ) = 💠ℒ{1} = 1 ð‘  â„’{ ð‘¡ ð‘› } = ð‘›! 𑆠ð‘›+1 â„’{ ð‘’ ð‘Žð‘¡} = 1 ð‘†âˆ’ð‘Ž â„’{ ð‘¡ ð‘› ð‘’ ð‘Žð‘¡} = ð‘›! ( ð‘ âˆ’ð‘Ž) ð‘›+1 â„’ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 𑆠− 4 −4â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = −4(ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0)) = −4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4 4â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = 4ð‘¦( ð‘†) ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 𑆠− 4 − 4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4 + 4ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 4ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 4ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠+ 𑆠ð‘¦( ð‘†)( ð‘†2 − 4𑆠+ 4) = 1 + ð‘†2 ð‘†
  • 7. 7 ð‘¦( ð‘†) = 1 + ð‘†2 ð‘†( 𑆠− 2)2 Aplicando fracciones parciales. ð‘†2 + 1 ð‘†( 𑆠− 2)2 = ð´ 𑆠+ ðµ 𑆠− 2 + ðµ ( 𑆠− 2)2 ð‘†2 + 1 = ð´( 𑆠− 2)2 + ðµð‘†( 𑆠− 2) + ð¶ð‘† ð‘†2 + 1 = ð´ð‘†2 − 4ð´ð‘† + 4ð´ + ðµð‘†2 − 2ðµð‘† + ð¶ð‘† ð‘†0 : 4ð´ = 1 ð´ = 1 4 ð‘†1 :−4ð´ − 2ðµ + ð¶ = 0 ð¶ = 1 + 6 4 = 10 4 = 5 2 ð‘†2 : ð´ + ðµ = 1 ðµ = 1 − 1 4 = 3 4 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 4 ℒ−ðŸ { 1 𑆠} + 3 4 ℒ−ðŸ { 1 (𑆠− 2) } + 5 2 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 2)2 } ð‘¦( ð‘¡) = 1 4 + 3 4 ð‘’2ð‘¡ + 5 2 ð‘¡ð‘’2ð‘¡ 3.30. ð’šâ€²â€² + ðŸ—ð’š = ð’• ð’š( ðŸŽ) = ð’šâ€² ( ðŸŽ) = 0 â„’ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) 9â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = 9ð‘¦( ð‘†) â„’{ ð‘¡} = 1 ð‘ 2 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) + 9ð‘¦( ð‘†) = 1 ð‘ 2 ð¹(ð‘†) = 1 ð‘†2(ð‘†2 + 32) = 1 27 [ 27 ð‘†2(ð‘†2 + 32) ]
  • 8. 8 ð‘¦( ð‘†) = 1 ð‘†2(ð‘†2 + 32) = 1 27 ( 27 ð‘†2( ð‘†2 + 32) ) Porla tabla detransformadas. â„’{ ð‘˜ð‘¡ − sin ð‘˜ð‘¡} = ð¾3 ð‘†2(ð‘†2 + ð¾2) ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 27 ℒ−ðŸ { 27 ð‘†2(ð‘†2 + 32) } ð‘¦( ð‘¡) = 3𑡠− sen3ð‘¡ 27 3.32. ð’šâ€²â€² − ðŸ”ð’šâ€² + ðŸ–ð’š = ð’† ð’• ð’š( ðŸŽ) = ðŸ‘, ð’šâ€² ( ðŸŽ) = 🗠ℒ {ð‘¦â€²â€² ( ð‘¡)} = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − ð‘†ð‘¦(0) − ð‘¦â€² (0) = ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 3𑆠− 9 −6â„’ {ð‘¦â€² ( ð‘¡)} = −6(ð‘†ð‘¦( ð‘†) − ð‘¦(0)) = −6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 18 6â„’{ð‘¦( ð‘¡)} = 8ð‘¦( ð‘†) â„’{ ð‘’ ð‘¡} = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 3𑆠− 9 − 6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 18 + 8ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 ð‘†2 ð‘¦( ð‘†) − 6ð‘†ð‘¦( ð‘†) + 8ð‘¦( ð‘†) = 1 𑆠− 1 + (3𑆠− 9) ð‘¦( ð‘†)( ð‘†2 − 6𑆠+ 8) = 1 𑆠− 1 + (3𑆠− 9) ð‘¦( ð‘†) = 1 + (𑆠− 1)(3𑆠− 9) ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) = 3ð‘†2 − 9𑆠− 3𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4)
  • 9. 9 ð‘¦( ð‘†) = 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) Aplicando fracciones parciales. 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 ( 𑆠− 1)( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) = ð´ ( 𑆠− 1) + ðµ ( 𑆠− 2) + ðµ ( 𑆠− 4) 3ð‘†2 − 12𑆠+ 10 = ð´( 𑆠− 2)( 𑆠− 4) + ðµ( 𑆠− 1)( 𑆠− 4) + ð¶( 𑆠− 1)( 𑆠− 2) PorAnuladores: Para S=2 Para S=4 Para S=1 12 − 24 + 10 = ðµ(1)(−2) ðµ = 1 48 − 48 + 10 = ð¶(3)(2) ð¶ = 10 6 = 5 3 3 − 12 + 10 = ð´(−1)(−3) ð´ = 1 3 ℒ−ðŸ {ð‘¦( ð‘†)} = 1 3 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 1) } + ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 2) } + 5 3 ℒ−ðŸ { 1 ( 𑆠− 4) } ð‘¦( ð‘¡) = 1 3 ð‘’ ð‘¡ + ð‘’2ð‘¡ + 5 3 ð‘’4ð‘¡ ð¿ = ð‘ ð¿ ð¶ = 1 ð‘ ð¶ Resolviendo elPrimer Zeq1=C//R2.
  • 10. 10 ð‘ð‘’ð‘ž1 = ð‘…2 + 1 ð‘ ð¶ = (ð‘…2 ð‘ ð¶+1) ð‘ ð¶ SeRealiza transformación defuentes para luegoagrupar ZeqT=L//Zeq1. ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð‘ ð¿// (ð‘…2 ð‘ ð¶+1) ð‘ ð¶ ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð‘ ð¿(ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1) ð‘ ð¶ ð‘ ð¿+ (ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1) ð‘ ð¶ = ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ ð¶ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 ð‘ ð¶ = ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 Porultimo se aplica unDivisor de Corriente Para hallar laCorriente I: ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ( ð‘ð‘’ð‘ž ð‘‡) ð‘…1 + ð‘ð‘’𑞠𑇠= ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1 ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶+ ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 ð‘ 2 ð‘…1 ð¿ð¶ + ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶ + ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð¶+ ð‘…2 ð‘ ð¶ + 1 = ð¼ð‘  = ð¸ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶+ ð‘ ð¿ ð‘ 2 ð‘…1 ð¿ð¶+ ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶+ ð‘…1 + ð‘ 2 ð¿ð‘…2 ð¶ + ð‘ ð¿ = ð¸ð‘ ð‘…2 ð¶ + ð¸ ð‘ ð¿( ð‘…1 ð‘ ð¶ + ð‘…2 ð‘ ð¶+ 1) + ð‘…1 ð‘…2 ð‘ ð¶ + ð‘…1