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Ejercicios resueltos por meﾌ》odo de tres momentos (resistencia de materiales)

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Alba Marina Rivero Flores
Alba Marina Rivero Flores

EJERCICIOS RESUELTOS POR EL Mﾃ欝ODO DE TRES MOMENTOS

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窶 Universidad Nacional San Cristﾃｳbal de Huamanga窶 Facultad de Ingenﾃｭeria Minas , Geologﾃｭa y Civil Escuela de Ingenierﾃｭa Civil PROBLEMAS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES I - II Autor: Calderﾃｳn Quispe, Gilmer ( gilmercq256@Gmail.com,gilmercq@hotmail.com ) Estudiante de Ingenierﾃｭa Civil GilmerCalderﾃｳnQuispe
Capﾃｭtulo 3Mﾃｩtodo de tres Momentos 3.1 Deｬ］iciﾃｳn CG CG L1 L2 I1 I2 A B C m1 n1 m2 n2 MA ﾂｴ L1 I1 ﾂｯ ` 2MB ﾂｴ L1 I1 ` L2 I2 ﾂｯ ` MC ﾂｴ L2 I2 ﾂｯ 窶 ﾂｴ6 窶 A1m1 L1I1 ` A2n2 L2I2 ﾄｱ `6E 窶 竏Bﾂｴ竏A L1 ` 竏Bﾂｴ竏C L2 ﾄｱ Ecuaciﾃｳn 1 Ec. los 3 momentos Para em marco mostrado en la ｬ“ura, por el mﾃｩtodo de tres momentos calcular 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes y momentos ｬＦctores Problema Nﾂｰ 1 5 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 3. Momento ｬＦctor mﾃ｡ximo y su respectiva ubicaciﾃｳn 2I 6m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I h =90001 A B C D A B C D ejercio Nﾂｰ 1 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m D A1 窶 2 3 lh 窶 36000 A2 窶 A3 窶 1000 A4 窶 8000 De la ｬ“ura (a) aplicando la ecuaciﾃｳn de los tres momentos Soluciﾃｳn: 2I 6m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I h =90001 A B C D A B C D ejercio Nﾂｰ 1 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m D MA ﾋ 6 2 ﾋ 窶 2MB ﾋ 6 2 ` 4 3 ﾋ ` MC ﾋ 4 3 ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 36000 p3q 6 ﾋ 2 ` 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 1 3 p2q ` 2 ﾋ ﾂｴ 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 2 3 p2q ﾋ呻埓 MB ﾋ 4 3 ﾋ ` 2MC ﾋ 4 3 ` 4 2 ﾋ ` MD ﾋ 4 2 ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 2 3 p2q ﾋ ﾂｴ 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 1 3 p2q ` 2 ﾋ ﾂｴ 8000 2 ﾋ 4 p2q 埓 MC ﾋ 4 2 ﾋ ` 2MD ﾋ 4 2 ` 0 ﾋ ` ME p0q 窶 ﾂｴ6 窶 ﾂｴ8000 2 ﾋ 4 p2q 埓 Resistencia de Materiales I-II pagina 6 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Para: MA 窶 ME 窶 0 8.667MB ` 1.333MC 窶 ﾂｴ54666.667 (I) 1.333MB ` 6.667MC ` 2MD 窶 12666.667 (II) 2MC ` 4MD 窶 ﾂｴ12000 (III) Resolviendo (I) ,(II)y (III) MB 窶 ﾂｴ6732.394 Kg ﾂｴ m MC 窶 2760.563 Kg ﾂｴ m MD 窶 1619.718 Kg ﾂｴ m Hallando las cortantes isostﾃ｡ticas AB : " VAB 窶 6000 VBA 窶 ﾂｴ6000 BC : " VBC 窶 500 VCB 窶 500 CD : " VCD 窶 ﾂｴ2000 VDC 窶 2000 Factor de correcciﾃｳn de las cortantes C1 窶 0 ﾂｴ pﾂｴ6732.394q 6 窶 1122.066 C2 窶 ﾂｴ6732.394 ﾂｴ 2760.563 4 窶 ﾂｴ2373.239 C3 窶 2760.563 ﾂｴ p1619.781q 4 窶 285.211 Hallando las cortantes ｬ］ales V 窶弖isot ﾂｴ C VAB 窶 6000 ﾂｴ 1122.066 窶 4877.934 Kgf VBA 窶 ﾂｴ6000 ﾂｴ 1122.066 窶 ﾂｴ7122.066 Kgf VBC 窶 500 ` 2373.239 窶 2873.239 Kgf VCB 窶 500 ` 2373.239 窶 2873.239 Kgf VCD 窶 ﾂｴ2000 ﾂｴ 285.211 窶 ﾂｴ2285.211 Kgf VDC 窶 2000 ﾂｴ 285.211 窶 1714.789 Kgf Hallando momento ｬＦctor mﾃ｡ximo(Donde la cortante es cero) enx 窶 6 m ﾃｱ Mmﾂｴaxpﾂｴq 窶 6732.394 Kg ﾂｴ m - + - ++ 4877.934 7122.066 2873.239 7122.066 2285.211 6732.394 968.258 continuacion Ejercicio 1 V (Kgf) Resistencia de Materiales I-II pagina 7 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos D + 7122.066 2285.211 5633.803 6732.394 2986.258 2760.563 1619.718 1809.859 2760.563 968.258 + - - + M (Kgf.m) (Kgf) h =90001 A B C D 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m MAB 窶 2EI 30 p2ﾎｸA ` ﾎｸB ﾂｴ 0q ﾂｴ 266.667 ﾃｭ MAB 窶 0.0667EIﾎｸB ﾂｴ 266.667 MAB 窶 2EI 30 p2ﾎｸA ` ﾎｸB ﾂｴ 0q ﾂｴ 266.667 Resolver la viga sabiendo que el apoyo B sufriﾃｳ un asentamiento de 12mm, considerar I 窶 80x107 mm4 y E 窶 200KN{mm2 Problema Nﾂｰ 2 Resistencia de Materiales I-II pagina 8 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - 20KN/m A B C D A1 窶 360 ; A2 窶 2 3 p6q p90q 窶 360 ; A3 窶 138.667 ; A4 窶 180 Soluciﾃｳn: 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m A B C D M0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 6 2I ﾋ ` MB ﾋ 6 2I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 0 ` 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 360 p3q 6 ﾋ 2I 埓 ` 6E 窶 0 ` ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 埓 6MA ` 3MB 窶 ﾂｴ6 窶 360 p3q 6 ﾋ 2 ` 360 p3q 6 ﾋ 2 埓 ` 6EI 窶 ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 埓 6MA ` 3MB 窶 ﾂｴ3000 ............................................. (I) MA ﾋ 6 2I ﾋ ` 2MB ﾋ 6 2I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 138.667 p2q 4I 埓 ` 6E 窶 12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 ` 12 ﾋ 10ﾂｴ3 4 埓 3MA ` 14MB ` 4MC 窶 3304 ............................................ pIIq MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 5 I ﾋ ` MD ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 138.667 p2q 4I ` 180 p8{3q 5I 埓 ` 6E 窶 ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 4 埓 4MB ` 18MC 窶 ﾂｴ3872 ................................................pIIIq Resolviendo las ecuaciones pIq , pIIq y pIIIq MA 窶 ﾂｴ743.923 KN.m MB 窶 487.847 KN.m MC 窶 ﾂｴ323.521 KN.m Hallando las cortantes isostﾃ｡ticas AB: # VAB 窶 100 VBA 窶 ﾂｴ100 BC : # VBC 窶 52 VCB 窶 ﾂｴ52 CD : # VCD 窶 36 VDC 窶 ﾂｴ24 pKNq Resistencia de Materiales I-II pagina 9 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Hallando las correcciones Ci 窶 Mizq ﾂｴ Mder L C1 窶 ﾂｴ205.295 KN C2 窶 202.842KN C3 窶 ﾂｴ64.704KN Cortantes ｬ］ales VAB 窶 305.295 KN VBC 窶 ﾂｴ150.842 KN VCD 窶 100.704 KN VBA 窶 105.295 KN VCB 窶 ﾂｴ254.842 KN VDC 窶 40.704 KN 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - M (KN.m) V (KN) Resolver la viga mostrada en la que los asentamientos de los apoyos son en A 窶 10mm ,en C 窶 65mm, en E 窶 40mm y en G 窶 25mm E 窶 200Gpa , I 窶 500x106 mm4 Problema Nﾂｰ 3 Resistencia de Materiales I-II pagina 10 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 105.357 - + M (K.ft) A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) A1 窶 1 2 p6q p288q 窶 864 ; A2 窶 576 ; A3 窶 864 ; A4 窶 576 ; A5 窶 1200 ; Soluciﾃｳn: 105.357 27.678 10ft - + - - - + + M (K.ft) A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) MA ﾋ 10 I ﾋ ` 2MC ﾋ 10 I ` 10 2I ﾋ ` ME ﾋ 10 2I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 864 10I ﾋ 2 3 p6q ﾋ ` 576 10I ﾋ 6 ` 1 3 p4q ﾋ ` 864 10 p2Iq ﾋ 4 ` 1 3 p6q ﾋ ` 576 10 p2Iq ﾋ 2 3 p4q ﾋ呻埓 ` 6E 窶 0.065 ﾂｴ 0.01 10 ` 0.065 ﾂｴ 0.04 10 埓 MA 窶 0 30MC ` 5ME 窶 ﾂｴ1824 ............................................................................................... piq MC ﾋ 10 2I ﾋ ` 2ME ﾋ 10 2I ` 8 I ﾋ ` MG ﾋ 8 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 864 10 p2Iq ﾋ 2 3 p6q ﾋ ` 576 10 p2Iq ﾋ 6 ` 4 3 ﾋ ` 1200 8I p4q 埓 ` 6E 窶 0.04 ﾂｴ 0.065 10 ` 0.04 ﾂｴ 0.025 8 埓 5MC ` 26ME 窶 ﾂｴ6279 .............................................................................................. piiq Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii) MC 窶 ﾂｴ21.230 ; ME 窶 ﾂｴ237.417 ; MA 窶 MG 窶 0 rKN.ms Calculando las cortantes isostaticas AB : " VAC 窶 48 VCA 窶 ﾂｴ72 CE : " VCE 窶 48 VEC 窶 ﾂｴ72 EG : " VEG 窶 75 VGE 窶 ﾂｴ75 rKNs Calculo de las correcciones C1 窶 0 ﾂｴ pﾂｴ21.230q 10 窶 2.123 ; C2 窶 ﾂｴ21.230 ﾂｴ pﾂｴ237.417q 10 窶 21.619 C3 窶 ﾂｴ237.417 ﾂｴ 0 8 窶 ﾂｴ29.677 rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 11 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Fuerzas cortantes ｬ］ales VAC 窶 48 ﾂｴ 2.123 窶 45.877 VCE 窶 48 ﾂｴ 21.619 窶 26.381 VCA 窶 ﾂｴ72 ﾂｴ 2.123 窶 ﾂｴ74.123 VEC 窶 ﾂｴ72 ﾂｴ 21.619 窶 ﾂｴ93.619 VEG 窶 75 ﾂｴ pﾂｴ29.677q 窶 104.667 VGE 窶 ﾂｴ75 ﾂｴ pﾂｴ29.667q 窶 ﾂｴ45.323 rKNs - + A B E F GDC I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) 21.230 237.417 275.262 137.289 181.291 300 288 288 - + + + M (KN.m) 50KN 50KN 30KN A B C 2m 3m 2m 1.5m 2.5m Viga: 300mmx400mm colum: 300mmx500mm 2 E=20KN/mm Aplicando el teorema de los tres momentos hallar: 1. Momentos en los apoyos 2. Correcciones de la fuerza cortante. 3. DMF, DFC, DFN 4. Reacciones en los apoyos. Problema Nﾂｰ 4 Resistencia de Materiales I-II pagina 12 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 5. Momento ｬＦctor mﾃ｡ximo positivo y su respectiva ubicaciﾃｳn. 6. Si la columna tiene ﾃ｡rea 30x50cm2 y E 窶 2x106 MPa calcule la deformacion de esta. 0.507 1.015 1.353 7.276 2.724 4.142 0.812 1.623 - + + + - + - - M (T.m) 2.5 A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m A1 窶 1 2 p4q p8q 窶 16 A2 窶 1 2 p6q p16q 窶 48 A3 窶 2 3 p6q p45q Soluciﾃｳn: A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN Resistencia de Materiales I-II pagina 13 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 4 I ﾋ ` MB ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 0 ` 16 p2q 4I 埓 ` 6E ﾋ 0 ` 0 ﾂｴ 竏 4 ﾋ 8MA ` 4MB ` 1.5EI竏 窶 ﾂｴ48 (i) MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 6 I ﾋ ` MC ﾋ 6 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 16 p2q 4I ` 48 p4q 6I 埓 ` 6E ﾋ 竏 4 ` 0 ﾋ 4MA ` 20MB ` 6MC ﾂｴ 1.5EI竏 窶 ﾂｴ240 (ii) MB ﾋ 6 I ﾋ ` 2MC ﾋ 6 I ` 6 I ﾋ ` MD ﾋ 6 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 48 p2q 6I ` 180 p3q 6I 埓 6MB ` 24MC 窶 ﾂｴ636 (iii) De la ｬ“ura se observa VA 窶 8 KN Haciendo equilibrio MA ﾂｴ MB ` VA p4q ﾂｴ 16 窶 0 ﾂｴ 1 4 pMA ﾂｴ MB ﾂｴ 16q 窶 VA ﾂｴ 1 4 pMA ﾂｴ MB ﾂｴ 16q 窶 8 MA ﾂｴ MB 窶 ﾂｴ16 (iv) Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ14.174 ; MB 窶 1.826 ; MC 窶 ﾂｴ26.956 rKN.ms EI竏 窶 38.725 窶 KN m3 窶ｰ Cﾃ｡lculo de las cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 4 VBA 窶 ﾂｴ4 ; BC : " VBC 窶 2.667 VCB 窶 ﾂｴ2.667 ; CD : " VCD 窶 30 VDC 窶 ﾂｴ30 rKNs Cﾃ｡lculo de las correcciones C1 窶 ﾂｴ14.174 ﾂｴ 1.826 4 窶 ﾂｴ4 C2 窶 1.826 ﾂｴ pﾂｴ26.956q 6 窶 4.797 ; C3 窶 ﾂｴ26.956 6 窶 ﾂｴ4.493 Cortantes ｬ］ales VAB 窶 4 ﾂｴ pﾂｴ4q 窶 8 VBA 窶 ﾂｴ4 ﾂｴ pﾂｴ4q 窶 0 VBC 窶 ﾂｴ2.667 ﾂｴ 4.797 窶 ﾂｴ7.464 VCB 窶 ﾂｴ2.667 ﾂｴ 4.797 窶 ﾂｴ7.464 VCD 窶 30 ﾂｴ pﾂｴ4.493q 窶 34.493 VDC 窶 ﾂｴ30 ﾂｴ p4.493q 窶 ﾂｴ25.507rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 14 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Hallando desplazamiento IC 窶 30p50q3 12 窶 312500 cm4 E 窶 2x106 MPa 窶 0.2x106KN L cm2 EI竏 窶 38.725 竏 窶 38.725x106 312500x0.2x106 窶 0.0006196 cm A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN - + 8 7.464 34.493 25.507 7.46 26.956 45 - + + -- + V (KN) N (KN) A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN - + 8 7.464 34.493 25.507 7.46 26.956 45 - + + -- + V (KN) N (KN) Resistencia de Materiales I-II pagina 15 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 8 26.956 1.826 17.826 31.522 14.174 45 18 - - - ++ + V (KN) M (KN.m) 3m Resolver la estructura mostrada utilizando la ecuaciﾃｳn de los tres momentos. 5000kgf 3m 2m 3m A B C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 1055.195 Problema Nﾂｰ 5 Soluciﾃｳn: 5000kgf 3m 2m 3m A B C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 535.714kgf 5405.844kgf.mResistencia de Materiales I-II pagina 16 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA0 ﾋ 0 8 ﾋ ` 2MA ﾋ 0 8 ` 3 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 6E ﾋ 0 ﾂｴ 竏 3 ﾋ 6MA ` 3MB ` 2EI竏 窶 0 (i) MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 3 I ﾋ ` MC ﾋ 3 I ﾋ 窶 6E ﾋ 竏 3 ﾋ 3MA ` 12MB ` 3MC ﾂｴ 2EI竏 窶 0 (ii) MB ﾋ 3 I ﾋ ` 2MC ﾋ 3 I ` 2 I ﾋ ` MD ﾋ 2 I ﾋ 窶 6E ﾋ 0 ` 竏 2 ﾋ 3MB ` 10MC ` 2MD ﾂｴ 3EI竏 窶 0 (iii) MC ﾋ 2 I ` 0 8 ﾋ ` 2MD ﾋ 2 I ` 0 8 ﾋ ` MD0 ﾋ 0 8 ﾋ 窶 6E ﾋ ﾂｴ 竏 2 ﾋ 2MC ` 4MD ` 3EI竏 窶 0 (iv) De la ｬ“ura obtenemos una ecuacion mas para resolver MA ﾂｴ MB ` VAB p3q 窶 0 MC ﾂｴ MD ` VCD p2q 窶 0 VAB 窶 ﾂｴ 1 3 pMA ﾂｴ MBq VCD 窶 ﾂｴ 1 2 pMC ﾂｴ MDq ﾃｿ Fy 窶 0 VAB ﾂｴ VDC ﾂｴ 5000 窶 0 ﾂｴ 1 3 pMA ﾂｴ MBq ﾂｴ 窶 ﾂｴ 1 2 pMC ﾂｴ MDq 埓 ﾂｴ 5000 窶 0 ﾂｴ MA 3 ` MB 3 ` MC 2 ﾂｴ MD 2 ﾂｴ 5000 窶 0 (v) Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ2288.961 MB 窶 876.623 ; MC 窶 2483.766 ; MD 窶 ﾂｴ5405.844 rkgf ﾋ ms Fuerzas cortantes VAB 窶 VBA 窶 0 ﾂｴ 1 3 pﾂｴ2288.961 ﾂｴ 876.623q 窶 1055.195 VBC 窶 VCB 窶 0 ﾂｴ 1 3 p876.623 ﾂｴ 2483.766q 窶 535.714 VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 2 p2483.766 ` 5405.844q 窶 ﾂｴ3944.805 rkgfs Resistencia de Materiales I-II pagina 17 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos C D C 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 535.714 535.714 - 3944.805- - N (Kgf ) 3m 2m C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 1055.195 535.714 3944.805 2288.961 876.623 3.766 5405.844 876.623 + + - - - - V (Kgf) M (Kgf.m) Resistencia de Materiales I-II pagina 18 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 3944.805 2288.961 876.623 2483.766 2483.766 5405.844 876.623 - - - - + (Kgf) M (Kgf.m) Para la vigamostrada en la ｬ“ura determinar las reacciones en los apoyos, el diagrama de fuerza cortante y el diagrama de momento ｬＦxionante EI=cte 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 457.143 189.286 A1 A2 1494.643 439.286 Problema Nﾂｰ 6 Soluciﾃｳn: 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 A1 A2 Resistencia de Materiales I-II pagina 19 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 3200 p2q 4I ` 1800 p2q 4I ﾋ 4MA ` 16MB ` 4MC 窶 ﾂｴ15000 (i) MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 0 8 ﾋ ` MD p0q 窶 ﾂｴ6 ﾋ 1800 p2q 4I ` 0 ﾋ 4MB ` 8MC 窶 ﾂｴ5400 (ii) resolviendo las ecuaciones se tiene MA 窶 ﾂｴ1600 MB 窶 ﾂｴ421.429 ; MC 窶 ﾂｴ464.286 rN.ms Cﾃ｡lculo de cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 1200 VBA 窶 ﾂｴ1200 ; BC : " VBC 窶 450 VCB 窶 ﾂｴ450 rNs Cﾃ｡lculo de las correcciones C1 窶 ﾂｴ1600 ﾂｴ pﾂｴ421.429q 4 窶 ﾂｴ294.643 C2 窶 ﾂｴ421.429 ﾂｴ pﾂｴ464.286q 4 窶 10.759 Cﾃ｡lculo de las cortantes ｬ］ales VAB 窶 1200 ﾂｴ pﾂｴ294.843q 窶 1494.643 ; VBA 窶 ﾂｴ1200 ﾂｴ pﾂｴ294.843q 窶 ﾂｴ905.357 VBC 窶 450 ﾂｴ 10.459 窶 439.286 ; VCB 窶 ﾂｴ450 ﾂｴ 10.759 窶 ﾂｴ460.759 rNs 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 457.143 189.286 A1 A2 + - 800 1494.643 905.357 439.286 460.759 M (N.m) V (N) Resistencia de Materiales I-II pagina 20 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB En la viga quebrada que se muestra calcule las reacciones , DFC, DMF , DFN y la deｬＦxiﾃｳn en el punto B 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB Problema Nﾂｰ 7 Soluciﾃｳn: 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB Resistencia de Materiales I-II pagina 21 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos La deformaciﾃｳn en B y C son iguales por ser simetricas MA0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 3 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6E ﾋ ﾂｴ竏 3 ﾋ 6MA ` 3MB ` 2EI竏 窶 0 (i) MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 5 I ﾋ ` MC ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 0 ` 20.833 p2.5q 5I ﾋ ` 6E ﾋ 竏 3 ﾋ 3MA ` 16MB ` 5MC ﾂｴ 2EI竏 窶 ﾂｴ62.499 (ii) MB ﾋ 5 I ﾋ ` 2MC ﾋ 5 I ` 3 I ﾋ ` MD ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 20.8333 p2.5q 5I ` 0 ﾋ ` 6EI ﾋ 竏 3 ﾋ 5MB ` 16MC ` 3MD ﾂｴ 2EI竏 窶 ﾂｴ62.499 (iii) MC ﾋ 3 I ﾋ ` 2MD ﾋ 3 I ﾋ ` MD0 p0q 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6E ﾋ ﾂｴ竏 3 ﾋ 3MC ` 6MD ` 2EI竏 窶 0 (iv) haciendo equilibrio MA ﾂｴ MB ` 6 p3q 窶 0 ﾃｱ MA ﾂｴ MB 窶 ﾂｴ18 (v) VAB 窶 6 Tn Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ14.985 MB 窶 MC 窶 3.015 ; MD 窶 ﾂｴ14.985 rTn.ms Cortantes isostaticos VAB 窶 VBA 窶 VCD 窶 VDC 窶 0 VBC 窶 ﾂｴVCB 窶 5 Tn Cortantes ｬ］ales VAB 窶 VBA 窶 0 ﾂｴ 1 3 pﾂｴ14.985 ﾂｴ 3.015q 窶 6Tn VBC 窶 VCB 窶 5Tn VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 3 p3.015 ` 14.985q 窶 ﾂｴ6Tn Resistencia de Materiales I-II pagina 22 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos + - + - 3 3 6 6 5 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn N (Tn) V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 A1 A2 + - + - 3 3 6 6 5 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn N (Tn) V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 A1 A2 Resistencia de Materiales I-II pagina 23 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Empleando la ecuacion de los tres momentos determinar: 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes 3. Diagrama de momento ｬＦctor 4. Hallar la ｬＦcha en el voladizo EI=cte +- 14.985 3 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 40/3 A1 A2 A3 A4 Problema Nﾂｰ 8 A1 窶 2 3 p3q p45q 窶 90 A2 窶 1 2 p3q p30q A3 窶 1 2 p1q ﾋ 40 3 ﾋ 窶 20 3 A4 窶 1 2 p2q ﾋ 40 3 ﾋ 窶 40 3 Soluciﾃｳn: + 6 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 40/3 A1 A2 A3 A4 Resistencia de Materiales I-II pagina 24 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA 窶 ﾂｴ20 Tn.m MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 2 I ﾋ ` MC ﾋ 2 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ90 p1.5q 3I ` 20{3 ﾂｴ 2{3 ﾂｯ 3I ` 40{3 ﾂｴ 1 ` 1{3 ﾂｯ 3I ` 0 ﾋ 窶 3MA ` 10MB ` 2MC 窶 ﾂｴ323.333 10MB ` 2MC 窶 ﾂｴ263.333 (i) MB ﾋ 2 I ﾋ ` 2MC ﾋ 2 I ` 3 I ﾋ ` MD ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ0 ` 45 ﾂｴ 2{3 p3q ﾂｯ 3I ﾋ 窶 2MB ` 10MC ` 3MD 窶 ﾂｴ180 (ii) MC ﾋ 3 I ﾋ ` 2MD ﾋ 3 I ﾋ ` MD0 p0q 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ 45 ﾂｴ 1{3 p3q ﾂｯ 3I ` 0 ﾋ 窶 3MC ` 6MD 窶 ﾂｴ90 (iii) Resolviendo las ecuaciones MB 窶 ﾂｴ24.30 MC 窶 ﾂｴ10.165 MD 窶 ﾂｴ9.918 Cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 73.333 VBA 窶 ﾂｴ66.667 ; BC : " VBC 窶 0 VCB 窶 0 ; CD : " VCD 窶 ﾂｴ10 VDC 窶 ﾂｴ10 rTns C1 窶 1.433 C2 窶 ﾂｴ7.068 C3 窶 ﾂｴ8.23 rTns Cortantes ｬ‖nles AB : " VAB 窶 71.90 VBA 窶 ﾂｴ68.10 ; BC : " VBC 窶 7.068 VCB 窶 7.068 ; CD : " VCD 窶 ﾂｴ9.918 VDC 窶 ﾂｴ ﾂｴ 9.918 rTns Utilizando la ecuaciﾃｳn general de los tres momentos para calcular la ｬＦcha en el voladizo ME ﾋ 1 I ﾋ ` 2MA ﾋ 4 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ 10{3 p0.5q I ` 90 p1.5q 3I ` 20{3 ﾂｴ 1{3 ` 2 ﾂｯ 3I ` 40{3 ﾂｴ 2{3 p2q ﾂｯ 3I ﾋ 窶啻 6E pﾂｴ竏q MA ﾂｴ 20 Tn.m MB 窶 ﾂｴ24.30 Tn.m 竏 窶 ﾂｴ 18.961 EI ﾃ Resistencia de Materiales I-II pagina 25 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 40 71.90 31.90 11.90 68.1 7.068 9.918 - + 20 24.30 10.165 19.835 9.918 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE 111.90Tn 75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn 9.918Tn.m V (Tn) M (Tn.m) - + 40 71.90 31.90 11.90 68.1 7.068 9.918 - + 20 24.30 10.165 19.835 9.918 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE 111.90Tn 75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn 9.918Tn.m V (Tn) M (Tn.m) Resolver el portico con mﾃｩtodo de los tres momentos 56.7 6.7 43.3 30 100 100 46.9 46.9 121.97 66.5 86.6 - + - - + + + + - - 56.7 M (KN.m) V (KN) N (KN) 120KN 18KN/m A B C D 2m 2m 3m 4m Para todos los casos b=400mm h=500mm 2 E=200KN/mm 28.1 ' c CC = Problema Nﾂｰ 9 Soluciﾃｳn: Resistencia de Materiales I-II pagina 26 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos A B C C C1 C C1 C B D O 18KN/m 16/3m 20/3m 5m 2m 2m 120KN (2) 18KN/m 5m 4m DM AM AM BM CM DM A0 A B C D D0 36 120 240 96 1 5 3 ' ; ' tan cos 4 4 CC C C b b D D D = = = D = M0A ﾋ 0 8 ﾋ ` 2MA ﾋ 0 ` 4 I ﾋ ` MB ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 0 ` 96 p2q 4I ﾋ ` 6EI ﾋ 0 ` 0 ﾂｴ 竏 4 ﾋ 8MA ` 4MB ` 1.5EI竏 窶 ﾂｴ288 (i) MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 96 p2q 4I ` 240 p2q 4I ﾋ ` 6E ﾂｨ ﾋ昶 ﾂｴ 0 4 ` 0 ﾂｴ ﾂｴ 3{4 ﾂｯ 4 ﾋ 窶 4MA ` 16MB ` 4MC ﾂｴ 2.625EI竏 窶 ﾂｴ1008 (ii) MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 5 I ﾋ ` MD ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 240 p2q 4I ` 0 ﾋ ` 6E ﾋ ﾂｴ3{4 ﾂｴ 0 4 ` ﾂｴ5{4 ﾂｴ 0 5 ﾂｸ 4MB ` 18MC ` 5MD ` 2.265EI竏 窶 ﾂｴ720 (iii) MC ﾋ 5 I ﾋ ` 2MD ﾋ 5 I ` 0 ﾋ ` MD0 ﾋ 0 8 ﾋ 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6 ﾂｨ ﾋ 0 ﾂｴ ﾂｴ ﾂｴ3{4 ﾂｯ 5 ` 0 ﾋ 窶 5MC ` 10MD ﾂｴ 1.5EI竏 窶 0 (iv) Resistencia de Materiales I-II pagina 27 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos ﾃｿ MO 窶 0 MA ﾂｴ MD ` VA ﾋ 16 3 ` 4 ﾋ ` VD ﾋ 5 ` 20 3 ﾋ ﾂｴ 18 p4q ﾋ 16 3 ` 2 ﾋ ` 120 p2q 窶 0 MA ﾂｴ MD ` 28 3 pVAq ` 35 3 VD ﾂｴ 288 窶 0 Equilibrio en el miembro AB MA ﾂｴ MB ﾂｴ 18 p4q p2q ` VA p4q 窶 0 VA 窶 36 ` MB ﾂｴ MA 4 Equilibrio en el miembro CD MC ` VD p5q ﾂｴ MD 窶 0 VD 窶 MD ﾂｴ MC 5 MA ﾂｴ MD ` 28 3 ﾋ 36 ` MB ﾂｴ MA 4 ﾋ ` 35 3 ﾋ MD ﾂｴ MC 5 ﾋ ﾂｴ 288 窶 0 MA ﾂｴ MD ` 7 3 pMB ﾂｴ MAq ` 7 3 pMD ﾂｴ MCq 窶 ﾂｴ48 ﾂｴ 4 3 MA ` 7 3 MB ` 4 3 MD ﾂｴ 7 3 MC 窶 ﾂｴ48 (v) Resolviendo las ecuaciones se tiene MA 窶 ﾂｴ4.149 ; MB 窶 ﾂｴ57.614 ; MC 窶 ﾂｴ28.049 ; MD 窶 11.589 rKN.ms EI竏 窶 ﾂｴ16.234 rKN.m3 s Cﾃ｡lculo de cortantes VAB 窶 36 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ4.149 ﾂｴ pﾂｴ37.614qq 窶 22.634 VBA 窶 ﾂｴ36 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ4.149 ﾂｴ pﾂｴ37.614qq 窶 ﾂｴ49.366 VBC 窶 60 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ57.614 ﾂｴ pﾂｴ28.049qq 窶 67.391 VCB 窶 ﾂｴ60 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ57.614 ﾂｴ pﾂｴ28.049qq 窶 ﾂｴ52.609 VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 5 pﾂｴ28.049 ﾂｴ 11.589q 窶 ﾂｴ7.928 rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 28 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - - + - - - 67.391 49.366 71.707 N (KN) 67.391 49.366 22.634 7.928 52.609 + + - - + V (KN) 57.614 28.049 57.614 4.149 11.589 28.049 - - + - + + - 120 77.169 5.118 2m M (KN.m) 36 A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m B C DB C D 2m Resistencia de Materiales I-II pagina 29 GilmerCalderﾃｳnQuispe
Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 120KN 18KN/m A B C D 2m 2m 3m 4m - + 22.634KN 67.391KN 4.149KN.m 49.366KN 52.609KN 11.589K N.m - - - 67.391 49.366 71.707 N (KN) Resistencia de Materiales I-II pagina 30 GilmerCalderﾃｳnQuispe

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Ejercicios resueltos por meﾌ》odo de tres momentos (resistencia de materiales)

  • 1. 窶 Universidad Nacional San Cristﾃｳbal de Huamanga窶 Facultad de Ingenﾃｭeria Minas , Geologﾃｭa y Civil Escuela de Ingenierﾃｭa Civil PROBLEMAS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES I - II Autor: Calderﾃｳn Quispe, Gilmer ( gilmercq256@Gmail.com,gilmercq@hotmail.com ) Estudiante de Ingenierﾃｭa Civil GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 2. Capﾃｭtulo 3Mﾃｩtodo de tres Momentos 3.1 Deｬ］iciﾃｳn CG CG L1 L2 I1 I2 A B C m1 n1 m2 n2 MA ﾂｴ L1 I1 ﾂｯ ` 2MB ﾂｴ L1 I1 ` L2 I2 ﾂｯ ` MC ﾂｴ L2 I2 ﾂｯ 窶 ﾂｴ6 窶 A1m1 L1I1 ` A2n2 L2I2 ﾄｱ `6E 窶 竏Bﾂｴ竏A L1 ` 竏Bﾂｴ竏C L2 ﾄｱ Ecuaciﾃｳn 1 Ec. los 3 momentos Para em marco mostrado en la ｬ“ura, por el mﾃｩtodo de tres momentos calcular 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes y momentos ｬＦctores Problema Nﾂｰ 1 5 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 3. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 3. Momento ｬＦctor mﾃ｡ximo y su respectiva ubicaciﾃｳn 2I 6m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I h =90001 A B C D A B C D ejercio Nﾂｰ 1 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m D A1 窶 2 3 lh 窶 36000 A2 窶 A3 窶 1000 A4 窶 8000 De la ｬ“ura (a) aplicando la ecuaciﾃｳn de los tres momentos Soluciﾃｳn: 2I 6m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I h =90001 A B C D A B C D ejercio Nﾂｰ 1 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m D MA ﾋ 6 2 ﾋ 窶 2MB ﾋ 6 2 ` 4 3 ﾋ ` MC ﾋ 4 3 ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 36000 p3q 6 ﾋ 2 ` 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 1 3 p2q ` 2 ﾋ ﾂｴ 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 2 3 p2q ﾋ呻埓 MB ﾋ 4 3 ﾋ ` 2MC ﾋ 4 3 ` 4 2 ﾋ ` MD ﾋ 4 2 ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 2 3 p2q ﾋ ﾂｴ 1000 4 ﾋ 3 ﾋ 1 3 p2q ` 2 ﾋ ﾂｴ 8000 2 ﾋ 4 p2q 埓 MC ﾋ 4 2 ﾋ ` 2MD ﾋ 4 2 ` 0 ﾋ ` ME p0q 窶 ﾂｴ6 窶 ﾂｴ8000 2 ﾋ 4 p2q 埓 Resistencia de Materiales I-II pagina 6 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 4. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Para: MA 窶 ME 窶 0 8.667MB ` 1.333MC 窶 ﾂｴ54666.667 (I) 1.333MB ` 6.667MC ` 2MD 窶 12666.667 (II) 2MC ` 4MD 窶 ﾂｴ12000 (III) Resolviendo (I) ,(II)y (III) MB 窶 ﾂｴ6732.394 Kg ﾂｴ m MC 窶 2760.563 Kg ﾂｴ m MD 窶 1619.718 Kg ﾂｴ m Hallando las cortantes isostﾃ｡ticas AB : " VAB 窶 6000 VBA 窶 ﾂｴ6000 BC : " VBC 窶 500 VCB 窶 500 CD : " VCD 窶 ﾂｴ2000 VDC 窶 2000 Factor de correcciﾃｳn de las cortantes C1 窶 0 ﾂｴ pﾂｴ6732.394q 6 窶 1122.066 C2 窶 ﾂｴ6732.394 ﾂｴ 2760.563 4 窶 ﾂｴ2373.239 C3 窶 2760.563 ﾂｴ p1619.781q 4 窶 285.211 Hallando las cortantes ｬ］ales V 窶弖isot ﾂｴ C VAB 窶 6000 ﾂｴ 1122.066 窶 4877.934 Kgf VBA 窶 ﾂｴ6000 ﾂｴ 1122.066 窶 ﾂｴ7122.066 Kgf VBC 窶 500 ` 2373.239 窶 2873.239 Kgf VCB 窶 500 ` 2373.239 窶 2873.239 Kgf VCD 窶 ﾂｴ2000 ﾂｴ 285.211 窶 ﾂｴ2285.211 Kgf VDC 窶 2000 ﾂｴ 285.211 窶 1714.789 Kgf Hallando momento ｬＦctor mﾃ｡ximo(Donde la cortante es cero) enx 窶 6 m ﾃｱ Mmﾂｴaxpﾂｴq 窶 6732.394 Kg ﾂｴ m - + - ++ 4877.934 7122.066 2873.239 7122.066 2285.211 6732.394 968.258 continuacion Ejercicio 1 V (Kgf) Resistencia de Materiales I-II pagina 7 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 5. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos D + 7122.066 2285.211 5633.803 6732.394 2986.258 2760.563 1619.718 1809.859 2760.563 968.258 + - - + M (Kgf.m) (Kgf) h =90001 A B C D 2I 3m 2m 2m 2m 2000kgf/m 2000kgf-m 4000kgf 2m 3I 2I A B C D 4877.934 Kgf 9995.305 Kgf 2285.211 Kgf 2873.239 Kgf 1714.789 Kgf 1619.718 Kgf.m MAB 窶 2EI 30 p2ﾎｸA ` ﾎｸB ﾂｴ 0q ﾂｴ 266.667 ﾃｭ MAB 窶 0.0667EIﾎｸB ﾂｴ 266.667 MAB 窶 2EI 30 p2ﾎｸA ` ﾎｸB ﾂｴ 0q ﾂｴ 266.667 Resolver la viga sabiendo que el apoyo B sufriﾃｳ un asentamiento de 12mm, considerar I 窶 80x107 mm4 y E 窶 200KN{mm2 Problema Nﾂｰ 2 Resistencia de Materiales I-II pagina 8 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 6. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - 20KN/m A B C D A1 窶 360 ; A2 窶 2 3 p6q p90q 窶 360 ; A3 窶 138.667 ; A4 窶 180 Soluciﾃｳn: 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - 80KN 60KN 20KN/m 26KN/m A B C D M0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 6 2I ﾋ ` MB ﾋ 6 2I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 0 ` 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 360 p3q 6 ﾋ 2I 埓 ` 6E 窶 0 ` ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 埓 6MA ` 3MB 窶 ﾂｴ6 窶 360 p3q 6 ﾋ 2 ` 360 p3q 6 ﾋ 2 埓 ` 6EI 窶 ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 埓 6MA ` 3MB 窶 ﾂｴ3000 ............................................. (I) MA ﾋ 6 2I ﾋ ` 2MB ﾋ 6 2I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 360 p3q 6 ﾋ 2I ` 138.667 p2q 4I 埓 ` 6E 窶 12 ﾋ 10ﾂｴ3 6 ` 12 ﾋ 10ﾂｴ3 4 埓 3MA ` 14MB ` 4MC 窶 3304 ............................................ pIIq MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 5 I ﾋ ` MD ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 138.667 p2q 4I ` 180 p8{3q 5I 埓 ` 6E 窶 ﾂｴ12 ﾋ 10ﾂｴ3 4 埓 4MB ` 18MC 窶 ﾂｴ3872 ................................................pIIIq Resolviendo las ecuaciones pIq , pIIq y pIIIq MA 窶 ﾂｴ743.923 KN.m MB 窶 487.847 KN.m MC 窶 ﾂｴ323.521 KN.m Hallando las cortantes isostﾃ｡ticas AB: # VAB 窶 100 VBA 窶 ﾂｴ100 BC : # VBC 窶 52 VCB 窶 ﾂｴ52 CD : # VCD 窶 36 VDC 窶 ﾂｴ24 pKNq Resistencia de Materiales I-II pagina 9 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 7. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Hallando las correcciones Ci 窶 Mizq ﾂｴ Mder L C1 窶 ﾂｴ205.295 KN C2 窶 202.842KN C3 窶 ﾂｴ64.704KN Cortantes ｬ］ales VAB 窶 305.295 KN VBC 窶 ﾂｴ150.842 KN VCD 窶 100.704 KN VBA 窶 105.295 KN VCB 窶 ﾂｴ254.842 KN VDC 窶 40.704 KN 3m 3m 4m 2m 3m 3m 2m 7/8m A B C D 305.295 245.295 165.295 105.295 150.842 254.842 100.704 40.704 743.923 487.847 328.521 122.113 + - + - + - M (KN.m) V (KN) Resolver la viga mostrada en la que los asentamientos de los apoyos son en A 窶 10mm ,en C 窶 65mm, en E 窶 40mm y en G 窶 25mm E 窶 200Gpa , I 窶 500x106 mm4 Problema Nﾂｰ 3 Resistencia de Materiales I-II pagina 10 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 8. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 105.357 - + M (K.ft) A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) A1 窶 1 2 p6q p288q 窶 864 ; A2 窶 576 ; A3 窶 864 ; A4 窶 576 ; A5 窶 1200 ; Soluciﾃｳn: 105.357 27.678 10ft - + - - - + + M (K.ft) A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) MA ﾋ 10 I ﾋ ` 2MC ﾋ 10 I ` 10 2I ﾋ ` ME ﾋ 10 2I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 864 10I ﾋ 2 3 p6q ﾋ ` 576 10I ﾋ 6 ` 1 3 p4q ﾋ ` 864 10 p2Iq ﾋ 4 ` 1 3 p6q ﾋ ` 576 10 p2Iq ﾋ 2 3 p4q ﾋ呻埓 ` 6E 窶 0.065 ﾂｴ 0.01 10 ` 0.065 ﾂｴ 0.04 10 埓 MA 窶 0 30MC ` 5ME 窶 ﾂｴ1824 ............................................................................................... piq MC ﾋ 10 2I ﾋ ` 2ME ﾋ 10 2I ` 8 I ﾋ ` MG ﾋ 8 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 864 10 p2Iq ﾋ 2 3 p6q ﾋ ` 576 10 p2Iq ﾋ 6 ` 4 3 ﾋ ` 1200 8I p4q 埓 ` 6E 窶 0.04 ﾂｴ 0.065 10 ` 0.04 ﾂｴ 0.025 8 埓 5MC ` 26ME 窶 ﾂｴ6279 .............................................................................................. piiq Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii) MC 窶 ﾂｴ21.230 ; ME 窶 ﾂｴ237.417 ; MA 窶 MG 窶 0 rKN.ms Calculando las cortantes isostaticas AB : " VAC 窶 48 VCA 窶 ﾂｴ72 CE : " VCE 窶 48 VEC 窶 ﾂｴ72 EG : " VEG 窶 75 VGE 窶 ﾂｴ75 rKNs Calculo de las correcciones C1 窶 0 ﾂｴ pﾂｴ21.230q 10 窶 2.123 ; C2 窶 ﾂｴ21.230 ﾂｴ pﾂｴ237.417q 10 窶 21.619 C3 窶 ﾂｴ237.417 ﾂｴ 0 8 窶 ﾂｴ29.677 rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 11 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 9. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Fuerzas cortantes ｬ］ales VAC 窶 48 ﾂｴ 2.123 窶 45.877 VCE 窶 48 ﾂｴ 21.619 窶 26.381 VCA 窶 ﾂｴ72 ﾂｴ 2.123 窶 ﾂｴ74.123 VEC 窶 ﾂｴ72 ﾂｴ 21.619 窶 ﾂｴ93.619 VEG 窶 75 ﾂｴ pﾂｴ29.677q 窶 104.667 VGE 窶 ﾂｴ75 ﾂｴ pﾂｴ29.667q 窶 ﾂｴ45.323 rKNs - + A B E F GDC I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m A1 A2 A3 A4 A5 288 288 300 6m 4m 6m 4m 4m 4m A C E G A B E F GDC 120KN 120KN 150KN I 2I I 6m 4m 6m 4m 4m 4m 45.877KN 100.504KN 198.296KN 45.323KN 45.877 26.381 104.677 45.323 93.619 74.123 + + + - - - V (KN) 21.230 237.417 275.262 137.289 181.291 300 288 288 - + + + M (KN.m) 50KN 50KN 30KN A B C 2m 3m 2m 1.5m 2.5m Viga: 300mmx400mm colum: 300mmx500mm 2 E=20KN/mm Aplicando el teorema de los tres momentos hallar: 1. Momentos en los apoyos 2. Correcciones de la fuerza cortante. 3. DMF, DFC, DFN 4. Reacciones en los apoyos. Problema Nﾂｰ 4 Resistencia de Materiales I-II pagina 12 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 10. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 5. Momento ｬＦctor mﾃ｡ximo positivo y su respectiva ubicaciﾃｳn. 6. Si la columna tiene ﾃ｡rea 30x50cm2 y E 窶 2x106 MPa calcule la deformacion de esta. 0.507 1.015 1.353 7.276 2.724 4.142 0.812 1.623 - + + + - + - - M (T.m) 2.5 A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m A1 窶 1 2 p4q p8q 窶 16 A2 窶 1 2 p6q p16q 窶 48 A3 窶 2 3 p6q p45q Soluciﾃｳn: A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN Resistencia de Materiales I-II pagina 13 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 11. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 4 I ﾋ ` MB ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 0 ` 16 p2q 4I 埓 ` 6E ﾋ 0 ` 0 ﾂｴ 竏 4 ﾋ 8MA ` 4MB ` 1.5EI竏 窶 ﾂｴ48 (i) MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 6 I ﾋ ` MC ﾋ 6 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 16 p2q 4I ` 48 p4q 6I 埓 ` 6E ﾋ 竏 4 ` 0 ﾋ 4MA ` 20MB ` 6MC ﾂｴ 1.5EI竏 窶 ﾂｴ240 (ii) MB ﾋ 6 I ﾋ ` 2MC ﾋ 6 I ` 6 I ﾋ ` MD ﾋ 6 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 窶 48 p2q 6I ` 180 p3q 6I 埓 6MB ` 24MC 窶 ﾂｴ636 (iii) De la ｬ“ura se observa VA 窶 8 KN Haciendo equilibrio MA ﾂｴ MB ` VA p4q ﾂｴ 16 窶 0 ﾂｴ 1 4 pMA ﾂｴ MB ﾂｴ 16q 窶 VA ﾂｴ 1 4 pMA ﾂｴ MB ﾂｴ 16q 窶 8 MA ﾂｴ MB 窶 ﾂｴ16 (iv) Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ14.174 ; MB 窶 1.826 ; MC 窶 ﾂｴ26.956 rKN.ms EI竏 窶 38.725 窶 KN m3 窶ｰ Cﾃ｡lculo de las cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 4 VBA 窶 ﾂｴ4 ; BC : " VBC 窶 2.667 VCB 窶 ﾂｴ2.667 ; CD : " VCD 窶 30 VDC 窶 ﾂｴ30 rKNs Cﾃ｡lculo de las correcciones C1 窶 ﾂｴ14.174 ﾂｴ 1.826 4 窶 ﾂｴ4 C2 窶 1.826 ﾂｴ pﾂｴ26.956q 6 窶 4.797 ; C3 窶 ﾂｴ26.956 6 窶 ﾂｴ4.493 Cortantes ｬ］ales VAB 窶 4 ﾂｴ pﾂｴ4q 窶 8 VBA 窶 ﾂｴ4 ﾂｴ pﾂｴ4q 窶 0 VBC 窶 ﾂｴ2.667 ﾂｴ 4.797 窶 ﾂｴ7.464 VCB 窶 ﾂｴ2.667 ﾂｴ 4.797 窶 ﾂｴ7.464 VCD 窶 30 ﾂｴ pﾂｴ4.493q 窶 34.493 VDC 窶 ﾂｴ30 ﾂｴ p4.493q 窶 ﾂｴ25.507rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 14 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 12. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Hallando desplazamiento IC 窶 30p50q3 12 窶 312500 cm4 E 窶 2x106 MPa 窶 0.2x106KN L cm2 EI竏 窶 38.725 竏 窶 38.725x106 312500x0.2x106 窶 0.0006196 cm A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN - + 8 7.464 34.493 25.507 7.46 26.956 45 - + + -- + V (KN) N (KN) A0 A B C D A1 A2 A3 8 16 45 2m 2m 6m 6m A B C DB C D 8KN 2m 2m A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m 7.46KN 8KN 14.174KN.m 25.507KN 41.957KN - + 8 7.464 34.493 25.507 7.46 26.956 45 - + + -- + V (KN) N (KN) Resistencia de Materiales I-II pagina 15 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 13. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 8 26.956 1.826 17.826 31.522 14.174 45 18 - - - ++ + V (KN) M (KN.m) 3m Resolver la estructura mostrada utilizando la ecuaciﾃｳn de los tres momentos. 5000kgf 3m 2m 3m A B C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 1055.195 Problema Nﾂｰ 5 Soluciﾃｳn: 5000kgf 3m 2m 3m A B C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 535.714kgf 5405.844kgf.mResistencia de Materiales I-II pagina 16 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 14. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA0 ﾋ 0 8 ﾋ ` 2MA ﾋ 0 8 ` 3 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 6E ﾋ 0 ﾂｴ 竏 3 ﾋ 6MA ` 3MB ` 2EI竏 窶 0 (i) MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 3 I ﾋ ` MC ﾋ 3 I ﾋ 窶 6E ﾋ 竏 3 ﾋ 3MA ` 12MB ` 3MC ﾂｴ 2EI竏 窶 0 (ii) MB ﾋ 3 I ﾋ ` 2MC ﾋ 3 I ` 2 I ﾋ ` MD ﾋ 2 I ﾋ 窶 6E ﾋ 0 ` 竏 2 ﾋ 3MB ` 10MC ` 2MD ﾂｴ 3EI竏 窶 0 (iii) MC ﾋ 2 I ` 0 8 ﾋ ` 2MD ﾋ 2 I ` 0 8 ﾋ ` MD0 ﾋ 0 8 ﾋ 窶 6E ﾋ ﾂｴ 竏 2 ﾋ 2MC ` 4MD ` 3EI竏 窶 0 (iv) De la ｬ“ura obtenemos una ecuacion mas para resolver MA ﾂｴ MB ` VAB p3q 窶 0 MC ﾂｴ MD ` VCD p2q 窶 0 VAB 窶 ﾂｴ 1 3 pMA ﾂｴ MBq VCD 窶 ﾂｴ 1 2 pMC ﾂｴ MDq ﾃｿ Fy 窶 0 VAB ﾂｴ VDC ﾂｴ 5000 窶 0 ﾂｴ 1 3 pMA ﾂｴ MBq ﾂｴ 窶 ﾂｴ 1 2 pMC ﾂｴ MDq 埓 ﾂｴ 5000 窶 0 ﾂｴ MA 3 ` MB 3 ` MC 2 ﾂｴ MD 2 ﾂｴ 5000 窶 0 (v) Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ2288.961 MB 窶 876.623 ; MC 窶 2483.766 ; MD 窶 ﾂｴ5405.844 rkgf ﾋ ms Fuerzas cortantes VAB 窶 VBA 窶 0 ﾂｴ 1 3 pﾂｴ2288.961 ﾂｴ 876.623q 窶 1055.195 VBC 窶 VCB 窶 0 ﾂｴ 1 3 p876.623 ﾂｴ 2483.766q 窶 535.714 VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 2 p2483.766 ` 5405.844q 窶 ﾂｴ3944.805 rkgfs Resistencia de Materiales I-II pagina 17 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 15. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos C D C 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 535.714 535.714 - 3944.805- - N (Kgf ) 3m 2m C D A B C D B C 3m 2m 5000kgf 3m 2m 3m A B C D 1055.195kgf 2288.961kgf.m 535.714kgf 3944.805kgf 535.714kgf 5405.844kgf.m 1055.195 535.714 3944.805 2288.961 876.623 3.766 5405.844 876.623 + + - - - - V (Kgf) M (Kgf.m) Resistencia de Materiales I-II pagina 18 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 16. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 3944.805 2288.961 876.623 2483.766 2483.766 5405.844 876.623 - - - - + (Kgf) M (Kgf.m) Para la vigamostrada en la ｬ“ura determinar las reacciones en los apoyos, el diagrama de fuerza cortante y el diagrama de momento ｬＦxionante EI=cte 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 457.143 189.286 A1 A2 1494.643 439.286 Problema Nﾂｰ 6 Soluciﾃｳn: 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 A1 A2 Resistencia de Materiales I-II pagina 19 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 17. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 3200 p2q 4I ` 1800 p2q 4I ﾋ 4MA ` 16MB ` 4MC 窶 ﾂｴ15000 (i) MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 0 8 ﾋ ` MD p0q 窶 ﾂｴ6 ﾋ 1800 p2q 4I ` 0 ﾋ 4MB ` 8MC 窶 ﾂｴ5400 (ii) resolviendo las ecuaciones se tiene MA 窶 ﾂｴ1600 MB 窶 ﾂｴ421.429 ; MC 窶 ﾂｴ464.286 rN.ms Cﾃ｡lculo de cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 1200 VBA 窶 ﾂｴ1200 ; BC : " VBC 窶 450 VCB 窶 ﾂｴ450 rNs Cﾃ｡lculo de las correcciones C1 窶 ﾂｴ1600 ﾂｴ pﾂｴ421.429q 4 窶 ﾂｴ294.643 C2 窶 ﾂｴ421.429 ﾂｴ pﾂｴ464.286q 4 窶 10.759 Cﾃ｡lculo de las cortantes ｬ］ales VAB 窶 1200 ﾂｴ pﾂｴ294.843q 窶 1494.643 ; VBA 窶 ﾂｴ1200 ﾂｴ pﾂｴ294.843q 窶 ﾂｴ905.357 VBC 窶 450 ﾂｴ 10.459 窶 439.286 ; VCB 窶 ﾂｴ450 ﾂｴ 10.759 窶 ﾂｴ460.759 rNs 30KN/m 25KN/m100KN 60KN A B C D E 2m 3m 6m 2.5m 2.5m 4.5m 60KN.m 60KN.m 800N 900N600N/m 2m2m4m2m 800N 900N600N/m 160N.m A B C D 1200 900 - + 1600 42.429 464.286 457.143 189.286 A1 A2 + - 800 1494.643 905.357 439.286 460.759 M (N.m) V (N) Resistencia de Materiales I-II pagina 20 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 18. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB En la viga quebrada que se muestra calcule las reacciones , DFC, DMF , DFN y la deｬＦxiﾃｳn en el punto B 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB Problema Nﾂｰ 7 Soluciﾃｳn: 800N 900N600N/m 2294.643N 1344.643N 460.714N 464.286N.m 2Tn 2Tn2Tn/m 3m 4m 3m A0 A B C D D0 6.25 A B C D A B C D B C D D 10Tn 6Tn 8Tn MA MB VAB Resistencia de Materiales I-II pagina 21 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 19. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos La deformaciﾃｳn en B y C son iguales por ser simetricas MA0 p0q ` 2MA ﾋ 0 ` 3 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6E ﾋ ﾂｴ竏 3 ﾋ 6MA ` 3MB ` 2EI竏 窶 0 (i) MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 5 I ﾋ ` MC ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 0 ` 20.833 p2.5q 5I ﾋ ` 6E ﾋ 竏 3 ﾋ 3MA ` 16MB ` 5MC ﾂｴ 2EI竏 窶 ﾂｴ62.499 (ii) MB ﾋ 5 I ﾋ ` 2MC ﾋ 5 I ` 3 I ﾋ ` MD ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 20.8333 p2.5q 5I ` 0 ﾋ ` 6EI ﾋ 竏 3 ﾋ 5MB ` 16MC ` 3MD ﾂｴ 2EI竏 窶 ﾂｴ62.499 (iii) MC ﾋ 3 I ﾋ ` 2MD ﾋ 3 I ﾋ ` MD0 p0q 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6E ﾋ ﾂｴ竏 3 ﾋ 3MC ` 6MD ` 2EI竏 窶 0 (iv) haciendo equilibrio MA ﾂｴ MB ` 6 p3q 窶 0 ﾃｱ MA ﾂｴ MB 窶 ﾂｴ18 (v) VAB 窶 6 Tn Resolviendo las ecuaciones MA 窶 ﾂｴ14.985 MB 窶 MC 窶 3.015 ; MD 窶 ﾂｴ14.985 rTn.ms Cortantes isostaticos VAB 窶 VBA 窶 VCD 窶 VDC 窶 0 VBC 窶 ﾂｴVCB 窶 5 Tn Cortantes ｬ］ales VAB 窶 VBA 窶 0 ﾂｴ 1 3 pﾂｴ14.985 ﾂｴ 3.015q 窶 6Tn VBC 窶 VCB 窶 5Tn VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 3 p3.015 ` 14.985q 窶 ﾂｴ6Tn Resistencia de Materiales I-II pagina 22 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 20. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos + - + - 3 3 6 6 5 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn N (Tn) V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 A1 A2 + - + - 3 3 6 6 5 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn N (Tn) V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 A1 A2 Resistencia de Materiales I-II pagina 23 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 21. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos Empleando la ecuacion de los tres momentos determinar: 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes 3. Diagrama de momento ｬＦctor 4. Hallar la ｬＦcha en el voladizo EI=cte +- 14.985 3 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 40/3 A1 A2 A3 A4 Problema Nﾂｰ 8 A1 窶 2 3 p3q p45q 窶 90 A2 窶 1 2 p3q p30q A3 窶 1 2 p1q ﾋ 40 3 ﾋ 窶 20 3 A4 窶 1 2 p2q ﾋ 40 3 ﾋ 窶 40 3 Soluciﾃｳn: + 6 5 +- 14.985 3 14.985 3.015 3.015 2Tn 2Tn2Tn/m A B C D A 6Tn 3Tn 14.985Tn.m 14.985Tn.m 6Tn 3Tn V (Tn) M (TKn.m) 1m 3m 2m 3m 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE A C DB 45 30 40/3 A1 A2 A3 A4 Resistencia de Materiales I-II pagina 24 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 22. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos MA 窶 ﾂｴ20 Tn.m MA ﾋ 3 I ﾋ ` 2MB ﾋ 3 I ` 2 I ﾋ ` MC ﾋ 2 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ90 p1.5q 3I ` 20{3 ﾂｴ 2{3 ﾂｯ 3I ` 40{3 ﾂｴ 1 ` 1{3 ﾂｯ 3I ` 0 ﾋ 窶 3MA ` 10MB ` 2MC 窶 ﾂｴ323.333 10MB ` 2MC 窶 ﾂｴ263.333 (i) MB ﾋ 2 I ﾋ ` 2MC ﾋ 2 I ` 3 I ﾋ ` MD ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ0 ` 45 ﾂｴ 2{3 p3q ﾂｯ 3I ﾋ 窶 2MB ` 10MC ` 3MD 窶 ﾂｴ180 (ii) MC ﾋ 3 I ﾋ ` 2MD ﾋ 3 I ﾋ ` MD0 p0q 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ 45 ﾂｴ 1{3 p3q ﾂｯ 3I ` 0 ﾋ 窶 3MC ` 6MD 窶 ﾂｴ90 (iii) Resolviendo las ecuaciones MB 窶 ﾂｴ24.30 MC 窶 ﾂｴ10.165 MD 窶 ﾂｴ9.918 Cortantes isostaticas AB : " VAB 窶 73.333 VBA 窶 ﾂｴ66.667 ; BC : " VBC 窶 0 VCB 窶 0 ; CD : " VCD 窶 ﾂｴ10 VDC 窶 ﾂｴ10 rTns C1 窶 1.433 C2 窶 ﾂｴ7.068 C3 窶 ﾂｴ8.23 rTns Cortantes ｬ‖nles AB : " VAB 窶 71.90 VBA 窶 ﾂｴ68.10 ; BC : " VBC 窶 7.068 VCB 窶 7.068 ; CD : " VCD 窶 ﾂｴ9.918 VDC 窶 ﾂｴ ﾂｴ 9.918 rTns Utilizando la ecuaciﾃｳn general de los tres momentos para calcular la ｬＦcha en el voladizo ME ﾋ 1 I ﾋ ` 2MA ﾋ 4 I ﾋ ` MB ﾋ 3 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾂｨ ﾋ 10{3 p0.5q I ` 90 p1.5q 3I ` 20{3 ﾂｴ 1{3 ` 2 ﾂｯ 3I ` 40{3 ﾂｴ 2{3 p2q ﾂｯ 3I ﾋ 窶啻 6E pﾂｴ竏q MA ﾂｴ 20 Tn.m MB 窶 ﾂｴ24.30 Tn.m 竏 窶 ﾂｴ 18.961 EI ﾃ Resistencia de Materiales I-II pagina 25 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 23. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 40 71.90 31.90 11.90 68.1 7.068 9.918 - + 20 24.30 10.165 19.835 9.918 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE 111.90Tn 75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn 9.918Tn.m V (Tn) M (Tn.m) - + 40 71.90 31.90 11.90 68.1 7.068 9.918 - + 20 24.30 10.165 19.835 9.918 40Tn/m 20Tn 30Tn.m A B C DE 111.90Tn 75.168Tn 16.986Tn 9.918Tn 9.918Tn.m V (Tn) M (Tn.m) Resolver el portico con mﾃｩtodo de los tres momentos 56.7 6.7 43.3 30 100 100 46.9 46.9 121.97 66.5 86.6 - + - - + + + + - - 56.7 M (KN.m) V (KN) N (KN) 120KN 18KN/m A B C D 2m 2m 3m 4m Para todos los casos b=400mm h=500mm 2 E=200KN/mm 28.1 ' c CC = Problema Nﾂｰ 9 Soluciﾃｳn: Resistencia de Materiales I-II pagina 26 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 24. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos A B C C C1 C C1 C B D O 18KN/m 16/3m 20/3m 5m 2m 2m 120KN (2) 18KN/m 5m 4m DM AM AM BM CM DM A0 A B C D D0 36 120 240 96 1 5 3 ' ; ' tan cos 4 4 CC C C b b D D D = = = D = M0A ﾋ 0 8 ﾋ ` 2MA ﾋ 0 ` 4 I ﾋ ` MB ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 0 ` 96 p2q 4I ﾋ ` 6EI ﾋ 0 ` 0 ﾂｴ 竏 4 ﾋ 8MA ` 4MB ` 1.5EI竏 窶 ﾂｴ288 (i) MA ﾋ 4 I ﾋ ` 2MB ﾋ 4 I ` 4 I ﾋ ` MC ﾋ 4 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 96 p2q 4I ` 240 p2q 4I ﾋ ` 6E ﾂｨ ﾋ昶 ﾂｴ 0 4 ` 0 ﾂｴ ﾂｴ 3{4 ﾂｯ 4 ﾋ 窶 4MA ` 16MB ` 4MC ﾂｴ 2.625EI竏 窶 ﾂｴ1008 (ii) MB ﾋ 4 I ﾋ ` 2MC ﾋ 4 I ` 5 I ﾋ ` MD ﾋ 5 I ﾋ 窶 ﾂｴ6 ﾋ 240 p2q 4I ` 0 ﾋ ` 6E ﾋ ﾂｴ3{4 ﾂｴ 0 4 ` ﾂｴ5{4 ﾂｴ 0 5 ﾂｸ 4MB ` 18MC ` 5MD ` 2.265EI竏 窶 ﾂｴ720 (iii) MC ﾋ 5 I ﾋ ` 2MD ﾋ 5 I ` 0 ﾋ ` MD0 ﾋ 0 8 ﾋ 窶 ﾂｴ6 p0q ` 6 ﾂｨ ﾋ 0 ﾂｴ ﾂｴ ﾂｴ3{4 ﾂｯ 5 ` 0 ﾋ 窶 5MC ` 10MD ﾂｴ 1.5EI竏 窶 0 (iv) Resistencia de Materiales I-II pagina 27 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 25. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos ﾃｿ MO 窶 0 MA ﾂｴ MD ` VA ﾋ 16 3 ` 4 ﾋ ` VD ﾋ 5 ` 20 3 ﾋ ﾂｴ 18 p4q ﾋ 16 3 ` 2 ﾋ ` 120 p2q 窶 0 MA ﾂｴ MD ` 28 3 pVAq ` 35 3 VD ﾂｴ 288 窶 0 Equilibrio en el miembro AB MA ﾂｴ MB ﾂｴ 18 p4q p2q ` VA p4q 窶 0 VA 窶 36 ` MB ﾂｴ MA 4 Equilibrio en el miembro CD MC ` VD p5q ﾂｴ MD 窶 0 VD 窶 MD ﾂｴ MC 5 MA ﾂｴ MD ` 28 3 ﾋ 36 ` MB ﾂｴ MA 4 ﾋ ` 35 3 ﾋ MD ﾂｴ MC 5 ﾋ ﾂｴ 288 窶 0 MA ﾂｴ MD ` 7 3 pMB ﾂｴ MAq ` 7 3 pMD ﾂｴ MCq 窶 ﾂｴ48 ﾂｴ 4 3 MA ` 7 3 MB ` 4 3 MD ﾂｴ 7 3 MC 窶 ﾂｴ48 (v) Resolviendo las ecuaciones se tiene MA 窶 ﾂｴ4.149 ; MB 窶 ﾂｴ57.614 ; MC 窶 ﾂｴ28.049 ; MD 窶 11.589 rKN.ms EI竏 窶 ﾂｴ16.234 rKN.m3 s Cﾃ｡lculo de cortantes VAB 窶 36 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ4.149 ﾂｴ pﾂｴ37.614qq 窶 22.634 VBA 窶 ﾂｴ36 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ4.149 ﾂｴ pﾂｴ37.614qq 窶 ﾂｴ49.366 VBC 窶 60 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ57.614 ﾂｴ pﾂｴ28.049qq 窶 67.391 VCB 窶 ﾂｴ60 ﾂｴ 1 4 pﾂｴ57.614 ﾂｴ pﾂｴ28.049qq 窶 ﾂｴ52.609 VCD 窶 VDC 窶 0 ﾂｴ 1 5 pﾂｴ28.049 ﾂｴ 11.589q 窶 ﾂｴ7.928 rKNs Resistencia de Materiales I-II pagina 28 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 26. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - - + - - - 67.391 49.366 71.707 N (KN) 67.391 49.366 22.634 7.928 52.609 + + - - + V (KN) 57.614 28.049 57.614 4.149 11.589 28.049 - - + - + + - 120 77.169 5.118 2m M (KN.m) 36 A B C D 16KN.m 10KN/m 8KN 6m 6m 2m 2m B C DB C D 2m Resistencia de Materiales I-II pagina 29 GilmerCalderﾃｳnQuispe
  • 27. Ingenierﾃｭa Civil 3 Mﾃｩtodo de tres Momentos - + 120KN 18KN/m A B C D 2m 2m 3m 4m - + 22.634KN 67.391KN 4.149KN.m 49.366KN 52.609KN 11.589K N.m - - - 67.391 49.366 71.707 N (KN) Resistencia de Materiales I-II pagina 30 GilmerCalderﾃｳnQuispe