�ݺ�ߣ

15
Elemente de trigonometrie
Cercul trigonometric
Un unghi cu vârful în centrul unui cerc care subîntinde un arc de cerc de lungime
egalã cu raza cercului are mãsura 1 radian. Unghiul cu vârful în centrul cercului de razã
R, care subîntinde un arc de lungime l are mãsura
l
R
radiani. Relaþia între mãsura în
radiani, t ºi mãsura în grade a unghiurilor, α, este
t
π
α
=
180
.
Considerãm un sistem de coordonate ortogonale în plan cu originea în O.
Un cerc de razã 1 cu centrul în origine pe care s-a stabilit un sens de parcurs
(invers acelor ceasornicului), se numeºte cerc trigonometric. Prin convenþie, numim
sens trigonometric sau pozitiv sensul invers acelor de ceas.
Fie cercul trigonometric C, fie A, B douã puncte pe C ºi l i Z. Arcul orientat cu
originea în A, extremitatea în B, de mãsurã l este „drumul“ pe C de lungime l care se
parcurge de la A la B în sens pozitiv dacã l > 0 sau în sens negativ dacã l < 0.
Notãm arcul orientat prin »( , )AB l sau »AB , dacã mãsura l este cunoscutã.
Un numãr l i (–π, π] se numeºte mãsurã principalã a unui arc orientat de mãsurã x,
dacã existã k gm astfel încât x = l + 2kπ.
Fie C cercul trigonometric de centru O.
Numim unghi orientat o pereche ordonatã de semidrepte cu originea în O împreunã
cu un sens de rotaþie precizat. Spunem cã unghiul este orientat pozitiv dacã sensul de
rotaþie este cel trigonometric ºi este orientat negativ în caz contrar.
Mãsura unui unghi orientat este mãsura principalã a arcului orientat în acelaºi sens,
delimitat pe cercul trigonometric de laturile unghiului.
Douã unghiuri orientate sunt congruente dacã au aceeaºi mãsurã.
Funcþii trigonometrice
Într-un cerc trigonometric C de centru O, fie
A(1, 0) i C. Unui numãr real t i se asociazã un punct
M(cost, sint) i C, care are mãsura arcului orientat ¼AM
egalã cu t.
Avem: –1 T cos t T 1; –1 T sin t T 1
Identitatea fundamentalã a trigonometriei: sin2
t + cos2
t = 1.
Corespondenþa t a sint, definitã pe Z cu valori în intervalul
[–1, 1] se numeºte funcþia sinus.
Funcþia sinus are perioda principalã T = 2π;
sin (t + 2π) = sin t, ∀ t i Z.
Sinus este o funcþie imparã: sin(–t) = –sint, t iZ.
O
1
www.mateinfo.ro

16
Corespondenþa t a cost, definitã pe Z cu valori în intervalul [–1, 1] se numeºte
funcþia cosinus.
Funcþia cosinus are perioada principalã T = 2π ; cos(t + 2π) = cost, ∀ t i Z.
Cosinus este o funcþie parã: cos(–t) = cost, t iZ.
Funcþia t a tg t definitã pe Z m ( )2 1
2
k k+ ∈
RST
UVW
π
cu valori în Z,
sin
tg
cos
t
t
t
= , se
numeºte tangentã.
Funcþia tangentã este periodicã, având perioada principalã T = π.
Funcþia tangentã este imparã: tg(–t) = –tg t, ∀t k k≠ + ∈( ) ,2 1
2
π
m.
Funcþia t a ctg t definitã pe { } |k kπ ∈Z m cu valori în Z,
cos
ctg
sin
t
t
t
= , se numeºte
cotangentã.
Funcþia cotangentã este periodicã, având perioada principalã T = π.
Funcþia cotangentã este imparã: ctg(–t) = –ctg t, ∀ ,t k k≠ π ∈m .
Reducerea la primul cadran
cos t0
= –cos (π – t0
)
sin t0
= sin (π – t0
)
sin(π + α) = –sinα; cos(π + α) = –cosα; sin(2π – α) = –sinα; cos(2π – α) = –cosα;
Identitãþi trigonometrice:
cos(a + b) = cosa · cosb H sina · sinb; sin(a ± b) = sina · cosb ± sinb · cosa;
cos2a = cos2
a – sin2
a; sin2a = 2sina · cosa; 2 1 cos2
cos
2
a
a
+
= ; 2 1 cos2
sin
2
a
a
−
= ;
tg tg
tg( )
1 tg tg
a b
a b
a b
+
+ =
− ⋅
;
tg tg
tg( )
1 tg tg
a b
a b
a b
−
− =
+ ⋅
;
2

17
Considerãm ∆ABC cu laturile a, b, c ºi ha
înãlþimea coborâtã din vârful A pe latura BC.
Teoremasinusurilor:
a
A
b
B
c
C
R
sin sin sin
= = = 2 ,Rfiindrazacerculuicircumscris ∆ABC.
Teorema cosinusului: a2
= b2
+ c2
– 2bc·cosA.
FormulaluiHeron.Notãm p
a b c
=
+ +
2
.Aria∆ABCeste S p p a p b p c= − − −( )( )( ).
Aria ∆ABC este S
a h ab C abc
R
rpa
=
×
=
×
= =
2 2 4
sin
, unde r este raza cercului înscris.
( )( )
sin
2
p b p cA
bc
− −
= ,
( )
cos
2
p p aA
bc
−
= .
Relaþii metrice în triunghiul oarecare
Ecuaþii trigonometrice
Ecuaþiile sin t = a ; cos t = a ; tg t = m se numesc ecuaþii trigonometrice fundamentale.
Se vor rezolva numai ecuaþii trigonometrice a cãror soluþie se obþine folosind valorile
principale ale funcþiilortrigonometrice ºi reducerea la primul cadran pe cercul trigonometric.
2
2tg
tg2
1 tg
a
a
a
=
−
; 2
2tg
2sin
1 tg
2
t
t
t
=
+
;
2
2
1 tg
2cos
1 tg
2
t
t
t
−
=
+
; 2
t
2tg
2tg
1 tg
2
t
t
=
−
.
Formulele de transformare a unei sume sau diferenþe în produs sunt:
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ = ⋅ ; sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
− +
− = ⋅ ;
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ = ⋅ ; cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = − ⋅ .
3

�ݺ�ߣ

Elemente de trigonometrie

More Related Content

Elemente de trigonometrie