More Related Content
What's hot (12)
Explicitarea recurentelor fundamentale s.boga
- 1. EXPLICITAREA RECURENELOR FUNDAMENTALE Tutorial redactat de Silviu Boga, mail: silviumath@yahoo.com Cuprins: Recuren釘a telescopic aditiv Progresiile aritmetice Recuren釘a telescopic multiplicativ Progresiile geometrice Recuren釘a liniar neomogen de ordin I, cu coeficien釘i variabili Recuren釘a liniar neomogen de ordin I, cu coeficien釘i constan釘i Recuren釘a liniar omogen de ordin II, cu coeficien釘i variabili Recuren釘a liniar omogen de ordin II, cu coeficien釘i constan釘i Recuren釘a liniar neomogen de ordin II, cu coeficien釘i constan釘i Recuren釘e liniare omogene de ordin superior, cu coeficien釘i constan釘i Recuren釘e liniare neomogene de ordin superior, cu coeficien釘i constan釘i Recuren釘a omografic, cu coeficien釘i variabili Recuren釘a omografic, cu coeficien釘i constan釘i Not: - click pe titlul din cuprins pentru hyperlink spre fiecare recuren - click pe numrul paginii pentru a reveni la cuprins
- 2. EXPLICITAREA RECUREN鄭ELELOR FUNDAMENTALE La fiecare din recuren釘ele urmtoare - fundamentale datorit prezen釘ei lor 樽n numeroase ra釘ionamente matematice am prezentat, pe cazul general dar i pe un exemplu, procedura optim de explicitare. Prin rezolvarea temei de aprofundare, cititorul interesat se va putea apoi rapid acomoda cu judec釘ile expuse. 1. Recuren釘a telescopic aditiv xn 1 xn an , ()n * x1 termen ini釘ial dat (a ) ir explicit dat n n * Explicitare Din rela釘ia de recuren釘, cum xn1 xn an , ()n * , prin particularizare i sumare are loc supranumita reducere telescopic i explicitarea este astfel finalizat: x2 x1 a1 x3 x2 a2 x4 x3 a3 xn 1 xn 2 an 2 xn xn 1 an 1 ____________ () n 1 n 1 xn x1 ak xn x1 ak k 1 k 1 n 1 n aplica釘iile curente suma iterat a k 1 k se va constata de regul calculabil. Se re釘in formulele de calcul pentru principalele sume iterate, ele fiind deosebit de utile 樽n procesele de explicitare ce vor urma: n n(n 1) 1 k 1 2 3 ... n (I) k 1 2 n n(n 1)(2n 1) 2 k 2 12 22 32 ... n 2 (II) k 1 6 n(n 1) 2 n 3 k 1 2 3 ... n 3 3 3 3 3 (III) k 1 2 n an 1 1 a 1 a a ... a k 2 n (IV) k 0 a 1 1
- 3. La fel de util se va dovedi 樽n acest sens i procedura de descompunere a frac釘iilor ra釘ionale 樽n supranumitele sume de frac釘ii simple (metoda coeficien釘ilor n nedetermina釘i), care va facilita calculul unor sume iterate t k 1 k cu termenul general, f (k ) tk , frac釘ii av但nd f (k ) i g (k ) expresii polinomiale. g (k ) n Din aceast categorie de sume cel mai simplu de calculat sunt t k 1 k cu 1 tk . n astfel de cazuri se va observa cu uurin釘 c identificarea (ak b)(ak a b) 1 A B conduce la descompunerea termenului (ak b)(ak a b) ak b ak a b 1 1 1 1 general sub forma . (ak b)(ak a b) a ak b ak a b De remarcat c aici descompunerea poate chiar ocoli metoda coeficien釘ilor 1 1 a nedetermina釘i, observ但nd pur i simplu , ak b ak a b (ak b )(ak a b ) 1 1 1 1 deci tk . (ak b)(ak a b) a ak b ak a b Aceast exprimare a termenului general t k , aplicat succesiv, va pune 樽n eviden釘 cunoscuta reducere telescopic prin care de altfel se va i finaliza calculul sumei, dup cum ilustreaz i urmtorul exemplu: 1 1 1 1 Sn ... 7 11 11 15 15 19 (4n 3) (4n 7) 1 Solu釘ie Se observ termen general tk , k 1 n , apoi ; (4k 3)(4k 7) 1 1 4 1 1 1 1 tk din 4k 3 4k 7 (4k 3)(4k 7) (4k 3)(4k 7) 4 4k 3 4k 7 care, prin particularizare i sumare, apare reducerea telescopic ce finalizeaz calculul, 1 1 1 1 t1 7 11 4 7 11 1 1 1 1 t2 11 15 4 11 15 .. 1 1 1 1 tn , (4n 3) (4n 7) 4 4n 3 4n 7 2
- 4. ob釘in但ndu-se la final n 1 1 1 1 1 1 1 駈 1 1 1 n Sn t k ... 件 件 k 1 4 7 11 11 15 4n 3 4n 7 4 7 4n 7 7(4n 7) Acestea fiind prezentate, revin la recuren釘a telescopic aditiv, cu parcurgerea algoritmului de explicitare pe un caz concret. x xn n(n 1), ()n * Exemplu Explicitez irul generat de recuren釘a n 1 x1 1 Solu釘ie xn1 xn n(n 1), ()n * i astfel x2 x1 1 2 x3 x 2 2 3 x 4 x3 3 4 xn 1 xn 2 (n 2) (n 1) xn xn 1 (n 1) n ____________ () n 1 n 1 xn x1 k (k 1) i cum x1 1 xn 1 k (k 1) , sum care este k 1 k 1 uor calculabil cu ajutorul formulelor sumelor remarcabile anterior prezentate, n 1 n 1 n 1 (n 1)n(2n 1) (n 1)n respectiv xn 1 k (k 1) 1 k 2 k 1 , etc. k 1 k 1 k 1 6 2 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x xn (2n 1), ()n * x xn n(n 1)(2n 1), ()n * a) n 1 b) n 1 x1 1 x1 1 1 1 xn 1 xn , ()n * xn 1 xn 2 , ()n * c) n(n 1) d) 4n 1 x 1 x1 1 1 1 1 xn 1 xn 2 , ()n * xn 1 xn 2 , ()n * e) n 5n 6 f) 4n 8n 3 x1 1 x1 1 3
- 5. 2. Progresiile aritmetice xn 1 xn r , ()n * x1 termen ini釘ial dat r constant dat numit ra釘ie Explicitare Fiind recuren釘 telescopic aditiv, prin ra釘ionamente analoge celor descrise anterior se va ob釘ine cunoscuta formul xn x1 (n 1) r ce determin direct termenul general al progresiei aritmetice 樽n func釘ie de primul termen i ra釘ie. Prin intermediul acestei formule se vor deduce imediat i alte rela釘ii utile 樽n aplica釘iile a aq referitoare la progresii aritmetice, dintre acestea remarc但ndu-se r p i pq n( x1 xn ) Sn x1 x2 ... xn . n ceea ce privete explicitarea recuren釘ei, desigur 2 c 樽n astfel de situa釘ii este mai comod a se re釘ine formula i aplica direct exprimarea termenului general al progresiei dar consider totui instructiv parcurgerea integral a ra釘ionamentului de explicitare. x xn 3, ()n * Exemplu Explicitez irul generat de recuren釘a n 1 x1 2 Solu釘ie Av但nd xn1 xn 3, ()n * , din suita de egalit釘i x2 x1 3 x3 x 2 3 x 4 x3 3 xn 1 xn 2 3 xn xn 1 3 ____________ () xn x1 3 3 3 ... 3 , deci xn 2 3(n 1) 3n 1, rezultat la care de ( n 1) ori se putea ajunge i pe cale direct, xn x1 (n 1) r ... 3n 1. Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x xn 2, ()n * x xn 7, ()n * a) n 1 b) n 1 x1 2 x1 3 x xn 3, ()n * x xn 8, ()n * c) n 1 d) n 1 x1 5 x1 9 4
- 6. 3. Recuren釘a telescopic multiplicativ xn 1 xn an , ()n * x1 termen ini釘ial dat (a ) ir explicit dat n n * Explicitare Procedura este asemntoare cu cea de la recuren釘a telescopic aditiv, de aceast dat 樽ns eliminrile ce conduc la aflarea expresiei termenului general al irului apar la efectuarea produsului iterat corespunztor exprimrilor x particulare, respectiv din xn1 xn an , ()n * n 1 an , ()n * i astfel din xn () n 1 x2 x x x a1, 3 a2 , 4 a3 , ... , n an 1 xn x1 ak , produs care 樽n aplica釘iile x1 x2 x3 xn 1 k 1 propuse se va restr但nge, uneori prin simplificri telescopice, alteori prin exprimri combinatorice adecvate. n2 xn 1 xn , ()n * Exemplu Explicitez irul generat de recuren釘a (n 1)(n 2) x 1 1 xn 1 n2 Solu釘ie Cum , ()n * , prin particularizare se ob釘ine xn (n 1)(n 2) x2 12 x 22 x4 32 x (n 1)2 , 3 , ,..., n i observ但nd simplificarea x1 2 3 x2 3 4 x3 4 5 xn 1 n (n 1) x x x x 12 22 32 (n 1)2 telescopic 2 3 4 ... n ... , cu ajutorul exprimrii x1 x2 x3 xn 1 2 3 3 4 4 5 n (n 1) 2 (n 1)! 2 x 2 factoriale, n , rezult 樽n final xn 2 . x1 n ! (n 1)! n (n 1) Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: n n(n 1) xn 1 xn , ()n * xn 1 xn , ()n * a) n 1 b) (n 2)2 x1 1 x 1 1 n 2 3n 2 1 x xn 2 , ()n * xn 1 xn 1 , ()n * c) n 1 n 4n 3 d) 2n x 1 x 1 1 1 5
- 7. 4. Progresiile geometrice xn 1 xn q, ()n * x1 termen ini釘ial dat q constant dat numit ra釘ie Explicitare Acestea fiind generate tot de recuren釘a telescopic multiplicativ, prin xn 1 x x x x ra釘ionament analog q, ()n * 2 3 4 ... n q q q ... q , din xn x1 x2 x3 xn 1 de ( n 1) ori care se deduce imediat cunoscuta formul xn x1 q n1 . x 2xn , ()n * Exemplu Explicitez irul generat de recuren釘a n 1 x1 3 x x x x x n acest caz n 1 2, ()n * , 2 3 4 ... n 2 2 2 ... 2 xn 3 2n 1 . xn x1 x2 x3 xn 1 de ( n 1) ori Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x 3 xn , ()n * x 10 xn , ()n * a) n 1 b) n 1 x1 2 x1 7 1 xn 1 xn , ()n * x 2xn , ()n * c) 2 d) n 1 x1 3 x1 5 5. Recuren釘a liniar neomogen de ordin I, cu coeficien釘i variabili xn 1 an xn bn , ()n * x1 termen ini釘ial dat (a ) ,(b ) n n * n n * iruri explicit date Explicitare Explicitarea acestei recuren釘e se va baza pe transformarea ei 樽ntr-o y recuren釘 telescopic aditiv. ntr-adevr, introduc但nd substitu釘ia an n , y1 1, y n 1 y rela釘ia de recuren釘 devine xn 1 n xn bn , deci xn1 y n1 xn y n bn y n 1 . y n 1 Astfel, xn1 y n1 xn y n bn y n1, ()n * i particulariz但nd x2 y 2 x1 y1 b1 y 2 x3 y 3 x2 y 2 b2 y 3 xn y n xn 1 y n 1 bn 1 y n () n 1 xn y n x1 y1 bk y k 1 , k 1 6
- 8. pentru finalizarea explicitrii mai fiind necesar doar determinarea irului ( y n )n * y y y y introdus de substitu釘ia efectuat. Cum 樽ns 1 a1, 2 a2 , 3 a3 , ... , n an , i y2 y3 y4 y n 1 b , xn ak x1 k k , ()n 2 . Evident n 1 n 1 1 y1 1, se ob釘ine imediat y n 1 n k 1 ak k 1 k 1 ai i 1 c 樽n aplica釘ii este de preferat parcurgerea integral a ra釘ionamentului expus. x n xn n !, ()n * Exemplu Explicitez irul dat de recuren釘a n 1 x1 1 y y Solu釘ie Not但nd n n , y1 1 xn 1 n xn n ! xn1 y n1 xn y n n ! y n 1 i y n 1 y n 1 y astfel xn1 y n1 xn y n n ! y n1, ()n * . Dar din nota釘ia aplicat, n n , cum y n 1 y1 y y 1 1 2 2, ..., n n y n 1 , deci , xn1 y n1 xn y n 1, care conduce y2 y3 y n 1 n! imediat la xn y n x1 y1 (n 1) i 樽n final xn n ! Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x n xn (n 1)!, ()n * x n xn (n 2)!, ( )n * a) n 1 b) n 1 x1 1 x1 1 1 1 xn 1 n 2 xn (n !)2, ()n * x xn , ()n * c) d) n 1 n n! x1 1 x1 1 6. Recuren釘a liniar neomogen de ordin I, cu coeficien釘i constan釘i xn 1 a xn b, ()n * x1 termen ini釘ial dat a, b constante date Explicitare Fiind la fel cu recuren釘a anterioar, i se poate aplica pentru explicitare acelai ra釘ionament, ob釘in但nd la final pentru xn o expresie exponen釘ial care admite restr但ngere 樽n forma xn A an B . Aceast observa釘ie permite scurtarea cii de explicitare a acestor recuren釘e, coeficien釘ii A i B put但nd fi rapid determina釘i din sistemul primilor doi termeni ai irului. x 2xn 3, ()n * Exemplu Explicitez irul dat de recuren釘a n 1 x1 1 7
- 9. Solu釘ie Av但nd xn A 2n B , cum x1 1 i x2 2x1 3 5 , din sistemul 2 A B 1 se deduce imediat A 2 i B 3 , deci xn 2n1 3 4 A B 5 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x 3 xn 5, ()n * x 5 xn 2, ()n * a) n 1 b) n 1 x1 2 x1 3 x 2xn 3, ()n * x 5 xn 3, ()n * c) n 1 d) n 1 x1 7 x1 2 7. Recuren釘a liniar omogen de ordin II, cu coeficien釘i variabili xn 2 an xn 1 bn xn , ()n * x1 , x2 termeni ini釘ial da釘i (a ) ,(b ) n n * n n * iruri explicit date Explicitare Voi prezenta doar un rezultat par釘ial legat de explicitarea acestui tip de recuren釘. Acesta este con釘inut de afirma釘ia: dac ecua釘ia t 2 an t bn 0 admite o rdcin care nu depinde de n * atunci recuren釘a devine explicitabil. ntr-adevr, dac supranumita ecua釘ie caracteristic a recuren釘ei are rdcinile t1 i t2 n atunci n an i n bn . n acest caz vom ob釘ine xn2 ( n ) xn 1 ￥n xn xn2 xn1 n ( xn 1 xn ) , recuren釘 telescopic multiplicativ care va permite determinarea xn 1 xn y n , ob釘in但nd n 1 y1 x2 x1 , y n ( x2 x1 ) k , ()n 2 . Dar recuren釘a xn 1 xn y n a fost i k 1 ea tratat anterior i particularizat pe aceast situa釘ie conduce 樽n final la forma i k 1 x n 1 explicit xn n 1 2 ( x2 x1 ) i 1 k , ()n 3 . k 2 nx 2(2n 1)xn 1 4(n 1)xn , n * Exemplu: Explicitez irul dat de recuren釘a n 2 x1 1 x2 3 , 2(n 1) Ecua釘ia caracteristic nt 2 2(2n 1)t 4(n 1) 0 are rdcinile t1 2 , t 2 , n deci suntem 樽n condi釘ii favorabile explicitrii. Folosind cunoscutele rela釘ii dintre rdcinile i coeficien釘ii ecua釘iei de gradul doi, rela釘ia de recuren釘 se va scrie 樽n 2(n 1) 4(n 1) x 2xn 1 2(n 1) forma xn 2 2 xn 1 xn din care n 2 . n n xn 1 2xn n 8
- 10. De aici se va repeta ra釘ionamentul 樽nt但lnit la recuren釘a telescopic multiplicativ, xn 1 2xn n 2n 1 ob釘in但nd xn1 2xn n 2 . Dar recuren釘a n 1 este de tip cunoscut, x1 1 de aceast dat procedura de explicitare finaliz但nd cu xn (n 2 n 4) 2n3, ()n 3 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: nx 3(2n 1)xn 1 9(n 1)xn , n * a) n 2 x1 1 x2 5 , n 2 xn 2 2(2n 2 2n 1)xn 1 4(n 1)2 xn , n * b) x1 1 x2 3 , n 3 xn 2 2(2n 3 3n 2 3n 1)xn 1 4(n 1)3 xn , n * c) x1 2, x2 5 n 2 xn 2 2(2n 2 3n 2)xn 1 4(n 2 3n 2)xn , n * d) x1 1 x2 5 , 8. Recuren釘a liniar omogen de ordin II, cu coeficien釘i constan釘i xn 2 a xn 1 b xn , ()n * x1 , x2 termeni ini釘ial da釘i a, b constante date Explicitare La fel ca i cea de ordinul I cu coeficien釘i constan釘i, i aceast recuren釘 va permite explicitare imediat, considerente de la recuren釘a anterioar pun但nd 樽n eviden釘 urmtoarele dou situa釘ii posibile: I) Ecua釘ia caracteristic t 2 a t b 0 are rdcini egale t1 t2 . n acest caz termenul general este de forma xn (nA B) n II) Ecua釘ia caracteristic t 2 a t b 0 are rdcini distincte t1 , t2 . n acest caz termenul general este de forma xn A n B n n ambele situa釘ii coeficien釘ii A i B se determin din sistemul celor doi termeni ini釘ial da釘i. x 6 xn 1 9 xn , n * Exemplu (cazul t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a n 2 x1 2, x2 7 Ecua釘ia caracteristic conduce la t1 t2 3 , deci xn (nA B) 3n i din sistemul ( A B ) 3 2 1 5 termenilor ini釘iali, , ob釘in A , B , xn (n 5) 3n2 (2 A B ) 3 7 2 9 9 9
- 11. x 5 xn 1 6 xn , n * Exemplu (cazul t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a n 2 x1 4, x2 5 De aceast dat ecua釘ia caracteristic are rdcinile t1 2, t2 3 , deci 2 A 3B 4 7 xn A 2n B 3n cu , rezult但nd A , B 1, xn 7 2n 1 3n . 4 A 9B 5 2 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: I) Cazul t1 t2 x 4 xn 1 4 xn , n * x 10 xn 1 25 xn , n * a) n 2 b) n 2 x1 1 x2 2 , x1 1 x2 3 , 4 x 4 xn 1 xn , n * 9 x 6 xn 1 xn , n * c) n 2 d) n 2 x1 1 x2 3 , x1 1 x2 2 , II) Cazul t1 t2 x 7 xn 1 12xn , n * x 7 xn 1 10 xn , n * a) n 2 b) n 2 x1 1 x2 3 , x1 2, x2 3 2x 5 xn 1 2xn , n * 2x 7 xn 1 3 xn , n * c) n 2 d) n 2 x1 1 x2 2 , x1 2, x2 5 9. Recuren釘a liniar neomogen de ordin II, cu coeficien釘i constan釘i xn 2 a xn 1 b xn c, ()n * x1 , x2 termeni ini釘ial da釘i a, b, c constante date Explicitare Aceast recuren釘 se reduce imediat la tipul anterior, observ但nd xn 2 a xn 1 b xn c ( xn3 xn2 ) a ( xn2 xn1 ) b ( xn1 xn ) , care este xn 3 a xn 2 b xn 1 c de forma y n2 a y n 1 b y n cu y n xn 1 xn . Se ob釘ine astfel xn1 xn y n , recuren釘 telescopic aditiv ce va permite finalizarea explicitrii. Analiz但nd forma explicit final vom constata c i aceast recuren釘 are termenul general de un tip bine determinat, tot 樽n func釘ie de rdcinile ecua釘iei caracteristice, aceasta fiind i de aceast dat tot t 2 a t b 0 . Astfel, vom deosebi situa釘iile: I) Ecua釘ia caracteristic t 2 a t b 0 are rdcini egale t1 t2 . n acest caz termenul general este de forma xn (nA B) n C 10
- 12. II) Ecua釘ia caracteristic t 2 a t b 0 are rdcini distincte t1 , t2 . n acest caz termenul general este de forma xn A n B n C Coeficien釘ii A , B i C sunt imediat determinabili din sistemul celor doi termeni ini釘ial da釘i i al celui de al treilea, ob釘inut din recuren釘. x 4 xn 1 4 xn 3, n * Exemplu(cazul t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a n 2 x1 1 x2 2 , n acest caz ecua釘ia caracteristic t 2 4t 4 0 conduce la t1 t2 2 , deci xn (nA B) 2n C i din sistemul termenilor ini釘iali, inclusiv x3 4x2 4x1 3 7 , 3 7 se ob釘in A , B , C 3 , xn (3n 7) 2n2 3 . 4 4 x 5 xn 1 6 xn 3, n * Exemplu (cazul t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a n 2 x1 1 x2 2 , De aceast dat ecua釘ia caracteristic are rdcinile t1 2, t2 3 , deci xn A 2n B 3n C . Av但nd x3 5x2 6x1 3 7 , din sistemul celor trei termeni 1 3 3n 2n 1 3 cunoscu釘i ob釘in A 1 B , C , xn , . 2 2 2 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: I) Cazul t1 t2 x 4 xn 1 4 xn 5, n * x 10 xn 1 25 xn 3, n * a) n 2 b) n 2 x1 1 x2 2 , x1 1 x2 3 , 4 x 4 xn 1 xn 7, n * 9 x 6 xn 1 xn 1 n , * c) n 2 d) n 2 x1 1 x2 3 , x1 1 x2 2 , II) Cazul t1 t2 x 7 xn 1 12xn 2, n * x 7 xn 1 10 xn 1 n , * a) n 2 b) n 2 x1 1 x2 3 , x1 2, x2 3 2x 5 xn 1 2xn , n * 2x 7 xn 1 3 xn 4, n * c) n 2 d) n 2 x1 1 x2 2 , x1 2, x2 5 10. Recuren釘e liniare omogene de ordin superior, cu coeficien釘i constan釘i xn p a1 xn p 1 a2 xn p 2 ... ap 1 xn 1 ap xn , ()n *, p 3 x1 , x2 , ..., x p termeni ini釘ial da釘i a1 , a2 , ..., ap constante date 11
- 13. Explicitare Determinarea explicit a unor astfel de iruri se va face la fel ca i la suratele lor mai mici prezentate anterior, paii de parcurs fiind urmtorii: - se rezolv ecua釘ia caracteristic t p a1 t p1 a2 t p2 ... ap1 t ap ; - se clasific rdcinile distincte dup ordinul de multiplicitate; - dac t1 este rdcin simpl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma A t1n ; - dac t2 este rdcin dubl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma (nB C ) t2 ; n - dac t3 este rdcin tripl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma (n 2D nE F ) t3 , etc. n Coeficien釘ii A, B, C, etc. se ob釘in din sistemul termenilor ini釘iali ai recuren釘ei. x 7 xn 2 16 xn 1 12xn , n * Exemplu Explicitez irul dat de recuren釘a n 3 x1 1 x2 2, x3 5 , n acest caz ecua釘ia caracteristic este t 3 7t 2 16t 12 0 , cu t1 3 rdcin simpl i t2 t3 2 rdcin dubl, deci termenul general al irului va avea forma xn A 3n (nB C ) 2n . Din sistemul termenilor ini釘iali se determin coeficien釘ii, 1 1 1 A ,B ,C i se ob釘ine xn 3n1 (1 n) 2n 2 . 3 4 4 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x 8 xn 2 21xn 1 18 xn , n * x xn 2 16 xn 1 20 xn , n * a) n 3 b) n 3 x1 1 x2 5, x3 6 , x1 4, x2 5, x3 3 11. Recuren釘e liniare neomogene de ordin superior, cu coeficien釘i constan釘i xn p a1 xn p 1 a2 xn p 2 ... ap 1 xn 1 ap xn b, ()n *, p 3 x1 , x2 , ..., x p termeni ini釘ial da釘i a1 , a2 , ..., ap , b constante date Explicitare La fel ca la recuren釘a neomogen de ordin doi cu coeficien釘i constan釘i: - se rezolv ecua釘ia caracteristic t p a1 t p1 a2 t p2 ... ap1 t ap ; - se clasific rdcinile distincte dup ordinul de multiplicitate; - dac t1 este rdcin simpl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma A t1n ; - dac t2 este rdcin dubl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma (nB C ) t2 ; n - dac t3 este rdcin tripl, ea se va prezenta 樽n exprimarea termenului general xn aditiv sub forma (n 2D nE F ) t3 , etc. n - se introduce coeficientul termen liber G . Coeficien釘ii A, B, C,...,G se ob釘in din sistemul termenilor ini釘iali ai recuren釘ei. 12
- 14. x 7 xn 2 16 xn 1 12xn 1 n * , Exemplu Explicitez irul dat de recuren釘a n 3 x1 x2 x3 1 Ecua釘ia caracteristic este t 3 7t 2 16t 12 0 , cu t1 3 rdcin simpl i t2 t3 2 rdcin dubl, deci termenul general al irului va avea forma xn A 3n (nB C ) 2n D . Din sistemul termenilor ini釘iali i x4 ... 2 se ob釘ine 1 1 1 1 3n 1 (1 n ) 2n 1 1 A , B , C , D , xn . 6 4 4 2 2 Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: x 8 xn 2 21xn 1 18 xn 10, n * x xn 2 16 xn 1 20 xn 15, n * a) n 3 b) n 3 x1 1 x2 1 x3 2 , , x1 1 x2 0, x3 0 , 12. Recuren釘a omografic cu coeficien釘i variabili a x bn xn 1 n n , ()n * cn xn d n x1 termen ini釘ial dat (a ) ,(b ) ,(c ) ,(d ) iruri explicit date n n * n n * n n * n n * Explicitare La aceste recuren釘e vom analiza urmtoarele dou cazuri: I) Cazul bn 0 Dup cum uor se va observa, aceast particularitate permite totdeauna an xn 1 d 1 c finalizarea explicitrii. ntr-adevr xn 1 n n not但nd cn xn d n xn 1 an xn an 1 y n recuren釘a ia forma y n1 An y n Bn care este explicitabil. xn II) Cazul bn 0 Un rezultat par釘ial 樽n astfel de situa釘ii este urmtorul: - introduc substitu釘ia cn xn dn y n recuren釘a ia forma y n1 y n An y n Bn z - introduc substitu釘ia y n n 1 , z1 1 recuren釘a ia forma zn2 An zn1 Bn zn zn cu z1 1 i z2 ... c1 x1 d1 dac ecua釘ia caracteristic t 2 An t Bn 0 are o rdcin nedependent de n * atunci zn devine determinabil prin y dn zn 1 dn zn procedur descris anterior i astfel xn n . cn cn zn 13
- 15. xn xn 1 Exemplu ( bn 0 ) Explicitez irul dat de recuren釘a n ! xn n x 1 1 1 Cu y n recuren釘a devine y n1 ny n n ! , y1 1 (explicitat anterior) y n n ! xn 1 i astfel xn . n! an xn bn xn 1 Exemplu ( bn 0 ) Explicitez irul dat de recuren釘a cn xn d n cu coeficien釘ii x 1 1 an n !(n 2 3n 2) , bn n3 3n2 2n 4 , cn (n !)2 n (n 1) , dn n ! n 2 (n 1) Dei aceast exprimare apare de-a dreptul descurajant, parcurg但nd drumul indicat se va ajunge la aceeai recuren釘 zn 1 nzn n ! , z1 1 din care se va ob釘ine zn n ! , 1 y n n 1 i 樽n final xn n! Tem de aprofundare La aceast sec釘iune, ca exerci釘iu de virtuozitate, propun cititorului s-i construiasc singur o aplica釘ie care s permit explicitare i bine樽n釘eles, s o i rezolve ! 13. Recuren釘a omografic cu coeficien釘i constan釘i a xn b xn 1 c x d , ()n * n x1 termen ini釘ial dat a, b, c, d constante date Explicitare Fiind particularizare a celei anterioare, se vor parcurge ra釘ionamente analoge, conform cu fiecare din situa釘iile: I) Cazul b 0 a xn 1 d 1 c 1 Av但nd xn 1 not但nd y n recuren釘a ia forma c xn d xn 1 a xn a xn y n 1 A y n B care este explicitabil. n aceast situa釘ie termenul general se va an ob釘ine de forma xn , cu coeficien釘ii i determinabili din d n an sistemul primilor doi termeni, observa釘ie care poate scurta sensibil explicitarea. 14
- 16. II) Cazul b 0 n aceast situa釘ie: - introduc substitu釘ia cxn d y n recuren釘a ia forma y n1 y n A y n B z - introduc substitu釘ia y n n 1 , z1 1 recuren釘a ia forma zn2 A zn1 B zn zn z cu z1 1 i z2 ... c x1 d determin zn determin y n n 1 i finalizez, zn y d zn 1 d zn ob釘in但nd xn n . De aceast dat forma termenului general c c zn va fi decis de ordinul de multiplicitate a rdcinilor ecua釘iei t 2 A t B 0 , n t1n t2n respectiv xn c但nd t1 t2 i xn n c但nd t1 t2 , coeficien釘ii n t1 t2n , , fiind determinabili din sistemul primilor trei termeni. xn xn 1 ,()n * Exemplu ( b 0 ) Explicitez irul dat de recuren釘a 3 xn 5 x 1 1 1 1 1 Ob釘in 5 3 xn , etc. xn 1 xn A 3n B 5 xn 1 xn 1 Exemplu ( b 0, t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a 4 xn 1 x 1 1 z Aplicarea substitu釘iilor cxn d y n , y n n 1 , z1 1, va conduce la recuren釘 zn omogen de ordin doi. Se ob釘in rdcini ale ecua釘iei caracteristice t1 t2 3 , etc., n2 cu finalizarea xn . 2n 1 7 xn 4 xn 1 Exemplu ( b 0, t1 t2 ) Explicitez irul dat de recuren釘a 5 xn 2 x 2 1 z Aplicarea substitu釘iilor cxn d y n , y n n 1 , z1 1, va pune 樽n eviden釘 recuren釘a zn omogen de ordin doi. Se vor ob釘ine rdcini ale ecua釘iei caracteristice 3n 2n t1 2, t2 3 , etc., cu finalizarea xn n . 3 5 2n 2 15
- 17. Tem de aprofundare Proced但nd analog, explicita釘i urmtoarele recuren釘e: I) Cazul b 0 xn 2 xn xn 1 ,()n * xn 1 ,()n * a) 5 xn 2 b) 3 xn 7 x 1 x 2 1 1 II) Cazul b 0, t1 t2 5 xn 3 3 xn 1 xn 1 ,()n * xn 1 ,()n * a) 3 xn 1 b) xn 1 x 3 x 2 1 1 III) Cazul b 0, t1 t2 4 xn 1 5 xn 2 xn 1 ,()n * xn 1 ,()n * a) 2 xn 1 b) xn 2 x 2 x 3 1 1 16