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Formulario di Analisi Matematica I1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Ing. per l’Ambiente ed il Territorio - Ing. Civile - Ing. dei Trasporti
(Canale M - Z)
A.A. 2006/2007 - Prof.ssa Elisa Vacca
Richiami di matematica elementare:
• Proprietà delle potenze ad esponente reale (x, y ∈ R+
);
1) x0
= 1, ∀ x ∈ R {0}; 1α
= 1, ∀ α ∈ R
2) xα
· xβ
= xα+β
, ∀ α, β ∈ R;
3) xα
· yα
= (xy)α
, ∀ α ∈ R;
4)
xα
xβ
= xα−β
, ∀ α, β ∈ R;
5)
xα
yα
=
x
y
α
=
y
x
−α
, ∀ α ∈ R;
6) (xα
)β
= xαβ
, ∀ α, β ∈ R;
7) x
1
n = n
√
x, ∀n ∈ N, ∀x ∈ R+
0 ;
8) x
m
n = n
√
xm = ( n
√
x)m
, ∀n, m ∈ N, ∀x ∈ R+
0 ;
• Proprietà degli esponenziali (a, b ∈ R+
, a, b = 1);
1) a0
= 1; a1
= a;
2) ax
> 0, ∀ x ∈ R; ax
1 se a 1, ∀ x ∈ R+
;
3) ax
· ay
= ax+y
, ∀ x, y ∈ R;
4) ax
· bx
= (ab)x
, ∀ x ∈ R;
5)
ax
ay
= ax−y
, ∀ x, y ∈ R;
6)
ax
bx
=
a
b
x
, ∀ x ∈ R;
7) a−x
=
1
ax
=
1
a
x
, ∀ x ∈ R;
8) (ax
)y
= axy
, ∀ x, y ∈ R;
9) se x < y =⇒ ax
ay
se a 1;
10) a ≤ b =⇒ ax
≤ bx
, ∀ x ∈ R+
;
1
pag.4-5 c M. Amar - A. M. Bersani “Esercizi di ANALISI MATEMATICA” seconda edizione, Progetto
Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio.
pag.6-13 c M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa “MATEMATICA-Calcolo infinitesimale e algebra lineare”
Zanichelli.
1

• Propriet`a dei logaritmi (x, y, a, b ∈ R+
, a, b = 1);
1) aloga x
= x;
2) loga (ax
) = x;
3) loga 1 = 0;
4) loga (xy) = loga x + loga y;
5) loga
x
y
= loga x − loga y;
6) loga (xα
) = α · loga x, ∀ α ∈ R;
7) loga x =
1
logx a
= − log1
a
x, x = 1;
8) logb x =
loga x
loga b
;
• Propriet`a del modulo o valore assoluto;
1) |x| ≥ 0, ∀ x ∈ R;
2) |x| = 0 ⇔ x = 0;
3) | − x| = |x|, ∀ x ∈ R;
4) |x| =
√
x2, ∀ x ∈ R;
5) |x · y| = |x| · |y|, ∀ x, y ∈ R;
6) |x/y| = |x|/|y|, ∀ x, y ∈ R, y = 0;
7) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀ x, y ∈ R;
8) ||x| − |y|| ≤ |x − y|, ∀ x, y ∈ R;
• Somma di progressione aritmetica;
n
k=1
k =
n(n + 1)
2
;
• Somma di progressione geometrica;
n
k=0
qk
=
1 − qn+1
1 − q
, q = 1;
2

Numeri complessi:
• Forma algebrica: z = x + iy, ∀x, y ∈ R; z := x − iy, |z| := x2 + y2, ∀z ∈ C;
1) (z ± w) = z ± w, ∀ z, w ∈ C;
2) (zw) = z · w, ∀ z, w ∈ C;
3) (z/w) = z/w, ∀ z, w ∈ C;
4) z · z = |z|2
, ∀z ∈ C;
4) |z| ≥ 0, ∀ z ∈ C;
5) |z| = 0 ⇔ z = 0;
6) |z| = |z|, ∀ z ∈ C;
4) |z · w| = |z| · |w|, ∀ z, w ∈ C;
7) |z/w| = |z|/|w|, ∀ z, w ∈ C, w = 0;
8) |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|, |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|, ∀ z ∈ C;
9) |z + w| ≤ |z| + |w|, ∀ z, w ∈ C;
10) ||z| − |w|| ≤ |z + w|, ∀ z, w ∈ C;
• Forma trigonometrica: z = ρ(cos θ + i sin θ), ρ ∈ R+
, θ ∈ [0, 2π),
.
dove ρ := x2 + y2 , cos θ :=
x
x2 + y2
, sin θ :=
y
x2 + y2
.
. Se w = η(cos φ + i sin φ), η ∈ R+
, φ ∈ [0, 2π) allora:
1) z w = ρ η[cos (θ + φ) + i sin (θ + φ)];
2)
z
w
=
ρ
η
cos (θ − φ) + i sin (θ − φ) ;
3) zn
= ρn
[cos (n θ) + i sin (n θ)], “Formula di Moivre” ;
4) n
√
z = n
√
ρ cos
θ + 2kπ
n
+ i · sin
θ + 2kπ
n
, k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1);
• Forma esponenziale: z = ρ eiθ
, ρ ∈ R+
, θ ∈ [0, 2π),
. Se w = η eiφ
, η ∈ R+
, φ ∈ [0, 2π) allora:
1) z w = ρ η ei(θ+φ)
;
2)
z
w
=
ρ
η
ei(θ−φ)
;
3) zn
= ρn
ei(n θ)
;
4) n
√
z = n
√
ρ e
i (θ+2kπ)
n , k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1);
3

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