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Fórmulas para resolver ecuaciones logarítmicas

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Fórmul a s pa ra res ol ve r e c ua c i ones l oga rí tmic a s L a s pr opi e da de s de l os l oga ri tmos . 2 3 4 A d em á s t en em os qu e c omproba r l a s s ol uci one s para ve rif ica r qu e n o t e n em o s lo ga rit m os n u lo s o ne ga t ivo s. Fórmul a s pa ra res ol ve r e c ua c i ones e x pone nc i al e s 1 2 L a s p ro p ie d ad e s d e la s p ot e n cia s.
a0 = 1 · a1 = a am· a n = am+n am : a n = am - n (a m ) n = a m · n an· b n = (a · b) n an: b n = (a : b) n 3 I DE NT I DA DES T RIG O NO ME T RI CAS c os ²α + s e n² α = 1 s e c ²α = 1 + tg² α c os e c ² α = 1 + c otg² α S a b ien d o que sen α = 3 / 5 , y qu e 90 º <α <1 80 °. Ca lcu la r la s re st an t e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α.
S a b ien d o qu e t g α = 2 , y qu e 1 8 0º < α <2 7 0 °. Ca lcu la r la s re st a nt e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. I de nti da de s trí gonomé tri c a s funda me nta l e s Re l a c i ón s e no c os e no c os ² α + s e n² α = 1 Re l a c i ón s ec a nte ta nge nte s e c ² α = 1 + tg² α Re l a c i ón c os ec a nte c ota nge nte c os e c ² α = 1 + c otg² α
S a b ien d o qu e t g α = 2 , y qu e 1 8 0º < α < 2 7 0 °. Ca lcu la r la s re st a nt e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. S a b ien d o que sen α = 3 / 5 , y qu e 90 º <α <1 80 °. Ca lcu la r la s re st an t e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. Ra zone s tri gonomé tri c as de l a s uma y di fe re nc i a de á ngul os
Ra zone s tri gonomé tri c as de l á ngul o dobl e
Ra zone s tri gonomé tri c as de l á ngul o mi ta d Tra ns forma c i ones de s uma s e n produc tos
Tra ns forma c i ones de produc tos en s uma s S uma de ma tri ce s Da d a s d o s m at rice s d e la m ism a d ime n sió n, A=(a i j ) y B =(b i j ), se d ef ine la m a t riz su m a co mo : A+ B= (a i j +b i j ). E s d e cir, a qu e lla m a t riz cu yo s e le m e nt os se o b t ien e n : sum a ndo lo s e leme n t o s de la s do s m a t rices qu e o cup a n la m isma m isma po sició n .
P roduc to de un núme ro re al por una ma tri z Da d a u n a ma t riz A= (a i j ) y u n nú me ro re a l k R, se d ef in e e l p ro du ct o de u n n úm e ro re a l p or u n a ma t riz: a la m a t riz d e l m ismo o rd e n qu e A, en la que ca d a e lem e nt o e stá mu lt ip lica do p o r k. P roduc to de ma tri c e s Dos m a tri c es A y B s e di c e n mul ti pl i c a ble s si e l núme ro de c ol um nas de A c oi nc i de c on e l núme ro de fi la s de B. Mm x n x Mn x p = M m x p E l e le m e nto c i j de l a ma tri z produc to s e obti e ne mul ti pl i c a ndo c a da e l e m e nto de la fi la i de l a ma tri z A por c a da e l eme nto de l a c ol umna j de l a m a tr i z B y s um á ndol os . Ma tri z i nve rs a A · A-1 = A-1 · A = I ( A · B) - 1 = B - 1 · A - 1 ( A-1)-1 = A (k · A) - 1 = k - 1 · A - 1 (A t)-1 = (A -1 t ) Cá l c ul o por el método de G a us s S e a A u n a m at riz cu a d rad a de o rd en n . P a ra ca lcu la r la m at riz in ve rsa d e A , qu e de no t a rem os co mo A - 1 , se gu ir e m o s lo s sigu ie n tes p a so s:
1 º Co n st ru ir u n a m a t riz d e l t ip o M = ( A | I ) , e s d e cir, A e st á en la m itad izqu ie rd a d e M y la ma t riz id e n t id ad I e n la de re ch a. 2 º Uti l i za ndo el mé todo G a us s va mos a tra ns forma r la m i ta d i zqui e r da , A, e n l a ma tri z i de nti da d, que a hora e stá a l a de re c ha , y l a m a tr i z que re s ul te e n el la do de recho s e rá l a ma tri z i nve rs a : A - 1 . Cá l c ul o por de termi na nte s Ra ngo de una matri z Ra ngo de una ma tri z : e s e l n úm ero d e lín e a s de esa m at riz (f ila s o co lu mn a s) qu e so n lin e a lme n te in de pe n d ien t e s. P ode m os des ca rta r una lí ne a s i: . Todos s us c oe fi c ie nte s s on c e ros . Ha y dos l í ne a s i gua l e s . Una l í ne a e s proporc i ona l a otra . Una l í ne a e s c ombi na c i ón l i ne a l de otra s . Cá l c ul o por el método de G a us s E n ge ne ra l c onsi s te e n ha ce r nul a s e l má x i mo núme ro de l í nea s pos i bl e , y e l ra ngo s e rá e l núme ro de fi l a s no nul a s.

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  • 2. a0 = 1 · a1 = a am· a n = am+n am : a n = am - n (a m ) n = a m · n an· b n = (a · b) n an: b n = (a : b) n 3 I DE NT I DA DES T RIG O NO ME T RI CAS c os ²α + s e n² α = 1 s e c ²α = 1 + tg² α c os e c ² α = 1 + c otg² α S a b ien d o que sen α = 3 / 5 , y qu e 90 º <α <1 80 °. Ca lcu la r la s re st an t e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α.
  • 3. S a b ien d o qu e t g α = 2 , y qu e 1 8 0º < α <2 7 0 °. Ca lcu la r la s re st a nt e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. I de nti da de s trí gonomé tri c a s funda me nta l e s Re l a c i ón s e no c os e no c os ² α + s e n² α = 1 Re l a c i ón s ec a nte ta nge nte s e c ² α = 1 + tg² α Re l a c i ón c os ec a nte c ota nge nte c os e c ² α = 1 + c otg² α
  • 4. S a b ien d o qu e t g α = 2 , y qu e 1 8 0º < α < 2 7 0 °. Ca lcu la r la s re st a nt e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. S a b ien d o que sen α = 3 / 5 , y qu e 90 º <α <1 80 °. Ca lcu la r la s re st an t e s ra zo n e s t rigo n o mét rica s d e l án gu lo α. Ra zone s tri gonomé tri c as de l a s uma y di fe re nc i a de á ngul os
  • 5. Ra zone s tri gonomé tri c as de l á ngul o dobl e
  • 6. Ra zone s tri gonomé tri c as de l á ngul o mi ta d Tra ns forma c i ones de s uma s e n produc tos
  • 7. Tra ns forma c i ones de produc tos en s uma s S uma de ma tri ce s Da d a s d o s m at rice s d e la m ism a d ime n sió n, A=(a i j ) y B =(b i j ), se d ef ine la m a t riz su m a co mo : A+ B= (a i j +b i j ). E s d e cir, a qu e lla m a t riz cu yo s e le m e nt os se o b t ien e n : sum a ndo lo s e leme n t o s de la s do s m a t rices qu e o cup a n la m isma m isma po sició n .
  • 8. P roduc to de un núme ro re al por una ma tri z Da d a u n a ma t riz A= (a i j ) y u n nú me ro re a l k R, se d ef in e e l p ro du ct o de u n n úm e ro re a l p or u n a ma t riz: a la m a t riz d e l m ismo o rd e n qu e A, en la que ca d a e lem e nt o e stá mu lt ip lica do p o r k. P roduc to de ma tri c e s Dos m a tri c es A y B s e di c e n mul ti pl i c a ble s si e l núme ro de c ol um nas de A c oi nc i de c on e l núme ro de fi la s de B. Mm x n x Mn x p = M m x p E l e le m e nto c i j de l a ma tri z produc to s e obti e ne mul ti pl i c a ndo c a da e l e m e nto de la fi la i de l a ma tri z A por c a da e l eme nto de l a c ol umna j de l a m a tr i z B y s um á ndol os . Ma tri z i nve rs a A · A-1 = A-1 · A = I ( A · B) - 1 = B - 1 · A - 1 ( A-1)-1 = A (k · A) - 1 = k - 1 · A - 1 (A t)-1 = (A -1 t ) Cá l c ul o por el método de G a us s S e a A u n a m at riz cu a d rad a de o rd en n . P a ra ca lcu la r la m at riz in ve rsa d e A , qu e de no t a rem os co mo A - 1 , se gu ir e m o s lo s sigu ie n tes p a so s:
  • 9. 1 º Co n st ru ir u n a m a t riz d e l t ip o M = ( A | I ) , e s d e cir, A e st á en la m itad izqu ie rd a d e M y la ma t riz id e n t id ad I e n la de re ch a. 2 º Uti l i za ndo el mé todo G a us s va mos a tra ns forma r la m i ta d i zqui e r da , A, e n l a ma tri z i de nti da d, que a hora e stá a l a de re c ha , y l a m a tr i z que re s ul te e n el la do de recho s e rá l a ma tri z i nve rs a : A - 1 . Cá l c ul o por de termi na nte s Ra ngo de una matri z Ra ngo de una ma tri z : e s e l n úm ero d e lín e a s de esa m at riz (f ila s o co lu mn a s) qu e so n lin e a lme n te in de pe n d ien t e s. P ode m os des ca rta r una lí ne a s i: . Todos s us c oe fi c ie nte s s on c e ros . Ha y dos l í ne a s i gua l e s . Una l í ne a e s proporc i ona l a otra . Una l í ne a e s c ombi na c i ón l i ne a l de otra s . Cá l c ul o por el método de G a us s E n ge ne ra l c onsi s te e n ha ce r nul a s e l má x i mo núme ro de l í nea s pos i bl e , y e l ra ngo s e rá e l núme ro de fi l a s no nul a s.