Fungsi turunan-aljabar matematika
- 1. Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung TURUNAN FUNGSI Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x). Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat dinyatakan dengan : m y b x a f x f a x a PQ = − − = − − ( ) ( ) Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis singgung kurva f(x) di P sehingga gradien : m f x f a x ax a = − −→ lim ( ) ( ) Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan: f a f x f a x ax a '( ) lim ( ) ( ) = − −→ Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a. Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan : f a f a h f a hh '( ) lim ( ) ( ) = + − →0 Notasi lain : f a df a dx dy a dx y a'( ) ( ) ( ) '( )= = = Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A a dV a dx ( ) ( ) =
- 2. Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab : Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x x ( ) lim ( )0 0 0 = = → Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut : f f h f h h hh h '( ) lim ( ) ( ) lim | | 0 0 0 0 0 = + − = → → Karena − = ≠= → →− + 1 1 0 0 lim | | lim | | h h h h h h maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0. Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut : 1. ( )d x dx r x r R r r= ∈−1 ; 2. ( ) ( ) ( )d f x g x dx d f x dx d g x dx ( ) ( ) ( ) ( )+ = + 3. ( ) ( ) ( )d f x g x dx g x d f x dx f x d g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 4. ( ) ( ) ( )d dx g x d f x f x d g x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − 2 Soal latihan ( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan dy dx dari : 1. y x = −12 2 6
- 3. Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 2. y x x = − 1 1 2 3. y = x ( x 2 + 1 ) 4. ( )( )y x x x x= + + + 4 3 2 2 2 1 5. ( )( )y x x x x= + − +3 2 3 1 2 4 6. y x = + 1 3 9 2 7. y x x = − − 2 1 1 8. y x x x = − + + 2 3 1 2 1 2 9. y x x x x = − + + − 2 2 2 5 2 3 10. y x x x = + + − 5 2 6 3 1 2 ( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang diberikan. 11. f x a x x x bx x ( ) ; ; = + ≤ < − ≥    3 0 1 12 ; x = 1 12. f x ax b x x x ( ) ; ; = − < − ≥    2 2 1 22 ; x = 2 13. f x x x ax b x ( ) ; ; = − < + ≥     2 1 3 2 3 ; x = 3