際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Funksionet e vazhdueshme Hysen Doko

H
Hysen Doko

Nje prezantim i shkurter rreth funksioneve te vazhdueshme dhe thyesave et vazhdueshme

1 of 4
Download to read offline
UNIVERSITETI ISMAIL QEMALI VLOR FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKS LNDA: TEORI NUMRASH SEMESTRI: VJESHT 2017 DETYR KURSI Tema: Fraksionet e vazhdueshme, t谷 fundme dhe t谷 pafundme. Punoi: Pranoi: Hysen Doko Prof. Arben Baushi VLOR 2018
N谷 matematik谷, nj谷 thyes谷 e vazhduar 谷sht谷 nj谷 shprehje q谷 p谷rftohet p谷rmes procesit iterativ t谷 paraqitjes s谷 nj谷 numri si shum谷 e pjes谷s s谷 tij t谷 plot谷 me t谷 anasjelltin e nj谷 numri tjet谷r, m谷 pas shkrimit t谷 k谷tij numri tjet谷r si shum谷 e pjes谷s s谷 tij t谷 plot谷 me nj谷 tjet谷r t谷 anasjellt谷, e k谷shtu me rradh谷. Tek nj谷 thyes谷 e vazhduar e fundme (ose e mbaruar/e p谷rfunduar), iteracioni/rekursioni (dmth p谷rs谷ritja) p谷rfundon pas nj谷 numri t谷 fund谷m hapash duke p谷rdorur nj谷 t谷 plot谷 n谷 vend t谷 nj谷 thyese tjet谷r t谷 vazhduar. Ndryshe nga kjo, nj谷 thyes谷 e vazhduar e pafundme 谷sht谷 n谷 巽do rast nj谷 shprehje infinit (pa fund), ku t谷 gjith谷 t谷 plot谷t nj谷ri pas tjetrit, ve巽 t谷 parit, duhet t谷 jen谷 pozitiv谷. Numrat e plot谷 ai quhen koefi巽ent谷 ose terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Thyesat e vazhduara kan谷 nj谷 num谷r vetish t谷 dallueshme q谷 lidhen me algoritmin Euklidian p谷r numrat e plot谷 ose real谷. do num谷r racional ka dy shprehje t谷 lidhura ngusht谷 si nj谷 thyes谷 e vazhduar e fundme, koefi巽ent谷t e t谷 cilit ai mund t谷 p谷rcaktohen duke aplikuar algoritmin Euklidian p谷r (p,q). Vlera numerike e nj谷 thyese t谷 vazhduar t谷 pafundme 谷sht谷 irracionale; ajo p谷rcaktohet nga sekuenca e tij e pafundme me numra t谷 plot谷 si limiti i sekuenc谷s s谷 vlerave p谷r thyesat e vazhduara t谷 fundme. do thyes谷 e vazhduar e fundme e nj谷 sekuence p谷rftohet duke p谷rdorur nj谷 prefiks t谷 fund谷m t谷 thyes谷s infinit t谷 vazhduar q谷 p谷rcakton sekuenc谷n e numrave t谷 plot谷. P谷r m谷 tep谷r, 巽do num谷r irracional 留 谷sht谷 vlera e nj谷 thyese t谷 vetme t谷 vazhduar t谷 pafundme, koefi巽ent谷t e s谷 cil谷s mund t谷 gjenden duke p谷rdorur versionin jo-p谷rfundues t谷 algoritmit Euklidian t谷 aplikuar ndaj vlerave t谷 pamata 留 dhe 1 (nj谷shit). Kjo m谷nyr谷 e shprehjes s谷 numrave real谷 (racional谷 e irracional谷) quhet paraqitje me thyes谷 t谷 vazhduar e tyre. 1. Formula baz谷 Nj谷 thyes谷 e vazhduar 谷sht谷 nj谷 shprehje e form谷s ku ai dhe bi jan谷 ose numra racional谷, ose numra real谷, ose numra kompleks谷. N谷se , shprehja quhet thyes谷 e vazhduar e thjesht谷. N谷se shprehja p谷rmban nj谷 num谷r t谷 fund谷m termash, ajo quhet thyes谷 e vazhduar e fundme. N谷se shprehja p谷rmban nj谷 num谷r t谷 pafund谷m termash, ajo quhet nj谷 thyes谷 e vazhduar e pafundme. 2. Sh谷nimet p谷r thyesat e vazhduara Numrat e plot谷 a0, a1, etj., quhen koefi巽ent谷 ose terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Ndokush mund ta shkurtoj谷 thyes谷n e vazhduar:
n谷 sh谷nimin e Carl Friedrich Gauss, si m谷 posht谷: ose si [ ], ose n谷 sh谷nimin e Pringsheim si m谷 posht谷: | | | | | | ose n谷 nj谷 tjet谷r sh谷nim t谷 lidhur me t谷 si n谷 vijim: Ndonj谷her谷 p谷rdoren kllapat k谷ndore, si m谷 posht谷: . Pik谷-presja n谷 sh谷nimet me kllapa katrore ose k谷ndore ndonj谷her谷 z谷vend谷sohet me presje. Ndokush mundet edhe t谷 p谷rkufizoj谷 thyesat e vazhduara t谷 thjeshta t谷 pafundme si limite: [ ] [ ] Ky limit ekziston p谷r 巽do zgjedhje t谷 a0 dhe t谷 plot谷ve pozitiv谷 a1,a2,... 3. Thyesat e vazhduara t谷 fundme do thyes谷 e vazhduar e fundme paraqet nj谷 num谷r racional, dhe 巽do num谷r racional mund t谷 paraqitet n谷 sakt谷sisht dy m谷nyra si thyes谷 e vazhduar e fundme, me kushtet q谷 koefi巽enti i par谷 t谷 jet谷 nj谷 i plot谷 dhe koefi巽ent谷t e tjer谷 t谷 jen谷 t谷 plot谷 pozitiv谷. K谷to dy paraqitje pajtohen p谷rve巽se n谷 termat e tyre fundor谷. N谷 paraqitjen m谷 t谷 gjat谷, termi fundor n谷 thyes谷n e vazhduar 谷sht谷 1; paraqitja m谷 e shkurt谷r e rr谷zon 1-in fundor, por rrit termin e ri fundor me 1. Elementi fundor n谷 paraqitjen m谷 t谷 shkurt谷r 谷sht谷 k谷sisoj m谷 i madh se 1, n谷se ekziston. N谷 simbole, kjo shkruhet: [ ] [ ]. [ ] [ ]. 4. Thyesat e vazhduara t谷 pafundme dhe konvergjent谷t do thyes谷 e vazhduar e pafundme 谷sht谷 irracionale, dhe 巽do num谷r irracional mund t谷 paraqitet n谷 sakt谷sisht nj谷 m谷nyr谷 si thyes谷 e vazhduar e pafundme. Nj谷 paraqitje me thyes谷 t谷 vazhduar t谷 pafundme p谷r nj谷 num谷r irracional 谷sht谷 e dobishme pasi segmentet e saj iniciale ofrojn谷 p谷rafrime racionale t谷 numrit. K谷ta numra racional谷 quhen konver-gjent谷 t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Sa m谷 i madh t谷 jet谷 nj谷 term n谷 thyes谷 t谷 vazhduar, aq m谷 af谷r 谷sht谷 konvergjenti korrespondues me numrin irracional q谷 po
p谷rafrohet. Numra si kan谷 terma rast谷sor谷 t谷 m谷dhenj n谷 thyes谷n e tyre t谷 vazhduar, q谷 i b谷n ata t谷 leht谷 p谷r tu p谷rafruar me numra racional谷. T谷 tjer谷 numra si e kan谷 vet谷m terma t谷 vegj谷l hersh谷m n谷 thyes谷n e tyre t谷 vazhduar, 巽ka i b谷n ata m谷 t谷 v谷shtir谷 p谷r tu p谷rafruar racionalisht. Raporti i art谷 ka terma baraz me 1 kudo vlerat m谷 t谷 vogla t谷 mundshme 巽ka e b谷n numrin m谷 t谷 v谷shtir谷 p谷r tu p谷rafruar racionalisht. N谷 k谷t谷 kuptim, k谷sisoj, ai 谷sht谷 m谷 irracionali i numrave irracional谷. Konvergjent谷t e num谷ruar- 巽ift jan谷 m谷 vegj谷l se numri origjinal, nd谷rsa t谷 num谷ruarit-tek jan谷 m谷 t谷 m谷dhenj. P谷r nj谷 thyes谷 t谷 vazhduar [ ], kat谷r konvergjent谷t e par谷 (t谷 num谷ruar nga 0 n谷 3) jan谷: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Me fjal谷, num谷ruesi i konvergjentit t谷 tret谷 formohet nga shum谷zimi i num谷ratorit t谷 konvergjentit t谷 dyt谷 me raportin e tret谷, duke shtuar num谷ratorin e konvergjentit t谷 par谷. Em谷ruesit formohen ngjashm谷risht. Pra, 巽do konvergjent shprehet qart谷sisht n谷 terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar si raport i ca polinomeve multivariate t谷 quajtur vazhduesa. N谷se gjenden konvergjent谷t e nj谷pasnj谷sh谷m, me num谷rues e em谷rues , at谷her谷 relacioni rilevant rekursiv 谷sht谷 (p谷r secil谷n pal谷): Konvergjent谷t e nj谷pasnj谷sh谷m jepen nga formula: K谷sisoj, p谷r t谷 p谷rfshir谷 nj谷 term t谷 ri n谷 nj谷 p谷rafrim racional, nevojiten vet谷m dy konvergjent谷t e m谷sip谷rm. Konvergjent谷t inicial谷 (t谷 k谷rkuar p谷r dy termat e par谷) jan谷 dhe . P.sh., tabela m谷 posht谷 jep konvergjent谷t p谷r [ ]: n -2 -1 0 1 2 3 4 an 0 1 5 2 2 hn 0 1 0 1 5 11 27 kn 1 0 1 1 6 13 32 Kur p谷rdorim metod谷n Babiloniane p谷r t谷 gjeneruar p谷rafrimet e nj谷pasnj谷shme me rr谷nj谷n katrore t谷 nj谷 t谷 ploti, n谷se ndokush nis me t谷 plotin m谷 t谷 vog谷l si p谷rafrim t谷 par谷, racional谷t e gjeneruar do t谷 shfaqen n谷 list谷n e konvergjent谷ve p谷r thyes谷n e vazhduar. Specifikisht, p谷rafruesit do t谷 shfaqen n谷 list谷n e konvergjent谷ve n谷 pozicionet 0,1,3,7,15,...,2k -1,... P.sh., zgjerimi i thyes谷s s谷 vazhduar p谷r 谷sht谷 [ ]. Duke krahasuar konvergjent谷t me p谷rafruesit e derivuar nga metoda Babiloniane, marrim tabel谷n vijuese: n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 an 1 1 2 1 2 1 2 1 hn 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97 kn 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56 ( ) ( )

More Related Content

Funksionet e vazhdueshme Hysen Doko

  • 1. UNIVERSITETI ISMAIL QEMALI VLOR FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKS LNDA: TEORI NUMRASH SEMESTRI: VJESHT 2017 DETYR KURSI Tema: Fraksionet e vazhdueshme, t谷 fundme dhe t谷 pafundme. Punoi: Pranoi: Hysen Doko Prof. Arben Baushi VLOR 2018
  • 2. N谷 matematik谷, nj谷 thyes谷 e vazhduar 谷sht谷 nj谷 shprehje q谷 p谷rftohet p谷rmes procesit iterativ t谷 paraqitjes s谷 nj谷 numri si shum谷 e pjes谷s s谷 tij t谷 plot谷 me t谷 anasjelltin e nj谷 numri tjet谷r, m谷 pas shkrimit t谷 k谷tij numri tjet谷r si shum谷 e pjes谷s s谷 tij t谷 plot谷 me nj谷 tjet谷r t谷 anasjellt谷, e k谷shtu me rradh谷. Tek nj谷 thyes谷 e vazhduar e fundme (ose e mbaruar/e p谷rfunduar), iteracioni/rekursioni (dmth p谷rs谷ritja) p谷rfundon pas nj谷 numri t谷 fund谷m hapash duke p谷rdorur nj谷 t谷 plot谷 n谷 vend t谷 nj谷 thyese tjet谷r t谷 vazhduar. Ndryshe nga kjo, nj谷 thyes谷 e vazhduar e pafundme 谷sht谷 n谷 巽do rast nj谷 shprehje infinit (pa fund), ku t谷 gjith谷 t谷 plot谷t nj谷ri pas tjetrit, ve巽 t谷 parit, duhet t谷 jen谷 pozitiv谷. Numrat e plot谷 ai quhen koefi巽ent谷 ose terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Thyesat e vazhduara kan谷 nj谷 num谷r vetish t谷 dallueshme q谷 lidhen me algoritmin Euklidian p谷r numrat e plot谷 ose real谷. do num谷r racional ka dy shprehje t谷 lidhura ngusht谷 si nj谷 thyes谷 e vazhduar e fundme, koefi巽ent谷t e t谷 cilit ai mund t谷 p谷rcaktohen duke aplikuar algoritmin Euklidian p谷r (p,q). Vlera numerike e nj谷 thyese t谷 vazhduar t谷 pafundme 谷sht谷 irracionale; ajo p谷rcaktohet nga sekuenca e tij e pafundme me numra t谷 plot谷 si limiti i sekuenc谷s s谷 vlerave p谷r thyesat e vazhduara t谷 fundme. do thyes谷 e vazhduar e fundme e nj谷 sekuence p谷rftohet duke p谷rdorur nj谷 prefiks t谷 fund谷m t谷 thyes谷s infinit t谷 vazhduar q谷 p谷rcakton sekuenc谷n e numrave t谷 plot谷. P谷r m谷 tep谷r, 巽do num谷r irracional 留 谷sht谷 vlera e nj谷 thyese t谷 vetme t谷 vazhduar t谷 pafundme, koefi巽ent谷t e s谷 cil谷s mund t谷 gjenden duke p谷rdorur versionin jo-p谷rfundues t谷 algoritmit Euklidian t谷 aplikuar ndaj vlerave t谷 pamata 留 dhe 1 (nj谷shit). Kjo m谷nyr谷 e shprehjes s谷 numrave real谷 (racional谷 e irracional谷) quhet paraqitje me thyes谷 t谷 vazhduar e tyre. 1. Formula baz谷 Nj谷 thyes谷 e vazhduar 谷sht谷 nj谷 shprehje e form谷s ku ai dhe bi jan谷 ose numra racional谷, ose numra real谷, ose numra kompleks谷. N谷se , shprehja quhet thyes谷 e vazhduar e thjesht谷. N谷se shprehja p谷rmban nj谷 num谷r t谷 fund谷m termash, ajo quhet thyes谷 e vazhduar e fundme. N谷se shprehja p谷rmban nj谷 num谷r t谷 pafund谷m termash, ajo quhet nj谷 thyes谷 e vazhduar e pafundme. 2. Sh谷nimet p谷r thyesat e vazhduara Numrat e plot谷 a0, a1, etj., quhen koefi巽ent谷 ose terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Ndokush mund ta shkurtoj谷 thyes谷n e vazhduar:
  • 3. n谷 sh谷nimin e Carl Friedrich Gauss, si m谷 posht谷: ose si [ ], ose n谷 sh谷nimin e Pringsheim si m谷 posht谷: | | | | | | ose n谷 nj谷 tjet谷r sh谷nim t谷 lidhur me t谷 si n谷 vijim: Ndonj谷her谷 p谷rdoren kllapat k谷ndore, si m谷 posht谷: . Pik谷-presja n谷 sh谷nimet me kllapa katrore ose k谷ndore ndonj谷her谷 z谷vend谷sohet me presje. Ndokush mundet edhe t谷 p谷rkufizoj谷 thyesat e vazhduara t谷 thjeshta t谷 pafundme si limite: [ ] [ ] Ky limit ekziston p谷r 巽do zgjedhje t谷 a0 dhe t谷 plot谷ve pozitiv谷 a1,a2,... 3. Thyesat e vazhduara t谷 fundme do thyes谷 e vazhduar e fundme paraqet nj谷 num谷r racional, dhe 巽do num谷r racional mund t谷 paraqitet n谷 sakt谷sisht dy m谷nyra si thyes谷 e vazhduar e fundme, me kushtet q谷 koefi巽enti i par谷 t谷 jet谷 nj谷 i plot谷 dhe koefi巽ent谷t e tjer谷 t谷 jen谷 t谷 plot谷 pozitiv谷. K谷to dy paraqitje pajtohen p谷rve巽se n谷 termat e tyre fundor谷. N谷 paraqitjen m谷 t谷 gjat谷, termi fundor n谷 thyes谷n e vazhduar 谷sht谷 1; paraqitja m谷 e shkurt谷r e rr谷zon 1-in fundor, por rrit termin e ri fundor me 1. Elementi fundor n谷 paraqitjen m谷 t谷 shkurt谷r 谷sht谷 k谷sisoj m谷 i madh se 1, n谷se ekziston. N谷 simbole, kjo shkruhet: [ ] [ ]. [ ] [ ]. 4. Thyesat e vazhduara t谷 pafundme dhe konvergjent谷t do thyes谷 e vazhduar e pafundme 谷sht谷 irracionale, dhe 巽do num谷r irracional mund t谷 paraqitet n谷 sakt谷sisht nj谷 m谷nyr谷 si thyes谷 e vazhduar e pafundme. Nj谷 paraqitje me thyes谷 t谷 vazhduar t谷 pafundme p谷r nj谷 num谷r irracional 谷sht谷 e dobishme pasi segmentet e saj iniciale ofrojn谷 p谷rafrime racionale t谷 numrit. K谷ta numra racional谷 quhen konver-gjent谷 t谷 thyes谷s s谷 vazhduar. Sa m谷 i madh t谷 jet谷 nj谷 term n谷 thyes谷 t谷 vazhduar, aq m谷 af谷r 谷sht谷 konvergjenti korrespondues me numrin irracional q谷 po
  • 4. p谷rafrohet. Numra si kan谷 terma rast谷sor谷 t谷 m谷dhenj n谷 thyes谷n e tyre t谷 vazhduar, q谷 i b谷n ata t谷 leht谷 p谷r tu p谷rafruar me numra racional谷. T谷 tjer谷 numra si e kan谷 vet谷m terma t谷 vegj谷l hersh谷m n谷 thyes谷n e tyre t谷 vazhduar, 巽ka i b谷n ata m谷 t谷 v谷shtir谷 p谷r tu p谷rafruar racionalisht. Raporti i art谷 ka terma baraz me 1 kudo vlerat m谷 t谷 vogla t谷 mundshme 巽ka e b谷n numrin m谷 t谷 v谷shtir谷 p谷r tu p谷rafruar racionalisht. N谷 k谷t谷 kuptim, k谷sisoj, ai 谷sht谷 m谷 irracionali i numrave irracional谷. Konvergjent谷t e num谷ruar- 巽ift jan谷 m谷 vegj谷l se numri origjinal, nd谷rsa t谷 num谷ruarit-tek jan谷 m谷 t谷 m谷dhenj. P谷r nj谷 thyes谷 t谷 vazhduar [ ], kat谷r konvergjent谷t e par谷 (t谷 num谷ruar nga 0 n谷 3) jan谷: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Me fjal谷, num谷ruesi i konvergjentit t谷 tret谷 formohet nga shum谷zimi i num谷ratorit t谷 konvergjentit t谷 dyt谷 me raportin e tret谷, duke shtuar num谷ratorin e konvergjentit t谷 par谷. Em谷ruesit formohen ngjashm谷risht. Pra, 巽do konvergjent shprehet qart谷sisht n谷 terma t谷 thyes谷s s谷 vazhduar si raport i ca polinomeve multivariate t谷 quajtur vazhduesa. N谷se gjenden konvergjent谷t e nj谷pasnj谷sh谷m, me num谷rues e em谷rues , at谷her谷 relacioni rilevant rekursiv 谷sht谷 (p谷r secil谷n pal谷): Konvergjent谷t e nj谷pasnj谷sh谷m jepen nga formula: K谷sisoj, p谷r t谷 p谷rfshir谷 nj谷 term t谷 ri n谷 nj谷 p谷rafrim racional, nevojiten vet谷m dy konvergjent谷t e m谷sip谷rm. Konvergjent谷t inicial谷 (t谷 k谷rkuar p谷r dy termat e par谷) jan谷 dhe . P.sh., tabela m谷 posht谷 jep konvergjent谷t p谷r [ ]: n -2 -1 0 1 2 3 4 an 0 1 5 2 2 hn 0 1 0 1 5 11 27 kn 1 0 1 1 6 13 32 Kur p谷rdorim metod谷n Babiloniane p谷r t谷 gjeneruar p谷rafrimet e nj谷pasnj谷shme me rr谷nj谷n katrore t谷 nj谷 t谷 ploti, n谷se ndokush nis me t谷 plotin m谷 t谷 vog谷l si p谷rafrim t谷 par谷, racional谷t e gjeneruar do t谷 shfaqen n谷 list谷n e konvergjent谷ve p谷r thyes谷n e vazhduar. Specifikisht, p谷rafruesit do t谷 shfaqen n谷 list谷n e konvergjent谷ve n谷 pozicionet 0,1,3,7,15,...,2k -1,... P.sh., zgjerimi i thyes谷s s谷 vazhduar p谷r 谷sht谷 [ ]. Duke krahasuar konvergjent谷t me p谷rafruesit e derivuar nga metoda Babiloniane, marrim tabel谷n vijuese: n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 an 1 1 2 1 2 1 2 1 hn 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97 kn 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56 ( ) ( )