![FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO
4
dyfish, por nuk 谷sht谷 rrotulluar, ndryshe nga pika z = , e cila 谷sht谷 zvog谷luar me 遜
dhe 谷sht谷 rrotulluar me . N谷 p谷rgjith谷si, funksioni kuadratik z2
nuk zmadhon modulet
e pikave t谷 rrethit nj谷si |z| = 1 dhe nuk rrotullon pikat e boshtit real pozitiv.
P谷rshkrimi i grafikut t谷 = z2
n谷 termat e zmadhimit dhe zvog谷limit mund t谷 p谷rdoret
p谷r t谷 p谷rfytyruar imazhin e disa bashk谷sive speciale. P谷r shembull, konsiderojm谷 nj谷
rreze nga origjina q谷 formon nj谷 k谷nd me boshtin real pozitiv. T谷 gjitha pikat e
k谷saj rrezeje kan谷 argumentin , dhe n谷 lidhje me funksionin = z2
k谷to pika t谷
gjitha kan谷 argumentin 2 . K谷shtu, imazhet e k谷tyre pikave kan谷 larges谷n r2
nga
origjina dhe k谷ndin 2 n谷 lidhje me boshtin real pozitiv.
Shembull 1: Imazhi i nj谷 harku rrethor n谷 lidhje m谷 funksionin = z2
.
Gjeni imazhin e harkut rrethor t谷 p谷rcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2 n谷 lidhje
me = z2
Zgjidhje: Le t谷 jet谷 C harku rrethor i p谷rcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2. Me C
sh谷nojm谷 imazhin e k谷tij harku n谷 lidhje m谷 = z2
. P谷rderisa 巽do pik谷 e C ka
modulin 2 dhe grafiku rrethor = z2
modulin e zmadhon me katrorin e modulit t谷 C,
rrjedh q谷 moduli i 巽do pike t谷 C ka modulin 22
= 4. Rrjedh q谷 imazhi i C 谷sht谷 harku
rrethor me modul | | = 4, me qend谷r n谷 origjin谷 dhe rreze 4. P谷rderisa argumentet e
pikave t谷 C jan谷 n谷 intervalin [0 ; ] dhe p谷rderisa funksioni = z2
argumentin e
dyfishon p谷r C, argumenti i C 谷sht谷 [0 2 ; 2 ] = [0 ; ].
Pra bashk谷sia C 谷sht谷 e p谷rcaktuar nga | | = 4 dhe 0 arg( ) . P谷r m谷 qart谷
shohim se si transformohet grafiku n谷 figurat e m谷poshtme:
Grafiku i C Grafiku i C
Shembull 2: Imazhi i nj谷 vije vertikale / horizontale n谷 lidhje me = z2
Gjeni imazhin e vij谷s vertikale x = k n谷 lidhje me = z2](https://image.slidesharecdn.com/analizekomplekse-190222204502/85/Funksionet-fuqi-Hysen-Doko-4-320.jpg)
Funksionet fuqi - Hysen Doko
- 1. UNIVERSITETI ISMAIL QEMALI VLOR FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKS LNDA: ANALIZ KOMPLEKSE SEMESTRI: PRANVER 2018 DETYR KURSI Tema: Funksionet fuqi Punuoi: Pranoi: Hysen DOKO Msc. Anila DUKA VLOR, QERSHOR 2018
- 2. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 2 HYRJE Pak njohuri rreth numrave kompleks谷 P谷rkufizime t谷 p谷rgjithshme: 1. Nj谷 num谷r kompleks 谷sht谷 nj谷 num谷r i form谷s , ku a dhe b jan谷 numra real谷, kurse i 谷sht谷 nj谷sia imagjinare, vlera e s谷 cil谷s 谷sht谷: . P谷r shembull: z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i, z3 = 5i, etj 2. Bashk谷sia e numrave kompleks谷 sh谷nohet me dhe ka vend relacioni: . Pra 巽do num谷r real 谷sht谷 num谷r kompleks (trajta z = a + 0 , ku ). 3. Numri a quhet pjesa reale e numrit kompleks z, dhe sh谷nohet Re(z), kurse numri b quhet pjesa imagjinare e numrit kompleks z, dhe sh谷nohet Im(z). P谷r shembull: z = 2 + 3i; Re(z) = 2, Im(z) = 3 4. Dy numra kompleks谷 quhen t谷 barabart谷 at谷here dhe vet谷m at谷here kur dhe pjesa reale dhe pjesa imagjinare respektive e tyre 谷sht谷 e barabart谷. Pra: z1 = z2 Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2). 5. Veprime me numrat kompleks谷: a) Mbledhja: P谷r t谷 mbledhur dy numra kompleks谷, mbledhim pjes谷t reale dhe pjes谷t imagjinare repsektive t谷 tyre. z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 + z2 = 2 + 3i + (-3) + i = -1 + 4i b) Zbritja: P谷r t谷 zbritur dy numra kompleks谷, zbresim pjes谷t reale dhe pjes谷t imagjinare repsektive t谷 tyre. z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 - z2 = 2 + 3i - (-3) - i = 5 + 2i c) Shum谷zimi: P谷r t谷 shum谷zuar dy numra kompleks谷, kryejm谷 shum谷zimin e dy kllapave, pra numri i par谷 shum谷zim numrin e dyt谷. z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 z2 = (2 + 3i) (-3 + i) = 2 + 2i 9i -3 = -6 7i 3 = -9 7i d) Pjes谷timi: P谷r t谷 pjes谷tuar dy numra kompleks谷, shum谷zojm谷 edhe num谷ruesin edhe em谷ruesin e thyes谷s me t谷 konjuguarin e numrit kompleks n谷 em谷rues. z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i
- 3. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 3 Funksionet speciale fuqi P谷rkufizim: Nj谷 funksion polinomial kompleks 谷sht谷 nj谷 funksion i trajt谷s p(z) = anzn + an-1zn-1 ++a1z + a0, ku n 谷sht谷 nj谷 num谷r i plot谷 pozitiv dhe koeficient谷t a konstante komplekse. N谷 p谷rgjith谷si, nj谷 funksion kompleks fuqi mund t谷 jet谷 i nd谷rlikuar, por n谷 t谷 shumtat e rasteve rruga e nd谷rtimit t谷 tij mund t谷 thjeshtohet. Funksionet fuqi: Kujtojm谷 nga analiza reale faktin q谷 funksioni i trajt谷s f(x) = xa , ku a 谷sht谷 nj谷 konstante reale, 谷sht谷 quajtur funksion fuqi. Funksioni kompleks fuqi n谷 ndryshim nga ai real, konstanten a n谷 eksponent ose baz谷n i ka numra kompleks谷. Me fjal谷 t谷 tjera, nj谷 funksion kompleks fuqi 谷sht谷 nj谷 funksion i trajt谷s f(z) = za , ku a 谷sht谷 nj谷 konstante komplekse. N谷se a 谷sht谷 num谷r i plot谷, funksioni fuqi za mund t谷 llogaritet duke p谷rdorur veprimet algjebrike n谷 trajt谷n e numrave kompleks谷 si shum谷zim me vetveten etj. P谷r shembull: z2 = z dhe z-3 = . Ne gjithashtu mund t谷 p谷rdorim formulat p谷r t谷 marr谷 rr谷nj谷t komplekse t谷 funksionit fuqi me eksponent thyesor 1/n. P谷r shembull ne mund t谷 gjejm谷 rr谷nj谷t e funksionit fuqi z1/4 i cili na jep kat谷r rr谷nj谷t e z. Funksioni fuqi zn N谷 k谷t谷 pjes谷 do t谷 trajtojm谷 rastet e funksioneve fuqi zn , ku n 2. Natyrsh谷m le t谷 fillojm谷 s谷 pari me funksionin m谷 t谷 thjesht谷 fuqi, me funksonin kompleks kuadratik z2 . Funksioni z2 : Rr谷nj谷t e funksionit kompleks fuqi f(z) = z2 jan谷 t谷 thjeshta p谷r tu gjetur duke p谷rdorur shum谷zimin e numrave kompleks谷. P谷r shembull, p谷r z = 2 i, kemi f(2 i) = (2 i)2 = (2 i)(2 i) = 3 4i. P谷r t谷 nd谷rtuar funksionin = z2 , gjithsesi na nevojitet edhe pak pun谷. Fillojm谷 duke shprehur z si : = z2 = ( )2 = r2 (1) Prej k谷tu shohim q谷 moduli r2 i pik谷s 谷sht谷 katrori i modulit r t谷 pik谷s z, dhe argumenti i 谷sht谷 dyfishi i argumentit t谷 z. N谷se vendosim n谷 t谷 nj谷jt谷n kopje t谷 planit kompleks pikat dhe z, do t谷 shohim se pika do t谷 jet谷 e zhvendosur me n谷 lidhje me boshtin real pozitiv dhe largesa nga origjina do t谷 jet谷 r2 . sht谷 e r谷nd谷sishme q谷 faktori zmadhues ose zvog谷lues dhe k谷ndi rrotullues duke u bazuar n谷 = z2 varet nga pozicioni i pik谷s z n谷 planin kompleks. P谷r shembull, f(2) = 4 dhe f( ) = , pika z = 2 谷sht谷 zmadhuar
- 4. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 4 dyfish, por nuk 谷sht谷 rrotulluar, ndryshe nga pika z = , e cila 谷sht谷 zvog谷luar me 遜 dhe 谷sht谷 rrotulluar me . N谷 p谷rgjith谷si, funksioni kuadratik z2 nuk zmadhon modulet e pikave t谷 rrethit nj谷si |z| = 1 dhe nuk rrotullon pikat e boshtit real pozitiv. P谷rshkrimi i grafikut t谷 = z2 n谷 termat e zmadhimit dhe zvog谷limit mund t谷 p谷rdoret p谷r t谷 p谷rfytyruar imazhin e disa bashk谷sive speciale. P谷r shembull, konsiderojm谷 nj谷 rreze nga origjina q谷 formon nj谷 k谷nd me boshtin real pozitiv. T谷 gjitha pikat e k谷saj rrezeje kan谷 argumentin , dhe n谷 lidhje me funksionin = z2 k谷to pika t谷 gjitha kan谷 argumentin 2 . K谷shtu, imazhet e k谷tyre pikave kan谷 larges谷n r2 nga origjina dhe k谷ndin 2 n谷 lidhje me boshtin real pozitiv. Shembull 1: Imazhi i nj谷 harku rrethor n谷 lidhje m谷 funksionin = z2 . Gjeni imazhin e harkut rrethor t谷 p谷rcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2 n谷 lidhje me = z2 Zgjidhje: Le t谷 jet谷 C harku rrethor i p谷rcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2. Me C sh谷nojm谷 imazhin e k谷tij harku n谷 lidhje m谷 = z2 . P谷rderisa 巽do pik谷 e C ka modulin 2 dhe grafiku rrethor = z2 modulin e zmadhon me katrorin e modulit t谷 C, rrjedh q谷 moduli i 巽do pike t谷 C ka modulin 22 = 4. Rrjedh q谷 imazhi i C 谷sht谷 harku rrethor me modul | | = 4, me qend谷r n谷 origjin谷 dhe rreze 4. P谷rderisa argumentet e pikave t谷 C jan谷 n谷 intervalin [0 ; ] dhe p谷rderisa funksioni = z2 argumentin e dyfishon p谷r C, argumenti i C 谷sht谷 [0 2 ; 2 ] = [0 ; ]. Pra bashk谷sia C 谷sht谷 e p谷rcaktuar nga | | = 4 dhe 0 arg( ) . P谷r m谷 qart谷 shohim se si transformohet grafiku n谷 figurat e m谷poshtme: Grafiku i C Grafiku i C Shembull 2: Imazhi i nj谷 vije vertikale / horizontale n谷 lidhje me = z2 Gjeni imazhin e vij谷s vertikale x = k n谷 lidhje me = z2
- 5. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 5 Zgjidhje: N谷 k谷t谷 shembull 谷sht谷 e p谷rshtatshme t谷 punojm谷 me pjes谷t reale dhe imagjinare t谷 = z2 me trajt谷n u(x, y) = x2 y2 dhe v(x, y) = 2xy. P谷rderisa vija vertikale x = k konsiston n谷 pikat z = k + iy, , rrjedh q谷 imazhi i k谷saj vije shkon n谷 pikat = u + iv, ku u = k2 y2 , v = 2ky, , (2) N谷se k 0, at谷her谷 mund t谷 eleminojm谷 variablin y nga (2) duke zgjidhur ekuacionin e dyt谷 p谷r y = dhe zvend谷suese e k谷saj shprehje 谷sht谷 shprehja: u = k2 - , , (3) K谷shtu, imazhi i vij谷s x = k (k 0) n谷 lidhje me = z2 谷sht谷 bashk谷sia e pikave n谷 planin q谷 k谷naqin ekuacionin (3). Pra imazhi 谷sht谷 parabola q谷 krah谷t i ka t谷 hapura n谷 drejtimin negativ t谷 boshtit real ku pikat kan谷 koordinata (k2 , 0) dhe pa pik谷prerje n谷 pikat (0, 2k2 ). Vem谷 re nga (3) q谷 imazhi nuk ndryshon n谷se n谷 vend t谷 x = k t谷 kemi x = -k. N谷 grafik谷t e m谷posht谷m shohim se si transformohet grafiku i x = k n谷 lidhje me = z2 Vijat vertikale x = k n谷 planin z Transformimi n谷 lidhje me = z2 Tani shohim rastin e vijave horizontale y = k, k 0 duke arsyetuar si tek shembulli me vijat vertikale. u = - k2 (4)
- 6. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 6 P谷rs谷ri shohim q谷 imazhi n谷 (4) 谷sht谷 i pavarur n谷se n谷 vend t谷 k kemi k dhe se vijat horizontale y = k dhe y = -k, k 0, jan谷 t谷 nj谷jta n谷 lidhje me = z2 . N谷se k = 0, pra vija horizontale y = 0 pasqyrohet n谷 boshtin real pozitiv. Grafik谷t e m谷posht谷m na sjellin m谷 qart谷 k谷t谷 transformim Vijat horizontale n谷 planin z Imazhi i vijave horizontale n谷 lidhje me = z2 Shembull 3: Imazhi i trek谷nd谷shit n谷 lidhje me = z2 Gjeni imazhin e trek谷nd谷shit me kulme 0, 1 + i dhe 1 i n谷 lidhje me = z2 . Zgjidhje: Le t谷 jet谷 S trek谷nd谷shi me kulme 0, 1 + i dhe 1 i dhe le t谷 jet谷 S imazhi i k谷tij trek谷nd谷shi n谷 lidhje me = z2 . Secila nga tre brinj谷t e trek谷nd谷shit do t谷 trajtohet ve巽mas. Brinja e S q谷 p谷rmban kulmet 0 dhe 1 + i shtrihet n谷 nj谷 rreze q谷 del nga origjina dhe formon k谷ndin radian me boshtin pozitiv t谷 x-eve. Imazhi i k谷tij segmenti zhvendoset n谷 nj谷 brinj谷 me gjat谷si sa katrori i gjat谷sis谷 s谷 brinj谷s dhe me k谷nd sa 2 radian. Moduli i k谷saj brinje 谷sht谷 , kurse i brinj谷s s谷 S 谷sht谷 ( )2 = 2. I nj谷jti arsyetim edhe p谷r brinj谷n tjet谷r q谷 kalon nga piker 0 dhe 1 i, ku moduli p谷rs谷ri 谷sht谷 ( )2 = 2 kurse argumenti sa dyfishi p谷rs谷ri, pra 2 ( ) radian. Kurse brinja q谷 kalon nga pikat 1 + i dhe 1 i 谷sht谷 vij谷 vertikale me ekuacion x = 1, e cila me an谷 t谷 transformimit = z2 transformohet n谷 parabol me krah谷 t谷 drejtuar nga kahu negativ i boshtit real. Nga formula (2) dhe (3) kemi: u = 1 - , -2 K谷shtu, kemi treguar imazhin e trek谷nd谷shit S n谷 lidhje me transformimin = z2 .
- 7. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 7 M谷 posht谷 kemi grafik谷t e S dhe S. Trek谷nd谷shi n谷 planin z Transformimi n谷 planin Funksioni zn , n 2. Analiza e cila p谷rdor谷m p谷r rasin kur n = 2, do t谷 p谷rdoret edhe p谷r rastin kur n 2. Duke p谷rdorur formul谷n e Muavrit kemi: = zn = rn (5) N谷se z dhe = zn jan谷 n谷 t谷 nj谷jt谷n kopje t谷 planit kompleks, do t谷 vem谷 re se moduli i do t谷 jet谷 rn , kurse argunemti i do t谷 jet谷 n radian n谷 lidhje me boshtin real pozitiv. N谷 figur谷n m谷 posht谷 谷sht谷 ilustruar rasti i = z3 , ku disa rreze jan谷 transformuar me k谷t谷 transformim. Rrezet n谷 planin z Transformimi i rrezeve n谷 planin
- 8. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 8 Shembulli 4: Imazhi i nj谷 sektori qarkor n谷 lidhje me = z3 P谷rcaktoni imazhin e nj谷 巽erek disku t谷 p谷rcaktuar nga |z| 2, 0 arg(z) me an谷 t谷 transformimit = z3 . Zgjidhje: Le t谷 jet谷 S 巽erek disku i p谷rcaktuar si m谷 sip谷r dhe le t谷 jet谷 S imazhi i tij n谷 lidhje me = z3 . P谷rderisa modulet e pikave t谷 diskut variojn谷 nga 0 n谷 2 dhe p谷rderisa transformimi = z3 modulet i ngre n谷 fuqi t谷 tret谷, rrjedh q谷 modulet e pikave n谷 S t谷 variojn谷 nga 03 = 0 deri n谷 23 = 8. N谷 t谷 nj谷jt谷n logjik谷, p谷rderisa argumentet e 巽erek diskut S variojn谷 nga 0 n谷 dhe p谷rderisa transformimi = z3 na i trefishon modulet, rrjedh q谷 modulet e S t谷 variojn谷 nga 0 3 = 0 deri n谷 3 = . Pra S 谷sht谷 tre巽erek disku i p谷rcaktuar nga | | 8 dhe 0 arg( ) . Grafik谷t e m谷posht谷m tregojn谷 qart谷 k谷t谷 transformim Zona S n谷 planin z Zona S n谷 planin Funksioni fuqi z1/n Tani do t谷 shohim funksionet komplekse fuqi t谷 trajt谷s z1/n , ku n 谷sht谷 nj谷 num谷r i plot谷 dhe n 2. Fillojm谷 p谷rs谷ri m谷 rastin kur n = 2. Funksioni kryesor i rr谷nj谷s katrore z1/2 : Nga formula e m谷sip谷rme (4) pam谷 q谷 n rr谷nj谷t e n-ta t谷 nj谷 numri kompleks jozero z = r(cos + isin ) = r jan谷 shprehur nga: * ( ) ( )+ = , ku k = 0, 1, 2, , n 1. Ve巽an谷risht, p谷r n = 2, kemi q谷 dy rr谷nj谷t katrore t谷 z jan谷:
- 9. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 9 * ( ) ( )+ = p谷r k = 0, 1 (6) Formula (6) nuk p谷rcakton nj谷 funksion sepse ai cakton dy numra kompleks谷 (nj谷 p谷r k = 0 dhe nj谷 p谷r k = 1) tek numri kompleks z. Gjithsesi, nga = Arg(z) dhe k = 0 tek (6) mund t谷 p谷rcaktojm谷nj谷 funksion q谷 cakton tek z nj谷 rr谷nj谷 katrore kryesore t谷 vetme. Ky funksion 谷sht谷 quajtur funksioni i rr谷nj谷s katrore kryesore. P谷rkufizim: Funksioni kryesor i rr谷nj谷s katrore: Funksioni z1/2 i p谷rcaktuar nga z1/2 = (7) 谷sht谷 quajtur funksioni kryesor i rr谷nj谷s katrore. N谷se sh谷nojm谷 = Arg(z) dhe zvend谷sojm谷 z me r tek (7) ne marrim nj谷 formul谷 alternative p谷r funksionin kryesor t谷 rr谷nj谷s katrore p谷r |z| 0: z1/2 = , = Arg(z) (8) Shembull 5: Vlerat e z1/2 Gjeni vlerat e funksionit t谷 rr谷nj谷s katrore kryesore z1/2 p谷r pikat e m谷poshtme: a) z = 4 b) z = -2i c) z = -1 + i Zgjidhje: Tek secili rast p谷rdorim formul谷n (7) p谷r t谷 p谷rcaktuar vlerat e z1/2 . a) P谷r z = 4, kemi q谷 |z| = 4 dhe Arg(z) = Arg(4) = 0, dhe nga (7) p谷rftojm谷: 41/2 = = 2e0 = 2 b) P谷r z = -2i kemi q谷 |z| = |-2i| = 2 dhe Arg(z) = Arg(-2i) = , dhe kemi q谷: (-2i)1/2 = c) P谷r z = - 1 + i kemi |z| = | - 1 + i| = dhe Arg(z) = Arg(-1 + i) = , dhe p谷rs谷ri nga formula (7) kemi: (-1 + i)1/2 = ( ) Funksioni fuqi = z1/2 : Funksioni kuadratik z2 谷sht谷 funksioni invers i funksionit z1/2 , ku rrjedh q谷 moduli i 谷sht谷 sa rr谷nja katrore e modulit t谷 z dhe argumenti i 谷sht谷 sa gjysma e argumentit t谷 z p谷r 巽do pik谷. Pra n谷se z1/2 , kemi q谷 | | = dhe Arg( ) = Arg(z).
- 10. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 10 Shembull 6: Imazhi i nj谷 sektori qarkor n谷 lidhje me z1/2 Gjeni imazhin e bashk谷sis谷 S t谷 p谷rcaktuar nga |z| 3, , n谷 lidhje me funksionin e rr谷nj谷s katrore kryesore. Zgjidhje: Le t谷 jet谷 S imazhi i zon谷s S n谷 lidhje me z1/2 . P谷rderisa |z| 3 p谷r pikat e S dhe p谷rderisa z1/2 modulit i merr rr谷nj谷n katrore, rrjedh q谷 | | p谷r pikat e S. N谷 t谷 nj谷jt谷n m谷nyr谷 arsyetojm谷 edhe p谷r argumentin: P谷rderisa p谷r pikat e S dhe p谷rderisa z1/2 argumentin e p谷rgjysmon, rrjedh q谷 arg( ) . Pra bashk谷sia S 谷sht谷 bashk谷sia e p谷rcaktuar nga: | | dhe arg( ) . Shohim n谷 grafik谷t e m谷posht谷m k谷t谷 transformim: Bashk谷sia S Bashk谷sia S n谷 lidhje me z1/2 Funksioni kryesor i rr谷njs s谷 n-t谷 P谷rkufizim: Funksioni kryesor i rr谷njs s谷 n-t谷: P谷r n 2, funksioni z1/n i p谷rcaktuar nga z1/n = 谷sht谷 quajtur funksioni kryesor i rr谷nj谷s s谷 n-t谷. (9) Kujtojm谷 q谷 z1/2 , pra p谷r n = 2 谷sht谷 nj谷ri nga rastet e funksionit z1/n . Nga fakti q谷 z = me = Arg(z), ne gjithashtu mund t谷 shprehim funksionin kryesor t谷 rr谷nj谷s s谷 n-t谷 si: z1/n = , = Arg(z)
- 11. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI H. DOKO 11 Shembull 7: Vlerat e z1/n Gjeni vler谷n kryesore t谷 n-t谷 p谷r pikat z t谷 m谷poshtme: a) z1/3 , z = 1 b) z1/5 , z = 1 - Zgjidhje: N谷 巽do rast p谷rdorim formul谷n (9). a. P谷r z = i, kemi |z| = 1 dhe Arg(z) = . Zvend谷sojm谷 k谷to vlerat tek formula (9) me n = 3 dhe kemi: i1/3 = ( ) b. P谷r z = 1 - , kemi q谷 |z| = dhe Arg(z) = . Duke zvend谷suar k谷to vlera tek (9) p谷r n = 5 p谷rftojm谷: (1 - )1/5 = ( ) ( ) Funksionet shum谷vler谷sh: M谷 lart pam谷 q谷 nj谷 num谷r kompleks jozero z ka n rr谷nj谷 t谷 n-ta t谷 dallueshme n谷 planin kompleks. Kjo do t谷 thot谷 q谷 procesi i marrjes s谷 rr谷nj谷s s谷 n-t谷 i nj谷 numri kompleks z nuk p谷rcakton nj谷 funksion kompleks sepse ai cakton nj谷 bashk谷si n element谷she t谷 numrit kompleks z. Nj谷 m谷nyr谷 e ngjashme 谷sht谷 gjetja e argumentit t谷 numrit kompleks z. Sepse simboli arg(z) tregon nj谷 bashk谷si t谷 pafundme vlerash, e cila nuk p谷rfaq谷son nj谷 funksion kompleks. K谷to lloj veprimesh me numrat kompleks谷 jan谷 shembuj t谷 funksioneve shum谷vler谷sh. Ky term shpesh 巽on n谷 konfuzion sepse nj谷 funksion shum谷vler谷sh nuk 谷sht谷 nj谷 funksion; nj谷 funksion, nga p谷rkufizimi, duhet t谷 jet谷 nj谷vler谷sh. Termi funksion shum谷vler谷sh 谷sht谷 nj谷 term standard n谷 analiz谷n komplekse dhe gjithashtu ne do t谷 p谷rdorim at谷 n谷 raste t谷 tilla. Referenca: Teksti: A first course in Complex Analysis, with applications. Dennis G. Zill, Patrick