4. Trang 4
b)
papa
e
dtedteee
tpa
tpaatptat
緒緒
ワ
駕
1
)( 00
)(
)(
0
c) 2
0
2
000
1
pp
e
dt
p
e
p
te
tdtet
ptptpt
pt
緒緒緒
ワ ワ
駕
D. PHP BI畉N 畛I Laplace NG働畛C:
畛nh ngh挑a:
Cho 畉nh )(pF t狸m g畛c )(tf
)()(1
tfpFL 緒
B畉NG 畛I CHI畉U CC BI畉N 畛I Laplace THNG D畛NG
)(tf )( pF
1
0,
1
p
p
t
0,
1
2
p
p
n
t
np
p
n
n
,0,
!
1
常
l s畛t畛nhi棚n
2
1
t
p
, p>0
2
1
t 2/3
2 p
)
2
1
(n
t
pp
n
nn
2
)12...(5.3.1
,p>0, n l s畛t畛nhi棚n
at
e
ap
ap
,
1
at
e
ap
ap
,
1
at
te
ap
ap
,
)(
1
2
5. Trang 5
at
te
ap
ap
,
)(
1
2
atn
et
nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
l s畛t畛nhi棚n
atn
et
nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
l s畛t畛nhi棚n
atcos
0,22
p
ap
p
atsin
0,22
p
ap
a
attcos
0,
)( 222
22
p
ap
ap
attsin
0,
)(
2
222
p
ap
ap
bte
at
sin
ap
bap
b
,
)( 22
bte
at
cos
ap
bap
ap
,
)( 22
atcosh
ap
ap
p
,22
atsinh
ap
ap
a
,22
II. 畛NG D畛NG Laplace GI畉I PH働NG TRNH VI PHN TH働畛NG:
A. PH働NG PHP CHUNG:
Cho Ph動董ng tr狸nh vi ph但n tuy畉n t鱈nh h畛s畛h畉ng c坦 d畉ng:
)()()('...)()( 01
)(
1
)(
tftyatyatyatya n
n
n
n 緒
Trong 坦 Raaa n ...,,, 10
1
)1(
10 ,...,)0(',)0(
緒緒 n
n
bybyby l nh畛ng i畛u ki畛n 畉u
Ph辿p bi畉n 畛i tr畛c ti畉p Laplace kh担ng cho nghi畛m t畛ng qu叩t. C叩c b動畛c gi畉i l:
6. Trang 6
1) 叩nh gi叩 Laplace d畛a vo 2 m畉t c畛a ph動董ng tr狸nh.
2) S畛d畛ng b畉ng bi畉n 畛i Laplace c董b畉n.
)0(...)0(.)(.))((
)1(1)(
nnnn
ffppFptfL
3) Sau qu叩 tr狸nh bi畉n 畛i 畉i s畛ta 動畛c:
Y(p) = L(y(t))
4) Lm ph辿p bi畉n 畛i ng動畛c Laplace L
-1
, t狸m y(t).
B. CC V D畛:
V鱈 d畛1:
T狸m nghi畛m ph動董ng tr狸nh vi ph但n
1)0(',1)0(
2'3'' 3
緒
緒
yy
eyyy t
Gi畉i
S畛d畛ng t鱈nh ch畉t 畉o hm g畛c v bi畉n 畛i Laplace:
)3)(2)(1(
1
1
1
)(
3
1
2)()2)(1(
3
1
2)()23(
3
1
)(23)(31)(
3
1
)(2)0()(3)0(')0()(
2
2
2
緒
緒
緒
緒
緒
pppp
pY
p
ppYpp
p
ppYpp
p
pYppYppYp
p
pYyppYypypYp
D湛ng ph動董ng ph叩p 畉i s畛ph但n t鱈ch:
)3)(2)(1(
)236()345()(
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(
)3()2()1()3)(2)(1(
1
2
ppp
CBApCBApCBA
ppp
ppCppBppA
p
C
p
B
p
A
ppp
C但n b畉ng h畛s畛2 v畉: cho
2
1
,1,
2
1
緒緒 CBA
8. Trang 8
S畛d畛ng bi畉n 畛i ng動畛c Laplace
V畉y nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh l: ttety
t
sin
2
1
cos
2
1
2
1
1)(
V鱈 d畛3:
T狸m nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh vi ph但n:
0)0(''',0)0('',1)0(',0)0(
0)4(
緒緒緒
緒
yyyy
yy
Gi畉i
D湛ng bi畉n 畛i Laplace c畉2 v畉, ta 動畛c:
1
)(
)()1(
0)()(.
0)()0(''')0(''.)0('.)0(.)(.
4
2
24
24
234
緒
緒
緒
緒
p
p
pY
ppYp
pYppYp
pYyypypyppYp
D湛ng ph動董ng ph叩p 畉i s畛ph但n t鱈ch v畉ph畉i.
)1)(1)(1(
)()()()(
)1)(1)(1(
)1)(()1)(1()1)(1(
111)1)(1)(1(1
2
23
2
222
22
2
4
2
ppp
DBApCBApDBApCBA
ppp
pDCpppBppA
p
DCp
p
B
p
A
ppp
p
p
p
C但n b畉ng t畛2 v畉ta 動畛c:
2
1
,0,
4
1
,
4
1
緒緒緒 DCBA
1
2/1
1
4/1
1
4/1
)( 2
緒
ppp
pY
S畛d畛ng bi畉n 畛i ng動畛c Laplace:
V畉y nghi畛m ph動董ng tr狸nh l: teety tt
sin
2
1
4
1
4
1
)(
9. Trang 9
III. 畛NG D畛NG Laplace GI畉I PH働NG TRNH VI PHN C V畉PH畉I L
HM B畉C THANG:
Hm b畉c thang Heaviside:
1) 畛nh ngh挑a:
a)
01
00
)(
t
t
tH
Hm b畉c thang Heaviside, c滴ng 動畛c g畛i l hm b畉c thang 董n v畛, hm kh担ng li棚n t畛c
ny nh畉n gi叩 tr畛0 khi 畛i s畛(t) 但m v nh畉n gi叩 tr畛1 khi 畛i s畛(t) d動董ng. Hm ny 動畛c
s畛d畛ng trong l箪 thuy畉t to叩n h畛c i畛u khi畛n hay trong x畛l箪 t鱈n hi畛u.
b) V ta c坦 hm t畛nh ti畉n b畉c thang Heaviside
, cho s畛th畛c c. Ta c坦:
緒
ct
ct
ctHtHc
1
0
)()(
N畉u c>0 (c<0) th狸 畛th畛c畛a Hc s畉縦動畛c t畛nh ti畉n qua ph畉i (qua tr叩i) 1 董n v畛c, so v畛i 畛
th畛c畛a H.
c) Hm kho畉ng Hab v畛i a<b 動畛c 畛nh ngh挑a b畉ng hm t畛nh ti畉n b畉c thang Heaviside
)()()()()( btHatHtHtHtH baab 緒
Th畉t v畉y:
1) t<a th狸 Ha(t) v Hb(t) b畉ng 0 0)( 緒 tHab
2) bta 種 th狸 Ha(t) =1 v Hb(t) = 0 1)( 緒 tH ab
3) tb th狸 Ha(t) =1 v Hb(t) = 1 0)( 緒 tH ab
Hm Heaviside H, hm t畛nh ti畉n Ha, v hm kho畉ng Hab th動畛ng 動畛c d湛ng 畛m担 t畉hm
li棚n t畛c t畛ng kh炭c.
V畉y:
種
緒緒
tb
bta
at
btHatHtHtHtH baab
0
1
0
)()()()()(
10. Trang 10
V鱈 d畛: M担 t畉hm:
ワ種
種
t
tt
tf
12
102
)(
s畛d畛ng hm b畉c thang Heaviside.
Gi畉i
T畛 )(tf l hm kh畉vi t畛ng kh炭c tr棚n kho畉ng 10 種t v 1t , ch炭ng ta s畛d畛ng hm
kho畉ng H01(t) tr棚n kho畉ng 10 種t , v d湛ng hm t畛nh ti畉n H1(t) tr棚n 1t .
V畉y:
)1()1(2)(.2
)1(2)1()(2)(2)(.2)( 101
緒
tHttHt
tHtHtHttHtHttf
2) Bi畉n 畛i Laplace:
駕
緒緒緒
c
cp
ptpt
cc
p
e
dtedtetHpHL
0
)()(
Ch畛ng minh:
p
e
ee
pp
e
dtedtetHpHL
cp
pcpb
b
b
c
pt
b
c
ptpt
cc
ワ
ワ
緒緒
緒緒緒
1
limlim)()(
0
( 1)( 緒ctH khi ct v 0)( 緒ctH khi t<c).
Ta 達 c坦: Hab=Ha-Hb. N棚n:
p
ee
pHLpHLpHL
bpap
baab
緒緒 )()()(
Bi畉n 畛i Laplace cho hm t畛nh ti畉n:
)()()()( pFepctfctHL cp
緒
Ch畛ng minh:
緒
c
pt
pt
dtectf
dtectfctHpctfctHL
).(
).()()()()(
0
V狸 1)( 緒ctH khi ct v 0)( 緒ctH khi t<c.
畛i bi畉n ct 緒 th狸 ct 緒 v ddt . Ta 動畛c:
11. Trang 11
駕
緒
0
)(
)()( 器
defdtectf cp
c
pt
)(
)(
)()()()(
0
0
)(
pFe
defe
defpctfctHL
cp
pcp
cp
緒
器
器
V鱈 d畛:
Bi畉n 畛i Laplace c叩c hm sau:
a)
ワ種
種ｏ
種
te
t
t
tf
t
6
645
403
)(
7
Gi畉i
Ta c坦:
)6(.)6(5)4(8)(3
)6()6(5)4(8)(3
)6()6()4(5)4()(3
)()(5)(3)(
)6(
7
7
6
7
4604
tHeetHtHtH
tHetHtHtH
tHetHtHtHtH
tHetHtHtf
t
t
t
t
D畛a vo c担ng th畛c bi畉n 畛i Laplace c畛a hm b畉c thang Heaviside v b畉ng bi畉n 畛i
Laplace ta 動畛c:
1
5.83
)(
664
p
e
e
p
e
p
e
p
pfL
ppp
b)
種ｏ
20
21sin
10
)(
t
tt
t
tf
12. Trang 12
Gi畉i
Ta c坦:
)2()2(sin)1()1(sin
)2(sin)1(sin
)2()1(sin
)(.0)(sin)(.0)( 2121
tHttHt
ttHttH
tHtHt
tHttHtHtf
逸
逸
D畛a vo c担ng th畛c bi畉n 畛i Laplace c畛a hm b畉c thang Heaviside v b畉ng bi畉n 畛i
Laplace ta 動畛c:
)()( 22
2
22
2
22
p
ee
p
e
p
e
pfL
pppp
3) Bi畉n 畛i Laplace ng動畛c:
Cho hm )(tf l hm li棚n t畛c t畛ng o畉n v )()( pfLpF th狸:
)()()()(1
ctfctHtpFeL cp
緒
C叩c v鱈 d畛: 畛NG D畛NG Laplace GI畉I PH働NG TRNH VI PHN C V畉PH畉I
L HM B畉C THANG
V鱈 d畛1:
T狸m nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh vi ph但n:
5)0(
)('
緒
y
tfyy
Khi 坦:
種
tt
t
tf
cos3
00
)(
Gi畉i
Ta c坦:
1
3)(
)()cos(3)(cos3cos3)(.0)(
2
0
緒
緒緒
p
pe
pfL
tHtttHtHtHtf
p
逸 逸逸
13. Trang 13
S畛d畛ng t鱈nh ch畉t 畉o hm g畛c v bi畉n 畛i Laplace ta 動畛c:
)1)(1(
3
)1(
5
)(
1
35)()1(
1
3)()0()(
2
2
2
緒
緒
緒
pp
pe
p
pY
p
pe
pYp
p
pe
pYyppY
p
p
p
M
p
ppp
p
e
pp
CApCBpBA
e
pp
pCBppA
e
p
CBp
e
p
A
pp
pe
逸逸
)1)(1(
)()(
)1)(1(
)1)(()1(
11)1)(1(
2
2
2
2
22
C但n b畉ng 2 v畉: Cho
2
1
,
2
1
2
1
緒緒 CBA
緒
ppp
ppp
ppp
p
e
p
e
p
p
e
pp
e
p
e
p
p
e
pp
pY
e
p
e
p
p
e
ppp
pe
逸逸
逸逸
逸逸
1
1
11
1
2
3
)1(
5
1
)2/3(
1
)2/3(
1
2/3
)1(
5
)(
1
)2/1(
1
)2/1(
1
2/1
)1)(1(
22
22
222
D湛ng bi畉n 畛i Laplace ng動畛c ta 動畛c:
)(cossin
2
3
5
)()cos()()sin()(
2
3
5)(
)(
)(
逸逸逸逸
tHttee
tHttHttHeety
tt
tt
V畉y nghi畛m ph動董ng tr狸nh l:
鰹
種
tttee
te
ty tt
t
cossin
2
3
5
05
)( )(
14. Trang 14
V鱈 d畛2:
T狸m nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh vi ph但n:
1)0(',0)0(
)(''
緒
緒
yy
tfyy
khi 坦
ワ種
種
t
tt
tf
12
102
)(
Gi畉i
22
1
11101
2
1
2)(
)1()1(2)(2
)(2)()(2)(2)(2)(
p
e
p
pfL
tHtttH
tHtHtHttHttHtf
p
緒
緒
S畛d畛ng t鱈nh ch畉t 畉o hm g畛c v i畛u ki畛n 畉u, bi畉n 畛i Laplace b棚n v畉tr叩i l:
2
22 22
1)()1()())0(')0(.)(.(''
p
e
pYppYyyppYpyyL
p
緒緒緒
1
1
)1(
22
)(
.22
1)()1(
222
2
2
緒
緒
ppp
e
pY
p
e
pYp
p
p
M )
1
2222
(
)1(
22
2222
p
e
p
e
pp
e ppp
1
1
1
222
1
1
)
1
2222
(
)1(
22
)(
2222
22222
pp
e
p
e
p
pp
e
p
e
pp
e
pY
pp
ppp
D湛ng bi畉n 畛i Laplace ng動畛c ta 動畛c:
)1()1sin()1(2sin2
sin)1sin()1(2)1()1(22)(
tHtttt
tttHtHttty
V畉y nghi畛m ph動董ng tr狸nh l:
ワ種ｏ
種ｏ
ttt
ttt
ty
1sin)1sin(22
10sin2
)(
15. Trang 15
IV. 畛NG D畛NG Laplace GI畉I H畛PH働NG TRNH VI PHN H畛S畛H畉NG
A. PH働NG PHP CHUNG:
C滴ng nh動ph動董ng tr狸nh vi ph但n tuy畉n t鱈nh h畛s畛h畉ng, 畛gi畉i h畛ph動董ng tr狸nh vi ph但n
tuy畉n t鱈nh h畛s畛h畉ng ta thay c叩c hm ph畉i t狸m, c叩c 畉o hm c畛a ch炭ng v c叩c hm 畛v畉
ph畉i (n畉u l h畛kh担ng thu畉n nh畉t) b畉ng 畉nh c畛a ch炭ng (b畉ng c叩ch 叩p d畛ng 畉o hm g畛c).
Khi 坦 ta s畉thu 動畛c m畛t h畛ph動董ng tr狸nh 畉i s畛tuy畉n t鱈nh 畛i v畛i 畉nh c畛a c叩c hm ph畉i
t狸m. Gi畉i h畛坦 v d湛ng ph辿p bi畉n 畛i ng動畛c 畛t狸m g畛c, ta 動畛c nghi畛m ri棚ng c畛a h畛
tho畉m達n i畛u ki畛n 達 cho.
B. CC V D畛:
V鱈 d畛1:
T狸m nghi畛m h畛ph動董ng tr狸nh vi ph但n:
1)0(,1)0(
0'
03'
緒
緒
緒
yx
yxy
yxx
Gi畉i
S畛d畛ng t鱈nh ch畉t 畉o hm g畛c bi畉n 畛i ta 動畛c:
緒
緒
緒
緒
緒
緒
1)()1()(
1)()()3(
0)()(1)(
0)()(31)(
0)()()0()(
0)()(3)0()(
pYppX
pYpXp
pYpXppY
pYpXppX
pYpXyppY
pYpXxppX
Gi畉i h畛ph動董ng tr狸nh 畉i s畛, t狸m nghi畛m )(),( pYpX
2
2
)2(
4
)(
)2(
)(
p
p
pY
p
p
pX
Ph但n t鱈ch: 2,1
)2(
)2(
)2()2()2(
222
緒緒
BA
p
BpA
p
B
p
A
p
p
2D,1
)2(
D)2(
)2()2()2(
4
222
緒緒
C
p
pC
p
D
p
C
p
p
![Trang 2
DNG BI畉N 畛I LAPLACE GI畉I PH働NG TRNH-
H畛PH働NG TRNH VI PHN H畛S畛H畉NG
Trong ph畉n ti畛u lu畉n ny ch炭ng ta d湛ng ph辿p bi畉n 畛i Laplace lm m畛t k畛thu畉t
kh叩c 畛gi畉i ph動董ng tr狸nh-h畛ph動董ng tr狸nh vi ph但n tuy畉n t鱈nh h畛s畛h畉ng. N坦 c滴ng l m畛t
k畛thu畉t 畉c bi畛t 畛gi畉i phh動董ng tr狸nh vi ph但n c坦 v畉ph畉i l hm b畉c thang Heaviside1
.
Nh畛ng hm ny th動畛ng xu畉t hi畛n trong c董h畛c v trong m畉ch i畛n t畛.
t動畛ng c畛a ph動董ng ph叩p ny l: Bi畉n 畛i ph動董ng tr狸nh vi ph但n thnh ph動董ng tr狸nh
畉i s畛, gi畉i ph動董ng tr狸nh 畉i s畛v畛a bi畉n 畛i 坦, t畛nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh 畉i s畛v畛a
t狸m 動畛c ta d湛ng bi畉n 畛i ng動畛c Laplace 畛cho ra nghi畛m ph動董ng tr狸nh vi ph但n c畉n t狸m.
I. 畛NH NGH懲A PHP BI畉N 畛I Laplace:
A. HM G畛C:
Ta g畛i hm ph畛c t湛y 箪 )(tf l hm g畛c tho畉m達n 3 i畛u ki畛n sau:
1) H畛u h畉n i畛m ワ ,0,ba
2) Tng kh担ng qu叩 nhanh 0
S
0 ,.)(0,0 0
tteMtfSM t
鰹ｏ鰹常 , S0 動畛c g畛i l m滴
tng c畛a hm )(tf
3) )(tf =0 khi t<0
B. PHP BI畉N 畛I Laplace
CpdttfepF pt
緒
;)()(
0
F(p) l 畉nh Laplace c畛a bi畉n )(tf
K鱈 hi畛u: L[ )(tf ] = F(p)
)(tf = F(p); F(p) = )(tf
1
http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function](https://image.slidesharecdn.com/giaiphuongtrinhviphanbangbiendoilaplace-150528125855-lva1-app6891/85/Giai-phuong-trinh-vi-phan-bang-bien-doi-laplace-2-320.jpg)
