![Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 3
i) ( ) ( )( )0x x
lim f x g x
®
+ ii) ( ) ( )( )0x x
lim f x g x
®
-
iii) ( )( )0x x
lim κ f x , κ
®
× Î ¡ iv) ( ) ( )( )0x x
lim f x g x
®
×
v)
( )
( )0
2
x x
f x
lim , 0
g x®
¹l vi) ( )( )0
ν
x x
lim f x
®
vii) ( )
0
κ
x x
lim f x , f(x) 0
®
³ σε μία περιοχή του 0x
i)
0
1 2
x x
lim(f( x ) g( x ))
®
+ = +l l ii)
0
1 2
x x
lim(f( x ) g( x ))
®
- = -l l
iii)
0
1
x x
lim(k f( x )) k
®
× = ×l iv)
0
1 2
x x
lim(f( x ) g( x ))
®
× = ×l l
v)
0
1
x x
2
f( x )
lim
g( x )®
æ ö
=ç ÷
è ø
l
l
, 2 0¹l vi)
0
ν ν
1
x x
lim [ f( x )]
®
= l
vii)
0
ν ν
1
x x
lim f( x )
®
= l , ( )f x 0³ σε μία περιοχή του 0x
13) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής;
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0x AÎ ισχύει
0
0
x x
lim f( x ) f( x )
®
= .
14) Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό
διάστημα;
Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η
γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται
να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.
15) Ποια είναι τα όρια των παρακάτω συνεχών συναρτήσεων;
i) ( )0
ν ν 1
ν ν 1 0
x x
lim α x α x ...α-
-
®
+ +
ii)
0x x
lim ημx
®
iii)
0x x
lim συνx
®
iv)
0
0
x x
lim εφx, (συνx 0)
®
¹ v)
0
0
x x
lim σφx, (ημx 0)
®
¹
vi)
0
x
x x
lim e
®
vii)
0
0
x x
lim lnx, (x 0)
®
>
i) ( )0
ν ν 1 ν ν 1
ν ν 1 0 ν 0 ν 1 0 0
x x
lim α x α x ...α α x α x ...α- -
- -
®
+ + = + +](https://image.slidesharecdn.com/giannakiszmathcgen-180117154932/85/Giannakis-Z-Math-C-Gen-Differential-Calculus-4-320.jpg)
Giannakis, Z. │ Math C Gen. Differential Calculus
- 2. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 1 Κεφάλαιο | 1 1) Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. 2) Έστω μία συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β. i) Tι λέγεται τιμή της f στο x; ii) Τι λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή της f; iii) Τι λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή της f; i) Αν με τη συνάρτηση f το x AÎ αντιστοιχίζεται στο y BÎ , τότε γράφουμε y f( x )= και το f( x ) λέγεται τιμή της f στο x. ii) Το γράμμα x, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή. iii) Το γράμμα y που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x και εξαρτάται από την τιμή του x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. 3) Έστω οι συναρτήσεις f, g που ορίζονται σε ένα σύνολο A. Πώς ορίζονται οι συναρτήσεις; i) S f g= + (άθροισμα) ii) D f – g= (διαφορά) iii) P f g= × (γινόμενο) iv) f R g = (πηλίκο) Για τις πράξεις των συναρτήσεων f, g με πεδίο ορισμού το Α, έχουμε: Συνάρτηση Πεδίο ορισμού Τύπος i) S f g Α S(x) f(x) g(x)= + ii) D f – g Α D(x) f(x) – g(x) iii) P f g= × Α P(x) f(x) g(x) iv) f R g Α x A / g( x ) 0 f(x) R(x) g(x) 4) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. i) Τι λέγεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy; ii) Πότε ένα σημείο M(x, y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της συνάρτησης f; iii) Tι λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f;
- 3. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 2 i) Γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy λέγεται το σύνολο των σημείων M( x,(f( x )) για όλα τα x A . ii) Ένα σημείο M( x,y ) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της f, μόνο όταν y f( x ) . iii) Η εξίσωση y f( x ) επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη ( x,y ) που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφικής παράστασης της f και λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f. 5) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2x ,x ΔÎ με 1 2x x< ισχύει 1 2f( x ) f( x )< . 6) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2x ,x ΔÎ με 1 2x x< ισχύει 1 2f( x ) f( x )> . 7) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη. 8) Τι λέγεται περιοχή του 1x ; Περιοχή του 1x λέγεται ένα ανοιχτό διάστημα που περιέχει το 1x . 9) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x AÎ ; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x AÎ , όταν 1f( x ) f( x )£ για κάθε x σε μια περιοχή του 1x . 10) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 2x AÎ ; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 2x AÎ , όταν 2f( x ) f( x )³ για κάθε x σε μια περιοχή του 2x . 11) Τι λέγονται ακρότατα μίας συνάρτησης; Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης. 12) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο 0x όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 x x x x lim f x και lim g x με , ® ® = = Îl l l l ¡ , ποια είναι τα παρακάτω όρια;
- 4. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 3 i) ( ) ( )( )0x x lim f x g x ® + ii) ( ) ( )( )0x x lim f x g x ® - iii) ( )( )0x x lim κ f x , κ ® × Î ¡ iv) ( ) ( )( )0x x lim f x g x ® × v) ( ) ( )0 2 x x f x lim , 0 g x® ¹l vi) ( )( )0 ν x x lim f x ® vii) ( ) 0 κ x x lim f x , f(x) 0 ® ³ σε μία περιοχή του 0x i) 0 1 2 x x lim(f( x ) g( x )) ® + = +l l ii) 0 1 2 x x lim(f( x ) g( x )) ® - = -l l iii) 0 1 x x lim(k f( x )) k ® × = ×l iv) 0 1 2 x x lim(f( x ) g( x )) ® × = ×l l v) 0 1 x x 2 f( x ) lim g( x )® æ ö =ç ÷ è ø l l , 2 0¹l vi) 0 ν ν 1 x x lim [ f( x )] ® = l vii) 0 ν ν 1 x x lim f( x ) ® = l , ( )f x 0³ σε μία περιοχή του 0x 13) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0x AÎ ισχύει 0 0 x x lim f( x ) f( x ) ® = . 14) Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα; Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. 15) Ποια είναι τα όρια των παρακάτω συνεχών συναρτήσεων; i) ( )0 ν ν 1 ν ν 1 0 x x lim α x α x ...α- - ® + + ii) 0x x lim ημx ® iii) 0x x lim συνx ® iv) 0 0 x x lim εφx, (συνx 0) ® ¹ v) 0 0 x x lim σφx, (ημx 0) ® ¹ vi) 0 x x x lim e ® vii) 0 0 x x lim lnx, (x 0) ® > i) ( )0 ν ν 1 ν ν 1 ν ν 1 0 ν 0 ν 1 0 0 x x lim α x α x ...α α x α x ...α- - - - ® + + = + +
- 5. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 4 ii) 0 0 x x lim ημx ημx ® = iii) 0 0 x x lim συνx συνx ® = iv) 0 0 0 x x lim εφx εφx , (συνx 0) ® = ¹ v) 0 0 0 x x lim σφx σφx , (ημx 0) ® = ¹ vi) 0 0 xx x x lim e e ® = vii) 0 0 0 x x lim ln x ln x , ( x 0) ® = > 16) Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της και τι ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x ; Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, αν το όριο 0 0 h 0 f( x h) f( x ) lim h® + - υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x . 17) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Τι ονομάζεται (πρώτη) παράγωγος της f; Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο των x AÎ στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Παράγωγος της f λέγεται η συνάρτηση με την οποία κάθε x BÎ αντιστοιχίζεται στο h 0 f( x h) f( x ) f΄( x ) lim h® + - = . 18) Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συνάρτησης f; Η παράγωγος της συνάρτησης f΄ λέγεται δεύτερη παράγωγος της f. 19) Ποιες είναι οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων; i) f(x) c= ii) f(x) x= iii) ν f(x) x , ν *, x= ΠΥ ¡ iv) ρ f(x) x , ρ ρητός, x 0= > v) f(x) x, (x 0)= > vi) f(x) ημx= vii) f(x) συνx= viii) f(x) εφx= ix) x f(x) e= x) f(x) lnx, (x 0)= > i) (c )΄ 0= ii) ( x )΄ 1= iii) ν ν 1 ( x )΄ νx , ν Ν*, x- = ΠΡ iv) ρ ρ 1 ( x )΄ ρx , ρ ρητός, x 0- = > v) 1 ( x )΄ , ( x 0) 2 x = > vi) (ημx)΄ συνx=
- 6. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 5 vii) (συνx)΄ ημx= - viii) 2 1 (εφx )΄ συν x = ix) x x (e )΄ e= x) 1 (ln x )΄ , ( x 0) x = > 20) Ποιες είναι οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων; i) F(x) c f(x)= × ii) F(x) f(x) g(x)= + iii) F(x) f(x) g(x)= - iv) F(x) f(x) g(x)= × v) f(x) F(x) g(x) = vi) F(x) f(g(x))= i) ( )c f( x) ΄ c f΄( x)× = × ii) ( )f( x) g( x) ΄ f΄( x) g΄( x)+ = + iii) ( )f( x ) g( x ) ΄ f΄( x ) g΄( x )- = - iv) ( )f( x ) g( x ) ΄ f΄( x ) g( x ) f( x ) g΄( x )× = × + × v) 2 ΄ f( x ) f΄( x ) g( x ) f( x ) g΄( x ) g( x ) g ( x ) æ ö × - × =ç ÷ è ø vi) ( )f(g( x )) ΄ f΄(g( x )) g΄( x )= × 21) Ποιες είναι οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων; i) ( ) ρ g(x) f(x)= ii) g(x) f(x)= iii) g(x) ημf(x)= iv) g(x) συνf(x)= v) g(x) εφf(x)= vi) f(x) g(x) e= vii) g(x) lnf(x)= i) ( )( ) ( ) ρ ρ 1΄ f( x ) ρ f( x ) f΄( x ) - = × × ii) ( ) ΄ 1 f( x ) f΄( x ) 2 f( x ) = × iii) ( )ημf( x) ΄ συνf( x) f΄( x)= × iv) ( )συνf( x )΄ ημf( x ) f΄( x )= - × v) ( ) 2 1 εφf( x ) ΄ f΄( x ) συν f( x ) = × vi) ( )f ( x ) f ( x ) e ΄ e f΄( x )= × vii) ( ) 1 lnf( x ) ΄ f΄( x ) f( x ) = ×
- 7. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 6 22) Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο 0 0A(x , f(x )) της γραφικής της παράστασης fC . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο Α; Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο σημείο 0 0Α( x , f( x )) είναι ο αριθμός 0f΄( x ), δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f( x ) ως προς x όταν 0x x= . 23) Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0x , (ε) : y αx β= + η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο 0x και ω η γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x . Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: • (ε) // x΄x α ... 0Û • (ε) // (ζ) : y γx δ α ... γ= + Û • 0f΄(x ) ...= • εφω ...= • ... ω ...£ < • ο 0ω 0 f΄(x ) ... 0= Û • 0ω οξεία f΄(x ) ... 0Û • 0ω αμβλεία f΄(x ) ... 0Û • ο 0ω 30 f΄(x ) ...= Û = • ο 0ω 150 f΄(x ) ...= Û = • ο 0ω 45 f΄(x ) ...= Û = • ο 0ω 135 f΄(x ) ...= Û = • ο 0ω 60 f΄(x ) ...= Û = • ο 0ω 120 f΄(x ) ...= Û = • (ε ) // x΄x α 0Û = • (ε ) // (ζ ) : y γx δ α γ= + Û = • 0f΄( x ) α= • εφω α= • o o 0 ω 180£ < • ο 0ω 0 f΄( x ) 0= Û = • 0ω οξεία f΄( x ) 0Û > • 0ω αμβλεία f΄( x ) 0Û < • ο 0 3 ω 30 f΄( x ) 3 = Û = • ο 0 3 ω 150 f΄( x ) 3 = Û = - • ο 0ω 45 f΄( x ) 1= Û = • ο 0ω 135 f΄( x ) 1= Û = - • ο 0ω 60 f΄( x ) 3= Û = • ο 0ω 120 f΄( x ) 3= Û = - 24) Τι εκφράζει η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της; Η παράγωγος της f στο 0x εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y f( x )= ως προς το x, όταν 0x x= .
- 8. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 7 25) Αν ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x f(t)= , τότε ποια είναι η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή 0t ; Η ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή 0t θα είναι 0 0υ(t ) f (t )¢= , δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f(t ) ως προς t όταν 0t t= . 26) Έστω ότι η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα είναι x(t). Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: i) Η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι: υ(t) ...= . ii) Η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι: α(t) ...= . iii) Αν το κινητό είναι ακίνητο είναι: υ(t) ... 0 iv) Αν το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση είναι: υ(t) ... 0 v) Αν το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση είναι: υ(t) ... 0 vi) Αν το κινητό έχει σταθερή κατεύθυνση, τότε η απόσταση S που διανύει από τη χρονική στιγμή 1t , έως τη χρονική στιγμή 2t , είναι: S ...= i) Η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι: υ(t ) x΄(t )= . ii) Η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι: α(t ) υ΄(t ) x΄΄(t )= = . iii) Αν το κινητό είναι ακίνητο είναι: υ(t ) 0= . iv) Αν το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση είναι: υ(t ) 0> . v) Αν το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση είναι: υ(t ) 0< . vi) Αν το κινητό έχει σταθερή κατεύθυνση, τότε η απόσταση S που διανύει από τη χρονική στιγμή 1t , έως τη χρονική στιγμή 2t , είναι: 2 1S x(t ) x(t )= - . 27) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f΄(x) 0> για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ποιο είναι το είδος της μονοτονίας της f; Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 28) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f΄(x) 0< για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ποιο είναι το είδος της μονοτονίας της f; Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 29) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f΄(x ) 0= για 0x (α, β)Î , 0f΄(x ) 0> στο 0(α, x ) και 0f΄(x ) 0< στο 0(x , β) , τότε ποιο είναι το είδος του ακροτάτου που παρουσιάζει η f στο (α, β) ; Η f παρουσιάζει στο 0x x= μέγιστο.
- 9. Διαφορικός Λογισμός Σ ε λ ί δ α | 8 30) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f΄(x ) 0= για 0x (α, β)Î , 0f΄(x ) 0< στο 0(α, x ) και 0f΄(x ) 0> στο 0(x , β) , τότε ποιο είναι το είδος του ακροτάτου που παρουσιάζει η f στο (α, β) ; Η f παρουσιάζει στο 0x x= ελάχιστο. Digitally signed by Zinos Giannakis Date: 2018.01.17 17:41:22 +02'00'