際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Glu5 10 tallaere_uke38

Download as PPTX, PDF
C
Cecilie Gangs淡
1 of 36
Download to read offline
1Tall脱reGrunnskolel脱rerutdanning 5.-10. trinnInstitutt for realfagsdidaktikkFakultet for humaniora og utdanningsvitenskapH淡gskolen i VestfoldUke 38, 2010
2Om tall脱re:Mathematics is the queen ofthe sciences and numbertheory is the queen ofmathematics. G. H. Hardy
3KilderBreiteigVenheim: Matematikk for L脱rere 1, kap. 4Universitetsforlaget (2005)Selvik-Tvete: Matematiske sammenhenger Tall脱reCaspar forlag (2000)
4InnholdDelelighetPrimtallSt淡rste felles faktor og minste felles multiplumFigurtall
5則1. DelelighetAlle elever i en klasse har kj淡pt de fire l脱reb淡kene som l脱reren anbefalte. Antall b淡ker eid av klassen er da(antall elever) 4.Derfor m奪 4 束g奪 opp損 i antall b淡ker.F.eks.: 24 elever eier 96 = 4 24 b淡ker.
6Faktorer og delelighetDefinisjon: Et heltall a er delelig med et annet heltall b dersom a = kb for et heltall k.I hverdagsspr奪ket kunne vi si at a gjenstander kan fordeles jevnt mellom b personer.Vi kan ogs奪 bruke f淡lgende terminologi:Tallet bg奪r opp i a. (Obs: Ikke 束a g奪r opp i b損!)Tallet ber faktor eller divisor i a.Tallet aer et multiplum av b.
7N奪r g奪r ett tall opp i et annet?Kjent definisjon: Et heltall a kalles partall dersom 2 er faktor i a, og oddetall ellers.Et heltall er partall dersom dets siste siffer er 0, 2, 4, 6 eller 8;og oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3, 5, 7 eller 9.
Litt om delelighetSetning: La heltall a, b og t v脱re gitt. Da gjelder f淡lgende:Hvis t | a og t | b, s奪 vil t | (a + b).Hvis t | a, s奪 vil t | na for alle heltall n.Vi skal bevise p奪stand (1) senere. Hele setningen er bevist p奪 s. 116 i Breiteig-Venheim 1.8
Obs om terminologiTenk om det i en oppgave st奪r for eksempel 束La x og y v脱re tall slik at x < y. Bevis at x + y < 2y.損Meningen med en slik oppgave er ikke at man skal velge et eksempel som x = 1 og y = 2, og sjekke at 1 + 2 < 22.Argumentet skal gjelde alle mulige valg av x og y.9
10 sjekke delelighet(Breiteig-Venheim, s. 116-118)Et helt tall er delelig med2 dersom det siste sifferet er partall4 dersom tallet dannet av de siste to sifrene er delelig med 45 dersom det siste sifferet er 0 eller 5
11Tverrsummer og delelighetDefinisjon: Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre.Den alternerende tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre der vi ganger sifrene vekselvis med +1 og 1.
12Flere tester for delelighetEt helt tall er delelig med3 dersom tverrsummen er delelig med 36 dersom det er partall og tverrsummen er delelig med 39 dersom tverrsummen er delelig med 911 dersom den alternerendetverrsummen er delelig med 11
Divisjon med restHva gj淡r vi n奪r vi deler 38 med 5?Vi skriver 38 = 75 + 3.Her kalles 3 for resten fra divisjonen.13
Divisjon med rest fortsattGenerelt, gitt heltall a og b, deler vi a p奪 b ved 奪 skrivea = qb + rder r er et heltall mellom 0 og b1.(束Divisjonssetning損, s. 126 Breiteig-Venheim.)14
Bevisf淡ring i matematikkenF淡r vi g奪r videre med tall脱re, skal vi diskutere rollen som bevisf淡ring spiller i matematikkfaget.15
16則2. PrimtallDefinisjon: Et helt tall a kalles primtall dersom de eneste faktorene i a er 1 og a. Et helt tall som ikke er primtall kalles et sammensatt tall.(Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller sammensatt.)
17Aritmetikkens fundamentalsetningPrimtallene er de hele tallene som det ikke g奪r an 奪 束bryte ned損 (faktorisere) videre.Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.):Hvert heltall kan faktoriseres som produkt av primtall p奪 辿n og bare 辿n m奪te(vi ser bort fra faktorenes rekkef淡lge).
18 finne primtallfaktorerLemma: Et sammensatt tall a har alltid minst 辿n primtallfaktor som er ゐ.BevisSiden a er sammensatt, kan vi skrive a = bc for heltall b og c, ingen av dem lik a. Hvis b奪de b og c er st淡rre enn , da er bc st淡rre enn a, som er umulig. Vi antar at det er b som er ゐ. Da er primtallfaktorene i b ogs奪 mindre enn eller lik ゐ, og disse er ogs奪 primtallfaktorer i a. ‖
19 finne primtallfaktorerLemmaet viser at for 奪 sjekke om et heltall a er primtall, holder det med 奪 sjekke delelighet med alle primtallene som er ゐ.Har vi ikke funnet en primtallfaktor etter 奪 ha pr淡vd alle disse, da vet vi at a er primtall.Denne teknikken kan ogs奪 benyttes ved faktorisering.
20Hvor mange primtall?Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at ethvert heltall kan brytes ned som produkt av primtall.Hvor mange primtall trenger vi for 奪 lage alle de heltallene?
21Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall.BevisLa p v脱re et vilk奪rlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall st淡rre enn p.Dermed skal vi vite at det er ingen st淡rste primtall, og s奪 m奪 det v脱re uendelig mange primtall.
22(bevis fortsetter)Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p:2, 3, 5, 7, pog bruker dem til 奪 lage et nytt tallM := (2357p) + 1Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene p奪 lista 2, 3, p, fordi vi f奪r en rest p奪 1 i hvert tilfelle.Derfor er alle primtallfaktorene i M st淡rre enn p.
23Eratosthenes s奪ld(Breiteig-Venheim, s. 122)En m奪te 奪 finne primtall p奪.Metoden g奪r p奪 奪 束stryke損 alle sammensatte tall i et visst intervall, og da st奪r bare primtallene igjen.
24Fordeling av primtallenePrimtallene fordeler seg i de hele tallene p奪 en sv脱rt tilfeldig m奪te. Her er et av de forholdsvis f奪 resultatene vi har om fenomenet:Setning: Det finnes vilk奪rlig lange rekkef淡lger av sammensatte tall i de hele tallene.
25Ide bak beviset: Tenk om vi 淡nsker 奪 finne fem p奪f淡lgende sammensatte tall. F淡rst lager vi tallet6! = 654321.Da ser vi at6! + 2 = 722 er delelig med 2,6! + 3 = 723 er delelig med 3,6! + 4 = 724 er delelig med 4,6! + 5 = 725 er delelig med 5, og6! + 6 = 726 er delelig med 6.Slik har vi funnet en rekkef淡lge med fem p奪f淡lgende sammensatte tall.
26BevisTenk om vi 淡nsker 奪 finne n p奪f淡lgende sammensatte tall. F淡rst lager vi tallet(n +1)! = (n +1)n(n - 1)(n - 2) 321.Da ser vi at(n +1)! + 2 er delelig med 2,(n +1)! + 3 er delelig med 3,(n +1)! + n er delelig med n, og(n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1).Slik har vi funnet en rekkef淡lge med n sammensatte tall.
27則5. Sff og mfm(alts奪 st淡rste felles faktor og minste felles multiplum)Johann kj淡per et antall epler 4kr og et antall bananer 6kr. Ekspedit淡ren sier at det er 65kr 奪 betale. Johann sier 束Dette m奪 v脱re feil損. Hvordan visste han det?Hva om Johann kj淡pte appelsiner 3kr og vafler 6kr, og blir bedt om 奪 betale 20kr?
28Vi oversetter til algebra:Vi pr淡ver 奪 finne heltallsl淡sninger til likningen4e + 6b = 65i det f淡rste eksempelet, og likningen3a + 6v = 20i det andre.
29For at det skal v脱re en heltallsl淡sning til4e + 6b = 65, trenger vi f淡lgende:Alle heltall som g奪r opp i b奪de 4 og 6, m奪 ogs奪 g奪 opp i 65.Det er bare 1 og 2 som g奪r opp i 4 og 6.Men 2 g奪r ikke opp i 65.Derfor m奪 ekspedit淡ren ha gjort feil.
30Felles faktor og sffDefinisjon: La a og b v脱re hele tall. En felles faktor for a og b er et helt tall som g奪r opp i b奪de a og b.En felles faktor d for a og b kalles st淡rste felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b g奪r opp i d.Vi skriver sff(a,b) eller gcd(a,b).
31For at vi skal kunne finne l淡sninger f.eks. til likningen4e + 6b = 65,m奪 sff(4,6) = 2 g奪 opp i tallet til h淡yre, og det gj淡r det ikke.En slik likning kalles forresten en line脱r diofantisk likning.
32 finne sffEn m奪te 奪 finne sff(a, b) p奪, er 奪 faktorisere a og b og se p奪 hvilke tall som g奪r opp i begge tall.Med store tall er Euklids algoritmedet mest gunstige (Breiteig-Venheim, s. 128-129).
Et annet bruk for sffDersom vi skal forkorte et br淡ktall , vil vi finne det st淡rste tallet som g奪r opp i b奪de telleren og nevneren. Alts奪, sff(a, b)!33
34Minste felles multiplumTenk om vi skal utf淡re regnestykketVi m奪 finne en felles nevner for br淡kene.Det g奪r an 奪 gange sammen nevnerne, men dette kan bli tungvint.Det mest gunstige er 奪 bruke minste felles multiplum.
35Definisjon: La a og b v脱re hele tall. Et felles multiplum for a og b er et helt tall som b奪de a og b g奪r opp i.Et felles multiplum mfor a og b er minste felles multiplum dersom mg奪r opp i alle andre felles multipler for a og b.Minste felles multiplum til a og b finner man slik:
則4. FigurtallKvadrattall, trekanttall, rektangeltallGrafisk og algebraisk innfallsvinkelDifferenstabellRelasjoner mellom forskjellige figurtall36

More Related Content

Glu5 10 tallaere_uke38

  • 1. 1Tall脱reGrunnskolel脱rerutdanning 5.-10. trinnInstitutt for realfagsdidaktikkFakultet for humaniora og utdanningsvitenskapH淡gskolen i VestfoldUke 38, 2010
  • 2. 2Om tall脱re:Mathematics is the queen ofthe sciences and numbertheory is the queen ofmathematics. G. H. Hardy
  • 3. 3KilderBreiteigVenheim: Matematikk for L脱rere 1, kap. 4Universitetsforlaget (2005)Selvik-Tvete: Matematiske sammenhenger Tall脱reCaspar forlag (2000)
  • 4. 4InnholdDelelighetPrimtallSt淡rste felles faktor og minste felles multiplumFigurtall
  • 5. 5則1. DelelighetAlle elever i en klasse har kj淡pt de fire l脱reb淡kene som l脱reren anbefalte. Antall b淡ker eid av klassen er da(antall elever) 4.Derfor m奪 4 束g奪 opp損 i antall b淡ker.F.eks.: 24 elever eier 96 = 4 24 b淡ker.
  • 6. 6Faktorer og delelighetDefinisjon: Et heltall a er delelig med et annet heltall b dersom a = kb for et heltall k.I hverdagsspr奪ket kunne vi si at a gjenstander kan fordeles jevnt mellom b personer.Vi kan ogs奪 bruke f淡lgende terminologi:Tallet bg奪r opp i a. (Obs: Ikke 束a g奪r opp i b損!)Tallet ber faktor eller divisor i a.Tallet aer et multiplum av b.
  • 7. 7N奪r g奪r ett tall opp i et annet?Kjent definisjon: Et heltall a kalles partall dersom 2 er faktor i a, og oddetall ellers.Et heltall er partall dersom dets siste siffer er 0, 2, 4, 6 eller 8;og oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3, 5, 7 eller 9.
  • 8. Litt om delelighetSetning: La heltall a, b og t v脱re gitt. Da gjelder f淡lgende:Hvis t | a og t | b, s奪 vil t | (a + b).Hvis t | a, s奪 vil t | na for alle heltall n.Vi skal bevise p奪stand (1) senere. Hele setningen er bevist p奪 s. 116 i Breiteig-Venheim 1.8
  • 9. Obs om terminologiTenk om det i en oppgave st奪r for eksempel 束La x og y v脱re tall slik at x < y. Bevis at x + y < 2y.損Meningen med en slik oppgave er ikke at man skal velge et eksempel som x = 1 og y = 2, og sjekke at 1 + 2 < 22.Argumentet skal gjelde alle mulige valg av x og y.9
  • 10. 10 sjekke delelighet(Breiteig-Venheim, s. 116-118)Et helt tall er delelig med2 dersom det siste sifferet er partall4 dersom tallet dannet av de siste to sifrene er delelig med 45 dersom det siste sifferet er 0 eller 5
  • 11. 11Tverrsummer og delelighetDefinisjon: Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre.Den alternerende tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre der vi ganger sifrene vekselvis med +1 og 1.
  • 12. 12Flere tester for delelighetEt helt tall er delelig med3 dersom tverrsummen er delelig med 36 dersom det er partall og tverrsummen er delelig med 39 dersom tverrsummen er delelig med 911 dersom den alternerendetverrsummen er delelig med 11
  • 13. Divisjon med restHva gj淡r vi n奪r vi deler 38 med 5?Vi skriver 38 = 75 + 3.Her kalles 3 for resten fra divisjonen.13
  • 14. Divisjon med rest fortsattGenerelt, gitt heltall a og b, deler vi a p奪 b ved 奪 skrivea = qb + rder r er et heltall mellom 0 og b1.(束Divisjonssetning損, s. 126 Breiteig-Venheim.)14
  • 15. Bevisf淡ring i matematikkenF淡r vi g奪r videre med tall脱re, skal vi diskutere rollen som bevisf淡ring spiller i matematikkfaget.15
  • 16. 16則2. PrimtallDefinisjon: Et helt tall a kalles primtall dersom de eneste faktorene i a er 1 og a. Et helt tall som ikke er primtall kalles et sammensatt tall.(Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller sammensatt.)
  • 17. 17Aritmetikkens fundamentalsetningPrimtallene er de hele tallene som det ikke g奪r an 奪 束bryte ned損 (faktorisere) videre.Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.):Hvert heltall kan faktoriseres som produkt av primtall p奪 辿n og bare 辿n m奪te(vi ser bort fra faktorenes rekkef淡lge).
  • 18. 18 finne primtallfaktorerLemma: Et sammensatt tall a har alltid minst 辿n primtallfaktor som er ゐ.BevisSiden a er sammensatt, kan vi skrive a = bc for heltall b og c, ingen av dem lik a. Hvis b奪de b og c er st淡rre enn , da er bc st淡rre enn a, som er umulig. Vi antar at det er b som er ゐ. Da er primtallfaktorene i b ogs奪 mindre enn eller lik ゐ, og disse er ogs奪 primtallfaktorer i a. ‖
  • 19. 19 finne primtallfaktorerLemmaet viser at for 奪 sjekke om et heltall a er primtall, holder det med 奪 sjekke delelighet med alle primtallene som er ゐ.Har vi ikke funnet en primtallfaktor etter 奪 ha pr淡vd alle disse, da vet vi at a er primtall.Denne teknikken kan ogs奪 benyttes ved faktorisering.
  • 20. 20Hvor mange primtall?Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at ethvert heltall kan brytes ned som produkt av primtall.Hvor mange primtall trenger vi for 奪 lage alle de heltallene?
  • 21. 21Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall.BevisLa p v脱re et vilk奪rlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall st淡rre enn p.Dermed skal vi vite at det er ingen st淡rste primtall, og s奪 m奪 det v脱re uendelig mange primtall.
  • 22. 22(bevis fortsetter)Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p:2, 3, 5, 7, pog bruker dem til 奪 lage et nytt tallM := (2357p) + 1Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene p奪 lista 2, 3, p, fordi vi f奪r en rest p奪 1 i hvert tilfelle.Derfor er alle primtallfaktorene i M st淡rre enn p.
  • 23. 23Eratosthenes s奪ld(Breiteig-Venheim, s. 122)En m奪te 奪 finne primtall p奪.Metoden g奪r p奪 奪 束stryke損 alle sammensatte tall i et visst intervall, og da st奪r bare primtallene igjen.
  • 24. 24Fordeling av primtallenePrimtallene fordeler seg i de hele tallene p奪 en sv脱rt tilfeldig m奪te. Her er et av de forholdsvis f奪 resultatene vi har om fenomenet:Setning: Det finnes vilk奪rlig lange rekkef淡lger av sammensatte tall i de hele tallene.
  • 25. 25Ide bak beviset: Tenk om vi 淡nsker 奪 finne fem p奪f淡lgende sammensatte tall. F淡rst lager vi tallet6! = 654321.Da ser vi at6! + 2 = 722 er delelig med 2,6! + 3 = 723 er delelig med 3,6! + 4 = 724 er delelig med 4,6! + 5 = 725 er delelig med 5, og6! + 6 = 726 er delelig med 6.Slik har vi funnet en rekkef淡lge med fem p奪f淡lgende sammensatte tall.
  • 26. 26BevisTenk om vi 淡nsker 奪 finne n p奪f淡lgende sammensatte tall. F淡rst lager vi tallet(n +1)! = (n +1)n(n - 1)(n - 2) 321.Da ser vi at(n +1)! + 2 er delelig med 2,(n +1)! + 3 er delelig med 3,(n +1)! + n er delelig med n, og(n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1).Slik har vi funnet en rekkef淡lge med n sammensatte tall.
  • 27. 27則5. Sff og mfm(alts奪 st淡rste felles faktor og minste felles multiplum)Johann kj淡per et antall epler 4kr og et antall bananer 6kr. Ekspedit淡ren sier at det er 65kr 奪 betale. Johann sier 束Dette m奪 v脱re feil損. Hvordan visste han det?Hva om Johann kj淡pte appelsiner 3kr og vafler 6kr, og blir bedt om 奪 betale 20kr?
  • 28. 28Vi oversetter til algebra:Vi pr淡ver 奪 finne heltallsl淡sninger til likningen4e + 6b = 65i det f淡rste eksempelet, og likningen3a + 6v = 20i det andre.
  • 29. 29For at det skal v脱re en heltallsl淡sning til4e + 6b = 65, trenger vi f淡lgende:Alle heltall som g奪r opp i b奪de 4 og 6, m奪 ogs奪 g奪 opp i 65.Det er bare 1 og 2 som g奪r opp i 4 og 6.Men 2 g奪r ikke opp i 65.Derfor m奪 ekspedit淡ren ha gjort feil.
  • 30. 30Felles faktor og sffDefinisjon: La a og b v脱re hele tall. En felles faktor for a og b er et helt tall som g奪r opp i b奪de a og b.En felles faktor d for a og b kalles st淡rste felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b g奪r opp i d.Vi skriver sff(a,b) eller gcd(a,b).
  • 31. 31For at vi skal kunne finne l淡sninger f.eks. til likningen4e + 6b = 65,m奪 sff(4,6) = 2 g奪 opp i tallet til h淡yre, og det gj淡r det ikke.En slik likning kalles forresten en line脱r diofantisk likning.
  • 32. 32 finne sffEn m奪te 奪 finne sff(a, b) p奪, er 奪 faktorisere a og b og se p奪 hvilke tall som g奪r opp i begge tall.Med store tall er Euklids algoritmedet mest gunstige (Breiteig-Venheim, s. 128-129).
  • 33. Et annet bruk for sffDersom vi skal forkorte et br淡ktall , vil vi finne det st淡rste tallet som g奪r opp i b奪de telleren og nevneren. Alts奪, sff(a, b)!33
  • 34. 34Minste felles multiplumTenk om vi skal utf淡re regnestykketVi m奪 finne en felles nevner for br淡kene.Det g奪r an 奪 gange sammen nevnerne, men dette kan bli tungvint.Det mest gunstige er 奪 bruke minste felles multiplum.
  • 35. 35Definisjon: La a og b v脱re hele tall. Et felles multiplum for a og b er et helt tall som b奪de a og b g奪r opp i.Et felles multiplum mfor a og b er minste felles multiplum dersom mg奪r opp i alle andre felles multipler for a og b.Minste felles multiplum til a og b finner man slik:
  • 36. 則4. FigurtallKvadrattall, trekanttall, rektangeltallGrafisk og algebraisk innfallsvinkelDifferenstabellRelasjoner mellom forskjellige figurtall36