�ݺ�ߣ

Grup (matematika)
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Langsung ke: navigasi, cari
Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian
atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang diuraikan di bawah ini. Misalnya,
himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang
matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.
Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan
masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup
lebih banyak dipelajari secara kongkrit, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup
abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.
Banyak sekali obyek yang dipelajari dalam matematika ternyata berupa grup. Hal ini
mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan nyata, dan
bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan nyata, dan
bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya
misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan
terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan
berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat
diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang
berlaku dalam lingkup grup.
Daftar isi
[sembunyikan]
• 1 Sejarah
• 2 Definisi dasar
• 3 Notasi grup
• 4 Beberapa contoh elemen dan bukan contoh
o 4.1 Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan
o 4.2 “Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian
o 4.3 Sebuah grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian
o 4.4 Grup bukan belian tertentu : permutasi dari himpunan
o 4.5 Contoh lanjutan
• 5 Teori sederhana
• 6 Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

• 7 Rujukan
[sunting] Sejarah
Lihat teori grup.
[sunting] Definisi dasar
Suatu grup (G, *) adalah suatu himpunan tak-kosong beserta satu operasi biner *: G * G ® G,
yang memenuhi sejumlah aksioma. "a * b" menyatakan hasil penerapan operasi * terhadap
pasangan terurut (a,b) unsur-unsur G. Aksioma-aksioma tersebut adalah
• Sifat Tertutup. Untuk semua a,b elemen G,a*b juga elemenG
• Sifat asosiatif. Untuk semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
• Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga untuk semua a
dalam G, e * a = a * e = a
• Unsur invers. Untuk semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian
sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.
[sunting] Notasi grup
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog
dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:
• Kita menulis "a · b", atau bahkan "ab", untuk a * b.
• Kita menulis "1" untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
• Kita menulis "a-1
" untuk invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis
secara jumlah:
• Kita menulis "a + b untuk a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
• Kita menulis "0" untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
• Kita menulis "-a" untuk invers a dan menyebutnya lawan dari a.
Biasanya, hanya grup abelian yang ditulis dalam bentuk penjumalahan walaupun grup dapat
juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat “noncommittal”, kita dapat menggunakan
notasi (dengan “*”) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi “a”-1
sebagai invers dari “a”.
Bila “S” adalah sub himpunan dari “G” dan “x” elemen dari “G” maka notasi perkalian,
“x””S” merupakan himpunan dari semua hasil perkalian {“x””s”} untuk “s” dalam “S”. Hal
yang sama juga dapat dilihat pada notasi “S””x” = {“s””x” : “s” in “S”} ; dan untuk dua sub
himpunan “S” dan “T” dari “G” kita dapat menulis “S””T” untuk {“s””t” : untuk semua “s”

dalam “S”, dan “t” dalam “T”}. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan “x” + “S”, “S” +
“x”, dan “S” + “T” untuk masing-masing pasangan.
[sunting] Beberapa contoh elemen dan bukan contoh
[sunting] Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan
bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {..., -4, -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian,
(“’Z”’,+) merupakan suatu grup.
Bukti :
* Bila “a” dan “b” merupakan bilangan bulat maka “a” + “b” juga
merupakan bilangan bulat.
*Bila “a”, “ b”, dan “c” adalah bilangan bulat maka (“a” + “b”) + “c”
= “ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif)
*0 adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat “a”, 0 +” a”
= “a”. (elemen identitas)
*Bila “a” sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” =
-“a” sedemikian sehingga “a” + “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers)
Grup ini juga merupakan abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.
Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar cincin yang
lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian
terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin.
[sunting] “Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian
Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” )
bukan sebuah grup :
*Bila “a” dan “b” bilangan bulat maka “a” “’ ×’” “b” merupakan
bilangan bulat
*Bila “a”, “b”, dan “c” bilangan bulat maka (“a”“’ ×’” “b”) “’ ×’”
“c” = “a”“’ ×’” (“b”“’ ×’” “c”) (sifat asosiatif)
*1 adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat “a”, 1 “’
×’” “a” = “a”“’ ×’” 1 = “a” (elemen identitas)
*Tetapi, bila “a” sebaramg bilangan bulat bukan 0 maka tidak ada
bilangan bulat
bukan 0 yang memenuhi “a””b” = “b””a” = 1. Sebagai contoh, misalkan
“a” = 2 maka
berapapun “b” (bilangan bulat bukan 0) maka |”a””b”| = |2”b”| ³2 >
1. (elemen invers tidak memenuhi)
Karena tidak semua elemen dari (“’Z’”, “’ ×’”) mempunyai invers maka (“’Z’”, “’ ×’”) bukan
merupakan grup. Kita dapat menyebut (“’Z’”, “’ ×’”) sebuah monoid komutatif.
[sunting] Sebuah grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Misalkan “’Q’” sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan
dengan “a”/”b” dengan “a” dan “b” merupakan bilangan bulat dan”b” bukan nol. Misalkan
pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol ““’ ×’” ”. Karena bilangan rasional 0 tidak
memiliki invers untuk perkalian maka (“’Q’”, “’ ×’”), sebagaimana juga (“’Z’”, “’ ×’”) bukan
sebuah grup.
Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan “’Q’” {0}, yang mencakup setiap bilangan
rasional “kecuali nol “ maka (“’Q’”{0},“’ ×’”) merupakan grup abelian. Invers “a”/”b”
adalah “b”/”a” dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak
kehilangan closure dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak
nol tidak akan pernah nol.
Sama seperti bilangan bulat yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang
membentuk struktur aljabar dari bidang. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun
akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari bidang.
[sunting] Grup bukan belian tertentu : permutasi dari himpunan
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan
dengan susunan MHB. Misalkan “a” merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok
kedua” dan “b” aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan “x””y” untuk aksi “pertama kali lakukan “y”
kemudian lakukan “x” ” sehingga “a””b” adalah aksi MHB ®MBH®BMH yaitu “ambil blok
terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan “e” untuk aksi “ biarkan blok
sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan
tiga blok sebagai berikut :
* e : MHB ® MHB
* a : MHB ® HMB
*b : MHB ® MBH
* ab : MHB ® BMH
*ba : MHB ® HBM
*aba : MHB ® BHM
Perhatikan bahwa aksi “a””a” akan menyebabkan MHB ® HMB ® MHB atau aksi tersebut
sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat
menuliskan “a””a” = “e”. Demikian pula,
* “b””b” = “e”
*(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan
*(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.
Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.
Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan closure. Sebagai contoh
perhatikan,
*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan
*(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Grup ini disebut simetri grup pada tiga huruf, atau “S”3. Grup tersebut mempunyai orde 6
( atau 3 “faktorial”), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh “a””b” ≠
“b””a”). Karena “S”3 dibangun dari aksi dasar “a” dan “b” maka kita dapat mengatakan
bahwa himpunan {“a”,”b”} membangun “S”3.
Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya merupakan
Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.
[sunting] Contoh lanjutan
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup
dan daftar grup kecil.
[sunting] Teori sederhana
*Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
*Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
*Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup “a” dan “b” dari grup “G”,
hanya ada satu solusi “x” dalam “G” terhadap persamaan “x”*”a” =”b” dan
hanya satu solusi “y” dalam “G”
untuk persamaan “a”*”y” = “b”.
*Ungkapan “ “a”1*”a”2*...”a”n ” tidak ambigius karena hasilnya akan
sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
*Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik :
(“a”*”b”)-1 = “b”-1 *”a”-1.
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk
bidang dari teori grup elementer.
[sunting] Membuat grup baru dari suatu grup tertentu
1. Bila sebuah sub himpunan “H” dari grup (“G”,*)
2. Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) merupakan himpunan “G”x”H”
bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
3. “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan sub grup
perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah bagian
bukan nol. Bila anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian
adalah sama.
4. Grup tertentu “G” dan sebuah sub grup normal “N”, maka quotient group adalah
himpunan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) =
“g””h”N”.
[sunting] Rujukan

�ݺ�ߣ

Grup

More Related Content

Grup