ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

H1 blm221 sayi sistemleri̇

•
•
K
karmuhtam

Mantık Devreleri Ders Notları

1 of 49
Downloaded 14 times
KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM221 MANTIK DEVRELERİ Prof. Dr. Mehmet Akbaba mehmetakbaba@karabuk.edu.tr 1. HAFTA
Temel Kavramlar • Sayı Sistemlerinin İncelenmesi • Sayı Sayı Sistemlerinin Dönştürülmesi • Sayı Sistemlerinde Hesaplama Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 29/15/2017
Şekil 1-1: Anahtarlama Devreleri 3Prof. M. Akbaba Digital Logic SAYISAL SİSTEMLER VE ANAHTARLAMA DEVRELERİ 9/15/2017 Girişler Çıkışlar Mikroişlemci, Mikrodenetleyici. Mikrobilgisayar, Bilgisayar. Vs.
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 4 • SAYI SİSTEMLERİ • 1. Sayı Sistemlerinin İncelenmesi • Bir sayı sisteminde sayıyı S, taban değeri R ve katsayıyı da d ile gösterirsek tam sayı sistemi, • S = dnRn + dn-1Rn-1 +... + d1R1+ d0R0 • formülü ile gösterilir. Kesirli sayıları ifade etmek için aşağıdaki formül kullanılır. • S = dn Rn + dn-1 Rn-1 +... + d1R1 + d0R0 + d-1R-1 + dn-2R-2 +... olur. 9/15/2017 dmax=R-1 Burada:
9/15/2017 Prof. M. Akbaba Digital Logic 5 R=10 ise sayı sistemi Ondalık (desimal) sistem Tabanın (radix in) değeri sistemin adını belirler; R=2 ise sayı sistemi İkili (baynari) sistem R=8 ise sayı sistemi sekizli (oktal) sistem R=16 ise sayı sistemi Onaltılı (heksadesimal) sistem olarak adlandırılır. Bunlar çok iyi bilinen ve yaygın olarak kullanılan sayı sistemleridir. Fakat sayıları aynı kuralları uygulayarak istediğimiz diğer tabanlarda da yazabiliriz.
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 6 • 1.1 Onlu (Decimal) Sayı Sistemi • Onlu sayı sisteminde taban değer R=10’dur ve 10 adet rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (R=10, dmax=R-1=9) ) kullanılır. Eğer onluk sayıyı D ile gösterirsek genel denklem, • D = d n10n + dn-110n—1 +... + d1 101 + d0 100 + d -110-1 + • d -210-2 +... olur. • Örnek: D = (69.3)10 • = d1R1 + dR0 + d_R -1 • = 6.101+ 9.100+3.10-1 = 69.3 9/15/2017
1.2 İkili (Descimal) (desimal) sayı sistemi 0 ve 1 rakamlarından meydana gelen ve taban değeri 2 olan sayı sistemidir (R=2, dmax=R-1=1 (R=10, dmax=R- 1=9) ) . İkili sayı sisteminde her bir basamak BİT (Bİnary DigiT), en sağdaki basamak en düşük değerli bit (Least Significant bit- LSB), en soldaki basamak ise en yüksek değerli bit (Most Significant bit-MSB) olarak ifade edilir. İkili sayı sisteminde sayı B ile gösterilirse genel ifade; B= dn 2n + dn-12n-1 +... + d1 21 + d0 20 + d-1 2+ d-2 2-2 +... şeklinde olur. Örnek: 1111.10= 1x23 + 1x22 + 1X21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi • MSB 1110011 LSB • İkili sayı sistemleri bilgisayar gibi sayısal bilgi işleyen makinalarda kullanılmaktadır. Fakat bu sayı sistemi ile bir sayının ifade edilmesi için çok fazla sayıda basamak kullanmak gerekir. Bu nedenle ikili sisteme kolay çevrilebilen (veya tersi) sekizli (octal) ve onaltılı (hexadecimal) sayı sistemleri geliştirilmiştir. Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 89/15/2017
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.3 Sekizli (Octal) Sayı Sistemi • Taban değeri sekiz olan ve 0-7 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (R=8, dmax=R-1=7) ) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; • O= dn 8n+ dn-18n-1 +... + d1 81 + d0 80 + d-18-1 + d_2 8-2 +... şeklinde olur. • Örnek: X= (47.2)8 • X= 4x81+7x80+2x8-1 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 99/15/2017
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.4 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Taban değeri 16 olan ve 0-15 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 (R=16, dmax=R-1=15=F) ) H= d n16n + d n-116n-1 +... + d1 161 + d0 160 + d -116-1 + d -216-2 +... olur. 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin İncelenmesi • Örnekler: • a) H=(2A.C)16 =2x161+10x160+12x16-1 • b) H= (26.75)16= (2x161+6x160+7x16-1+5x16-2 )10 • c) H=(A5D.2C)16=(10x162+5x161+13x160+2x16-1 +12x16-2)10 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 119/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • 2. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • 2.1 Onluk sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sayılara dönüştürülmesi • Onluk sayı sisteminde tamsayıyı diğer sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı dönüştürülecek sayı tabanına sürekli bölünür ve sondan başa doğru kalan yazılır. Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 129/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • Onluk sayıların ikilik sayılara dönüştürülmesi • ÖRNEK 1 : (53)10 sayısını ikili sayı sistemine çeviriniz. • 53 / 2 = 26, kalan = 1 En küçük bit (LSB: Less Significant Bit) • 26 / 2 = 13, kalan = 0 • 13 / 2 = 6 , kalan = 1 • 6/ 2 = 3, kalan = 0 • 3 / 2 = 1, kalan = 1 • 1/ 2 = 0, kalan = 1 En büyük bit (MSB: Most Significant Bit) Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 139/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • Tam sayı kısmı için sıralama aşağıdan yukarıya doğrudur. • (53)10 = (110101)2 • Örnek 2: (1271)10 sayısını ikili sayıya dönüştürelim. • Çözüm: Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 149/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • İşlem Bölüm Kalan • 1271 / 2 = 635 1 • 635 / 2 = 317 1 • 317 / 2 = 158 1 • 158 / 2 = 79 0 • 79 / 2 = 39 1 • 39 / 2 = 19 1 • 19 / 2 = 9 1 • 9 / 2 = 4 1 • 4 / 2 = 2 0 • 2 / 2 = 1 0 • 1 1 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 159/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sonuç olarak kalan kolonunu aşağıdan yukarıya doğru sıralarsak; (1271)10 = (10011110111)2 eşitliği bulunur. Kesirli onluk sayılar ikili sayıya dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam sayı kısmı yazılır. kesirli kısım 2 ile yeniden çarpılır. Bu işleme kesirli kısım ‘0’ değerine (veya 0’a çok yakın bir değere) ulaşıncaya kadar devam edilir. 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken kesir kısmı 2 ile çarpılır. tam kısmı kaydedilir ÖRNEK 2 : (41.6875)10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10/ 2 = 5 , kalan = 0 5/ 2 = 2, kalan = 1 2/ 2 = 1, kalan = 0 1 kalan = 1 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kalan kolonu aşağıdan yukarıya doğru sıralanırsa: (41)10 = (101001)2 Kesirli kısım 0.6875 *2 = 1.3750 tamsayı = 1 0.3750 *2 = 0.7500 tamsayı = 0 0.7500 *2 = 1.5000 tamsayı = 1 0.5000 *2 = 1.0000 tamsayı = 1 Kesirli kısım için sıralama yukarıdan aşağıya doğrudur. (0.6875)10 = (1011)2 (41.6875)10 = (101001.1011)2 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Örnek 3: (0.65)10 sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Tam sayı Kısım yok. Sadece kesirli kısım vardır. 0.65 * 2 = 1.30 1 (s1) 0.30 * 2 = 0.60 0 (s2) 0.60 * 2 = 1.20 1 (s3) Sıralama yönü yukarıdan aşağıya doğru olduğundan s1, s2, s3 sıralaması takip edilir. Sonuç; (0.65)10 ≅ (0.101)2 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların sekizlik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46)10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün 46 / 8 = 5, kalan = 6 5/ 8 = 5, kalan = 5 (46)10 = (56)8 Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli kısım 8 ile çarpılarak devam edilir. Tam sayı kısımlar alınıp yukarıdan aşağıya sıralanır. 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46.15)10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım, 46/ 8 = 5, kalan = 6 0.150* 8 = 1.200, tamsayı= 1 5/ 8 = 5, kalan = 5 0.200 * 8 = 1.600 tamsayı =1 0.600 * 8 = 4.800 tamsayı = 4 (53.15)10 = (56.114)8 (Daha fazla hassasiyet istenirse kesirli kısım için işlem devam ettirilebilir) 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların onaltılık sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46)10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün. 46/16 = 2, kalan = 14 2/ 16 = 0, kalan = 2 (46)10 = (2E)16 Kesirli kısım 16 ile çarpılarak çıkan sayının tam sayı kısmı alınıp yukarıdan aşağıya doğru sıralanır. 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 2: (220.975)10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştrün. Tamsayı kısmı 220 / 16 = 13 kalan = 12 (C) 13 / 16 = 0 kalan = 13 (D) Kesirli kısım 0.975x16 = 15.600 tamsayı = 15 (F) 0.600x16 = 9.600 tamsayı = 9 0.600 x 16 = 9.600 tamsayı = 9 (220.975)10 = (DC.F99)16 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.2. İkili Sayıların Dnüştürülmesi İkili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp bulunan değerlerin toplanması ile onlu sayı sistemine dönüştürülür. ÖRNEK: (10111.101)2 sayısını onlu sayıya dönüştürünüz. (10101.101)2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20+1 x 2-1+ 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 16 + 4 + 1, 0.5 + 0.125 = (23.625)10 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İkili Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi İkili sayılar sekizliye dönüştürürken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru üçerli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (10101.101)2 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. (10101.101)2 = (010 101 . 101) = (25.5)8 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İkili Sayıların Onaltılı Sayılara Dönştürülmesi İkili sayılar onaltılı sayıya dönüştürürken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı kendi katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (11101.101)2 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz. (11101.101)2 = (0001 1101 .1010)=(1 13 . 10)16 = (1D.A)16 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.3 Sekizli Sayıların Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların İkili Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayılar ikili sayılara dönüştürürken her basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır. ÖRNEK: (673.124)8 sayısını ikili sayıya dönüştürün. 610= 1102, 710 = 1112, 310 = 0112, 110 = 0012, 210 = 0102 , 4 10= 1002 (673.124)8 = (110 111 011.001 010 100)2 9/15/2017
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Sekizli Sayıların Onlu Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayı onlu sayıya dönüştürürken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.12)8 = 3 x 81 + 2 x 80 +1 x 8-1 + 2 x 8-2 = 24 + 2+0.125 + 0.03125 = (26.15625)10
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya dönüştürülmesi Sekizli sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmenin en kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya dönüştrüp sonra onaltılı sayıya dönştürmektir (İkili sayıya dönüştürüldükten sonra 4’lü guruplar alınır). ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onaltılı sayıya dönüştürün. , 310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102 (32.12)8 = (011 010.001 010)2 = (0001 1010 . 0010 1000)2 = (1 10 . 2 8)16= (1A.28)16
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 2.4 Onaltılı sayıların Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüştürülmesi Onaltılı sayılar ikili sayılara dönüştürürken onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını ikili sayıya dönüştürün 310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102 (32.12)16 = (0011 0010. 0001 0010)2
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Onaltılı sayıların sekizli sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayıları sekizli sayıya dönüştrmenin en kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya dönüştürüp sonra sekizli sayıya dönüştürmektir. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. = (0011 0010. 0001 0010)2 (32.12)16 = (62.044)8
Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Onaltılı sayıların onlu sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını onlu sayıya dönüştürün (32.12)16 = 3 x 161 + 2 x 160, 1 x 16-1 + 2 x 16-2 = 48 + 2, 0.0625 + 0.00781 = (50.0703)10
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.0 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Bütün sayı sistemlerinde işaret (+ veya -) kullanılabilir ve aşağıdaki bağıntılar bütün sayı sistemlerinde uygulanabilir. 1) +a + (+b) = a + b 2) +a + (-b) = a - b 3) +a - (+b) = a - b 4) +a - (-b) = a + b
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.1 İkili (Binary) Sayı Sisteminde Toplama İkili sayılarda toplama onlu sayılarda olduğu gibi basamak basamak toplamak suretiyle yapılır. Binary (ikili) sayı sisteminde toplama kuralı aşağıdaki gibidir: 0 + 0 =0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1= 0 ve bir önceki kolona 1 ekle 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 ve bir önceki (bir soldaki) kolona 1 eklenir.
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (111)2 sayısı ile (011)2 sayısını toplayınız. 1 1 1 Eklemeler 1 1 1 + 0 1 1 10 1 0
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 2: (1101.110)2 + (0110.101)2 + (1111.111)2 sonucunu bulunuz. 1101.110 0110.101 + 1111.111 100100.010 Örnek 3: Desimal 64 ve 99 sayılarını binary (ikili) sayı sistemi kullanarak toplayınız. (carry: elde)
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 Carrie 6410 = 1 0 0 0 0 0 0 + 9910 = 1 1 0 0 0 1 1 16310 = 1 0 1 0 0 0 1 1 1x27+0x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20 =128+0+32+0+0+0+2+1=16310 (10100011)2=(163)10 (binary 10100011 = desimal 163)
9/15/2017 A B C D ( 1 7 8)16 + ÖRNEK: (AB)16 sayısı ile (CD)16 sayısını hex olarak toplayınız: Çözüm: (171)10 +(205)10 =(376)10 (178)16 = (1x162+7x16+8=256+112+8)10=(376)10
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 0 - 1 = 1 (Borç (barrow) 1, (bir soldaki kolondan 1 borç alınır) ) ÖRNEK: (1101.110)2 - (0110.101)2 sonucunu bulunuz. 1101.110 - 0110.101 0111.001
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır. ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç)
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç) 1 1 borrows 1 1 1 0 0 1 - 1 1 1 1 0 1 1 0
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 1 1 1 borrows 1 0 0 0 0 - 1 1 1 1 0 1 Örnek 2:
İkili Sayı Sisteminde (Binary) Çarpma Binary çarpmanın temeli aşağıdaki gibidir: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 439/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
1310 ve 1110 sayılarının binary çarpımını bulalım: Örnek 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 =14310 449/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Binary çarpma yaparken eldeleri şaşırmadan doğru yapmak için ara çarpımlar yapmak kolaylık sağlar. 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1. ara çarpım 0 0 0 0 2. ara çarpım (0 1 1 1 1) 1. ve 2. ara çarpımların toplamı 1 1 1 1 3. ara çarpım (1 0 0 1 0 1 1) 3. ara çarpımdan sonraki toplam 1 1 1 1 4. ara çarpım 1 1 0 0 0 0 1 1 Sonuç
9/15/2017 D 2 5 A 8 3 4 4 1 A Örnek 3: (D2)16 sayısı ile (5A)16 sayısını hex olarak çarpınız. Çözüm: X (4 9 D 4)16 (4 9 D 4)16 =(4x4096+9x256+13x16+4)10=18900)10 (D2)16=(210)10 (5A)16=(90)10 (210X90)10=1890010 +
İkili (Binary) Sayı sisteminde Bölme Binary bölme normal ondalık sayıdaki bölme gibidir Örnek 1: 1102 sayısını 102 sayısına bölelim ( binary bölme) 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (Sonuç) 479/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: 2510 sayısını 810 sayısına binary olarak bölelim (=3.12510) 11.001 1000 11001 1000 01001 1000 0001000 1000 0000
KAYNAKÇA 1. Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları 2. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 4. Baskı, 2005 3. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006 3. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997 9/15/2017

More Related Content

H1 blm221 sayi sistemleri̇

  • 1. KBUZEM Karabük Ãœniversitesi Uzaktan EÄŸitim Uygulama ve AraÅŸtırma Merkezi BLM221 MANTIK DEVRELERÄ° Prof. Dr. Mehmet Akbaba mehmetakbaba@karabuk.edu.tr 1. HAFTA
  • 2. Temel Kavramlar • Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi • Sayı Sayı Sistemlerinin DönÅŸtürülmesi • Sayı Sistemlerinde Hesaplama Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 29/15/2017
  • 3. Åžekil 1-1: Anahtarlama Devreleri 3Prof. M. Akbaba Digital Logic SAYISAL SÄ°STEMLER VE ANAHTARLAMA DEVRELERÄ° 9/15/2017 GiriÅŸler Çıkışlar MikroiÅŸlemci, Mikrodenetleyici. Mikrobilgisayar, Bilgisayar. Vs.
  • 4. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 4 • SAYI SÄ°STEMLERÄ° • 1. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi • Bir sayı sisteminde sayıyı S, taban deÄŸeri R ve katsayıyı da d ile gösterirsek tam sayı sistemi, • S = dnRn + dn-1Rn-1 +... + d1R1+ d0R0 • formülü ile gösterilir. Kesirli sayıları ifade etmek için aÅŸağıdaki formül kullanılır. • S = dn Rn + dn-1 Rn-1 +... + d1R1 + d0R0 + d-1R-1 + dn-2R-2 +... olur. 9/15/2017 dmax=R-1 Burada:
  • 5. 9/15/2017 Prof. M. Akbaba Digital Logic 5 R=10 ise sayı sistemi Ondalık (desimal) sistem Tabanın (radix in) deÄŸeri sistemin adını belirler; R=2 ise sayı sistemi Ä°kili (baynari) sistem R=8 ise sayı sistemi sekizli (oktal) sistem R=16 ise sayı sistemi Onaltılı (heksadesimal) sistem olarak adlandırılır. Bunlar çok iyi bilinen ve yaygın olarak kullanılan sayı sistemleridir. Fakat sayıları aynı kuralları uygulayarak istediÄŸimiz diÄŸer tabanlarda da yazabiliriz.
  • 6. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 6 • 1.1 Onlu (Decimal) Sayı Sistemi • Onlu sayı sisteminde taban deÄŸer R=10’dur ve 10 adet rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (R=10, dmax=R-1=9) ) kullanılır. EÄŸer onluk sayıyı D ile gösterirsek genel denklem, • D = d n10n + dn-110n—1 +... + d1 101 + d0 100 + d -110-1 + • d -210-2 +... olur. • Örnek: D = (69.3)10 • = d1R1 + dR0 + d_R -1 • = 6.101+ 9.100+3.10-1 = 69.3 9/15/2017
  • 7. 1.2 Ä°kili (Descimal) (desimal) sayı sistemi 0 ve 1 rakamlarından meydana gelen ve taban deÄŸeri 2 olan sayı sistemidir (R=2, dmax=R-1=1 (R=10, dmax=R- 1=9) ) . Ä°kili sayı sisteminde her bir basamak BÄ°T (BÄ°nary DigiT), en saÄŸdaki basamak en düşük deÄŸerli bit (Least Significant bit- LSB), en soldaki basamak ise en yüksek deÄŸerli bit (Most Significant bit-MSB) olarak ifade edilir. Ä°kili sayı sisteminde sayı B ile gösterilirse genel ifade; B= dn 2n + dn-12n-1 +... + d1 21 + d0 20 + d-1 2+ d-2 2-2 +... ÅŸeklinde olur. Örnek: 1111.10= 1x23 + 1x22 + 1X21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 9/15/2017
  • 8. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi • MSB 1110011 LSB • Ä°kili sayı sistemleri bilgisayar gibi sayısal bilgi iÅŸleyen makinalarda kullanılmaktadır. Fakat bu sayı sistemi ile bir sayının ifade edilmesi için çok fazla sayıda basamak kullanmak gerekir. Bu nedenle ikili sisteme kolay çevrilebilen (veya tersi) sekizli (octal) ve onaltılı (hexadecimal) sayı sistemleri geliÅŸtirilmiÅŸtir. Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 89/15/2017
  • 9. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi 1.3 Sekizli (Octal) Sayı Sistemi • Taban deÄŸeri sekiz olan ve 0-7 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (R=8, dmax=R-1=7) ) deÄŸer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; • O= dn 8n+ dn-18n-1 +... + d1 81 + d0 80 + d-18-1 + d_2 8-2 +... ÅŸeklinde olur. • Örnek: X= (47.2)8 • X= 4x81+7x80+2x8-1 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 99/15/2017
  • 10. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi 1.4 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Taban deÄŸeri 16 olan ve 0-15 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) deÄŸer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 (R=16, dmax=R-1=15=F) ) H= d n16n + d n-116n-1 +... + d1 161 + d0 160 + d -116-1 + d -216-2 +... olur. 9/15/2017
  • 11. Sayı Sistemlerinin Ä°ncelenmesi • Örnekler: • a) H=(2A.C)16 =2x161+10x160+12x16-1 • b) H= (26.75)16= (2x161+6x160+7x16-1+5x16-2 )10 • c) H=(A5D.2C)16=(10x162+5x161+13x160+2x16-1 +12x16-2)10 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 119/15/2017
  • 12. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • 2. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • 2.1 Onluk sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sayılara dönüştürülmesi • Onluk sayı sisteminde tamsayıyı diÄŸer sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı dönüştürülecek sayı tabanına sürekli bölünür ve sondan baÅŸa doÄŸru kalan yazılır. Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 129/15/2017
  • 13. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • Onluk sayıların ikilik sayılara dönüştürülmesi • ÖRNEK 1 : (53)10 sayısını ikili sayı sistemine çeviriniz. • 53 / 2 = 26, kalan = 1 En küçük bit (LSB: Less Significant Bit) • 26 / 2 = 13, kalan = 0 • 13 / 2 = 6 , kalan = 1 • 6/ 2 = 3, kalan = 0 • 3 / 2 = 1, kalan = 1 • 1/ 2 = 0, kalan = 1 En büyük bit (MSB: Most Significant Bit) Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 139/15/2017
  • 14. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • Tam sayı kısmı için sıralama aÅŸağıdan yukarıya doÄŸrudur. • (53)10 = (110101)2 • Örnek 2: (1271)10 sayısını ikili sayıya dönüştürelim. • Çözüm: Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 149/15/2017
  • 15. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi • Ä°ÅŸlem Bölüm Kalan • 1271 / 2 = 635 1 • 635 / 2 = 317 1 • 317 / 2 = 158 1 • 158 / 2 = 79 0 • 79 / 2 = 39 1 • 39 / 2 = 19 1 • 19 / 2 = 9 1 • 9 / 2 = 4 1 • 4 / 2 = 2 0 • 2 / 2 = 1 0 • 1 1 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 159/15/2017
  • 16. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sonuç olarak kalan kolonunu aÅŸağıdan yukarıya doÄŸru sıralarsak; (1271)10 = (10011110111)2 eÅŸitliÄŸi bulunur. Kesirli onluk sayılar ikili sayıya dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam sayı kısmı yazılır. kesirli kısım 2 ile yeniden çarpılır. Bu iÅŸleme kesirli kısım ‘0’ deÄŸerine (veya 0’a çok yakın bir deÄŸere) ulaşıncaya kadar devam edilir. 9/15/2017
  • 17. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken kesir kısmı 2 ile çarpılır. tam kısmı kaydedilir ÖRNEK 2 : (41.6875)10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10/ 2 = 5 , kalan = 0 5/ 2 = 2, kalan = 1 2/ 2 = 1, kalan = 0 1 kalan = 1 9/15/2017
  • 18. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kalan kolonu aÅŸağıdan yukarıya doÄŸru sıralanırsa: (41)10 = (101001)2 Kesirli kısım 0.6875 *2 = 1.3750 tamsayı = 1 0.3750 *2 = 0.7500 tamsayı = 0 0.7500 *2 = 1.5000 tamsayı = 1 0.5000 *2 = 1.0000 tamsayı = 1 Kesirli kısım için sıralama yukarıdan aÅŸağıya doÄŸrudur. (0.6875)10 = (1011)2 (41.6875)10 = (101001.1011)2 9/15/2017
  • 19. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Örnek 3: (0.65)10 sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Tam sayı Kısım yok. Sadece kesirli kısım vardır. 0.65 * 2 = 1.30 1 (s1) 0.30 * 2 = 0.60 0 (s2) 0.60 * 2 = 1.20 1 (s3) Sıralama yönü yukarıdan aÅŸağıya doÄŸru olduÄŸundan s1, s2, s3 sıralaması takip edilir. Sonuç; (0.65)10 ≅ (0.101)2 9/15/2017
  • 20. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların sekizlik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46)10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün 46 / 8 = 5, kalan = 6 5/ 8 = 5, kalan = 5 (46)10 = (56)8 Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli kısım 8 ile çarpılarak devam edilir. Tam sayı kısımlar alınıp yukarıdan aÅŸağıya sıralanır. 9/15/2017
  • 21. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46.15)10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım, 46/ 8 = 5, kalan = 6 0.150* 8 = 1.200, tamsayı= 1 5/ 8 = 5, kalan = 5 0.200 * 8 = 1.600 tamsayı =1 0.600 * 8 = 4.800 tamsayı = 4 (53.15)10 = (56.114)8 (Daha fazla hassasiyet istenirse kesirli kısım için iÅŸlem devam ettirilebilir) 9/15/2017
  • 22. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların onaltılık sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46)10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün. 46/16 = 2, kalan = 14 2/ 16 = 0, kalan = 2 (46)10 = (2E)16 Kesirli kısım 16 ile çarpılarak çıkan sayının tam sayı kısmı alınıp yukarıdan aÅŸağıya doÄŸru sıralanır. 9/15/2017
  • 23. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 2: (220.975)10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştrün. Tamsayı kısmı 220 / 16 = 13 kalan = 12 (C) 13 / 16 = 0 kalan = 13 (D) Kesirli kısım 0.975x16 = 15.600 tamsayı = 15 (F) 0.600x16 = 9.600 tamsayı = 9 0.600 x 16 = 9.600 tamsayı = 9 (220.975)10 = (DC.F99)16 9/15/2017
  • 24. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.2. Ä°kili Sayıların Dnüştürülmesi Ä°kili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp bulunan deÄŸerlerin toplanması ile onlu sayı sistemine dönüştürülür. ÖRNEK: (10111.101)2 sayısını onlu sayıya dönüştürünüz. (10101.101)2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20+1 x 2-1+ 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 16 + 4 + 1, 0.5 + 0.125 = (23.625)10 9/15/2017
  • 25. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Ä°kili Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi Ä°kili sayılar sekizliye dönüştürürken sayıların tam kısmı saÄŸdan sola doÄŸru, kesirli kısım ise soldan saÄŸa doÄŸru üçerli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (10101.101)2 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. (10101.101)2 = (010 101 . 101) = (25.5)8 9/15/2017
  • 26. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Ä°kili Sayıların Onaltılı Sayılara DönÅŸtürülmesi Ä°kili sayılar onaltılı sayıya dönüştürürken sayıların tam kısmı saÄŸdan sola doÄŸru, kesirli kısım ise soldan saÄŸa doÄŸru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı kendi katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (11101.101)2 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz. (11101.101)2 = (0001 1101 .1010)=(1 13 . 10)16 = (1D.A)16 9/15/2017
  • 27. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.3 Sekizli Sayıların Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların Ä°kili Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayılar ikili sayılara dönüştürürken her basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır. ÖRNEK: (673.124)8 sayısını ikili sayıya dönüştürün. 610= 1102, 710 = 1112, 310 = 0112, 110 = 0012, 210 = 0102 , 4 10= 1002 (673.124)8 = (110 111 011.001 010 100)2 9/15/2017
  • 28. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Sekizli Sayıların Onlu Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayı onlu sayıya dönüştürürken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.12)8 = 3 x 81 + 2 x 80 +1 x 8-1 + 2 x 8-2 = 24 + 2+0.125 + 0.03125 = (26.15625)10
  • 29. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya dönüştürülmesi Sekizli sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmenin en kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya dönüştrüp sonra onaltılı sayıya dönÅŸtürmektir (Ä°kili sayıya dönüştürüldükten sonra 4’lü guruplar alınır). ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onaltılı sayıya dönüştürün. , 310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102 (32.12)8 = (011 010.001 010)2 = (0001 1010 . 0010 1000)2 = (1 10 . 2 8)16= (1A.28)16
  • 30. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 2.4 Onaltılı sayıların Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüştürülmesi Onaltılı sayılar ikili sayılara dönüştürürken onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını ikili sayıya dönüştürün 310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102 (32.12)16 = (0011 0010. 0001 0010)2
  • 31. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Onaltılı sayıların sekizli sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayıları sekizli sayıya dönüştrmenin en kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya dönüştürüp sonra sekizli sayıya dönüştürmektir. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. = (0011 0010. 0001 0010)2 (32.12)16 = (62.044)8
  • 32. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 9/15/2017 Onaltılı sayıların onlu sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK: (32.12)16 sayısını onlu sayıya dönüştürün (32.12)16 = 3 x 161 + 2 x 160, 1 x 16-1 + 2 x 16-2 = 48 + 2, 0.0625 + 0.00781 = (50.0703)10
  • 33. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.0 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Bütün sayı sistemlerinde iÅŸaret (+ veya -) kullanılabilir ve aÅŸağıdaki bağıntılar bütün sayı sistemlerinde uygulanabilir. 1) +a + (+b) = a + b 2) +a + (-b) = a - b 3) +a - (+b) = a - b 4) +a - (-b) = a + b
  • 34. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.1 Ä°kili (Binary) Sayı Sisteminde Toplama Ä°kili sayılarda toplama onlu sayılarda olduÄŸu gibi basamak basamak toplamak suretiyle yapılır. Binary (ikili) sayı sisteminde toplama kuralı aÅŸağıdaki gibidir: 0 + 0 =0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1= 0 ve bir önceki kolona 1 ekle 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 ve bir önceki (bir soldaki) kolona 1 eklenir.
  • 35. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (111)2 sayısı ile (011)2 sayısını toplayınız. 1 1 1 Eklemeler 1 1 1 + 0 1 1 10 1 0
  • 36. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 2: (1101.110)2 + (0110.101)2 + (1111.111)2 sonucunu bulunuz. 1101.110 0110.101 + 1111.111 100100.010 Örnek 3: Desimal 64 ve 99 sayılarını binary (ikili) sayı sistemi kullanarak toplayınız. (carry: elde)
  • 37. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 Carrie 6410 = 1 0 0 0 0 0 0 + 9910 = 1 1 0 0 0 1 1 16310 = 1 0 1 0 0 0 1 1 1x27+0x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20 =128+0+32+0+0+0+2+1=16310 (10100011)2=(163)10 (binary 10100011 = desimal 163)
  • 38. 9/15/2017 A B C D ( 1 7 8)16 + ÖRNEK: (AB)16 sayısı ile (CD)16 sayısını hex olarak toplayınız: Çözüm: (171)10 +(205)10 =(376)10 (178)16 = (1x162+7x16+8=256+112+8)10=(376)10
  • 39. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.Ä°kili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma Ä°kili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 0 - 1 = 1 (Borç (barrow) 1, (bir soldaki kolondan 1 borç alınır) ) ÖRNEK: (1101.110)2 - (0110.101)2 sonucunu bulunuz. 1101.110 - 0110.101 0111.001
  • 40. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Ä°kili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doÄŸrudan çıkarma iÅŸlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiÄŸine göre çıkarma iÅŸlemi uygulanmaktadır. ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç)
  • 41. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç) 1 1 borrows 1 1 1 0 0 1 - 1 1 1 1 0 1 1 0
  • 42. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 1 1 1 borrows 1 0 0 0 0 - 1 1 1 1 0 1 Örnek 2:
  • 43. Ä°kili Sayı Sisteminde (Binary) Çarpma Binary çarpmanın temeli aÅŸağıdaki gibidir: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 439/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
  • 44. 1310 ve 1110 sayılarının binary çarpımını bulalım: Örnek 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 =14310 449/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
  • 45. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Binary çarpma yaparken eldeleri ÅŸaşırmadan doÄŸru yapmak için ara çarpımlar yapmak kolaylık saÄŸlar. 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1. ara çarpım 0 0 0 0 2. ara çarpım (0 1 1 1 1) 1. ve 2. ara çarpımların toplamı 1 1 1 1 3. ara çarpım (1 0 0 1 0 1 1) 3. ara çarpımdan sonraki toplam 1 1 1 1 4. ara çarpım 1 1 0 0 0 0 1 1 Sonuç
  • 46. 9/15/2017 D 2 5 A 8 3 4 4 1 A Örnek 3: (D2)16 sayısı ile (5A)16 sayısını hex olarak çarpınız. Çözüm: X (4 9 D 4)16 (4 9 D 4)16 =(4x4096+9x256+13x16+4)10=18900)10 (D2)16=(210)10 (5A)16=(90)10 (210X90)10=1890010 +
  • 47. Ä°kili (Binary) Sayı sisteminde Bölme Binary bölme normal ondalık sayıdaki bölme gibidir Örnek 1: 1102 sayısını 102 sayısına bölelim ( binary bölme) 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (Sonuç) 479/15/2017 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221
  • 48. 9/15/2017 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: 2510 sayısını 810 sayısına binary olarak bölelim (=3.12510) 11.001 1000 11001 1000 01001 1000 0001000 1000 0000
  • 49. KAYNAKÇA 1. Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları 2. Hüseyin EKÄ°Z, Mantık Devreleri, DeÄŸiÅŸim Yayınları, 4. Baskı, 2005 3. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006 3. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997 9/15/2017