ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

H2 blm221 tümleyen ari̇tmeti̇ği̇-kodlar

•
•
K
karmuhtam

Mantık Devreleri Ders Notları

1 of 45
Download to read offline
KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM221 MANTIK DEVRELERİ Prof. Dr. Mehmet Akbaba mehmetakbaba@karabük.edu.tr 2. HAFTA
Temel Kavramlar • Tümleyen Aritmetiği • r Tümleyeni Aritmetiği • r-1 Tümleyeni Aritmetiği • Ġkili Sayı Kodları • BCD Kodu • Ağırlıklı Kodlar • Ağırlıksız Kodlar Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 222.08.2017
Tümleyen Aritmetiği • Öncelikle bilmek gereken konu sadece negatif (-) sayıların tümleyeninden bahsediliyor. Tümleyenini alcağımız sayıların negatif sayılar olduğunu varsaycağız. • Tümleyen ifadesini örneklemek için sayıcıları kullanabiliriz. Sayıcılar yukarı doğru sayarken 01, 02 diye artar. AĢağı doğru sayarken ise 09, 08 diye azalır. Burada 09’un tümleyenine 01, 08’in tümleyenine de 02 denilmektedir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 322.08.2017
Tümleyen Aritmetiği • Ġkili sayı sisteminde iki tümleyen kullanılmaktadır. Bunlar 1’in tümleyeni ve 2’nin tümleyeni r tabanlı bir sayı sisteminde tümleyenler r (r:radix) tümleyeni ve r-1 tümleyeni olarak ifade edilir. • ÖRNEK: 10 tabanlı bir sayı sisteminde r tümleyeni 10, r-1 tümleyeni 9 dur. • Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 422.08.2017
Tümleyen Aritmetiği 2.1.1 r-Tümleyeni r tabanlı bir tam sayı sisteminde n basamaklı pozitif tamsayı N ile gösterilirse N sayısının r tümleyeni Nr=rn-N olarak tanımlanabilir (n: kullanılan bit veya basamak sayısı.) ÖRNEK 1: (125.456)10 sayısının 10 tümleyenini bulunuz. (125)10 sayısının tamsayı kısmı 3 basamaklıdır. Bu nedenle rn = 103 tür. Nr=rn- N = 103 -125.456 = 874.544 22.08.2017
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği Örnek 7: (21.426)10 sayısının 10’a tümleyenini ve 9’a tümleyenini bulunuz. 10’a tümleyeni: Nr=10n-N=100.000-21.456=78.544 olur. 9’a tümleyeni: r-1 tümleyen=Nr-1=rn-r-m-N Nr-1=102-10-3-21.426=100-0.001-21.426=78.543 olur.
Tümleyen Aritmetiği • ÖRNEK 2: (110010.1011)2 sayısının 2’ye tümleyenini bulunuz. • (110010.1011)2 sayısının tamsayı kısmı 6 basamaklıdır. Bu nedenle rn = 26 dır. • Nr=rn- N = 26 - 110010 = 1000000-110010.1011 = 0001101.0101 olur. • Ġkili sayı sisteminde 2’nin tümleyeni iki Ģekilde bulunabilir (ikili sayı sisteminde r=2 dir). • N sayısındaki bitlerin tersi alınır (1’ler 0, 0’lar 1 yapılır) ve LSB’e 1 eklenir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 722.08.2017
• ÖRNEK 3: (110010)2 sayısının r (r=2) tümleyenini bulunuz. • (110010)2 sayısında 1’ler 0, 0’lar 1 ile değiĢtirilirse (001101)2 sayısı elde edilir. LSB’e 1 eklenirse (001110)2 sayısı bulunur. • (110010)2 sayısının r tümleyeni (001110)2 dir. • N sayısındaki LSB’ten itibaren sıfırdan farklı ilk sayıya kadar (ilk sayı dahil) alınır, kalan bitlerin tersi alınır. (1’ler 0, 0’lar 1 yapılır) Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 8 Tümleyen Aritmetiği 22.08.2017
Tümleyen Aritmetiği ÖRNEK 4: (110010)2 sayısının r (burada r=2) 2’ye tümleyenini bulunuz. (110010)2 sayısında 0’dan farklı ilk sayıya kadar bitler yazılır ve kalan bitlerin tersi alınırsa (001110)2 sayısı elde edilir. (110010)2 sayısının 2 tümleyeni (001110)2 dir. Veya rn-N fomülü uygulanırsa: Nr=26-110010=1000000-110010=001110 elde edilir. 22.08.2017
Tümleyen Aritmetiği PPProf. Dr. M. Akbaba BLM 221i 10 2.1.2 r-1 Tümleyeni • Bir N tam sayının r-1 tümleyeni Nr-1=rn-1-N olur. • Kesirli bir N sayının tümleyeni Nr-1=rn-r-m-N dir. • n: tamsayı kısmındaki basamak (digit) sayısı • m: kesirli kısımdaki basamak (digit) sayısı • ÖRNEK 5 : 2314 desimal sayısının 9’a tümlenini bulalım. Çözüm n=4, r=10. 104-1-2314= • =10000-1-2314 =9999-2314=7685 elde edilir. • ÖRNEK 6: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2) veya 1’ tümleyenini bulunuz. 22.08.2017
Tümleyen Aritmetiği Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221 11 • ÖRNEK 7 : 2314 desimal sayısının 9 tümlenini bulalım. • n=4, r=10. 104-1-2314=10000-1- 2314=9999-2314=7685 elde edilir. • ÖRNEK 8: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2) veya 1 tümleyenini bulunuz. • Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter: Sonuç= 010010 elde edilir. 22.08.2017
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği Fomül uygulanırsa: 26-1-101101=1000000- 0000001-101101=0010010 aynı sonuç bulunur. Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter: Sonuç= 010010 elde edilir.
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği Kesirli sayıların r-1 tümleyeni Nr-1= rn-r-m-N dir. Örnek 9: (624.125)10 sayısının 10’a ve 9’a tümleyenlerini bulunuz. Çözüm: r=10, n=3, m=3 Sayının 10’a tümleyeni=103-624.125=375.875 olur. 9’a tümleyeni=103-10-3-624.125=375.874 Örnek 10: (100110.011)2 binary (ikili) sayısının 2’ye ve 1’e tümleyenlerini bulunuz. Çözüm: r=2, n=6, m=3 Sayının 2’ye tümleyeni: 26-100110.011=011000.101 1’e tümleyeni: 1000000-0.001-100110.011=1000000-100110.100 =0011001.1 olur
Tümleyen Aritmetiği Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1422.08.2017 • ÖRNEK11 : Desimal (725.250) sayısının 9’a tümleyenini bulunuz. • r = 10, n = 3, m = 3 olduğundan 9’a tümleyeni; • 103 -10-3 - 725.250 =1000-0.001-725.250= 275.749 • ÖRNEK 12: Binary (110.1011) sayısının 1’e tümleyenini bulunuz. r = 2, n = 3, m = 4 olduğundan 1’e tümleyeni; • 23 -2-4 - 110.1011 = 1000-0.0001 - 110.1011 = 001.0100
Tümleyen Aritmetiği Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1522.08.2017 • Yukarıdaki örneklerden görüleceği gibi 10 tabanındaki bir sayının r-1 =9’a tümleyeni bulunurken her basamaktaki sayı 9’dan çıkarılır. • Ġkili sayı sisteminde ise bitler ters çevrilir. • ÖRNEK 13: (1001011011)2 binary sayısının 1’e tümleyenini bulunuz. • Çözüm: 0 ları 1 ve 1 leri 0 yapmak yeterli. Sonuç: 0110100100 olur.
Tümleyen Aritmetiği • 2.1.4. r tümleyen aritmetiği ile çıkarma • R tabanındaki iki pozitif sayının ‘M - N’ iĢlemi aĢağıdaki gibi özetlenebilir. • a) M sayısının kendisi ile N sayısının r tümleyeni toplanır • b) Toplama sonucunda bulunan değerin ‘elde’ si varsa bu değer atılır ve sayının pozitif olduğu kabul edilir. Eğer elde değeri yoksa bulunan değerin r tümleyeni alınır ve önüne - işareti konur. (Elde yoksa sonuç (-) bir sayıdır.) Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1622.08.2017
Tümleyen Aritmetiği • ÖRNEK 1: (72532-3250) sayısının sonucunu 10’a tümleyen kullanarak bulunuz. • 03250 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 3250 = 96750. • Ohalde sonuç: 72532 + 96750 = 169282 (Elde 1 var) • ĠĢaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç +69282 dir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1722.08.2017
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği ÖRNEK 2: Desimal (03250 - 72532) sayısının sonucunu 10 tümleyeni kullanarak bulunuz. 72532 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 72532 = 27468 03250 + 27468 = 030718 (Elde 0 var baĢka deyiĢle elde 1 yok.) ĠĢaret biti 0‘dır bu yüzden 030718’in tümleyeni alınır ve önüne - iĢareti konur. Sonuç (-69282) dir.
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2 sayısının sonucunu 2’nin tümleyenini kullanarak bulunuz. (1000100)2 sayısının 2 tümleyeni 0111100 dir. Dolayısiyle sonuç: 1010100 + 0111100 = 10010000 (ĠĢaret biti 1 dir, veya elde 1 var) ĠĢaret biti 1 olduğundan sonuç + 0010000 olur.
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği 2.1.5 r-1 tümleyeni ile çıkarma r-1 tümleyeni ile çıkarma iĢlemi r tümleyeni ile çıkarma iĢlemine benzer. M-N iĢlemi için a) M sayısının kendisi ile N sayısının r-1 tümleyeni toplanır b) Sonuçta elde (taĢma) biti oluĢursa bulunan değere (taĢma bitinden geriye kalan kısım) 1 eklenir. TaĢma biti oluĢmazsa sonuç sayının tümleyeni alınır ve sayı negatif iĢaretli olur.
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği ÖRNEK 1: (72532-3250) sayısının sonucunu 9 tümleyeni kullanarak bulunuz. Çözüm: Tam sayı olunca Nr-1=rn-N-1 formülü kullanılırsa negatif sayı -03250 sayısının 9’a tümleyeni 105-3250-1= 99999 - 3250 = 96749 dır. 72532 + 96749 = 169281 (Elde 1 var) ĠĢaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç 69281+1 = = +69282 olur.
22.08.2017 ÖRNEK 2: (03250 - 72532) sayısının sonucunu 9’a tümleyeni kullanarak bulunuz. Çözüm: 72532 sayısının 9 tümleyeni 99999 - 72532 = 27467 dır. (Nr-1=rn-N-1=rn-1-N, tam sayı durumu) n=5 için rn-1=100000-1=99999. Dolayısıyle N bir tam sayı olduğunda r-1 tümleyeni mutlak değerce en büyük olan sayının basamak sayısı kadar 9 lardan sayının kendisi çıkartılarak bulunur. Veya binary sayı dumunda r-1 tümleyeni mutlak değerce en büyük olan sayının basamak sayısı kadar 1 lerden sayının kendisi çıkartılarak bulunur ) 03250 + 27467 = 030717 (Elde 0 var diğer bir deyiĢle elde 1 yok.) ĠĢaret biti 0‘dır bu yüzden 30717’in tümleyeni alınır ve önüne -iĢareti konur. Sonuç (-69282)
22.08.2017 Tümleyen Aritmetiği ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2 sayısının sonucunu 1’in tümleyenini kullanarak bulunuz. (1000100)2 sayısının 1 tümleyeni 0111011 dir. 1010100 + 0111011 = 10001111 (ĠĢaret biti (elde) 1) ĠĢaret biti 1 olduğundan sonuç 0001111 + 1 = 0010000 dır. (veya (1000100)2 sayısının 1 tümleyeni Nr-1=1111111-1000100= 0111011 olur. Önceki yol daha kestirmedir.)
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 1 - AĢağıdaki sayıları onluk tabana dönüĢtürünüz. a) (4310)5 b) (198)12 c) (735)8 d) (525)6 Çözüm: (4310)5 = 4 * 53 + 3 * 52 + 1 * 51 =( 580)10 (198)12 = 1 * 122 + 9 * 121 + 8 * 120 = (260)10 (735)8 = 7 * 82 + 3 * 81 + 5 * 80 = (477)10 (525)6 = 5 * 62 + 2 * 61 + 5 * 60 = (197)10
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri d) Önce sayının binary (ikili) sayıya dönüĢtürülmesi gerekir. Decimal sayının binary sayıya nasıl dönüĢtürüleceğini biliyoruz. (23.84)10 =(10111)2 olur. 1’e tümleyen= 01000, 2’ye tümleyen=01001 olur.
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 2 - AĢağıdaki sayıların 1’e (1’s complement) ve 2 ‘ye (2’s complement) tümleyenlerini bulunuz. a) (1100110)2 b) (01101101)2 c) (111101)2 d) (23.84)10 e) (125.625)10 Çözüm: a) 1’e tümleyen: 0011001, 2’ye tümleyen: 0011010 b) 1’e tümleyen: 10010010, 2’ye tümleyen: 10010001 c) 1’e tümleyen: 000010, 2’ye tümleyen: 000011
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri e) Sayının binary (ikili) dönüĢümü: (125.625)10=(1111101.101)2 1’e tümleyen: 0000010.100, 2’ye tümleyen: 0000011.100
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 3: AĢağıdaki sayıları onluk sayılara dönüĢtürmeden toplayın ve çarpın. a) (11001)2 ve (1101)2 b) (2AC)16 ve (E2)16 c) (3A4)16 ve (C5)16 Çözüm: a) 11001 (=2510) + 1101 (=1310) 100110 = (38)10
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri 11001 X 1101 11001 + 11001 1001011 + 11001 (10010011)2 =(275)10=(25X11)
22.08.2017 b) (2AC)16 [ (684)10] + ( E2)16 [ (226)10] (684+226=910) ( 38E)16 =(910)10 (2AC)16 [ (684)10] X ( E2)16 [ (226)10] (684x226=154584) 558 + 2568 (25BD8)16 = (154584)10 Örneğin:2ACxE yi hesaplayalım. ExC=168. 168 in içinde 10 tane 16 var. Artan 8 ve elde 10 var. ExA=140. Elde 10 vardı. 140+10=150. 150 nin içinde 9 tane 16 var. Artan 6 ve elde 9 var. Ex2=28. 28+9=37. 37 nin içinde 2 tane 16 var. Artan 5 elde 2 var. Başka çarpılacak basamak yok. 2 doğal olarak aynen başa yazılır. Sonuç olarak 2ACxE=(2568)16 olur.)
22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri c) (3A4)16 [ (932)10] + ( C5)16 [ (197)10] (932+197=1129) ( 469)16 =(1129)10 (3A4)16 [ (932)10] X ( C5)16 [ (197)10] (932x197=183604) 1234 + 2BB0 (2CD34)16 = (183604)10
ĠKĠLĠ SAYI SĠSTEMĠNDE (BINARY) KODLAR 1) ĠKĠLĠ KODLANMIġ ONLU SAYI KODU (BINARY CODED DECIMAL (BCD)) Bilgisayarlar genelde binary sayılarla iĢlem yaparlar, ancak sonuçlar onluk sayı sisteminde verilir. Bu nedenle ondalık (Decimal) sayıların ikili sayı sistemĢnde kodlanması gerekmektedir. AĢağıdaki örnek bu kodlayı açıklamaya yeterlidir 937.25 sayısı BCD olarak aĢğıdaki gibi kodlanır: 1001 0011 0111 . 0010 0101 9 3 7 2 5 Görüldüğü gibi her bir decimal (onluk) sayı binary (ikili) sayı olarak kodlanmıştır. 328/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
33 BCD (Ġkili (binary) kodlanmıĢ ondalık sayı) sayılarla Toplama: Örnek 1: 14610+25910=40510 0001 0100 0110 BCD formunda yazılım + 0010 0101 1001 0011 1001 1111 + 0110 düzeltme sayısı (1111>9) 0011 1010 0101 + 0110 düzeltme sayısı (1010>9) 0100 0000 0101 =40510 Herhangi bir BCD blok 9 dan büyük olunca o bloka düzeltme sayısı olarak 6 (binary 0110) eklenir. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
34 Örnek 2: 5210+19910=25110 0000 0101 0010 BCD formunda yazılım + 0001 1001 1001 0001 1110 1011 + 0110 0110 düzeltmeler 0010 0101 0001 =25110 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
22.08.2017 AÄžIRLIKLI KODLAR
2) 8-4-2-1 KODU (bu kod ağırlıklı bir koddur) 8-4-2-1 KODU 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 368/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
3) 6-3-1-1 KODU (AÄžIRLIKLI KOD) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 1 6 1 0 0 0 7 1 0 0 1 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 378/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
3) 4-3-2-1 CODE (Ağırlıklı kod) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 1 0 0 0 5 1 0 0 1 6 1 0 1 0 7 1 1 0 0 8 1 1 0 1 9 1 1 1 0 8/22/2017 38Prof. M. Akbaba Digital Logic
8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 39 AÄžIRLIKLIKSIZ KODLAR
4) ARTI 3 (EXCESS 3) Kodu (Ağırlıksız kod) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 40 Bu kod 8-4-2-1 kodunun her sayısına 3 (0011) eklenerek bulunmustur ve ağırlıksız bir koddur. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
5. 5’te 2 Kodu (AĞIRLIKSIZ KOD) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 1 0 3 0 1 0 0 1 4 0 1 0 1 0 5 0 1 1 0 0 6 1 0 0 0 1 7 1 0 0 1 0 8 1 0 1 0 0 9 1 1 0 0 0 41 her ondalık sayı 5 bit ile yazılmıştır ve her satırda sadece iki tene 1 vardır. Analog-digital ölçmelerde çok kullanılan bir koddur.8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
6) GRAY Kodu (Ağırlıksız kod) 8/22/2017 42Prof. M. Akbaba Digital Logic 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 ÖlçülmüĢ anlog iĢaretlerin dijital iĢarete dönüĢtürülmesine sıkça kullanılan bir koddur (A/D converters), örneğin motorların hızının mil encoderi kullanarak ölçülmesinde sıkça kullanılır.
43 ASCII: American Standard Code for Informatıon Interchange ASKI (ASCII) KOD 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
Table 1-3 ASCII code (incomplete) 448/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 45 Kaynakça: 1. Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları 2. Hüseyin EKĠZ, Mantık Devreleri, DeğiĢim Yayınları, 4. Baskı, 2005 3. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006 4. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997

More Related Content

H2 blm221 tümleyen ari̇tmeti̇ği̇-kodlar

  • 1. KBUZEM Karabük Ãœniversitesi Uzaktan EÄŸitim Uygulama ve AraÅŸtırma Merkezi BLM221 MANTIK DEVRELERÄ° Prof. Dr. Mehmet Akbaba mehmetakbaba@karabük.edu.tr 2. HAFTA
  • 2. Temel Kavramlar • Tümleyen AritmetiÄŸi • r Tümleyeni AritmetiÄŸi • r-1 Tümleyeni AritmetiÄŸi • Ä kili Sayı Kodları • BCD Kodu • Ağırlıklı Kodlar • Ağırlıksız Kodlar Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 222.08.2017
  • 3. Tümleyen AritmetiÄŸi • Öncelikle bilmek gereken konu sadece negatif (-) sayıların tümleyeninden bahsediliyor. Tümleyenini alcağımız sayıların negatif sayılar olduÄŸunu varsaycağız. • Tümleyen ifadesini örneklemek için sayıcıları kullanabiliriz. Sayıcılar yukarı doÄŸru sayarken 01, 02 diye artar. AÄ¢ağı doÄŸru sayarken ise 09, 08 diye azalır. Burada 09’un tümleyenine 01, 08’in tümleyenine de 02 denilmektedir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 322.08.2017
  • 4. Tümleyen AritmetiÄŸi • Ä kili sayı sisteminde iki tümleyen kullanılmaktadır. Bunlar 1’in tümleyeni ve 2’nin tümleyeni r tabanlı bir sayı sisteminde tümleyenler r (r:radix) tümleyeni ve r-1 tümleyeni olarak ifade edilir. • ÖRNEK: 10 tabanlı bir sayı sisteminde r tümleyeni 10, r-1 tümleyeni 9 dur. • Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 422.08.2017
  • 5. Tümleyen AritmetiÄŸi 2.1.1 r-Tümleyeni r tabanlı bir tam sayı sisteminde n basamaklı pozitif tamsayı N ile gösterilirse N sayısının r tümleyeni Nr=rn-N olarak tanımlanabilir (n: kullanılan bit veya basamak sayısı.) ÖRNEK 1: (125.456)10 sayısının 10 tümleyenini bulunuz. (125)10 sayısının tamsayı kısmı 3 basamaklıdır. Bu nedenle rn = 103 tür. Nr=rn- N = 103 -125.456 = 874.544 22.08.2017
  • 6. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi Örnek 7: (21.426)10 sayısının 10’a tümleyenini ve 9’a tümleyenini bulunuz. 10’a tümleyeni: Nr=10n-N=100.000-21.456=78.544 olur. 9’a tümleyeni: r-1 tümleyen=Nr-1=rn-r-m-N Nr-1=102-10-3-21.426=100-0.001-21.426=78.543 olur.
  • 7. Tümleyen AritmetiÄŸi • ÖRNEK 2: (110010.1011)2 sayısının 2’ye tümleyenini bulunuz. • (110010.1011)2 sayısının tamsayı kısmı 6 basamaklıdır. Bu nedenle rn = 26 dır. • Nr=rn- N = 26 - 110010 = 1000000-110010.1011 = 0001101.0101 olur. • Ä kili sayı sisteminde 2’nin tümleyeni iki Ä¢ekilde bulunabilir (ikili sayı sisteminde r=2 dir). • N sayısındaki bitlerin tersi alınır (1’ler 0, 0’lar 1 yapılır) ve LSB’e 1 eklenir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 722.08.2017
  • 8. • ÖRNEK 3: (110010)2 sayısının r (r=2) tümleyenini bulunuz. • (110010)2 sayısında 1’ler 0, 0’lar 1 ile deÄŸiÄ¢tirilirse (001101)2 sayısı elde edilir. LSB’e 1 eklenirse (001110)2 sayısı bulunur. • (110010)2 sayısının r tümleyeni (001110)2 dir. • N sayısındaki LSB’ten itibaren sıfırdan farklı ilk sayıya kadar (ilk sayı dahil) alınır, kalan bitlerin tersi alınır. (1’ler 0, 0’lar 1 yapılır) Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 8 Tümleyen AritmetiÄŸi 22.08.2017
  • 9. Tümleyen AritmetiÄŸi ÖRNEK 4: (110010)2 sayısının r (burada r=2) 2’ye tümleyenini bulunuz. (110010)2 sayısında 0’dan farklı ilk sayıya kadar bitler yazılır ve kalan bitlerin tersi alınırsa (001110)2 sayısı elde edilir. (110010)2 sayısının 2 tümleyeni (001110)2 dir. Veya rn-N fomülü uygulanırsa: Nr=26-110010=1000000-110010=001110 elde edilir. 22.08.2017
  • 10. Tümleyen AritmetiÄŸi PPProf. Dr. M. Akbaba BLM 221i 10 2.1.2 r-1 Tümleyeni • Bir N tam sayının r-1 tümleyeni Nr-1=rn-1-N olur. • Kesirli bir N sayının tümleyeni Nr-1=rn-r-m-N dir. • n: tamsayı kısmındaki basamak (digit) sayısı • m: kesirli kısımdaki basamak (digit) sayısı • ÖRNEK 5 : 2314 desimal sayısının 9’a tümlenini bulalım. Çözüm n=4, r=10. 104-1-2314= • =10000-1-2314 =9999-2314=7685 elde edilir. • ÖRNEK 6: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2) veya 1’ tümleyenini bulunuz. 22.08.2017
  • 11. Tümleyen AritmetiÄŸi Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221 11 • ÖRNEK 7 : 2314 desimal sayısının 9 tümlenini bulalım. • n=4, r=10. 104-1-2314=10000-1- 2314=9999-2314=7685 elde edilir. • ÖRNEK 8: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2) veya 1 tümleyenini bulunuz. • Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter: Sonuç= 010010 elde edilir. 22.08.2017
  • 12. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi Fomül uygulanırsa: 26-1-101101=1000000- 0000001-101101=0010010 aynı sonuç bulunur. Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter: Sonuç= 010010 elde edilir.
  • 13. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi Kesirli sayıların r-1 tümleyeni Nr-1= rn-r-m-N dir. Örnek 9: (624.125)10 sayısının 10’a ve 9’a tümleyenlerini bulunuz. Çözüm: r=10, n=3, m=3 Sayının 10’a tümleyeni=103-624.125=375.875 olur. 9’a tümleyeni=103-10-3-624.125=375.874 Örnek 10: (100110.011)2 binary (ikili) sayısının 2’ye ve 1’e tümleyenlerini bulunuz. Çözüm: r=2, n=6, m=3 Sayının 2’ye tümleyeni: 26-100110.011=011000.101 1’e tümleyeni: 1000000-0.001-100110.011=1000000-100110.100 =0011001.1 olur
  • 14. Tümleyen AritmetiÄŸi Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1422.08.2017 • ÖRNEK11 : Desimal (725.250) sayısının 9’a tümleyenini bulunuz. • r = 10, n = 3, m = 3 olduÄŸundan 9’a tümleyeni; • 103 -10-3 - 725.250 =1000-0.001-725.250= 275.749 • ÖRNEK 12: Binary (110.1011) sayısının 1’e tümleyenini bulunuz. r = 2, n = 3, m = 4 olduÄŸundan 1’e tümleyeni; • 23 -2-4 - 110.1011 = 1000-0.0001 - 110.1011 = 001.0100
  • 15. Tümleyen AritmetiÄŸi Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1522.08.2017 • Yukarıdaki örneklerden görüleceÄŸi gibi 10 tabanındaki bir sayının r-1 =9’a tümleyeni bulunurken her basamaktaki sayı 9’dan çıkarılır. • Ä kili sayı sisteminde ise bitler ters çevrilir. • ÖRNEK 13: (1001011011)2 binary sayısının 1’e tümleyenini bulunuz. • Çözüm: 0 ları 1 ve 1 leri 0 yapmak yeterli. Sonuç: 0110100100 olur.
  • 16. Tümleyen AritmetiÄŸi • 2.1.4. r tümleyen aritmetiÄŸi ile çıkarma • R tabanındaki iki pozitif sayının ‘M - N’ iÄ¢lemi aÄ¢ağıdaki gibi özetlenebilir. • a) M sayısının kendisi ile N sayısının r tümleyeni toplanır • b) Toplama sonucunda bulunan deÄŸerin ‘elde’ si varsa bu deÄŸer atılır ve sayının pozitif olduÄŸu kabul edilir. EÄŸer elde deÄŸeri yoksa bulunan deÄŸerin r tümleyeni alınır ve önüne - iÅŸareti konur. (Elde yoksa sonuç (-) bir sayıdır.) Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1622.08.2017
  • 17. Tümleyen AritmetiÄŸi • ÖRNEK 1: (72532-3250) sayısının sonucunu 10’a tümleyen kullanarak bulunuz. • 03250 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 3250 = 96750. • Ohalde sonuç: 72532 + 96750 = 169282 (Elde 1 var) • ĠĢaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç +69282 dir. Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 1722.08.2017
  • 18. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi ÖRNEK 2: Desimal (03250 - 72532) sayısının sonucunu 10 tümleyeni kullanarak bulunuz. 72532 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 72532 = 27468 03250 + 27468 = 030718 (Elde 0 var baÄ¢ka deyiÄ¢le elde 1 yok.) ĠĢaret biti 0‘dır bu yüzden 030718’in tümleyeni alınır ve önüne - iÄ¢areti konur. Sonuç (-69282) dir.
  • 19. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2 sayısının sonucunu 2’nin tümleyenini kullanarak bulunuz. (1000100)2 sayısının 2 tümleyeni 0111100 dir. Dolayısiyle sonuç: 1010100 + 0111100 = 10010000 (ĠĢaret biti 1 dir, veya elde 1 var) ĠĢaret biti 1 olduÄŸundan sonuç + 0010000 olur.
  • 20. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi 2.1.5 r-1 tümleyeni ile çıkarma r-1 tümleyeni ile çıkarma iÄ¢lemi r tümleyeni ile çıkarma iÄ¢lemine benzer. M-N iÄ¢lemi için a) M sayısının kendisi ile N sayısının r-1 tümleyeni toplanır b) Sonuçta elde (taÄ¢ma) biti oluÄ¢ursa bulunan deÄŸere (taÄ¢ma bitinden geriye kalan kısım) 1 eklenir. TaÄ¢ma biti oluÄ¢mazsa sonuç sayının tümleyeni alınır ve sayı negatif iÄ¢aretli olur.
  • 21. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi ÖRNEK 1: (72532-3250) sayısının sonucunu 9 tümleyeni kullanarak bulunuz. Çözüm: Tam sayı olunca Nr-1=rn-N-1 formülü kullanılırsa negatif sayı -03250 sayısının 9’a tümleyeni 105-3250-1= 99999 - 3250 = 96749 dır. 72532 + 96749 = 169281 (Elde 1 var) ĠĢaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç 69281+1 = = +69282 olur.
  • 22. 22.08.2017 ÖRNEK 2: (03250 - 72532) sayısının sonucunu 9’a tümleyeni kullanarak bulunuz. Çözüm: 72532 sayısının 9 tümleyeni 99999 - 72532 = 27467 dır. (Nr-1=rn-N-1=rn-1-N, tam sayı durumu) n=5 için rn-1=100000-1=99999. Dolayısıyle N bir tam sayı olduÄŸunda r-1 tümleyeni mutlak deÄŸerce en büyük olan sayının basamak sayısı kadar 9 lardan sayının kendisi çıkartılarak bulunur. Veya binary sayı dumunda r-1 tümleyeni mutlak deÄŸerce en büyük olan sayının basamak sayısı kadar 1 lerden sayının kendisi çıkartılarak bulunur ) 03250 + 27467 = 030717 (Elde 0 var diÄŸer bir deyiÄ¢le elde 1 yok.) ĠĢaret biti 0‘dır bu yüzden 30717’in tümleyeni alınır ve önüne -iÄ¢areti konur. Sonuç (-69282)
  • 23. 22.08.2017 Tümleyen AritmetiÄŸi ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2 sayısının sonucunu 1’in tümleyenini kullanarak bulunuz. (1000100)2 sayısının 1 tümleyeni 0111011 dir. 1010100 + 0111011 = 10001111 (ĠĢaret biti (elde) 1) ĠĢaret biti 1 olduÄŸundan sonuç 0001111 + 1 = 0010000 dır. (veya (1000100)2 sayısının 1 tümleyeni Nr-1=1111111-1000100= 0111011 olur. Önceki yol daha kestirmedir.)
  • 24. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 1 - AÄ¢ağıdaki sayıları onluk tabana dönüĢtürünüz. a) (4310)5 b) (198)12 c) (735)8 d) (525)6 Çözüm: (4310)5 = 4 * 53 + 3 * 52 + 1 * 51 =( 580)10 (198)12 = 1 * 122 + 9 * 121 + 8 * 120 = (260)10 (735)8 = 7 * 82 + 3 * 81 + 5 * 80 = (477)10 (525)6 = 5 * 62 + 2 * 61 + 5 * 60 = (197)10
  • 25. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri d) Önce sayının binary (ikili) sayıya dönüĢtürülmesi gerekir. Decimal sayının binary sayıya nasıl dönüĢtürüleceÄŸini biliyoruz. (23.84)10 =(10111)2 olur. 1’e tümleyen= 01000, 2’ye tümleyen=01001 olur.
  • 26. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 2 - AÄ¢ağıdaki sayıların 1’e (1’s complement) ve 2 ‘ye (2’s complement) tümleyenlerini bulunuz. a) (1100110)2 b) (01101101)2 c) (111101)2 d) (23.84)10 e) (125.625)10 Çözüm: a) 1’e tümleyen: 0011001, 2’ye tümleyen: 0011010 b) 1’e tümleyen: 10010010, 2’ye tümleyen: 10010001 c) 1’e tümleyen: 000010, 2’ye tümleyen: 000011
  • 27. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri e) Sayının binary (ikili) dönüĢümü: (125.625)10=(1111101.101)2 1’e tümleyen: 0000010.100, 2’ye tümleyen: 0000011.100
  • 28. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri Soru 3: AÄ¢ağıdaki sayıları onluk sayılara dönüĢtürmeden toplayın ve çarpın. a) (11001)2 ve (1101)2 b) (2AC)16 ve (E2)16 c) (3A4)16 ve (C5)16 Çözüm: a) 11001 (=2510) + 1101 (=1310) 100110 = (38)10
  • 29. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri 11001 X 1101 11001 + 11001 1001011 + 11001 (10010011)2 =(275)10=(25X11)
  • 30. 22.08.2017 b) (2AC)16 [ (684)10] + ( E2)16 [ (226)10] (684+226=910) ( 38E)16 =(910)10 (2AC)16 [ (684)10] X ( E2)16 [ (226)10] (684x226=154584) 558 + 2568 (25BD8)16 = (154584)10 ÖrneÄŸin:2ACxE yi hesaplayalım. ExC=168. 168 in içinde 10 tane 16 var. Artan 8 ve elde 10 var. ExA=140. Elde 10 vardı. 140+10=150. 150 nin içinde 9 tane 16 var. Artan 6 ve elde 9 var. Ex2=28. 28+9=37. 37 nin içinde 2 tane 16 var. Artan 5 elde 2 var. BaÅŸka çarpılacak basamak yok. 2 doÄŸal olarak aynen baÅŸa yazılır. Sonuç olarak 2ACxE=(2568)16 olur.)
  • 31. 22.08.2017 Örnek Soru Çözümleri c) (3A4)16 [ (932)10] + ( C5)16 [ (197)10] (932+197=1129) ( 469)16 =(1129)10 (3A4)16 [ (932)10] X ( C5)16 [ (197)10] (932x197=183604) 1234 + 2BB0 (2CD34)16 = (183604)10
  • 32. Ä KÄ LÄ  SAYI SÄ STEMÄ NDE (BINARY) KODLAR 1) Ä KÄ LÄ  KODLANMIÄ¡ ONLU SAYI KODU (BINARY CODED DECIMAL (BCD)) Bilgisayarlar genelde binary sayılarla iÄ¢lem yaparlar, ancak sonuçlar onluk sayı sisteminde verilir. Bu nedenle ondalık (Decimal) sayıların ikili sayı sistemÄ¢nde kodlanması gerekmektedir. AÄ¢ağıdaki örnek bu kodlayı açıklamaya yeterlidir 937.25 sayısı BCD olarak aĢğıdaki gibi kodlanır: 1001 0011 0111 . 0010 0101 9 3 7 2 5 Görüldüğü gibi her bir decimal (onluk) sayı binary (ikili) sayı olarak kodlanmıştır. 328/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 33. 33 BCD (Ä kili (binary) kodlanmıĢ ondalık sayı) sayılarla Toplama: Örnek 1: 14610+25910=40510 0001 0100 0110 BCD formunda yazılım + 0010 0101 1001 0011 1001 1111 + 0110 düzeltme sayısı (1111>9) 0011 1010 0101 + 0110 düzeltme sayısı (1010>9) 0100 0000 0101 =40510 Herhangi bir BCD blok 9 dan büyük olunca o bloka düzeltme sayısı olarak 6 (binary 0110) eklenir. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 34. 34 Örnek 2: 5210+19910=25110 0000 0101 0010 BCD formunda yazılım + 0001 1001 1001 0001 1110 1011 + 0110 0110 düzeltmeler 0010 0101 0001 =25110 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 36. 2) 8-4-2-1 KODU (bu kod ağırlıklı bir koddur) 8-4-2-1 KODU 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 368/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 37. 3) 6-3-1-1 KODU (AÄžIRLIKLI KOD) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 1 6 1 0 0 0 7 1 0 0 1 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 378/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 38. 3) 4-3-2-1 CODE (Ağırlıklı kod) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 1 0 0 0 5 1 0 0 1 6 1 0 1 0 7 1 1 0 0 8 1 1 0 1 9 1 1 1 0 8/22/2017 38Prof. M. Akbaba Digital Logic
  • 39. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 39 AÄžIRLIKLIKSIZ KODLAR
  • 40. 4) ARTI 3 (EXCESS 3) Kodu (Ağırlıksız kod) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 40 Bu kod 8-4-2-1 kodunun her sayısına 3 (0011) eklenerek bulunmustur ve ağırlıksız bir koddur. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 41. 5. 5’te 2 Kodu (AÄžIRLIKSIZ KOD) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 1 0 3 0 1 0 0 1 4 0 1 0 1 0 5 0 1 1 0 0 6 1 0 0 0 1 7 1 0 0 1 0 8 1 0 1 0 0 9 1 1 0 0 0 41 her ondalık sayı 5 bit ile yazılmıştır ve her satırda sadece iki tene 1 vardır. Analog-digital ölçmelerde çok kullanılan bir koddur.8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 42. 6) GRAY Kodu (Ağırlıksız kod) 8/22/2017 42Prof. M. Akbaba Digital Logic 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 ÖlçülmüĢ anlog iÄ¢aretlerin dijital iÄ¢arete dönüĢtürülmesine sıkça kullanılan bir koddur (A/D converters), örneÄŸin motorların hızının mil encoderi kullanarak ölçülmesinde sıkça kullanılır.
  • 43. 43 ASCII: American Standard Code for Informatıon Interchange ASKI (ASCII) KOD 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 44. Table 1-3 ASCII code (incomplete) 448/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba
  • 45. 8/22/2017 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 45 Kaynakça: 1. Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları 2. Hüseyin EKÄ Z, Mantık Devreleri, DeÄŸiÄ¢im Yayınları, 4. Baskı, 2005 3. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006 4. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997