双曲平面のモデルと初等几何
- 4. §0 準備
- 5. 準備１ 双曲線関数
- 6. 双曲線関数の定義 ?双曲線関数を次のように定義する。 ? cosh ? = ? ?+??? 2 = cos ?? ? sinh ? = ? ????? 2 = ?? sin ?? ? tanh ? = sinh ? cosh ? = ?? tan ??
- 7. 双曲線関数のグラフ1 ?? = cosh ? ? cosh 0 = 1 ? cosh ?? = cosh ? ? cosh ? ≥ 1
- 8. 双曲線関数のグラフ2 ?? = sinh ? ? sinh 0 = 0 ? sinh ?? = ? sinh ? ? ?∞ < sinh ? < ∞
- 9. 双曲線関数のグラフ3 ?? = tanh ? ? tanh 0 = 0 ? tanh ?? = ? tanh ? ? ?1 < tanh ? < 1
- 10. 双曲線関数の公式1 ?基本的な関係式 cosh2 ? ? sinh2 ? = 1 ?双曲線をパラメトライズしている。 ?次の形でもよく使う。 1 ? tanh2 ? = 1 cosh2 ? ※三角関数の公式から導ける。
- 11. 双曲線関数の公式2 ?微分の公式 ? (cosh ?)′ = sinh ? ? (sinh ?)′ = cosh ? ? (tanh ?)′ = 1 cosh2 ? ?三角関数と違ってマイナスが出てこない。 ※三角関数の公式から導ける。
- 12. 双曲線関数の公式3 ?逆関数の微分の公式 ? (cosh?1 ?)′ = 1 ?2?1 ? (sinh?1 ?)′ = 1 ?2+1 ? tanh?1 ? ′ = 1 1??2 ?数Ⅲでやっていた。 ※一応三角関数の公式から導ける。 (cosh?1 ? > 0とした)
- 13. 双曲線関数の公式4 ?加法定理 ? cosh ? + ? = cosh ? cosh ? + sinh ? sinh ? ? sinh ? + ? = sinh ? cosh ? + cosh ? sinh ? ? tanh ? + ? = tanh ?+tanh ? 1+tanh ? tanh ? ?これもマイナスが出てこない。 ※三角関数の公式から導ける。
- 14. 双曲線関数のTaylor展開 ?双曲線関数は以下のように展開できる。 ? cosh ? = 1 + ?2 2! + ?4 4! + ? ≒ 1 + ?2 2 ? sinh ? = ? + ?3 3! + ?5 5! + ? ≒ ? ?指数関数のTaylor展開の偶数、奇数部分。 ?hyperbolic tangentは難しい。
- 15. 準備2 第一基本形式
- 16. 曲線の長さ ?曲線? ? = ?(?) ?(?) ?(?) の長さは速さの積分。 ? ?? = ?2 + ?2 + ?2 ??
- 17. 曲面上の曲線の長さ ?曲面を? ?, ? = ?(?, ?) ?(?, ?) ?(?, ?) とすると、曲面上 の曲線は? ? = ?(? ? , ? ? )の形になる。 ??(?)の速さは次の式で与えられる。 ? 2 = ? ? 2 ?2 + 2(? ? ? ? ?) ? ? + ? ? 2 ?2 ※? ?, ? ?は?の?, ?による偏微分。
- 18. 曲面の第一基本形式 ?? = ? ? 2 , ? = ? ? ? ? ?, ? = ? ? 2 とおくと曲面 上の曲線の長さは次のように書ける。 ? ?2 + 2? ? ? + ? ?2 ?? ?以下のものを曲面の第一基本形式と言う。 ??2 = ???2 + 2????? + ???2
- 19. 曲面上の領域の面積 ?? ?と? ?で張られる平行四辺形の面積は |? ? × ? ?| = ?? ? ?2 （公式 ? × ? ? ? × ? = ? ? ? ? ? ? ? (? ? ?)(? ? ?)より） ?曲面上の領域?の面積は ??1(?) ?? ? ?2 ???? …第一基本形式から計算できる。
- 22. 準備3 一次分数変換
- 23. 一次分数変換 ?? = ? ? ? ? ∈ ??2(?)に対し ?? ? = ?? + ? ?? + ? (? ∈ ?) で定まる変換を一次分数変換という。 ?定数倍だけ異なる行列は同じ変換を定める。 ???2(?)は?に作用している。 ?? ?? = ???
- 25. 複比 ?4つの異なる複素数（or∞）の複比を次のよう に定義する。 ? ?0, ?1, ?2, ?3 = (?0 ? ?2)(?1 ? ?3) (?0 ? ?3)(?1 ? ?2) ?複比は一次分数変換で不変。 ? ??0, ??1, ??2, ??3 = ? ?0, ?1, ?2, ?3 ?4点が1つの円周上に順に並んでいる?? > 1
- 26. 一次分数変換と複比 ?一次分数変換は3点の行き先により定まる。 ?逆に、任意の3点を任意の3点に写す一次分 数変換が存在する。 ??1, ?2, ?3を?1, ?2, ?3に写す一次分数変換は ? ??, ?1, ?2, ?3 = ? ?, ?1, ?2, ?3 により定まる。
- 27. §1 双曲空間のモデル
- 29. 牽引線の方程式 ?引っ張る棒が牽引線の接線になる。 ? ? = 1 cosh ? ? ? tanh ?
- 30. 擬球1 ?牽引線を回転させてできる面。 ?Gauss曲率が-1。 …第4回つどいご参照。 ? ? ? = cos ? cosh ? sin ? cosh ? ? ? tanh ?
- 32. 擬球の第一基本形式 ?素直に計算すると以下の形になる。 ??2 = ??2 cosh2 ? +tanh2 ? ??2 ?変数変換? = cosh ? により次のようになる。 ??2 = ??2 + ??2 ?2
- 35. Poincare上半平面 ?? = { ?, ? ∈ ?2 |? > 0}に第一基本形式 ??2 = ??2 + ??2 ?2 を入れたものをPoincare上半平面という。 ?複素平面で考えると ?? = ?? Im ? と書ける。
- 37. Poincare上半平面の等長変換 ???2(?)は?に一次分数変換として作用する。 ?±1倍は同じ変換を定めるので次のようにおく。 ???2 ? = ??2 ? /{±?} ?この作用は向きと長さを保つ。 ?通常の平面の回転と平行移動に相当。 ※実は上半平面の向きと長さを保つ変換全体。 ※実は上半平面の解析的自己同型全体。
- 38. Poincare円板 ?上半平面と単位円板はCayley変換により同型。 ? = ? ? ? ? + ? (? ∈ ?2 ) ?この同型によりPoincare上半平面の長さを単位 円板に写したものをPoincare円板という。 ?Poincare円板の双曲直線は円周に直交する円弧。
- 42. Euclidの第3公準に関して Ⅲ.任意の中心と半径に関して円が描ける。 ?Poincare円板の回転も等長変換なので、双曲円 は通常の意味でも円になっている。 ?Cayley変換も一次分数変換なので、実はPoincare上 半平面の双曲円も通常の円になる。 ?ただし通常の円の中心と双曲円の中心は異なる。 ?半径?の双曲円の周長は2? sinh ? 。 ?面積をぜひ計算してください。
- 49. §2 双曲平面の三角法
- 50. Minkowski空間 ??3 に擬内積と擬外積を以下で定義する。 ? = ?1 ?2 ?3 , ? = ?1 ?2 ?3 に対し ? ? ? ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?3 ?3 ? ? × ? = ?2 ?3 ? ?3 ?2 ?3 ?1 ? ?1 ?3 ?(?1 ?2 ? ?2 ?1)
- 51. 擬内積と擬外積の公式 ?以下の公式が成り立つ。 ? ? × ? ? ? = det(?, ?, ?) ? ? × ? × ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? × ? ? ? × ? = ? ? ? ? ? ? ? (? ? ?)(? ? ?) ? det(?1, ?2, ?3) det(?1, ?2, ?3) = ? det(?? ? ??)
- 52. 双曲面モデル ?Minkowski空間の二葉双曲面 ? ? ? = ?1 の うち、? > 0 の葉?が双曲面モデルとなる。 ?点?0での接平面の方程式は ?0 ? (? ? ?0) = 0 ?接ベクトル?は?0 ? ? = 0を満たす。 ?擬内積は接平面上では正定値。 ?接平面は「傾き」が1より小さい。 ?測地線は原点を通る平面との交線。
- 53. 二点間の距離 ?? = 0で位置?、速度?( ? = 1)の測地線は ? ? = (cosh ?) ? + (sinh ?) ? と書ける。 ?平面 ?, ? と?の交線。 ?2点?, ? ∈ ?の距離?(?, ?)に対して次が成り 立つ。 cosh ?(?, ?) = ?? ? ?
- 54. 測地線の法線ベクトル ?測地線?(?)の法線ベクトルを次で定める。 ?(?) = ? ? × ?(?) ??は?と ?に擬直交している。 ?上から見たとき?(?)は?(?)に対して左向き。 ?Minkowski空間では、?は?によらず一定！ ? ? は平面 ?, ? の擬直交補空間。
- 55. 測地線が角を成す場合の公式 ?図の状況で以下の等式が成り立つ。 ? ?1 ? ?2 = cos ? , ?1 × ?2 = ? (sin ?) ? ? ?1 ? ?2 = ?cos ? , ?1 × ?2 = (sin ?) ? ? ?1 ? ?2 = ?1 ? ?2 = sin ? ? ?1 × ?2 = ?1 × ?2 = (cos ?)? ※以下、図はPoincare円板のもの。
- 56. 双曲三角形の余弦定理 ?双曲三角形について以下の式が成り立つ。 cos ? = cosh ? cosh ? ? cosh ? sinh ? sinh ?
- 57. 双曲三角形の正弦定理 ?双曲三角形について以下の式が成り立つ。 sinh ? sin ? = sinh ? sin ? = sinh ? sin ?
- 58. 双曲三角形の？？定理 ?双曲三角形について以下の式が成り立つ。 cosh ? = cos ? + cos ? cos ? sin ? sin ? ?角度から辺の長さが決まる。
- 59. 直角三角形の場合 ?Pythagorasの定理 cosh ? = cosh ? cosh ? ?三角比 cos ? = sinh ? sinh ? cosh ?, sin ? = sinh ? sinh ? ?新しい式 cosh ? = cos ? sin ?
- 60. 直角が2つある場合の公式 ?図の状況で次の公式が成り立つ。 ?1 ? ?3 = ?cosh ? ?1 × ?3 = (sinh ?) ?2 det ?1, ?2, ?3 = ? sinh ?
- 61. 直角六角形の余弦公式 ?直角六角形に対し次の公式が成り立つ。 sinh ?2 sinh ?4 cosh ?3 = cosh ?6 + cosh ?2 cosh ?4
- 62. 直角六角形の正弦公式 ?直角六角形に対し次の公式が成り立つ。 sinh ?4 sinh ?1 = sinh ?2 sinh ?5 = sinh ?6 sinh ?3
- 63. 正n角形 ?? ≥ 3に対し、0 < ? < 1 ? 2 ? ?を満たす 任意の?に対し、全ての内角が?となる正?角 形が存在する。
- 64. §3 双曲三角形の面積
- 66. Gaussが手紙で述べたこと ?内角が?, ?, ?の双曲三角形の面積は角不足 ? ? ? + ? + ? の定数倍となる。 …三角形の面積は角度のみで決まる！！ ?以下の証明の流れはGaussによるものですが、説明 の前半は全然違います。
- 70. Gaussの証明 Ⅳ.? ? + ? ? ? ? = ?
- 71. Gaussの証明 Ⅴ.? ? + ?(?) + ? ? ? ? ? ? = ?
- 72. Gaussの証明 Ⅵ.? ? + ? ? = ? ? + ? ?したがってある定数?に対し ? ? = ?? と書ける。 ?適当な単位をとれば? = 1とできる。 （双曲平面はそうなっている。）
- 73. Gaussの証明 Ⅶ.三角形の面積Δは角不足の定数倍となる。 Δ = ?(? ? ? ? ? ? ?)