![圏論
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例：自然数とその列
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例：カリー化からモ
ノイドへの写像
関手：
圏?から圏?への関手?: ? → ?とは、圏?の対象?を圏?の対象?(?)に対応付け、圏?の 射
?: ? → ?を圏?の対象?(?)に対応付ける関数の組で、次の二つの条件を満たすものである。
1) ?の任意の二つの射?: ? → ?, ?: ? → ?に対して、?(? ? ?) = ?(?) ° ?(?)である。
2) ?の任意の対象?に対して、?(1 ?) = 1 ?( ?)
である。
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新しい圏に](https://image.slidesharecdn.com/haskell-160319112142/85/Haskell-4-320.jpg)
![Haskell プログラミング言語で、カテゴリー（圏論）を
ベースにしているのは、Haskell
関数型言語の歴史
素数
primes = filterPrime [2..]
where filterPrime (p:xs) =
p : filterPrime [x | x <- xs, x `mod` p /= 0]
クイックソート
quicksort [] = []
quicksort (x:xs) = quicksort smaller ++ [x] ++ quicksort larger
where smaller = [a | a <- xs, a < x]
larger = [a | a <- xs, a >= x]
関数とは
? = ?0 ? ???（速度）
? = ?0 + ???（位置）
言語 年 発明者
ラムダ計算 1930 チャーチ
圏論 1945 マックレーン
LISP 1958 マッカーシー
Scheme 1975 サスマン
Smalltalk-80 1980 ゼロックス社
Haskell 1.0 1990 ハスケル?カリーに因
んで
Haskell 2010 2010](https://image.slidesharecdn.com/haskell-160319112142/85/Haskell-7-320.jpg)
圏论と贬补蝉办别濒濒は仲良し
- 3. 圏論 数学は、元来、抽象的だが、 その中で最も抽象的なのが圏論 それぞれの分野を圏とし、 それらに共通するものを扱う カテゴリーには、 ?集合の圏 ?モノイドの圏 ?群の圏 ?ベクトル空間の圏 ?グラフの圏 ?実数の集合と 連続関数の圏 ?位相空間の圏 ?デカルト閉圏 圏とは １．対象（集合：要素の集まり） ２．射（関数） ３．ソース、ターゲット ４．恒等射 ５．合成（結合律） 例：自然数の加算 （モノイド） ? 恒等射：0 合成： ＋ 0 1 ? 例：自然数の加算 +? 恒等射：0 合成： +? ° +? = +(? + ?) +0 +1 ? ? カリー化 ? ? ? ? ? ? 例：集合と写像の圏 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例：グラフの圏 ノードとエッジを対象に
- 4. 圏論 ? 例：自然数とその列 [?] ? = [ ] 米田の補題 Nat(Hom ????(?, _), ?) ? ?(?) X Hom ????(?, _) 圏? ?(?) 圏???? ? 随伴関手Hom ?(?(?), ?) ? Hom ?(?, ?(?)) 圏? 圏? ? ? 赤ん坊 の世界 雑音 中学生 の世界 会話中学生：職場体験 ? ? ? ° ? = ? + ? (+?) (+?) +? ° +? = + ? + ? ? ?1 ?2 ? ? ? 例：カリー化からモ ノイドへの写像 関手： 圏?から圏?への関手?: ? → ?とは、圏?の対象?を圏?の対象?(?)に対応付け、圏?の 射 ?: ? → ?を圏?の対象?(?)に対応付ける関数の組で、次の二つの条件を満たすものである。 1) ?の任意の二つの射?: ? → ?, ?: ? → ?に対して、?(? ? ?) = ?(?) ° ?(?)である。 2) ?の任意の対象?に対して、?(1 ?) = 1 ?( ?) である。 ? ? ? ? ?(?) ?(?) ?(?) ? ? 新しい圏に
- 5. Universal Properties 積の定義： 対象?1, ?2の積とは、対象?、射?1: ? → ?1, ?2: ? → ?2から なり、次の条件を満足するものである。 任意の対象?と任意の射?1: ? → ?1, ?2: ? → ?2が与えられ た時、以下の図式が可換となるような?: ? → ?が唯一つ 存在する。 このとき、?は ?1 × ?2と表す。 最大公約数 積集合
- 6. Universal Properties 和の定義： 対象?1, ?2の和とは、対象?、射?1: ? → ?1, ?2: ? → ?2か らなり、次の条件を満足するものである。 任意の対象?と任意の射?1: ?1 → ?, ?2: ?2 → ?が与えられ た時、以下の図式が可換となるような?′: ? → ?が唯一つ 存在する。 このとき、?は ?1 + ?2と表す。 最小公倍数 和集合
- 7. Haskell プログラミング言語で、カテゴリー（圏論）を ベースにしているのは、Haskell 関数型言語の歴史 素数 primes = filterPrime [2..] where filterPrime (p:xs) = p : filterPrime [x | x <- xs, x `mod` p /= 0] クイックソート quicksort [] = [] quicksort (x:xs) = quicksort smaller ++ [x] ++ quicksort larger where smaller = [a | a <- xs, a < x] larger = [a | a <- xs, a >= x] 関数とは ? = ?0 ? ???（速度） ? = ?0 + ???（位置） 言語 年 発明者 ラムダ計算 1930 チャーチ 圏論 1945 マックレーン LISP 1958 マッカーシー Scheme 1975 サスマン Smalltalk-80 1980 ゼロックス社 Haskell 1.0 1990 ハスケル?カリーに因 んで Haskell 2010 2010
- 8. Haskellと圏論 圏 １．対象 ２．射 ３．ソース、ターゲット ４．恒等射 ５．合成（結合律） Haskell １．データ型（集合：要素の集まり） ２．関数（クラス?インスタンス） ３．シグニチャ データ型? ? ? ?°? データ型? ?′ = ???? ? ?′ = ???? ? ?′ °?′ = ? ??? ?°? = ???? ? °(???? ?) Haskellでの関手 随伴関手 モナド ?°? モナドの例 入出力 ファイル Maybe (例外事象) モナドの利点 ドメイン固有言語 →簡単に作成 圏? 圏? ? ? 忘却関手 赤ん坊 の世界 雑音 中学生 の世界 会話 実世界 純粋な 世界
- 9. 関数型リアクティブ プログラミング 関数型言語を実世界へ ?ロボット ?ゲーム ?シミュレーション 動画 ビリヤード台で衝突 しあう二つのボール ビリヤード座標系 重心座標系 simulation :: HasTime t s => Wire s () IO a (Ball, Ball) simulation = proc _ -> do rec b1 <- ball "ball1" mass1 radius1 vInit1 pInit1 -< ("ball1", c) b2 <- ball "ball2" mass2 radius2 vInit2 pInit2 -< ("ball2", c) c <- collision -< (b1, b2) returnA -< (b1, b2) 振舞い：時間を変数とする関数 イベント：ある時間での事象 例 ：音楽 振舞い ：曲 イベント：打鍵 デモ Time Int x Time Int 2 stepper 2 x 詳細は http://bitterharvest.hatenablog.com/entry /2015/09/24/164937
- 10. さらに勉强する人のために