�ݺ�ߣ

CHƯƠNG 2
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
2 3 7 1
3 9 2 3
+ - = íï
î- + - =
4 5 0

Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
,(2.1)

 Ví dụ: Cho hệ phương trình
x x x x
x x x x
x x x x
- + - = ìï
- - + + = ïí
2 3 5 2
1 2 3 4
2 3 4 0
1 2 3 4
+ - + = - ïïî - + - =
3 8 5 3 2
1 2 3 4
x x x
4 2 7 9
2 3 4

§5: Hệ phương trình tuyến
tính
x x x x
x x x x
ì 2 - 3 + 5 - = 2 1 2 3 4
é 2 - 3 5 - 1
ù
ï ï- - 2 + 3 + 4 = 0 ê- 1 2 3 4
1 - 2 3 4
ú í « A
= ê ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x
= - 2 ê 3 8 - 5 3
ú 1 2 3 4
îï - 4 x + 2 x - 7 x
= 9 ê ë 0 - 4 2 - 7
ú 2 3 4
û

x x x x
x x x x
ì 2 - 3 + 5 - = 2 é 2
ù
ï ï- 1 2 3 4
- 2 + 3 + 4 = 0 ê ú í 1 2 3 4
« B
= ê 0
ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x
= - 2 ê- 2
ú 1 2 3 4
îï - 4 x + 2 x - 7 x
= 9 ê 9
ú 2 3 4
ë û

tính
2 3 5 2
1 2 3 4
2 3 4 0
1 2 3 4
3 8 5 3 2
1 2 3 4
4 2 7 9
2 3 4
2 3 5 1 2
1 2 3 4 0
3 8 5 3 2
0 4 2 7 9
bs
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
A
- + - = ìï
- - + + = ïí
+ - + = - ïï
î - + - =
é - - ù
ê- - ú « = ê ú
ê - - ú
ê - - ú ë û

tính
 Ví dụ:
x
y
z
2 7 1 9
3 1 4 0
5 9 2 5
é ù é ù é ù
ê - ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú
êë úû êë úû êë úû
x y z
x y z
x y z
+ + = ìï
Û - + = íï
î + + =
2 7 9
3 4 0
5 9 2 5

§5: Hệ Grame

§5: Hệ Grame
 Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

§5: Hệ Grame
 Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
x x x
x x x
x x x
- + = ìï
2 1
1 2 3
+ - = íï
î - + =
2 3 5
1 2 3
3 2 1
1 2 3
1 1 2
2 1 3
3 2 1
D
-
= -
-
1
1 1 2
5 1 3
1 2 1
D
-
= -
-
2
1 1 2
2 5 3
3 1 1
D = -
3
1 1 1
2 1 5
3 2 1
D
-
=
-
= --1199
== --2299
== --99
== --88

§5: Hệ Grame
1
1
2
2
3
3
19
8
29
8
9
8
x D D
x D D
x D D
= = - -
= = - -
= = - -

§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
 CCáácc pphhéépp bbiiếếnn đđổổii ttưươơnngg đđưươơnngg hhệệ pphhưươơnngg ttrrììnnhh
l ¹ 0
NNhhâânn mmộộtt ssốố (( )) vvààoo 22 vvếế ccủủaa 11 PPTT ccủủaa
hhệệ..
ĐĐổổii cchhỗỗ hhaaii PPTT ccủủaa hhệệ..
NNhhâânn mmộộtt ssốố (( )) vvààoo mmộộtt PPTT rrồồii ccộộnngg vvààoo
PPTT kkhháácc ccủủaa hhệệ..
l ¹ 0
1
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
+ - = íï + + = î
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
Û + - = íï
î + + =
íï
- + 1
= Û + + = î + - ìï
=
x y z
x y z
x y z
1
2 3 2
2 4 2 10
2 4 2 10
2 3 2

 Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ
PT chính là các phép BĐSC trên dòng của
ma trận bổ sung tương ứng..

Xét hệ phương trình tổng quát sau:

Ta có ma trận bổ sung tương ứng

Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:
a a a a b
' ' ... ' ... ' '
0 ' ... ' ... ' '
... ... ... ... ... ... ...
é ê 11 12 1 r 1 n
1
ù
ê a a a b
ú
22 2 r 2 n
2
ú
ê ú
= ê ú ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû
A a a b
' 0 0 ... ' ... ' '
r r r n r
k
0 0 ... 0 ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
0 0 ... 0 ... 0 0

Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT
ì + + + + + =
ï + + + + = ïïíï
a x a x a x a x b
' ' ... ' ... ' '
r r n n
r r n n
11 1 12 2 1 1 1
a x a x a x b
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
22 2 2 2 2
+ + = ïïî + + + + + =
x x x x k
1 2
a x a x b
' ... ' '
r r r r n n r
0 0 ... 0 ... 0
r n

Khi đó ta có:
 1. Nếu k ¹ 0
thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
ra hệ PT vô nghiệm.
 2. Nếu k = 0
thì hệ có nghiệm:
 a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiệm
duy nhất.
 b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số
nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

a.Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:
a x a x a x a x b
+ + + + + = ìï
' ' ... ' ... ' '
r r n n
r r n n
11 1 12 2 1 1 1
a x a x a x b
+ + + + = ïïïí
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
22 2 2 2 2
a x a x b
+ + = ïïï îï =
' ... ' '
... ... ...
rr r rn n r
a x b
' '
nn n n

b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế
phải của hệ PT ta được hệ PT sau:
a x a x a x a x a x b
+ + + = - - - + ìï
' ' ... ' ' ... ' '
r r r + r +
n n
11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1
a x a x a x a x b
+ + = - - - + ïíïï
î = - - - +
' ... ' ' ... ' '
r r r + r +
n n
... ... ... ... ...
22 2 2 2( 1) 1 2 2
a x a x a x b
' ' ... ' '
r r r r ( r + 1) r +
1
r n n r
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó
giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.

h 2
h
h 4
h
h h
-+
2 1
4 1
5 1
- ¾¾¾®
…. 

Vậy hệ phương trình

sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma
trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
Abs ®...®

 Bài Tập: Giải hệ phương trình:
x x x x
x x x x
- + + = ìï
2 2
1 2 3 4
+ - - = ïí
2 3 2 2
1 2 3 4
x x x
+ - = - ïï
î- + + - =
3 4 5 1
2 3 4
x x x x
2 3 0
1 2 3 4

é - ù
2
ê ú ¾¾¾¾®ê 2 2 1
- - - 4 4 1
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 3 4 5 1
0 0 4 2 2
= -
= +
ê - - ú
ê - ú ë û
h h h
h h h
é 1 - 1 2 1 2
ù
ê ê 2 1 - 3 - 2 2
ú ú
ê 0 3 4 - 5 - 1
ú
ê- ë 1 1 2 - 3 0
ú û
é - ù
ê ¾¾¾¾®ê - - - ú 3 3 2
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 4 2 2
= -
ê - ú
ê - ú ë û
h h h
é - ù
ê - - - ú ¾¾¾¾¾®ê 4 11 4 4 3
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 0 18 18
= -
ê - ú
ê - ú ë û
h h h
HD:
…

 Bài Tập: Giải hệ phương trình:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
- - + = ìï
- + + - = - ïí - + + - = - ïï
î - - + =
2 5 1
3 4 3 1
4 7 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 5 8 2
1 2 3 4

* Biện luận theo m số nghiệm của hệ:
é 1 2 - 1 1 1
ù
ê 0 1 3 2 2
ú
= ê ú
ê 0 0 - 1 - 2 3
ú
ê ë 0 0 0 - 1 - 1
ú û
x y z t
+ - + = ìï
2 1
y z t
+ + = ïí
3 2 2
z t
m t m
- - 2 = 3
î 2
- = ïï
-
( 1) 1
+m = -1Þr(A) = 3 ¹ r(Abs ) = 4Þ
2
Abs
m m
+ m =1Þr(A) = r(Abs ) = 3 < nÞ
Hệ vô nghiệm
Hệ có VSN
+m ¹ ±1Þr(A) = r(Abs ) = nÞ Hệ có Ng duy nhất

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ
phương trình
+ - + = ìï + + + = ïí
2 2 1
2 5 3 0
- - = ïï
î - + + =
2 3 3
1
x y z t
x y z t
y z t
x y z mt

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
é 1 2 - 1 2 1
ù
ê ®ê 0 1 5 - 3 - 2
ú ú
ê 0 0 - 7 0 5
ú
ê ë 0 0 0 7 - 77 43
ú û
Abs
m
>m =11Þr(A) = 3 < r(Abs ) = 4Þhệ vô nghiệm
>m ¹ 11Þr(A) = r(Abs ) = 4Þhệ có nghiệm duy nhất

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ
phương trình
x y z
x y mz
x y z
+ + = ìï - + + = íï
î - + =
3 2 1
2 3 2
3 4 2 1

§5: Hệ PTTT thuần nhất

Dạng ma trận của phương trình tuyến
tính thuần nhất là
AX=0. (2.2.1)

Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma
trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ
sung
é ê n
ù
ú
= ê ú ê ú
ê ú
êë úû
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
bs n
1 2
.. 0
.. 0
.. .. .. .. ..
.. 0
m m mn
A
a a a
Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan
tâm hạng của ma trận hệ số

 Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:
 Hệ có nghiệm duy nhất
Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương
trình
 Hệ có vô số nghiệm
Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ
phương trình

 Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy
nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0).
 Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm
thường.
 Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài
nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác
nữa.
 Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không
tầm thường.

 Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau
có nghiệm không tầm thường.

é - ù
1 2 1
0 3 1
0 0 2
A
¾¾¾¾®ê ú ê ú
êë m
+ úû
m = -2Þr(A) < 3
Ta có:
Biến đổi
sơ cấp
Do đó với
Vậy với m =-2
thì hệ có nghiệm không
tầm thường

 Ta có 1 2 1
det( ) 2 1 3
1 1
A
m
-
= -
- -
= (3m+ 6) = 0
Ûm = -2

�ݺ�ߣ

He phuong trinh (chuong 2)

More Related Content

He phuong trinh (chuong 2)