際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Integraalrekening 2 les 4 dt gv alst

Download as PPTX, PDF
Gerard van Alst
Gerard van Alst

Integraalrekening 2, DT, 14-15, G v Alst

1 of 21
Download to read offline
Integraalrekening 2 Les 4 DT Gerard van Alst Mei 2015
Doelen Paragraaf 7.4: breuksplitsing: vervolg. Paragraaf 7.5: overzicht van de methoden die we tot nu toe gehad hebben.
Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen 1. Wat is de afgeleide van arccos()? 2. Bereken de afgeleide van ln 1 + . 3. Wat is de primitieve van 1 (+3)2? 4. Wat is de primitieve van 1 ? 5. Wat is de primitieve van cos()?
Par. 7.3 (2) We hebben nu een voorbeeld van de eerste substitutie gezien. De andere twee substituties doen we niet.
De techniek van breuksplitsing. Stel = () () , waarbij () en () polynomen zijn. Dan: 1. Als de graad van P groter of gelijk is aan de graad van Q: deel dan uit. 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind Q(x) zoveel als mogelijk is. We onderscheiden verschillende gevallen.
De techniek (2) Geval 1: Q(x) is product van verschillende lineaire factoren. Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren, maar er zitten dezelfde tussen. Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische factoren. Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele meervoudige kwadratische factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.
Voorbeelden: Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3). Geval 2: Q(x)=x2(x+4). Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een irreducibele factor is een factor zonder dat die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te ontbinden. Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.
Geval 2. Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2. Dan: 3 (モ1)2 = + モ1 + (モ1)2. Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden. Dan kunnen we de gevonden functie integreren.
Behandeling huiswerk Zijn er nog andere vragen over het huiswerk? 則7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.
Geval 3. Bijvoorbeeld: 4+12 41 Dan Q(x)=x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1). Dan: 4+12 モ1 +1 (2+1) = モ1 + +1 + 駒+ 2+1 . Daarna verder uitwerken en A,B,C,D vinden: 4 + 12 = + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 + (駒 + )( 1)( + 1) Uitwerken of getallen invullen (-1,0,1,2 bijv).
Geval 3, vervolg. Er volgt als je uitwerkt (en niet invult): 0=A+B+C, 0=A-B+D, 4=A+B-C, 12=A-B-D. Hieruit volgt: A+B=-C invullen:C=-2, en A-B=-D invullen: D=-6. Dan volgt: A=4 en B=-2.
Geval 3, vervolg 2: Dus 4+12 モ1 +1 (2+1) = 4 モ1 2 +1 2+6 2+1 , dus 4+12 41 = 4 モ1 2 +1 2+6 2+1 = ( 4 モ1 2 +1 2 2+1 6 2+1 ) = 4ln 1 2ln + 1 ln 2 + 1 6 arctan +
Opgave. Bereken: 3+1 3+ .
Uitleg. We kijken naar: 1 2+4 en naar 2+2+5 . We zien dat zowel 2 + 4 als 2 + 2 + 5 niet te ontbinden zijn (geen nulpunten, discriminant is negatief). Hoe kunnen we deze integralen berekenen?
Opgave
Paragraaf 7.5. Kunnen afleiden Kunnen afleiden, met a=1 kennen Kunnen afleiden
Paragraaf 7.5 (2) 1. Vereenvoudig of schrijf anders. Bijvoorbeeld: ( + 1) of ＄2 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen. Bijv. 2 2+1 3. Kijk naar de vorm: () () waarbij () en () polynomen zijn: volg de procedure uit paragraaf 7.4.
Paragraaf 7.5 (3) Vervolg kijk naar de vorm: : volg de procedure uit paragraaf 7.2 (blz. 473) Indien er 2 2 in de integraal staat en substitutie is niet mogelijk: probeer dan = sin() Kijk of parti谷le integratie mogelijk is. Indien het niet gelukt is, kan herschrijven, anders schrijven misschien helpen. Zie voorbeelden boek. P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet integreerbaar zijn!
Opgaven. 則7.4: 21, 23, 29, 64
Opgaven. 則7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45
Huiswerk 則7.4: 21, 23, 29, 64 則7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45

More Related Content

Integraalrekening 2 les 4 dt gv alst

  • 1. Integraalrekening 2 Les 4 DT Gerard van Alst Mei 2015
  • 2. Doelen Paragraaf 7.4: breuksplitsing: vervolg. Paragraaf 7.5: overzicht van de methoden die we tot nu toe gehad hebben.
  • 3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen 1. Wat is de afgeleide van arccos()? 2. Bereken de afgeleide van ln 1 + . 3. Wat is de primitieve van 1 (+3)2? 4. Wat is de primitieve van 1 ? 5. Wat is de primitieve van cos()?
  • 4. Par. 7.3 (2) We hebben nu een voorbeeld van de eerste substitutie gezien. De andere twee substituties doen we niet.
  • 5. De techniek van breuksplitsing. Stel = () () , waarbij () en () polynomen zijn. Dan: 1. Als de graad van P groter of gelijk is aan de graad van Q: deel dan uit. 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind Q(x) zoveel als mogelijk is. We onderscheiden verschillende gevallen.
  • 6. De techniek (2) Geval 1: Q(x) is product van verschillende lineaire factoren. Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren, maar er zitten dezelfde tussen. Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische factoren. Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele meervoudige kwadratische factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.
  • 7. Voorbeelden: Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3). Geval 2: Q(x)=x2(x+4). Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een irreducibele factor is een factor zonder dat die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te ontbinden. Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.
  • 8. Geval 2. Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2. Dan: 3 (モ1)2 = + モ1 + (モ1)2. Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden. Dan kunnen we de gevonden functie integreren.
  • 9. Behandeling huiswerk Zijn er nog andere vragen over het huiswerk? 則7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.
  • 10. Geval 3. Bijvoorbeeld: 4+12 41 Dan Q(x)=x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1). Dan: 4+12 モ1 +1 (2+1) = モ1 + +1 + 駒+ 2+1 . Daarna verder uitwerken en A,B,C,D vinden: 4 + 12 = + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 + (駒 + )( 1)( + 1) Uitwerken of getallen invullen (-1,0,1,2 bijv).
  • 11. Geval 3, vervolg. Er volgt als je uitwerkt (en niet invult): 0=A+B+C, 0=A-B+D, 4=A+B-C, 12=A-B-D. Hieruit volgt: A+B=-C invullen:C=-2, en A-B=-D invullen: D=-6. Dan volgt: A=4 en B=-2.
  • 12. Geval 3, vervolg 2: Dus 4+12 モ1 +1 (2+1) = 4 モ1 2 +1 2+6 2+1 , dus 4+12 41 = 4 モ1 2 +1 2+6 2+1 = ( 4 モ1 2 +1 2 2+1 6 2+1 ) = 4ln 1 2ln + 1 ln 2 + 1 6 arctan +
  • 14. Uitleg. We kijken naar: 1 2+4 en naar 2+2+5 . We zien dat zowel 2 + 4 als 2 + 2 + 5 niet te ontbinden zijn (geen nulpunten, discriminant is negatief). Hoe kunnen we deze integralen berekenen?
  • 17. Paragraaf 7.5 (2) 1. Vereenvoudig of schrijf anders. Bijvoorbeeld: ( + 1) of ＄2 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen. Bijv. 2 2+1 3. Kijk naar de vorm: () () waarbij () en () polynomen zijn: volg de procedure uit paragraaf 7.4.
  • 18. Paragraaf 7.5 (3) Vervolg kijk naar de vorm: : volg de procedure uit paragraaf 7.2 (blz. 473) Indien er 2 2 in de integraal staat en substitutie is niet mogelijk: probeer dan = sin() Kijk of parti谷le integratie mogelijk is. Indien het niet gelukt is, kan herschrijven, anders schrijven misschien helpen. Zie voorbeelden boek. P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet integreerbaar zijn!
  • 19. Opgaven. 則7.4: 21, 23, 29, 64
  • 20. Opgaven. 則7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45
  • 21. Huiswerk 則7.4: 21, 23, 29, 64 則7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45