Integral
- 1. SMA - 1 Integral A. Integral Tak Tentu 1. Rumus Integral Fungsi Aljabar k x n+1 + c ; n ≠-1 1 a n + ( 1) (ax+b) n+1 + c ; a ≠0 dan n ≠-1 sin dx = ∫ d cos dx = ln|x| +c ) d sin cos dx = ∫ x 1 cos (ax+b) + c 1 sin (ax+b) + c 1 ln|cos(ax+b)| + c 1 ln|sin(ax+b)| + c 1 a n + WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM 1. ∫ k x n dx = n +1 2. ∫(ax + b)n dx = 1 dx = ln|x| + c x x Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya 3. ∫ x 4. ∫ ( f (x)dx ± g(x)dx) = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx 2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri 1. ∫sin x dx = - cos x dx + c 2. ∫cos x dx = sin x dx + c 3. ∫ tan x dx = ∫ x cos − x x dx cos dx = - ln |cos x| + c ( ∫ x 4. ∫ctgx dx = ∫ x sin x dx sin dx = ln |sin x| + c 5. ∫sin(ax + b) dx = - a 6. ∫ cos(ax + b) dx = a 7. ∫ tan(ax + b) dx = - a 8. ∫ctg(ax + b) dx = a 9. ∫ sinn (ax+b) cos(ax+b) dx = ( 1) sin n+1 (ax+b) +c
- 2. SMA - 2 10. ∫cosn (ax+b) sin(ax+b) dx = 1 a n + ( 1) cos n+1 (ax+b) +c 11. ∫ 2sin ax cos bx dx = a b x ∫ + sin ( ) dx + ∫ − a b x 2 sin ( ) dx 2 1 tan (ax+b)+ c 14. ∫ c sec2 x dx = - ctg x + c 1 ctg (ax+b)+ c a 16. ∫ tan x secx dx = sec x + c 17. ∫c tan x csecx dx = -csec x + c 3. Rumus-rumus Integral yang lain 1 a 2 arc sin ( x ) + a 1 x a2 − x2 + c ( x = a sin θ ; sin θ = 2 1 a 2 ln |x + a2 + x2 | + 1 x a2 + x2 + c 1 a 2 ln |x + x2 − a2 | + 1 x x2 − a2 + c x ) + c dx = ln |x + a2 + x2 | + c WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM 12. ∫ sec2 x dx = tan x + c 13. ∫ sec2 (ax+b)dx = a 15. ∫ c sec2 (ax+b)dx = - 1. ∫ a2 − x2 dx = 2 x ) ) dx = arc sin ( Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya x ; a θ = arc sin ( a 2. ∫ a2 + x2 dx = 2 2 3. ∫ x2 − a2 dx = - 2 2 4. ∫ a2 − x2 a 5. ∫ a2 + x2
- 3. SMA - 3 dx = ln |x + x2 − a2 | + c x + a − x | + c dv (dikalikan dx) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM dx = 1 ln | dx = 1 arc tan| du + u . Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya 6. ∫ x2 − a2 7. ∫ a2 − x2 2a x a | +c 8. ∫ a2 + x2 a a 4. Integral Parsial ∫u dv = uv - ∫v du Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’ dy = v. dx dx dx dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv ∫d(u.v) = ∫v du + ∫u dv u.v = ∫v du + ∫u dv ∫u dv = uv - ∫v du B. Integral Tertentu ∫ b a f (x) dx = F(x) b a | = F(b) – F(a) 1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu-Sumbu Koordinat Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x = g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb :
- 4. SMA - 4 a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya L = ∫ b a f (x) dx b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x) L = -∫ b a x f ) ( dx = ∫ a b f (x) dx c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x) L = -∫ c a x f ) ( dx + ∫ b c f (x) dx = ∫ a c x f ) ( dx + ∫ b c f (x) dx
- 5. SMA - 5 d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya L = ∫ b a g( y) dy e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y) L = -∫ b a y g ) ( dy = ∫ a b g( y) dy f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya
- 6. SMA - 6 berada di sebelah kanan sumbu y) b WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya L = -∫ c a y g ) ( dy + ∫ b c g( y) dy = ∫ a c y g ) ( dy + ∫ b c g( y) dy 2. Luas Daerah Antara Dua Kurva a. Di atas sumbu x L = ∫ b a y2 dx - ∫ b a y1dx = ∫ − a ( y2 y1) dx
- 7. SMA - 7 b b WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM b. Di bawah sumbu x Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya L = -∫ b a y2 dx - { -∫ b a y1dx } = ∫ b a y1dx - ∫ b a y2 dx = ∫ − a ( y1 y2) dx c. Di sebelah kanan sumbu y L = ∫ b a x2 dy - ∫ b a x1dy = ∫ − a (x2 x1) dy
- 8. SMA - 8 3. Volume Benda Putar a. Diputar terhadap sumbu x maka, WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM V= π y dx Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya b a ∫ 2 b. Diputar terhadap sumbu y maka, b a ∫ 2 V= π x dy